江西省南昌市新建區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE16-江西省南昌市新建區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文（含解析）一、選擇題（共12小題；每小題5分，共60分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1.以下四個(gè)命題既是特稱(chēng)命題又是真命題的是A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角 B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使C.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù) D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)，使【答案】B【解析】【分析】先確定命題中是否含有特稱(chēng)量詞，然后利用推斷特稱(chēng)命題的真假．【詳解】對(duì)于A，銳角三角形中的內(nèi)角都是銳角，所以A為假命題；

對(duì)于B，為特稱(chēng)命題，當(dāng)時(shí)，成立，所以B正確；

對(duì)于C，因?yàn)?，所以C為假命題；

對(duì)于D，對(duì)于任何一個(gè)負(fù)數(shù)，都有，所以D錯(cuò)誤．

故選B．【點(diǎn)睛】本題以命題真假推斷與應(yīng)用為載體，考查了全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的定義，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．2.復(fù)數(shù)z1=a+4i,z2=-3+bi,若它們的和為實(shí)數(shù),差為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a,b的值為()A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4【答案】A【解析】由題意可知是實(shí)數(shù),是純虛數(shù),所以，解得，故選A．3.若命題為假，且為假，則（）A.為假 B.為假 C.為真 D.不能推斷【答案】B【解析】【分析】依據(jù)為假可推斷為真，再依據(jù)復(fù)合命題為假，即可得命題為假，推斷各選項(xiàng)即可.【詳解】命題為假，則命題為真，命題為假，與中至少有一個(gè)為假，由為真，則為假，對(duì)于A，此時(shí)，為真，所以錯(cuò)誤.因而B(niǎo)選項(xiàng)正確，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的推斷，復(fù)合命題真假性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.若曲線表示橢圓，則的取值范圍是()A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】依據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得，解不等式組可得結(jié)果.【詳解】曲線表示橢圓，，解得，且，的取值范圍是或，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及不等式的解法，意在考查對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)駕馭的嫻熟程度，屬于簡(jiǎn)潔題.5.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出圓的一般方程，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入后求得圓的方程，再化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)，設(shè)圓的方程為，代入三個(gè)坐標(biāo)可得，解得所以圓的方程為，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)求圓的一般方程，圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.6.在中，角、、所對(duì)應(yīng)的變分別為、、，則是的（）A.充分必要條件 B.充分非必要條件C.必要非充分條件 D.非充分非必要條件【答案】A【解析】【分析】利用三角形中大角對(duì)大邊、正弦定理邊角互化，結(jié)合充分條件與不要條件的定義可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得（其中為外接圓的半徑），則，，，因此是的充分必要必要條件，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用、充分必要條件的判定，屬于中等題.推斷充分條件與必要條件應(yīng)留意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后干脆依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難推斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為推斷它的等價(jià)命題；對(duì)于范圍問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來(lái)處理.7.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距長(zhǎng)成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率e為()A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】試題分析：由題設(shè)條件知：2×2b=2a+2c，∴2b=a+c，∴c2=+a2，整理，得3c2-5a2-2ac=0，∴3e2-2e-5=0．解得e=或e=-1（舍）．故選D．考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)．點(diǎn)評(píng)：留意雙曲線和橢圓的區(qū)分與聯(lián)系．8.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題首先可通過(guò)函數(shù)的解析式得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后令解出函數(shù)的增區(qū)間，最終將四個(gè)選項(xiàng)與函數(shù)的增區(qū)間進(jìn)行對(duì)比即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)，，，為增函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，考查了如何利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查推理實(shí)力，是簡(jiǎn)潔題．9.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】試題分析：由已知，令得（舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上函數(shù)只有一個(gè)微小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，所以．故選A．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值．【名師點(diǎn)睛】(1)函數(shù)的最大值與最小值:在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x),在[a,b]上必有最大值與最小值;但在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不肯定有最大值與最小值.(2)求最大值與最小值的步驟:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;②將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.10.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)|在[–2,2]上偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?，所以解除選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)．故選：D.11.已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由已知，取頂點(diǎn)，漸近線，則頂點(diǎn)到漸近線的距離為，解得.12.海輪每小時(shí)運(yùn)用的燃料費(fèi)與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為海里/小時(shí)，當(dāng)速度為海里/小時(shí)時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)元，其余費(fèi)用(無(wú)論速度如何)都是每小時(shí)元.假如甲乙兩地相距海里，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低，它的航速應(yīng)為（）A.海里/小時(shí) B.海里/小時(shí)C.海里/小時(shí) D.海里/小時(shí)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)燃料費(fèi)用與速度關(guān)系，設(shè)出解析式，再代入速度為10海里/小時(shí)的費(fèi)用25元，即可求得燃料費(fèi)用與速度關(guān)系的解析式.依據(jù)速度與甲乙兩地的路程，表示出航行所需時(shí)間，即可表示出總的費(fèi)用.利用導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號(hào)推斷單調(diào)性，即可求得微小值點(diǎn)，即為航速值.