第04講 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)-2022學年高二數(shù)學同步講義（人教A版2019選擇性必修第一冊）

第04講雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

0目標導航

課程標準課標解讀

1.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，了解雙

通過本節(jié)課的學習，要求掌握雙曲線的幾何量a,b,c,

曲線中a,b,c,e的幾何意義及范圍.

e的意義，會利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的

2.會根據(jù)雙曲線的方程解決雙曲線的幾

大小，會利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決與雙曲線有關(guān)的

何性質(zhì)，會用雙曲線的幾何意義解決

點、弦、周長、面積等問題.

相關(guān)問題.

趣:知識精講

知識點雙曲線的相關(guān)性質(zhì)

y1x1

/b2TA京=1

標準方程

(a>0,b>0)(a>0,b>0)

圖形*

WC

范圍x次或爛一a,x￡R,性一4或佗a

對稱性對稱軸：坐標軸;對稱中心：原點

頂點4（一〃，0）,從2（〃，0）Ai(0,一〃)，A2(0,a)

ba

漸近線y=±~x

性質(zhì))a

離心率e=j,e￡(l,+oo)

線段AiA:叫做雙曲線的實軸,它的長度|AiA2|=2a；線段B山2叫做

實虛軸

雙曲線的虛軸，它的長度B82|=26。叫做雙曲線的實半軸長，b

叫做雙曲線的虛半軸長

a,b,c的關(guān)系c2=a1+b2

【微點撥】要點詮釋

I.等軸雙曲線

定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線.

等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y=±x；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率e=J5.

等軸雙曲線可以設(shè)為：x2-y2=2（20）,當4>0時交點在x軸，當4<0時焦點在y軸上.

2.共漸近線的雙曲線系

如果已知一雙曲線的漸近線方程為y=±2x=土也x（k>。）,那么此雙曲線方程就一定是:

aka

2222

-7^—=y=±l收>0)或?qū)懗扇?=/1.

(ka)2(kb)2a2b2

3.雙曲線的草圖

具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內(nèi)任意一點的位置，然后過這兩

點并根據(jù)雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的

對稱性畫出完整的雙曲線.

4.離心率

雙曲線的焦距與實軸長的比e=仝=￡,叫做雙曲線的離心率.范圍：e>l

2aa

雙曲線形狀與e的關(guān)系：k=2="一-=JSI-I=7e2-l,e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大,

aaVa

這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊.由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊.

5.共規(guī)雙曲線

以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共朝雙曲線.區(qū)別：三

量q力,c中a）不同（互換）c相同.

共用一對漸近線.雙曲線和它的共軌雙曲線的焦點在同一圓上.

確定雙曲線的共粗雙曲線的方法：將1變?yōu)?1.

共用同一對漸近線y=土燈;的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設(shè)為--白=〃幾H0）,當;I>0時

1k

交點在x軸，當XV0時焦點在y軸上.

6.準線方程:

對于j—「=1來說，相對于左焦點￡（—c,0）對應著左準線乙：x=-仁，相對于右焦點尸2（。,0）對應著

ab"c

右準線4:》=幺;

C

〃2

位置關(guān)系：W2。>丁>0?焦點到準線的距離〃=?。ㄒ步薪箙?shù)）.

對于二-二二1來說，相對于上焦點大（0,-。）對應著上準線人：y=-幺；相對于下焦點B（0，c）對應著

a~b~c

下準線4：y=且

c

7.焦點弦：

定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦.

焦點弦公式：可以通過兩次焦半徑公式得到：

設(shè)兩交點4（玉,y*（%2,為）

當雙曲線焦點在X軸上時，

焦點弦只和兩焦點的橫坐標有關(guān)：

過左焦點與左支交于兩點時：|24q=-2。-6（2+%2）,

過右焦點與右支交于兩點時：|A?=-2a+e（X]+x2）.

當雙曲線焦點在y軸上時，

過左焦點與左支交于兩點時：|A目=-2a-e（y）+y2）-

過右焦點與右支交于兩點時：目=-2a+e（y+%）?

8.通徑：

定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦.

2b2

直接應用焦點弦公式，得到-

a

【即學即練1】實軸長為4后且過點A(2,-5)的雙曲線的標準方程是()

22?229

BUID.JJ

20162016*一獷1620

【答案】B

【解析】2a=4y[5,/.a=2V5,

??,雙曲線的焦點在x軸上時，則應有雙曲線匕的點的橫坐標x應滿足IxI>275.

