第5講鄰補角對頂角及垂直（講義）

第5講鄰補角、對頂角及垂直模塊一：鄰補角的意義和性質(zhì)知識精講平面上兩條不重合直線的位置關(guān)系 相交：兩條直線有一個交點； 平行：兩條直線沒有交點．2、鄰補角的意義 兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為鄰補角．3、鄰補角的性質(zhì) 互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定互為鄰補角．例題解析例1.如圖，三條直線AB、CD、EF相交于一點O，問一共可以構(gòu)成多少對鄰補角，并把他們寫出來．【難度】★【答案】12對【解析】12對，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和.【總結(jié)】考察鄰補角的定義．例2.判斷：（1）平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，不是相交就是平行； （ ）（2）平面內(nèi)兩條直線有交點，則這兩條直線相交； （ ）（3）有一條邊是公共邊的兩個角互為鄰補角． （ ）（4）有兩個角互為補角，并且有一條公共邊，那么他們互為鄰補角．（ ）【難度】★【答案】（1）（2）（3）（4）都是錯誤的．【解析】（1）錯誤．還有重合．錯誤．有一個交點，則兩直線相交；有無數(shù)個交點，則兩直線重合．錯．兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，這種關(guān)系的兩個角叫 做互為鄰補角．錯誤．另一邊不一定是互為反向延長線．【總結(jié)】考察直線與直線的位置關(guān)系和鄰補角的定義．例3，如圖，∠AOD的鄰補角是__________．【難度】★【答案】，．【解析】考察鄰補角的定義．例4.如圖，OC平分∠AOB，∠AOD=2∠BOD，∠COD=28°，求∠AOC的大?。倦y度】★★【答案】．【解析】設(shè)，則，∴∵∠AOD=2∠BOD，∴，即【總結(jié)】考察角度之間的關(guān)系計算．可以用方程思想來解決這一類問題．例5.如圖，直線a、b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度數(shù)．【難度】★★【答案】，．【解析】∵與為鄰補角，與為對頂角，與為鄰補角，∴，．【總結(jié)】考察鄰補角、對頂角的定義及簡單的計算．例6.如圖所示，AB、CD相交于點O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°，求∠BOD，∠AOE的度數(shù)．【難度】★★【答案】∠BOD=120°，∠AOE=30°．【解析】∵和為對頂角，和為鄰補角，∴，，∵OE平分∠AOD，∴．【總結(jié)】考察鄰補角、對頂角、角平分線的定義及在角度計算中的運用．例7.同一平面上的任意三條直線，可以有__________個交點．【難度】★★★【答案】0或1或2或3【解析】見下圖【總結(jié)】考察圖形的畫法，注意不同情況的分類討論．模塊二：對頂角的意義和性質(zhì)知識精講1、對頂角的意義 兩個角有公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為對頂角．2、對頂角的性質(zhì) 對頂角相等．例題解析例1.下列說法中，正確的是( )有公共的頂點，且方向相反的兩個角是對頂角有公共頂點，且又相等的兩個角是對頂角由兩條直線相交所成的角是對頂角角的兩邊互為反向延長線的兩個角是對頂角【難度】★【答案】D【解析】考察對頂角的定義例2.如圖，三條直線AB、CD、EF相交于一點O，問一共可以構(gòu)成多少對對頂角，并 把他們寫出來．【難度】★【答案】6對，見解析．【解析】和，和，和，和，和，和．【總結(jié)】考察對頂角的定義．例3.判斷：（1）有公共頂點，且度數(shù)相等的兩個角是對頂角．（ ）（2）相等的兩個角是對頂角． （ ）【難度】★【答案】（1）（2）都錯誤．【解析】（1）錯誤，（2）錯誤．兩個角有公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，具有這種關(guān)系兩個角叫做互為對頂角．【總結(jié)】考察對頂角的定義．例4.若∠1與∠2是對頂角，∠3與∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．若∠1與∠2是對頂角，且∠1與∠2互余，則∠1=__________，∠2=__________．【難度】★★【答案】（1）30°；（2）45°，45°．【解析】（1）∵，，∠3=60°，∴；∵，，∴．【總結(jié)】考察對頂角的定義和互余的意義．例5.如圖，直線AB、CD交于點O，則（1）若∠1+∠3=68度，則∠1=__________．（2）若∠2：∠3=4：1，則∠2=__________．（3）若∠2∠1=100度，則∠3=__________．【難度】★★【答案】（1）34°；（2）144°；（3）40°．【解析】（1）∵，∠1+∠3=68度，∴；∵，∠2：∠3=4：1，∴；∵，∠2∠1=100度，∴，∴．【總結(jié)】考察鄰補角、對頂角的性質(zhì)及在角度計算中的運用．例6.如圖（1）所示，兩條直線AB與CD相交成幾對對頂角？（2）如圖（2）所示，三條直線AB、CD、EF相交呢？（3）試猜想n條直線相交會成多少對對頂角？