七章定積分應用物理

第三節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側壓力三、引力問題機動目錄上頁下頁返回結束定積分在物理學上的應用

第六章一、變力沿直線所作的功設物體在連續(xù)變力

F(x)作用下沿x

軸從x＝a移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為機動目錄上頁下頁返回結束例1.一個單求電場力所作的功.解:當單位正電荷距離原點r

時,由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為說明:機動目錄上頁下頁返回結束位正電荷沿直線從距離點電荷

a

處移動到b處(a<b),在一個帶+q電荷所產生的電場作用下,例2.體,求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S的活塞從點a

處移動到點b

處(如圖),作的功.建立坐標系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強

p

與體積V

成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為機動目錄上頁下頁返回結束力為在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一定量的氣例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐標系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設水的密度為機動目錄上頁下頁返回結束(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,面積為A的平板二、液體側壓力設液體密度為

深為h

處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受側壓力問題就需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結束平板一側所受的壓力為??小窄條上各點的壓強例4.

的液體,

求桶的一個端面所受的側壓力.解:

建立坐標系如圖.所論半圓的利用對稱性,側壓力元素端面所受側壓力為機動目錄上頁下頁返回結束方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內盛半桶密度為說明:當桶內充滿液體時,小窄條上的壓強為側壓力元素故端面所受側壓力為奇函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束三、引力問題質量分別為的質點,相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質點的連線若考慮物體對質點的引力,則需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結束例5.設有一長度為l,線密度為

的均勻細直棒,其中垂線上距a

單位處有一質量為

m

的質點

M,該棒對質點的引力.解:

建立坐標系如圖.細棒上小段對質點的引力大小為故垂直分力元素為機動目錄上頁下頁返回結束在試計算利用對稱性棒對質點引力的水平分力機動目錄上頁下頁返回結束故棒對質點的引力大小為棒對質點的引力的垂直分力為說明:2)

若考慮質點克服引力沿y

軸從a

處1)

當細棒很長時,可視

l

為無窮大,此時引力大小為方向與細棒垂直且指向細棒.移到b

(a<b)處時克服引力作的功,機動目錄上頁下頁返回結束則有引力大小為機動目錄上頁下頁返回結束注意正負號3)當質點位于棒的左端點垂線上時,內容小結(1)先用微元分析法求出它的微分表達式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來表示整體量

Q,并計算之.1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量Q

的步驟:2.定積分的物理應用:變力作功,側壓力,引力等.機動目錄上頁下頁返回結束條、段、環(huán)、帶、(99考研)思考與練習提示:

作x軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由機動目錄上頁下頁返回結束抓起污x

提升dx

所作的功為

米重50N,提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重20