2025屆山東省七校高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月聯(lián)考試卷附答案解析

屆山東省七校高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月聯(lián)考試卷

滿分150分，考試用時(shí)120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如圖，已知矩形U表示全集，A、B是U的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（

）A．B．C．D．2．中國(guó)南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，，，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為（

）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，且到軸的距離為4，則（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或84．圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4．已知P為該圓臺(tái)某條母線的中點(diǎn)，若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)為（

）A． B．6 C． D．5．將數(shù)字隨機(jī)填入的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等的概率為（

）A． B． C． D．6．定義：已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．7．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是7，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，若，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復(fù)數(shù)為10．對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，，，則（

）A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，過作垂直于的平面，記平面與正方體的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為，面積為，，下面關(guān)于函數(shù)和的描述正確的是（

）A．最大值為；B．在時(shí)取得極大值；C．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；D．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深刻的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則.

13．已知數(shù)列滿足，，，且，則.14．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)且，使得，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．(1)證明：；(2)若，求的取值范圍．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．如圖，四邊形為菱形，平面．

(1)證明：平面平面；(2)若，二面角的大小為120°，求PC與BD所成角的余弦值．18．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，周長(zhǎng)為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求的方程；(2)直線與交于兩點(diǎn)，（i）求面積的最大值；（ii）設(shè)，試證明點(diǎn)在定直線上，并求出定直線方程．19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在正零點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）記為的極值點(diǎn)，證明：.1．D【分析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素x，分析元素x與各集合的關(guān)系，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】解：在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素x，則且，即且，所以，陰影部分可表示為.故選：D.2．B【分析】根據(jù)題意，將題中的數(shù)據(jù)代入公式，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意可知，三角形的周長(zhǎng)為12，則，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為16，所以三角形面積的最大值.故選：B3．C【分析】由題意得到，，結(jié)合得到方程，求出的值.【詳解】由題意得，，其中，故，解得或8，故選：C4．A【分析】利用側(cè)面展開結(jié)合圖形求解最短距離.【詳解】P為圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)，分別為上下底面的圓心，把圓臺(tái)擴(kuò)成圓錐，如圖所示，則，，，由，有，，，圓錐底面半徑，底面圓的周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)，所以側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為，即，如圖所示，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P，則運(yùn)動(dòng)的最短路徑為展開圖弦，，，有.故選：A5．A【分析】用列舉法寫出符合題意的填寫方法，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【詳解】符合題意的填寫方法有如下8種：而9個(gè)數(shù)填入9個(gè)格子有種方法所以所求概率為，故選：A．6．B【分析】由題可知，根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)得，求得，最后根據(jù)，即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，則，所以，而，，，，，，，，.故選：B7．D【分析】利用多項(xiàng)式乘法法則對(duì)式子展開，合并同類項(xiàng)即可得到系數(shù)的值.【詳解】由題意可知展開式中含的項(xiàng)：∴,故選：D.8．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，由得，所以，所以或，所以或，所以的取值范圍是.故選：D9．ABD【分析】根據(jù)題意，由歐拉公式，利用復(fù)數(shù)的基本概念，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，其虛部為，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，故的共軛復(fù)數(shù)為，所以D正確．故選：ABD．10．BCD【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，可判斷AB的真假，根據(jù)和事件概率計(jì)算公式，可判斷C的真假，結(jié)合全概率公式和條件概率計(jì)算公式，可判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)B：由，故B正確；對(duì)C：因?yàn)椋蔆正確；對(duì)D：，所以：.所以.故D正確.故選：BCD11．AD【分析】分情況作出截面，求截面的周長(zhǎng)和面積，進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，截面為等邊三角形，如圖：因?yàn)椋?，所以：，?此時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，.當(dāng)時(shí)截面為六邊形，如圖：設(shè)，則所以六邊形的周長(zhǎng)為：為定值；做平面于，平面于.設(shè)平面與平面所成的角為，則易求.所以，所以，在上遞增，在上遞減，所以截面面積的最大值為，此時(shí)，即.所以在上遞增，在上遞減.時(shí)，最大，為.當(dāng)時(shí)，易得：，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，，.綜上可知：AD是正確的，BC錯(cuò)誤.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，如果堅(jiān)持用表示截面的周長(zhǎng)和面積，感覺比較麻煩，設(shè)，用表示截面的周長(zhǎng)和面積就省勁多了.12．##【分析】連接，則，根據(jù)給定條件及正八邊形的特征，利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】在正八邊形中，連接，則，

而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故答案為：13．1【分析】先利用求得的值，再利用遞推公式可求.【詳解】當(dāng)?shù)茫值?，解?則，所以.故答案為：1.14．【分析】作出函數(shù)y=fx的圖象，根據(jù)圖象分析可知與y=fx有三個(gè)交點(diǎn)，可得，，代入可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意作出函數(shù)y=fx令，解得或，令，解得或或，由題意可知：與y=fx有三個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)，且，令，可得，則，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理、兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)得，進(jìn)一步即可證明；（2）由題意首先求得的取值范圍，進(jìn)一步將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)換為只含有的式子即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，而，則或，即或（舍去），故．（2）因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以的取值范圍是，由正弦定理可得：，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以的取值范圍是?6．(1)，(2)，.【分析】（1）利用得出數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式；（2）由已知求得，得出是等差數(shù)列，求出其前項(xiàng)和，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得出數(shù)列與的前項(xiàng)和的關(guān)系，從而求得結(jié)論．【詳解】（1）由，則當(dāng)時(shí)兩式相減得，所以.將代入得，，所以對(duì)于，故an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）.，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故.17．(1)證明見詳解.(2).【分析】（1）通過線面垂直得出線線垂直，再證明出線面垂直，得到面面垂直；（2）由二面角定義得到平面角的大小，由菱形和直角三角形的邊角關(guān)系得出線段長(zhǎng)度，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線線角的的余弦值【詳解】（1）∵平面且平面∴，在菱形中，，且平面，∴平面又∵平面∴平面平面.（2）∵平面且平面,平面∴，，即二面角是，∴，取與交點(diǎn)為，設(shè)，則，∴，∴，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴.所以所成角的余弦值為.

18．(1)(2)（i）；（ii）證明見解析，．【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，即可求解；（2）（ⅰ）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，并求點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合三角形的面積公式，以及基本不等式，即可求面積的最大值；（ⅱ）利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的坐標(biāo)公式，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解定直線方程.【詳解】（1）設(shè)焦距為，依題意，解得又，所以，所以的方程為．（2）（i）設(shè)，因?yàn)?，所以，，解得，所以，點(diǎn)到直線的距離，的面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積的最大值為．（ii）設(shè)，由，有，即因?yàn)?，所以，故，于是有，所以點(diǎn)在定直線．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，以及坐標(biāo).19．(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）（i）求導(dǎo)后借助導(dǎo)數(shù)分、及討論函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理計(jì)算即可得；（ii）利用零點(diǎn)定義與極值點(diǎn)定義可得，代入計(jì)算可得，再借助時(shí)，，即可得，再計(jì)算并化簡(jiǎn)即可得.【詳解】（1）由已知可得的定義域?yàn)?，且，因此?dāng)時(shí)，，從而f′x<0所以的單減區(qū)間是，無單增區(qū)間；（2）（?。┯桑?）知，，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．①當(dāng)時(shí)