【難度】★★★【答案】見解析【解析】（1）兩條直線AB與CD相交成2對對頂角；三條直線AB、CD、EF相交成6對對頂角；因為3條不同直線相交所成的對頂角有3×2÷2×2=6對，4條不同直線相交所成的對頂角有4×3÷2×2=12對，則可找出規(guī)律得：n條直線相交會成對對頂角．【總結(jié)】考察對頂角的定義及根據(jù)數(shù)據(jù)特征找出規(guī)律，綜合性較強．模塊三：垂線(段)的意義和性質(zhì)知識精講1、垂線的意義如果兩條直線的夾角為直角，那么就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．2、垂直的符號記作：“⊥”，讀作：“垂直于”，如：，讀作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交．垂直公理： 在平面內(nèi)，過直線上或直線外的一點作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條．簡記為：過一點，有且僅有一條直線與已知直線垂直中垂線 過線段中點且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線．垂線段的性質(zhì) 聯(lián)結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．點到直線的距離 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離．如果一個點在直線上，那么就說這個點到直線的距離為零．例題解析例1.判斷：（1）經(jīng)過直線外一點只有一條直線與已知直線垂直．（ ）（2）兩條直線的交點叫垂足． （ ）（3）線段和射線沒有垂線． （ ）（4）兩條直線不是平行就是互相垂直． （ ）（5）直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這個點到直線的距離．（ ）【難度】★【答案】（1）正確；（2）錯誤；（3）錯誤；（4）錯誤；（5）錯誤．【解析】（1）正確；（2）錯誤，兩條直線垂直時，交點叫垂足；（3）錯誤，任何的射線、線段、直線都有垂線；（4）錯誤，還有相交（角度不為90°）；（5）錯誤，直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離．【總結(jié)】考察各種概念，注意仔細(xì)辨析．例2.如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點D，那么點B到線段CD的距離是線段__________的長度；線段CD的長度是點C到線段__________的距離；線段AC是點___________到線段__________的距離．【難度】★【答案】BD；AB；A；CB．【解析】考察點到直線的距離的作法．【總結(jié)】可以利用直尺來解決距離問題．例3.下列選項中，哪個是直線l的垂線（ ）【難度】★【答案】C【解析】考察垂線的畫法，注意垂線是一條直線．例4.如圖，，垂足為C，AC=4，BC=3，那么點A與BC的距離為______．【難度】★【答案】4【解析】點A與BC的距離為AC的長度．【總結(jié)】考察點到直線的距離．例5.如圖，直線AB，CD交于點O，OE⊥AB，，則_________．【難度】★★【答案】60°．【解析】∵OE⊥AB，∴，∴∵，∴【總結(jié)】考察垂直的定義和角度的計算．例6.作圖題：1、已知直線AB和點C，過點C做AB的垂線； 2、作線段MN的中垂線．【難度】★★【答案】虛線為所求．【解析】考察垂線和中垂線的畫法，注意垂線和中垂線都是直線．．例7.A、B兩廠在公路同側(cè)，擬在公路邊建一貨場C，若由B廠興建，并考慮B廠的利益，則要求貨物離B廠最近，請在圖10中作出此時貨場C的位置，并說出這樣做的道理．【難度】★★【答案】過B作公路的垂線，垂足為C；理由是垂線段最短【解析】考察垂線的畫法．【總結(jié)】注意總結(jié)距離最短的畫法．例8.如圖，已知OA⊥OB，OC⊥OD，比大，則的度數(shù)為_______．【難度】★★【答案】35°．【解析】∵OA⊥OB，∴，即∵，∴∵OC⊥OD，即，∴．【總結(jié)】考察垂直的定義和角度的計算．例9.如圖，一棵小樹生長時與地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小樹在同一條直線上，那么∠2等于多少度?【難度】★★【答案】10°．【解析】∵，，∴．【總結(jié)】考察垂直的定義和對頂角的性質(zhì)．例10.如圖，已知直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，OB平分∠DOF，∠COF=∠BOD．求∠AOC、∠EOD、∠COE的度數(shù)．【難度】★★【答案】70°，20°，160°．【解析】∵，，∠COF=∠BOD，∴．∴∴，，．【總結(jié)】考察角平分線的定義、角的計算、對頂角和鄰補角的定義．例11.如圖，與是鄰補角，OD、OE分別是與的平分線，試判斷OD與OE的位置關(guān)系，并說明理由．【難度】★★★【答案】垂直，理由見解析．【解析】∵與是鄰補角，∴∵OD、OE分別是與的平分線，∴，∴∴，即．【總結(jié)】考察鄰補角和角平分線的定義、角度的計算，本題可總結(jié)為鄰補角的角平分線互相垂直．模塊四：綜合運用例題解析例1.下列結(jié)論不正確的是( )A．互為鄰補角的兩個角的平分線所成的角為90°B．相等的兩個角是對頂角C．兩直線相交，若有一個交角為90°，則這四個角中任取兩個角都互為補角D．同角的余角相等【難度】★【答案】B【解析】相等的兩個角不一定是對頂角．