而4點的橫坐標為2,不滿足IxlN2百.

J雙曲線的焦點應在)，軸上.

22

設(shè)雙曲線的方程為2v--J=

20h2

??,點A(2,—5)在雙曲線上,

254

/.-------=1,h2=16,

20h2

22

.??雙曲線的方程為二-二二1.

2016

【即學即練2】雙曲線的離心率為亞，則雙曲線的兩條漸近線的夾角是()

A.450B.3O0C.6O0D.9O0

【答案】D

【解析】由特征三角形。4|囪知，cosQAiB尸］==二",

V22

二/048尸45。,...兩漸近線的夾角為90°.

22

【即學即練3】雙曲線與一0=1的準線方程為()

a2b2

a2

A.r=±-；=B.y=±

J/yla2+b2

bb2

D.)=士

y[a2+b2

【答案】B

【解析】?；雙曲線的焦點在y軸上，.?.雙曲線的準線方程為產(chǎn)土

22

【即學即練4】雙曲線工—21=1的焦點到準線的距離是()

97

7「25「7-25

AA.-B.—C.-—

4444

【答案】C

【現(xiàn)軍析］:々2=9力2=7,，c=4,

???雙曲線的焦點坐標是(±4,0),準線方程是產(chǎn)土3O.

4

?,?雙曲線的焦點到準線的距離為4一9==,7和4+9==2￡5.

4444

【即學即練5】準線方程為產(chǎn)士1,離心率為正的雙曲線的方程是()

A.2x2-2y2=11B.x2-y2=2C.y2—/=2D.y2—x2=-2

【答案】C

【解析】???雙曲線的準線方程為尸±1，離心率為后，，雙曲線的焦點在y軸上，方程是標準方程，

222

且—=1,—=V2.a-V2,c=2,按=2.雙|11|線的方程為一二+—=1.即y2—x2=2.

ca22

r2y2

【即學即練6】如果雙曲線^--)-二1上一點尸到它的右焦點的距離為8,那么尸到它的右準線距離是()

6436

A.10B.莊"C.2V7D.—

75

【答案】D

(解析】雙曲線的離心率e=￡=3=9，設(shè)所求距離為4則§=3..?.仁必.

。84"45

r22

【即學即練7】雙曲線：^--匕v=1的實軸長等于,虛軸長等于,焦點坐標是,離心率

54

是,漸近線方程是.

oRnPc

【答案】2也4Fi(-3,0),F，(3,0)--y=±-----x

55

【即學即練8］雙曲線2mx2—my2=2的一條準線是尸1,則m的值為.

【答案】一上4

3

【解析】可知雙曲線的焦點在y軸匕."VO

22。]a

雙曲線方程可化為卷-工-=1,因此"2=-K/2=_,/=_3

_Z，mmtn

mm

?.?準線是y=l，序^即-2=.解得，片一土

mVtn3

【即學即練9】.雙曲線的焦距是兩準線間距離的4倍，則此雙曲線的離心率等于.

【答案】2

「2/c2

【解析】,**2c=4x-----?\/=4〃2,e2==4,e=2

ca

3

【即學即練10】已知雙曲線的漸近線方程為尸土，乂則雙曲線的離心率為_____.

4

【答案】2或』

43

【解析】?.?雙曲線的漸近線方程為y=±2x,.?.2=3或2=&.當2=2時，e=-；當2=9時，e=-.

4。4。3。44a33

Q能力拓展

考法01

用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程：基本思路為“先定位，再定量

(1)定位：確定焦點所在的坐標軸.一般地，已知雙曲線的焦點坐標時，可以確定焦點所在的坐標軸，而

已知雙曲線的離心率、實軸長、虛軸長、焦距時，不能確定焦點所在的坐標軸，此時應分類討論；

(2)設(shè)出相應的標準方程；

(3)建立關(guān)于",仇c之間的關(guān)系或方程(組)；

(4)求出的值；

(5)寫出雙曲線的標準方程.

X2V2I—

【典例1】求與雙曲線二―3=1共漸近線且過4(3后,-3)的雙曲線的方程.

169

【分析】因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設(shè)出雙曲線系，再把已知點代入，求得K的值即

可.

2222

【解析】設(shè)與*?一g=1共漸近線且過A（36，一3）的雙曲線的方程為=

則駛匕—上半=2,從而有4=11.所求雙曲線的方程為三一虹=1.

4232161199

【即學即練11】頂點間的距離為6,漸近線方程為y=土;x的雙曲線的標準方程為.