【詳解】因?yàn)楹］喢啃r(shí)運(yùn)用的燃料費(fèi)與它的航行速度的立方成正比，設(shè)船速為，燃料費(fèi)用為元，比例系數(shù)為，則滿(mǎn)意，當(dāng)速度為海里/小時(shí)時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)元，代入上式可得，解得其余費(fèi)用(無(wú)論速度如何)都是每小時(shí)元，假如甲乙兩地相距海里，則所需時(shí)間為小時(shí).則總費(fèi)用為所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，依據(jù)題意得函數(shù)關(guān)系式，由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，屬于中檔題.二、填空題（共4小題；每小題5分，共20分）13.實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則的值是_______.【答案】1【解析】【分析】將式子綻開(kāi)化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求得的值，即可求得的值.【詳解】實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，化簡(jiǎn)可得，所以，解得，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)相等的意義和簡(jiǎn)潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)曲線y=ax2在點(diǎn)（1，a）處的切線與直線2x﹣y﹣6=0平行，則a的值是_____．【答案】1【解析】【分析】切線的斜率就是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，據(jù)此可求．【詳解】，當(dāng)，又切線的斜率為，故，填．【點(diǎn)睛】曲線在點(diǎn)處的切線方程是：，另外留意曲線在某點(diǎn)處的切線與過(guò)某點(diǎn)處的切線的區(qū)分．15.動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】將直線方程向左平移1個(gè)單位，可知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，結(jié)合拋物線定義即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】將化為，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，由拋物線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為拋物線，該拋物線以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線，開(kāi)口向右，設(shè)，所以，解得，所以拋物線方程為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義及簡(jiǎn)潔應(yīng)用，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①有微小值，但無(wú)最小值②有極大值，但無(wú)最大值③若方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則④若方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則其中全部正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)________【答案】②④【解析】所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此有微小值，也有最小值，有極大值，但無(wú)最大值；若方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則或;若方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則,即正確結(jié)論的序號(hào)為②④點(diǎn)睛：對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．三、解答題（共6小題；共65分）17.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將函數(shù)式綻開(kāi)，由冪函數(shù)求導(dǎo)公式即可求解.（2）依據(jù)導(dǎo)數(shù)除法運(yùn)算法則，結(jié)合指數(shù)與三角函數(shù)求導(dǎo)公式即可求解.詳解】（1）函數(shù)，綻開(kāi)化簡(jiǎn)可得，由冪函數(shù)求導(dǎo)公式可得.（2）由導(dǎo)數(shù)除法運(yùn)算法則，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)求導(dǎo)公式可得.【點(diǎn)睛】本題考查了常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)公式簡(jiǎn)潔應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)命題:，命題:關(guān)于的方程有實(shí)根.（1）若為真命題，求的取值范圍.（2）若“”為假命題，且“”為真命題，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及二次根式意義，可求得當(dāng)為真命題時(shí)的取值范圍.（2）若“”為假命題，且“”為真命題，則命題與命題一真一假.分類(lèi)探討即可求得的取值范圍.【詳解】（1）命題:，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，而，當(dāng)為真命題，的取值范圍為.（2）命題:關(guān)于的方程有實(shí)根，則，解得，“”假命題，且“”為真命題，則命題與命題一真一假，當(dāng)命題為真，命題為假時(shí)，滿(mǎn)意，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)命題為真，命題為假時(shí)，滿(mǎn)意，解得或綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了由命題真假求參數(shù)的取值范圍，復(fù)合命題真假推斷及分類(lèi)探討思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19.在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．（Ⅰ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）,與交于兩點(diǎn)，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）利用，化簡(jiǎn)即可求解；（Ⅱ）先將直線化成極坐標(biāo)方程，將的極坐標(biāo)方程代入的極坐標(biāo)方程得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.試題解析：（Ⅰ）化圓的一般方程可化為.由，可得圓的極坐標(biāo)方程.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)，所對(duì)應(yīng)的極徑分別為，，將的極坐標(biāo)方程代入的極坐標(biāo)方程得.于是，..由得，.所以的斜率為或.20.設(shè)函數(shù)，其中在，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函數(shù)極值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）微小值【解析】【分析】（Ⅰ）因，故由于曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，故該切線斜率為0，即，從而，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，解得（因不在定義域內(nèi)，舍去）當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故在處取得微小值本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力【詳解】21.如圖，若是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).（1）若雙曲線上一點(diǎn)到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于，求點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；（2）若是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，試求的面積.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，由雙曲線定義即可求得的值.（2）由雙曲線定義及，可證明，即為直角三角形，即可求得的面積.【詳解】（1）是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則設(shè)點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，由拋物線定義可知，解得或，即點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為或.（2）是雙曲線左支上的點(diǎn)，，則，代入，可得，即，所以為直角三角形，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線定義及性質(zhì)的的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，交點(diǎn)三角形面積求法，屬于基礎(chǔ)題.22.已知：函數(shù)，