【總結(jié)】考察鄰補角、對頂角的定義．例2.如圖，AB與CD為直線，圖中共有對頂角( )．A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【難度】★【答案】B【解析】和，和是對頂角．【總結(jié)】考察對頂角的定義．例3.如圖，運動會上，甲、乙兩名同學(xué)測得小明的跳遠(yuǎn)成績分別為DA=4.5米，DB=4.15米，則小明的跳遠(yuǎn)成績應(yīng)該為______米．【難度】★★【答案】4.15米．【解析】跳遠(yuǎn)成績應(yīng)用算垂直距離，所以D到AB的距離為DB的長度．【總結(jié)】考察點到直線的距離在實際問題中的運用．例4.如圖所示，已知AB、CD相交于O點，OE⊥AB，∠EOC=28°，則∠AOD=_______．【難度】★★【答案】62°．【解析】∵OE⊥AB，∴，即∵∠EOC=28°，∴，∴【總結(jié)】考察垂直的定義、角度的計算．例5.如圖，直線AD和BE相交于O點，OC⊥AD，∠COE=70°，求∠AOB的度數(shù)．【難度】★★【答案】20°【解析】∵OC⊥AD，∴，即∵∠COE=70°，∴，∴【總結(jié)】考察垂直的定義、角度的計算．例6.如圖，已知AB、CD、EF相交于點O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度數(shù)．【難度】★★【答案】28°，118°，59°．【解析】∵∠FOD＝28°，∴∵AB⊥CD，∴，即∴∵，∴∵OG平分∠AOE，∴．【總結(jié)】考察垂直和角平分線的定義、角度的計算，計算時注意角度之間的關(guān)系．例7.已知直線AB、CD、EF相交于點O，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE的度數(shù)．【難度】★★【答案】140°．【解析】∵，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，∴∴【總結(jié)】考察鄰補角、對頂角的定義和性質(zhì)及在角度計算中的運用．例8.如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠AOD－80°，求∠AOE的度數(shù)．【難度】★★★【答案】155°．【解析】∵∠AOC=∠AOD－80°，∴∵，∴∵OE平分∠BOD，∴∴【總結(jié)】考察角平分線、鄰補角、對頂角的定義和角度的計算，本題綜合性較強，計算時注意觀察角度之間的關(guān)系．隨堂檢測1.下列語句中正確的是（ ）A．過直線AB的中點且和AB垂直的直線叫做中垂線B．過線段CD的中點且和CD垂直的直線叫做CD的中垂線C．和直線AB相交且過A點的直線是AB的中垂線D．和線段AB相交且成90度的直線是AB的中垂線【難度】★【答案】B【解析】直線沒有端點，更沒有中點【總結(jié)】考察中垂線的定義．2.下列圖中，∠1與∠2是對頂角的是（ ） A B C D【難度】★【答案】B【解析】考察對頂角的定義3．（2019·上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)南校七年級期中）如圖所示,三條直線AB,CD,EF相交于一點O,則∠AOE+∠DOB+∠COF等于()A．150° B．180° C．210° D．120°【答案】B【解析】解：∵∠DOB=∠AOC，∴∠AOE+∠DOB+∠COF=∠AOE+∠AOC+∠COF=∠EOF=180°．故選B．4.（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)七年級課時練習(xí)）下列說法中：①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等．不正確的有（）A．①② B．②③ C．②④ D．④③【答案】C【分析】根據(jù)對頂角的定義和性質(zhì)，逐一判斷選項，即可得到答案．【詳解】∵對頂角相等，∴①不符合題意，∵如果兩個角相等，那么這兩個角不一定成對頂角關(guān)系，∴②符合題意，∵若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角，∴③不符合題意，∵若兩個角不是對頂角，則這兩個角可能相等也可能不相等，∴④符合題意，選C．【點睛】本題主要考查對頂角的性質(zhì)和定義，掌握對頂角的定義和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．5．（2019·上海市培佳雙語學(xué)校七年級月考）如圖，在中，，，垂足分別為點和點，能表示點到直線距離的是（）A．線段的長度 B．線段的長度C．線段的長度 D．線段的長度【答案】B【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義即可得．【詳解】則由點到直線的距離的定義得：能表示點到直線距離的是線段BH的長度故選：B．【點睛】本題考查了點到直線的距離的定義，掌握理解定義是解題關(guān)鍵．6．（2019·上海市進(jìn)才中學(xué)北校七年級月考）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于O,∠COE=55°,則∠BOD的度數(shù)是（）A．35° B．45° C．30° D．40°【答案】A【分析】先根據(jù)垂直的定義求出∠AOC，然后根據(jù)對頂角相等即可求出∠BOD的度數(shù)．【詳解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠COE=55°，∴∠AOC=90°∠COE=35°，