22X2y2

【答案】匕-二=1或E一班=1.

947

【解析】

【分析】先確定a的值，再分類討論，求出〃的值，即可得到雙曲線的標準方程.

【詳解】由題意2a=6,；?4=3.

3

當焦點在X軸上時，???雙曲線的漸近線方程為＞=±/X,

22

.b3,9---^-=1

??一=—,.??力=一???方程為981；

322:

4

3

當焦點在y軸上時，??,雙曲線的漸近線方程為y=±gx,

oQ22

.?.±=3,.-,=2..?.方程為上―二=1.

b294

22

y2*2￡._X=1

故雙曲線的標準方程為：匕-工=1或981.

94J

【即學即練12】已知等軸雙曲線的中心在原點,焦點在y軸上,與直線2x+y=0交于兩點，若［4臼=2后,

則該雙曲線的方程為（）

A./-x2=25B./-X2=16C.y2-x2=9D.y2-x2=6

【答案】C

【分析】設(shè)出雙曲線方程，聯(lián)立直線，求出交點坐標，即可求解

【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為V-爐=根，機＞0,

由，;:得3%2=加，則工=土工\〃?＞0,不妨假設(shè)巧=需\則力=-2工\

由圖象的對稱性可知，恒卻=2&5可化為|04|=岳，即欄+4義^=屈，解得加=9,

故雙曲線方程為：V-》2=9,故選：C

考法02

雙曲線幾何性質(zhì)的簡單應用：（1）利用雙曲線的性質(zhì)時，應先把雙曲線方程化成標準方程，再求出其實軸

長、虛軸長、離心率、焦點坐標、頂點坐標等.

（2）解析幾何中與雙曲線上動點有關(guān)的最值或范圍問題應用利用雙曲線的范圍來解決.

（3）解題中若能恰當使用雙曲線的對稱性常能使問題迅速解決.

【典例2】求雙曲線——工=1的頂點坐標、焦點坐標，實半軸長、虛半軸長和漸近線方程.

4

【分析】只要緊扣有關(guān)概念和方法，就易解答.

【解析】把方程化為標準方程-—1=1

I222

由此可知，實半軸長a=l,虛半軸長b=2.

頂點坐標是（一1,0）,（1,0）,

c=y/a2+/?2=Vl2+22=V5焦點的坐標是(一行，0)?(亞,0).

漸近線方程為：±微=0,即丁=±2犬.

【即學即練13】中心在坐標原點，離心率為g的圓錐曲線的焦點在），軸上，則它的漸近線方程為（)

5「443

AA.y=±-xB.y=±—xC.y=±—xD.y=±—x

,434

【答案】D

5.a1+b2_25.b4

【解析】V-=,??—

a3,a2~9a3

?.?雙曲線的焦點在y軸上，，雙曲線的漸近線方程為產(chǎn)土2工.?.所求雙曲線的漸近線方程為＞'=±-x.

b4

2”2

【即學即練14】若雙曲線二r-2=1（a＞0方＞0）與直線y=2x沒有公共點，則該雙曲線的離心率e的取

a~h~

值范圍是（）

A.(^,+oo)B.［芯,+oo)C.(1,君］D.(1,75)

【答案】c

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線與直線y=2x的位置關(guān)系即可得解.

【詳解】雙曲線￡-￡=1（。＞0,。＞0）的漸近線），=±.，

crh-a

雙曲線勺直線y=2x沒有公共點，則2e*居=/產(chǎn)=5|^板

又因為雙曲線離心率大于1,所以C選項符合題意.故選：C叫

【即學即練151求雙曲線9y2—Ex?=144的實半軸長和虛\/

半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程.Zk]\

【解析】把方程化為標準方程匯-烏=1

4232

由此可知，實半軸長a=4,虛半軸長b=3.

c=y/a2+b2="2+3、=5

焦點的坐標是（0,—5）,（0,5）.

5

離心率6=上c=2

a4

34

漸近線方程為x=土二y,即〉=±±工.

43

考法03

求雙曲線的離心率（或范圍）的常用方法：（1）若已知a，c,則可直接代入e=￡中求解;

（2）若已知。力，貝！I使用e=求解;

（3）若已知仇c的關(guān)系，則可轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程（或不等式）求解，注意e的范圍為e＞l.

