廣東省化州市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

廣東省化州市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知角為第二象限角，，則的值為（）A. B.C. D.4．設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是B，則等于（）A.4 B.C. D.25．已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.46．已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.7．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－98．若直線被圓截得的弦長為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.29．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，半焦距為c，過點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.10．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.11．下列關(guān)系中，正確的是（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足，則滿足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某公司青年、中年、老年員工的人數(shù)之比為10∶8∶7，從中抽取100名作為樣本，若每人被抽中的概率是0.2，則該公司青年員工的人數(shù)為__________14．已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.15．求值______.16．已知P為拋物線上的一個動點(diǎn)，設(shè)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d，點(diǎn)，那么的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②是與的等比中項，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題：已知數(shù)列{}的前n項和為，，且滿足___（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}前n項和注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分18．（12分）如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：（1）[79.5，89.5)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？（2）估計這次環(huán)保知識競賽的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是多少？19．（12分）立德中學(xué)舉行冬令營活動期間，對位參加活動的學(xué)生進(jìn)行了文化和體能測試，滿分為150分，其測試成績都在90分和150分之間，成績在認(rèn)定為“一般”，成績在認(rèn)定為“良好”，成績在認(rèn)定為“優(yōu)秀”．成績統(tǒng)計人數(shù)如下表：體能文化一般良好優(yōu)秀一般0良好3優(yōu)秀2例如，表中體能成績良好且文化成績一般的學(xué)生有2人（1）若從這位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學(xué)生概率為．求，的值；（2）在（1）的情況下，從體能成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求至少有一個人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；（3）若讓使參加體能測試的成績方差最小，寫出的值．（直接寫出答案）20．（12分）已知圓C經(jīng)過、兩點(diǎn)，且圓心在直線上（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與圓C相切，求直線的方程21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其中P為E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且（1）求拋物線E的方程；（2）過的直線與E交于C，D兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由22．（10分）橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上一點(diǎn).（1）當(dāng)P為橢圓C的上頂點(diǎn)時，求的余弦值；（2）直線與橢圓C交于A，B，若，求k

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因?yàn)?，，所以在中，邊上的中線等于的一半，所以．因?yàn)?，所以可設(shè)，，則，解得，所以，由雙曲線的定義得，所以雙曲線的離心率故選：A2、B【解析】構(gòu)造，通過求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，即，令，當(dāng)時，，，令得：或，結(jié)合，所以，令得：，結(jié)合得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，，則恒成立，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出的圖象，如下圖：要想有3個零點(diǎn)，則故選：B3、C【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而直接利用兩角和的余弦展開求解即可.【詳解】∵，是第二象限角，∴，∴.故選：C.4、A【解析】求出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是B，再利用兩點(diǎn)之間的距離即可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是故選：A5、B【解析】根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點(diǎn)有兩個.故選：B.6、A【解析】函數(shù)，若，，可得，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.7、A【解析】根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以有，因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間距離為3，所以，或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故選：A8、A【解析】根據(jù)弦長求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：A9、D【解析】根據(jù)給定條件求出，再計算面積列式計算作答.【詳解】依題意，點(diǎn)，由雙曲線對稱性不妨取漸近線，即，則，令坐標(biāo)原點(diǎn)為O，中，，又點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，因此，，則有，即，，，所以雙曲線的離心率為故選：D10、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.11、B【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷D；【詳解】解：對于A：因?yàn)?