∴∠BOD=∠AOC=35°．故選：A．【點睛】本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，垂直的定義，根據(jù)圖形找出角的關(guān)系代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可，比較簡單．7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)七年級課時練習(xí)）下列說法中不正確的是（）A．在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點能而且只能畫一條直線與已知直線垂直B．一條線段有無數(shù)條垂線C．在同一平面內(nèi)過射線的端點只能畫一條直線與這條射線垂直D．如果直線AB垂直平分線段CD，那么CD也垂直平分AB【答案】D【分析】根據(jù)垂直公理和垂直平分線的定義逐一判斷即可．【詳解】A．在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點能而且只能畫一條直線與已知直線垂直，故本選項正確；B．一條線段有無數(shù)條垂線，故本選項正確；C．在同一平面內(nèi)過射線的端點只能畫一條直線與這條射線垂直，故本選項正確；D．如果直線AB垂直平分線段CD，因為AB是直線，所以CD不垂直平分AB，故本選項錯誤．故選D．【點睛】此題考查的是垂直公理和垂直平分線的定義，掌握垂直公理和垂直平分線的定義是解決此題的關(guān)鍵．8.（2018·上海七年級零模）已知，∠B與∠A互為鄰補角，且∠B=2∠A，那么∠A為________度．【答案】60【分析】設(shè)，則，然后根據(jù)領(lǐng)補角的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則根據(jù)題意得，，解得：，∴，故答案為：60．【點睛】本題主要考查領(lǐng)補角的定義及一元一次方程的解法，熟練掌握領(lǐng)補角的定義及一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．9．（2018·上海松江區(qū)·七年級期中）如圖，已知，垂足為．若，則_______．【答案】48【分析】先根據(jù)垂直求得的余角的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等即可得出答案．【詳解】故答案為：．【點睛】本題考查了余角、對頂角的計算，熟練掌握余角和對頂角的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2019·上海閔行區(qū)·七年級期中）如圖：直線，相交于點，若，則直線與的夾角度數(shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)是鄰補角以及解出即可．【詳解】∵，又∵∴，∴。則直線與的夾角度數(shù)為．故答案為：【點睛】掌握鄰補角的意義是解題關(guān)鍵．11．（2019·上海七年級單元測試）如圖所示，∠1、∠2、∠3從小到大的順序為_____________．【答案】∠2＜∠3＜∠1.【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)∠1+∠2+60°=180°、∠1+60°+50°=180°、∠1+∠3+50°=180°,求出∠1、∠2、∠3的度數(shù),進(jìn)而得出它們的大小關(guān)系.【詳解】觀察圖形可知:∠1+∠2+60°=180°、∠1+60°+50°=180°、∠1+∠3+50°=180°聯(lián)立上述3三式解得:∠1=70°∠2=50°∠3=60°故可得∠1、∠2、∠3從小到大的順序為:∠2＜∠3＜∠1.【點睛】此題考查平角的定義，解題關(guān)鍵在于利用平角的定義進(jìn)行計算.12．（2019·上海市進(jìn)才中學(xué)北校七年級月考）如圖，直線AB與CD交于O點，，則=_______．【答案】50°【解析】∠3∠1=80°,∠3+∠1=180°,所以∠1=50°,則∠2=50°.13．（2019·上海市松江區(qū)九亭中學(xué)七年級期中）平面內(nèi)經(jīng)過一點且垂直于已知直線的直線共有_______條【答案】1【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過平面內(nèi)一點作已知直線的垂線，這一點有可能在直線上，也可能在直線外，但是無論是這一點在直線上還是在直線外都只能做一條直線與已知直線垂直．【點睛】本題考查垂線的性質(zhì)．熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2019·上海市市西初級中學(xué)七年級期中）如圖，，，則表示點到直線所在直線的距離為線段______的長度．【答案】AD【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義即可得．【詳解】，則表示點到直線所在直線的距離為線段AD的長度故答案為：AD．【點睛】本題考查了點到直線的距離的定義，掌握理解相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．15．