【典例3】如圖8—8,己知梯形ABC。中，IABI=2ICOI,點E分有向線段左所成的比為九雙曲線

?3

過C、D、E三點、,且以A、B為焦點，當一VW—時，求雙曲線離心率e的取值范圍.

3--4

【解析】建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)雙曲線方程為三-當

a2b2

??,雙曲線經(jīng)過點C、D,且以A、B為焦點、,由雙曲線的對稱性知C、。關(guān)于），軸對稱.

依題意，記4(―c,0),C(―,h),E(x(),加),

2

其中力是梯形的高.

2

由定比分點坐標公式得的=心生，加=—

2(1+/L)-1+A

?.?點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和右上代入雙曲線方程得:

a

①

②

〃2/2

由①得：勺=代入②并整理得：1

b24e2+2

2

又2女3得：2-<e-1<2

343/+24

解得近三仁師

二.雙曲線離心率的取值范圍為[J7,Vio]

【點睛】2=也可整理為d=巴3=-2+2幾+3=二——2,觀察知近二冬J市.

笳+21-/11-/11-A

22

【即學即練16】已知雙曲線二-與=1,(。＞0力＞0)的左，右焦點分別為"，居，點P在雙曲線的右支上,

(Th~

且歸用=目尸用，則此雙曲線的離心率e的最大值為()

435

A.-B.-C.2D.-

323

【答案】B

【分析】

根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合已知條件可得歸周=三，再由歸段“-a結(jié)合e=:即可求解.

【詳解】

根據(jù)雙曲線的定義可得歸用-歸國=2。，

因為四|=5|明，所以附|專，|叫=泉

乙乙

\33

因為點尸在雙曲線的右支上，所以歸瑪"-%BP-a＞c-a,所以力Nc,所以離心率e=c

22a2

3

所以雙曲線的離心率e的最大值為故選：B.

考法04

雙曲線性質(zhì)的簡單應用:

22

【典例3】雙曲線二一21=1與直線產(chǎn)履一1只有一個公共點，求人的值.

94

【解析】直線y=fcr—1過(0,—1)點，若使直線與雙曲線只有一個公共點，必須直線與雙曲線的漸近線平

行或直線與雙曲線相切.

當直線與漸近線平行時，雙曲線的漸近線方程是廣土|x.；.k=±j.

22

Xy

當直線與雙曲線相切時，,石鼠=1=(4—9F)始+18履―45=0

y=kx-l

...△=0即(18無)2+4(4—9/>45=0解得：k^±—.

3

綜上可知：k=土乙或k=土旦.

33

【即學即練17】若直線/:，=依+2與雙曲線。：/一,2=4的左、右兩支各有一個交點，則實數(shù)攵的取值

范圍是()

A.(-72,-1)B.(1,72)C.(-V2,V2)D.(-1,1)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直線與雙曲線漸近線平行時，直線與雙曲線的左支或右支只有一個交點，然后由直線

/:y=依+2與雙曲線C：/一V=4的左、右兩支各有一個交點利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【詳解】當直線/：y=fct+2與雙曲線。：/一>2=4的漸近線y=±x平行時，上=±[,

此時直線與雙曲線的左支或右支只有一個交點，如圖所示：

因為直線/：y=京+2與雙曲線C：/一尸=4的左、右兩支各有一個交點,

所以人的取值范圍為（一1,1），故選：D.

【即學即練18】雙曲線爐-丁=1右支上一點p（a,6）到直線y=x的距離為夜，貝lja+b的值是（）

A-4B"C.或gD.2或彳

【答案】B

【分析】23,加點在雙曲線上,則有°2一戶=1,即（a+b）（°-b）=l.根據(jù)點到直線的距離公式能夠求出您-力

的值，注意。>人,從而得到的值.

【詳解】???尸（。向點在雙曲線上，，有a?-從印，即3+頌°_方）=1.

???A36）到直線了=。的距離為技，."=器1=&,Ba-b|=2.

又尸點在右支上，則有a>b,.?.a-b=2.，a+6=g,故選：B.

