2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（配湘教版）教學(xué)課件 4.1.1 有理數(shù)指數(shù)冪-4.1.2 無(wú)理數(shù)指數(shù)冪

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)4.1.1有理數(shù)指數(shù)冪4.1.2無(wú)理數(shù)指數(shù)冪課標(biāo)要求1.通過對(duì)有理指數(shù)冪(a>0,m,n∈N且n≥2)含義的認(rèn)識(shí),了解指數(shù)冪的拓展過程.2.通過對(duì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪au(a>0,且u∈R)含義的認(rèn)識(shí),了解指數(shù)冪的拓展過程.3.掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一根式1.n次方根的定義若一個(gè)(實(shí))數(shù)x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,則稱x是

.

2.n次方根的性質(zhì)a的n次方根03.根式的定義

4.根式的性質(zhì)

名師點(diǎn)睛1.在n次方根的概念中,關(guān)鍵是數(shù)a的n次方根x滿足xn=a,因此求一個(gè)數(shù)a的n次方根,就是求一個(gè)數(shù)的n次方等于a.2.n次方根實(shí)際上就是平方根與立方根的推廣.3.n次方根的概念表明,乘方與開方是互逆運(yùn)算.|a|過關(guān)自診

提示

不一定,當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí),a∈R;當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí),a≥0.知識(shí)點(diǎn)二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪當(dāng)a>0,m,n∈N且n≥2時(shí),規(guī)定

(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0沒有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.那么,對(duì)于任意有理數(shù)r,s仍有下列運(yùn)算法則:ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).名師點(diǎn)睛

2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪總表示正數(shù),而不是負(fù)數(shù).3.我們可以類似得出:一般地,給定正數(shù)a,對(duì)任意有理數(shù)α,aα都是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).這就把整數(shù)指數(shù)冪推廣為有理指數(shù)冪了.過關(guān)自診

知識(shí)點(diǎn)三有理數(shù)指數(shù)冪的基本不等式名師點(diǎn)睛有理數(shù)指數(shù)冪的基本不等式為我們提供了比較大小的另一種方法:過關(guān)自診比較大小(填“>”或“<”):(1)2.32.1

1;

(2)0.490.59

1;

(3)2.3-0.21

1;

(4)0.49-1.7

1;

(5)2.3-0.59

2.3-0.51;

(6)0.352.59

0.353.1.

><<><>知識(shí)點(diǎn)四實(shí)數(shù)指數(shù)冪在冪的表達(dá)式au(a>0)中,a叫作底數(shù),u叫作指數(shù).可以證明,有理數(shù)指數(shù)冪的前述運(yùn)算規(guī)律,對(duì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪仍然成立.類似地,我們有更一般的冪運(yùn)算基本不等式:對(duì)任意的正實(shí)數(shù)u和正實(shí)數(shù)a,若a>1,則au>1;若a<1,則au<1.對(duì)任意的負(fù)實(shí)數(shù)u和正實(shí)數(shù)a,若a>1,則au<1;若a<1,則au>1.名師點(diǎn)睛實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)除了上述三個(gè)外,還有如下兩個(gè)常用性質(zhì):(1)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);過關(guān)自診化簡(jiǎn):(2)1.14-π·1.1π-2.解

1.14-π·1.1π-2=1.14-π+π-2=1.12=1.21.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一根式的概念【例1】

(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

(2)已知x6=2021,則x=

.

3±2[-3,+∞)規(guī)律方法

根式概念問題應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)(1)n的奇偶性決定了n次方根的個(gè)數(shù);(2)n為奇數(shù)時(shí),被開方數(shù)a的正負(fù)決定著n次方根的符號(hào).變式訓(xùn)練1已知a∈R,n∈N+,給出下列4個(gè)式子:A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.0個(gè)

A探究點(diǎn)二根式的化簡(jiǎn)(求值)【例2】

求下列各式的值:解

原式=a-b+b-a=0.∵-3<x<3,∴當(dāng)-3<x<1時(shí),原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;當(dāng)1≤x<3時(shí),原式=(x-1)-(x+3)=-4.變式探究(1)該例中的(2),若x<-3呢?(2)該例中的(2),若x>3呢?解

由例題解析可知原式可化為|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,則x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.(2)若x>3,則x-1>0,x+3>0,故原式=(x-1)-(x+3)=-4.探究點(diǎn)三指數(shù)冪的簡(jiǎn)單計(jì)算【例3】

計(jì)算:規(guī)律方法

1.對(duì)于既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,以便于計(jì)算.如果根式中的根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.2.對(duì)于計(jì)算題的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示,但結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).3.規(guī)定了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義以后,冪ax中指數(shù)x的取值范圍就擴(kuò)展到了全體實(shí)數(shù),指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就擴(kuò)展到了全體實(shí)數(shù).變式訓(xùn)練2計(jì)算:(1)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0,b>0,c≠0);探究點(diǎn)四冪運(yùn)算基本不等式的應(yīng)用【例4】

(1)比較大小(填“>”或“<”):><<><<(2)已知a>1,β<0,?α∈R,試比較aα+2β-aα+β與aα+β-aα的大小.規(guī)律方法

1.熟練記憶并能應(yīng)用指數(shù)冪基本不等式;2.作商法的應(yīng)用——注意適用條件:a>0,b>0.探究點(diǎn)五條件求值(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,兩邊平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)設(shè)y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.規(guī)律方法

解決條件求值問題的一般方法——整體法對(duì)于條件求值問題,一般先化簡(jiǎn)代數(shù)式,再將字母取值代入求值.當(dāng)字母的取值未知或不易求出時(shí),可將所求代數(shù)式恰當(dāng)?shù)刈冃?構(gòu)造出與已知條件相同的結(jié)構(gòu),從而通過“整體法”巧妙地求出代數(shù)式的值.變式訓(xùn)練3解

∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456C1234562.下列各式正確的是(

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