（2019·上海浦東新區(qū)·七年級月考）兩條相交直線所成的一個角為140°，則它們的夾角是__________.【答案】40°【分析】根據(jù)兩直線相交的特點，可求出另一個角為，然后即可求得它們的夾角（一般為較小的一個角）.【詳解】另一個角為180°140°=40°，則它們的夾角（一般為較小的一個角）為40°.故答案為40°.16．（2020·上海同濟(jì)大學(xué)實驗學(xué)校七年級期中）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，__________最短.【答案】垂線段試題解析：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.故答案為垂線段.17．（2019·上海市培佳雙語學(xué)校七年級月考）直線、相交于點，，它們的夾角是______度．【答案】50【分析】作出草圖，再根據(jù)鄰補角的和等于180°求解即可．【詳解】解：如圖，∵∠AOD=130°，

∴∠AOC=180°∠AOD=180°130°=50°．故答案為：50．【點睛】本題主要考查了相交線與鄰補角的和等于180°的性質(zhì)，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想更形象直觀，且不容易出錯．18．（2020·上海浦東新區(qū)·七年級期末）如圖，直線AB和CD交于O點，EO⊥CD，∠EOB=50°，則∠AOC=_____．【答案】40°【分析】根據(jù)垂直的性質(zhì)即可求出∠AOC的值．【詳解】∵EO⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠AOC=180°﹣∠BOE﹣∠COE=180°﹣50°﹣90°=40°．故答案為：40°．【點睛】本題考查了垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．19．（2018·上海松江區(qū)·七年級期末）如圖，如果垂足為，，，那么點到的距離為_______．【答案】【分析】根據(jù)AB⊥BC，BC=4，可知點C到AB的距離為4．【詳解】∵AB⊥BC，BC=4，∴可知點C到AB的距離為4，故答案是：4．【點睛】本題運用了點到直線的距離定義，關(guān)鍵是理解好定義．20．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)七年級課時練習(xí)）如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，且∠AOC=90°，∠AOE=140°，（1）直線AB與直線______垂直，記作______；（2）直線AB與直線______斜交，夾角的大小為______；（3）直線_____與直線______夾角的大小為50°．【答案】（1）CD；AB⊥CD；（2）EF；40°；（3）CD；EF【分析】（1）根據(jù)垂直的定義和垂直的寫法即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)斜交的定義和直線夾角的定義即可得出結(jié)論；（3）求出圖中度數(shù)為50°的角即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠AOC=90°，∴直線AB與直線CD垂直，記作AB⊥CD故答案為：CD；AB⊥CD；（2）∵∠AOE=140°∴直線AB與直線EF斜交，夾角∠AOF=180°－140°=40°故答案為：EF；40°；（3）∵AB⊥CD∴∠AOD=90°∵∠AOF=40°∴∠DOF=∠AOD－∠AOF=50°∴直線CD與直線EF夾角的大小為50°故答案為：CD；EF．【點睛】此題考查的是相交線的相關(guān)定義，掌握垂直定義、斜交的定義和兩直線夾角的定義是解決此題的關(guān)鍵．21．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)七年級課時練習(xí)）如圖所示，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠AOD，∠AOE=30°，求∠BOD和∠BOC的度數(shù)．【答案】∠BOD=120°；∠BOC=60°．【分析】根據(jù)角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)與鄰補角的定義，即可求解【詳解】∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠AOE；∵∠AOE=30°，∴∠AOD=60°，∵∠AOD和∠BOC是對頂角，∴∠BOC=60°，∵∠AOD和∠BOD是互補，∴∠BOD=120°．【點睛】本題主要考查角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)與鄰補角的定義，掌握對頂角相等，補角的定義，是解題的關(guān)鍵．22．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)七年級課時練習(xí)）如圖，已知直線a、b相交，∠1=2∠2，求∠1、∠2、∠3、∠4的度數(shù)．【答案】∠1=120°；∠2=60°；∠3=120°；∠4=60°．【分析】根據(jù)鄰補角的定義和對頂角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】∵∠1和∠2互補，∠1=2∠2，∴∠1=120°