【即學即練19］如圖，設(shè)「，尸2是雙曲線5->2=］（。>0）的左、右焦點，過點寫作漸近線的平行線交另

外一條漸近線于點A,若的面積為:，離心率滿足l<e〈夜，則雙曲線的方程為（）

B.——y2=1

4-

c.f-/=iD.—-/=1

2

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系列出關(guān)于漸近線傾斜角與面積的等量關(guān)系式，求出漸近線的傾斜角，從而根

據(jù)漸近線方程計算。的值，確定雙曲線的方程

【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線OA的傾斜角為。€（0,5，則tan6=一，在等腰三角形AOR中，根據(jù)正弦定理

a

可得：匈=用,得|0川=與八，所以=2x—X|OA|xlOT^Ixsin0=Ctan—=a,解得a=2

s1i°n。s1i°n26>112cocs6?加也2111-122a4

或;，又l<e<&，e=、R,所以a>l,從而a=2,所以雙曲的方程為二-/=1，故選：B

/V。4

【點睛】

本題目比較巧妙的地方在于借助漸近線的傾斜角，得到傾斜角與。的關(guān)系，結(jié)合解三角形的方法來表示三角

形的面積，求出。的值：題目也可以用漸近線方程直接求解

分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

2222

1.雙曲線--—47=1與一、—工7=入（入加）有相同的（）

a2b2a2b2

A.實軸B.焦點C.漸近線D.以上都不對

【答案】C

2.雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的正倍，且一個頂點的坐標為（0,2）,則雙曲線的標準方程為

（）

22222222

A.±-匯=1BX-^=1C.二-上=D.JJ

44444884

【答案】B

a=2

【解析】由方程組＜20+3=拒?2。,得〃=2力=2.

a2+b2=c2

22

?.?雙曲線的焦點在y軸上，，雙曲線的標準方程為二-二二1.

44

22

3..雙曲線與橢圓r二+v匕=1有相同的焦點，它的一條漸近線為產(chǎn)一心則雙曲線方程為（）

1664

A.x2—）^=96B.y2—x2=160C.X2—產(chǎn)=80D.y2—x2=24

【答案】D

22

【解析】山橢圓今+上=1得其焦點坐標為（0,—4若）、（0,4百）..?.雙曲線的焦點在y軸上，

1664

?.?雙曲線的一條漸近線為尸一X,:.a=b,而c=4后,...屋+於=（4后）2,2/=48,

二〃=24力2=24,.?.雙曲線的方程為y一爐=24.

4.一對共聊雙曲線的離心率分別是ei和e2，則ei+e2的最小值為（）

A.V2B.2C.2-V2D.4

【答案】C

【解析】設(shè)這對共朝雙曲線的方程為二一「=1和二-「=13>0/>0）,

a-b-b-a-

yla2+b2+b2

??e\=--------------,62=---------------，

ab

22222222

..a+ba+/?,a+b_.ba.".bQ、

??3+62)一=---1------1-------1------F2------------=2+(——H——)+2,(—I—)>2+2+2x2=8

ab~aha~b-ab

當且僅當。=b時，等號成立.從而當。=匕時，e+e2取得最小值，而且最小值為2J2.

5.雙曲線的兩個焦點分別是（0,—5）、（0,5）,離心率為1.5,則雙曲線的方程為（)

2

A至上IR9)J9x2c*琮=1n9y29x

JU.-----------1

100125100125125100

【答案】B

【解析】Vc-5,-=1.5,

a

?.10...125

..c=5,a=—,?.b-=c2--a?-----,

39

22

?.?雙曲線的焦點在），軸上，.?.雙曲線的方程為志-擊=1.

99

22

6.設(shè)雙曲線0-4=1（0<a<〃）的半焦距為c,設(shè)直線/過（&0）和（0,與兩點.已知原點到直線/的距

ab

離為立C,則雙曲線的離心率為（）

4

A.2B.V3C.V2D.^-

3

【答案】A

【解析】由題意：ab=—c2,：.a2（c2—M）=3產(chǎn)

416

4

整理得：3d—16”+16=0,解之得，=4或廬=2,

3

又U〈a<bn〃2</—=/>2〃2=/>2.故e2=4,，e=2.

7.雙曲線的焦點是（±726,0），漸近線方程是產(chǎn)土（x,則它的兩條準線間的距離是（）

A駕B±；26C.丑反D.2后

13131313

【答案】A

【解析】Vc-V26.-=-匕或=2,屏=8,兩準線間的距離為生_=色底.

a2a24c13

8.雙曲線的兩條準線把兩焦點所連線段三等分，則它的離心率為（）

A.V2B.A/3C,—D.2V3

2

【答案】B

【解析】'：2x-=-x2c,：.-=y[3.

c3a

o2

9.已知雙曲線E：5-方=1（〃>0）的漸近線方程為〉=±后，則E的焦距等于（）

A.72B.2C.4gD.4

【答案】C

【分析】根據(jù)漸近線方程可求匕，從而可求雙曲線的焦距.