，，，故A錯誤；對于B：因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，所以，故B正確；對于C：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又，所以，故C錯誤；對于D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又，所以，又，所以，故D錯誤；故選：B12、B【解析】首先地推公式變形，得，，求得數(shù)列的通項公式后，再解不等式.【詳解】因?yàn)?，兩邊取倒?shù)，得，整理為：，，所以數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，，，因?yàn)?，即，得，解得：?所以的最大值是7.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、200【解析】先根據(jù)分層抽樣的方法計算出該單位青年職工應(yīng)抽取的人數(shù)，進(jìn)而算出青年職工的總?cè)藬?shù).【詳解】由題意，從中抽取100名員工作為樣本，需要從該單位青年職工中抽取（人）.因?yàn)槊咳吮怀橹械母怕适?.2，所以青年職工共有（人）.故答案：200.14、【解析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.15、【解析】將原式子變形為：，將代入變形后的式子得到結(jié)果即可.【詳解】將代入變形后的式子得到結(jié)果為故答案為：16、5【解析】由拋物線的定義可得，所以，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，從而可求得結(jié)果【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，如圖，過作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，所以，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，即最小值為,,所以的最小值為5，故答案為：5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)選①，可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出，由，可得數(shù)列的通項公式為選②是與的等比中項，可得，由，可得，從而利用累乘法求得數(shù)列的通項公式為選③，由，可得，則數(shù)列為等差數(shù)列，從而求出通項公式(2)由(1)知，求出，利用錯位相減求和法求出小問1詳解】選①.因?yàn)?，，所以是首項?，公差為1的等差數(shù)列則，從而當(dāng)時，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，也符合上式．所以選②.因?yàn)槭桥c的等比中項所以，當(dāng)時，，兩式相減得，整理得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合上式，所以選③.由題設(shè)，得，兩式相減，得，整理，得，因?yàn)椋?，所以是首項?，公差為2的等差數(shù)列，所以【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以，則兩式相減，得，所以18、（1）0.25，15；（2）眾數(shù)為74.5，中位數(shù)為72.8，平均分為70.5.【解析】（1）直接利用頻率和頻數(shù)公式求解；（2）利用頻率分布直方圖的公式求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).【詳解】（1）頻率＝(89.5－79.5)×0.025＝0.25；頻數(shù)＝60×0.25＝15.（2）[69.5，79.5)一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)為74.5，左邊三個矩形的面積和為0.4，左邊四個矩形的面積和為0.7，所以中位數(shù)在第4個矩形中，設(shè)中位數(shù)為,所以中位數(shù)為72.8.平均分為44.5×0.1＋54.5×0.15＋64.5×0.15＋74.5×0.3＋84.5×0.25＋94.5×0.05＝70.519、（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由題設(shè)可得求參數(shù)a，結(jié)合表格數(shù)據(jù)及已知總學(xué)生人數(shù)求參數(shù)b.（2）應(yīng)用列舉法求古典概型的概率.（3）應(yīng)用表格數(shù)據(jù)及方差公式可得且，即可確定成績方差最小對應(yīng)的值.【小問1詳解】設(shè)事件：從位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學(xué)生由題意知，體能或文化優(yōu)秀的學(xué)生共有人，則，解得所以；【小問2詳解】體能成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有5人，在這5人中，文化成績一般的人記為；文化成績良好的人記為；文化成績優(yōu)秀的人記為從文化成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人的樣本空間，設(shè)事件：至少有一個人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀，，所以，體能成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，至少有一個人文化成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是；【小問3詳解】由題設(shè)知：體能測試成績，{一般，良好，優(yōu)秀}人數(shù)分別為{5，，}，對應(yīng)平均分為{100,120,140}，所以體能測試平均成績，所以，而所以當(dāng)時最小.20、（１）；（２）【解析】（1）根據(jù)圓心在弦的垂直平分線上，先求出弦的垂直平分線的方程與聯(lián)立可求得圓心坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑，進(jìn)而求得圓的方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，與圓相切，方程為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為，寫出其點(diǎn)斜式方程，利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解出的值.試題解析：（1）依題意知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，直線的斜率為，故線段的中垂線方程是即，解方程組得，即圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，故圓的方程是（2）若直線斜率不存在，則直線方程是，與圓相離，不合題意；若直線斜率存在，可設(shè)直線方程是，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以有，解得或所以直線的方程是或.21、（1）（2）存在；【解析】（1）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出p即可；（2）設(shè)直線MC，MD的斜率分別為，，利用坐標(biāo)計算恒成立，即可求解.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，得所以拋物線E的方程為【小問2詳解】假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)，使得x