【詳解】由雙曲線E：5-看"小色〉。）可得其漸近線方程為丫=土耳”，

故匕=3,故半焦距°=回與=26，故焦距為46,故選：c.

10.若斜率為血的直線與雙曲線C:《一2t=l（a/>0）,恒有兩個公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍

a1b2

()

A.（1,2）B.（2,-H?）C.（1,百）D.（右,+?）

【答案】D

22

【分析】由斜率為及的直線與雙曲線C:二-馬=l（a,6>0）恒有兩個公共點可得漸近線的斜率大于上，由

a~h~

此可求離心率的范圍.

22r

【詳解】V斜率為正的直線與雙曲線C：「-2=1（。/>0）恒有兩個公共點，.?.->V2,

ab，a

：.~>y/3,：.雙曲線的離心率的取值范圍是（G,+8）,故選：D.

a

題組B能力提升練

丫22

1.已知"、心分別是雙曲線C:0-v4=l（。>0力>0）的左、右焦點，雙曲線C的右支上一點。滿足

ab“

1。。1=|0用，直線片。與該雙曲線的左支交于尸點，且尸恰好為線段耳。的中點，則雙曲線C的漸近線方程

為（）

A.>=土；xB.y=±2xC.y=±2>/3xD.y=+3\[2x

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件導出。-，。鳥，再利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理計算作答.

【詳解】

依題意,令耳IH?，?=，，則有。耳，。鳥,

令I(lǐng)。心1=〃，由雙曲線定義得|。耳|=2〃+”,而點P是。B中點且在雙曲線左支上，則

|PQ|=|PFt\=a+t,\PF2\=3a+t,

在用APQ月中，|PQ『+|QE|2=|PK|2,gp(a+t)2+(2t)2=(3a+t)2,解得t=2a,則IQ入l=4a,|Q￡|=6a,

22

在R/A耳Q用中，即36/+16/=4,2,c=]3a,于是得〃=12/,-=2^3,

a

所以雙曲線C的漸近線方程為)，=±2&x.故選：C

2.若點P為共焦點的橢圓G和雙曲線C?的一個交點，F(xiàn),,B分別是它們的左右焦點.設(shè)橢圓離心率為4,

——,—.11

雙曲線周心率為g，若PQP每=0,貝|]二+下=()

e\e2

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】可設(shè)橢圓長軸為2q,雙曲線的實軸為2出，焦點為(c,0),設(shè)帆=|兩"=利用橢圓和雙

曲線的定義可得"?+"=2《，加-”|=2%,再利用垂直關(guān)系可得病+/=4。2,

聯(lián)立即可得解.

【詳解】設(shè)橢圓長軸為24,雙曲線的實軸為2a2,焦點為(c,0),

設(shè)，〃=|p川，”=,可，所以機+"=2q,帆_"=2%，

平方和相加可得/+"2=2(。：+42),由斯.麗=0則/耳尸8=90,所以＞+/=(2C)2=4C2,

2211

所以2(必+生2)=4°2,即《2+/2=2。2,生詈_=2,即；r+/=2.

故選：C

2222

3.已知橢圓C：=+與=1(4＞偽＞0)與雙曲線。：4-2=1(的＞(),包＞。)具有共同的焦點耳，尸？,

a~b~a2b~

離心率分別為G，e2,且幺=百.點尸是橢圓C和雙曲線3的一個交點，且心，則e?=()

e\

A.晅B.見C.收D.亞

324

【答案】c

【分析】設(shè)歸周=4，|p國=4?根據(jù)圓錐曲線定義與勾股定理可得以="，從而可得4+1=2,結(jié)合

C2e\

旦=百，可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)|尸耳|=「|尸閭=..

在橢圓C中，(2。)’=/+片=(4+4丫-2化=(2々1)2-2竹,

所以2代=4〃；-4/=4".

在雙曲線。中，(2"二片十寸=?-與)2+2皿=(2?2)~+2住，

所以2口=4/一4雨二4砥

所以b；=片,即〃；一°2=。2一%2,

得蠟+a；=2c2,即/+7=2.

因為立二百0，所以=+方=2,解得4=啦.

e2e2

故選：C

4.已知雙曲線G：十南=1(?,>0,4>0)的一條漸近線的方程為>=瓜，且過點園，橢圓G：

22

￡.+2_=i(?>/7>0)的焦距與雙曲線G的焦距相同，且橢圓G的左右焦點分別為耳解