第5講鄰補(bǔ)角對(duì)頂角及垂直（講義）

第5講鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角及垂直模塊一：鄰補(bǔ)角的意義和性質(zhì)知識(shí)精講平面上兩條不重合直線的位置關(guān)系 相交：兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)； 平行：兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)．2、鄰補(bǔ)角的意義 兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．3、鄰補(bǔ)角的性質(zhì) 互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．例題解析例1.如圖，三條直線AB、CD、EF相交于一點(diǎn)O，問(wèn)一共可以構(gòu)成多少對(duì)鄰補(bǔ)角，并把他們寫(xiě)出來(lái)．【難度】★【答案】12對(duì)【解析】12對(duì)，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和.【總結(jié)】考察鄰補(bǔ)角的定義．例2.判斷：（1）平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，不是相交就是平行； （ ）（2）平面內(nèi)兩條直線有交點(diǎn)，則這兩條直線相交； （ ）（3）有一條邊是公共邊的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角． （ ）（4）有兩個(gè)角互為補(bǔ)角，并且有一條公共邊，那么他們互為鄰補(bǔ)角．（ ）【難度】★【答案】（1）（2）（3）（4）都是錯(cuò)誤的．【解析】（1）錯(cuò)誤．還有重合．錯(cuò)誤．有一個(gè)交點(diǎn)，則兩直線相交；有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，則兩直線重合．錯(cuò)．兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，這種關(guān)系的兩個(gè)角叫 做互為鄰補(bǔ)角．錯(cuò)誤．另一邊不一定是互為反向延長(zhǎng)線．【總結(jié)】考察直線與直線的位置關(guān)系和鄰補(bǔ)角的定義．例3，如圖，∠AOD的鄰補(bǔ)角是__________．【難度】★【答案】，．【解析】考察鄰補(bǔ)角的定義．例4.如圖，OC平分∠AOB，∠AOD=2∠BOD，∠COD=28°，求∠AOC的大?。倦y度】★★【答案】．【解析】設(shè)，則，∴∵∠AOD=2∠BOD，∴，即【總結(jié)】考察角度之間的關(guān)系計(jì)算．可以用方程思想來(lái)解決這一類(lèi)問(wèn)題．例5.如圖，直線a、b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度數(shù)．【難度】★★【答案】，．【解析】∵與為鄰補(bǔ)角，與為對(duì)頂角，與為鄰補(bǔ)角，∴，．【總結(jié)】考察鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的定義及簡(jiǎn)單的計(jì)算．例6.如圖所示，AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°，求∠BOD，∠AOE的度數(shù)．【難度】★★【答案】∠BOD=120°，∠AOE=30°．【解析】∵和為對(duì)頂角，和為鄰補(bǔ)角，∴，，∵OE平分∠AOD，∴．【總結(jié)】考察鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角、角平分線的定義及在角度計(jì)算中的運(yùn)用．例7.同一平面上的任意三條直線，可以有__________個(gè)交點(diǎn)．【難度】★★★【答案】0或1或2或3【解析】見(jiàn)下圖【總結(jié)】考察圖形的畫(huà)法，注意不同情況的分類(lèi)討論．模塊二：對(duì)頂角的意義和性質(zhì)知識(shí)精講1、對(duì)頂角的意義 兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角．2、對(duì)頂角的性質(zhì) 對(duì)頂角相等．例題解析例1.下列說(shuō)法中，正確的是( )有公共的頂點(diǎn)，且方向相反的兩個(gè)角是對(duì)頂角有公共頂點(diǎn)，且又相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角由兩條直線相交所成的角是對(duì)頂角角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角是對(duì)頂角【難度】★【答案】D【解析】考察對(duì)頂角的定義例2.如圖，三條直線AB、CD、EF相交于一點(diǎn)O，問(wèn)一共可以構(gòu)成多少對(duì)對(duì)頂角，并 把他們寫(xiě)出來(lái)．【難度】★【答案】6對(duì)，見(jiàn)解析．【解析】和，和，和，和，和，和．【總結(jié)】考察對(duì)頂角的定義．例3.判斷：（1）有公共頂點(diǎn)，且度數(shù)相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角．（ ）（2）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角． （ ）【難度】★【答案】（1）（2）都錯(cuò)誤．【解析】（1）錯(cuò)誤，（2）錯(cuò)誤．兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角．【總結(jié)】考察對(duì)頂角的定義．例4.若∠1與∠2是對(duì)頂角，∠3與∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．若∠1與∠2是對(duì)頂角，且∠1與∠2互余，則∠1=__________，∠2=__________．【難度】★★【答案】（1）30°；（2）45°，45°．【解析】（1）∵，，∠3=60°，∴；∵，，∴．【總結(jié)】考察對(duì)頂角的定義和互余的意義．例5.如圖，直線AB、CD交于點(diǎn)O，則（1）若∠1+∠3=68度，則∠1=__________．（2）若∠2：∠3=4：1，則∠2=__________．（3）若∠2∠1=100度，則∠3=__________．【難度】★★【答案】（1）34°；（2）144°；（3）40°．【解析】（1）∵，∠1+∠3=68度，∴；∵，∠2：∠3=4：1，∴；∵，∠2∠1=100度，∴，∴．【總結(jié)】考察鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的性質(zhì)及在角度計(jì)算中的運(yùn)用．例6.如圖（1）所示，兩條直線AB與CD相交成幾對(duì)對(duì)頂角？（2）如圖（2）所示，三條直線AB、CD、EF相交呢？（3）試猜想n條直線相交會(huì)成多少對(duì)對(duì)頂角？【難度】★★★【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）兩條直線AB與CD相交成2對(duì)對(duì)頂角；三條直線AB、CD、EF相交成6對(duì)對(duì)頂角；因?yàn)?條不同直線相交所成的對(duì)頂角有3×2÷2×2=6對(duì)，4條不同直線相交所成的對(duì)頂角有4×3÷2×2=12對(duì)，則可找出規(guī)律得：n條直線相交會(huì)成對(duì)對(duì)頂角．【總結(jié)】考察對(duì)頂角的定義及根據(jù)數(shù)據(jù)特征找出規(guī)律，綜合性較強(qiáng)．模塊三：垂線(段)的意義和性質(zhì)知識(shí)精講1、垂線的意義如果兩條直線的夾角為直角，那么就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．2、垂直的符號(hào)記作：“⊥”，讀作：“垂直于”，如：，讀作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交．垂直公理： 在平面內(nèi)，過(guò)直線上或直線外的一點(diǎn)作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條．簡(jiǎn)記為：過(guò)一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直中垂線 過(guò)線段中點(diǎn)且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡(jiǎn)稱(chēng)中垂線．垂線段的性質(zhì) 聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．點(diǎn)到直線的距離 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離．如果一個(gè)點(diǎn)在直線上，那么就說(shuō)這個(gè)點(diǎn)到直線的距離為零．例題解析例1.判斷：（1）經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直．（ ）（2）兩條直線的交點(diǎn)叫垂足． （ ）（3）線段和射線沒(méi)有垂線． （ ）（4）兩條直線不是平行就是互相垂直． （ ）（5）直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離．（ ）【難度】★【答案】（1）正確；（2）錯(cuò)誤；（3）錯(cuò)誤；（4）錯(cuò)誤；（5）錯(cuò)誤．【解析】（1）正確；（2）錯(cuò)誤，兩條直線垂直時(shí)，交點(diǎn)叫垂足；（3）錯(cuò)誤，任何的射線、線段、直線都有垂線；（4）錯(cuò)誤，還有相交（角度不為90°）；（5）錯(cuò)誤，直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離．【總結(jié)】考察各種概念，注意仔細(xì)辨析．例2.如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，那么點(diǎn)B到線段CD的距離是線段__________的長(zhǎng)度；線段CD的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到線段__________的距離；線段AC是點(diǎn)___________到線段__________的距離．【難度】★【答案】BD；AB；A；CB．【解析】考察點(diǎn)到直線的距離的作法．【總結(jié)】可以利用直尺來(lái)解決距離問(wèn)題．例3.下列選項(xiàng)中，哪個(gè)是直線l的垂線（ ）【難度】★【答案】C【解析】考察垂線的畫(huà)法，注意垂線是一條直線．例4.如圖，，垂足為C，AC=4，BC=3，那么點(diǎn)A與BC的距離為_(kāi)_____．【難度】★【答案】4【解析】點(diǎn)A與BC的距離為AC的長(zhǎng)度．【總結(jié)】考察點(diǎn)到直線的距離．例5.如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OE⊥AB，，則_________．【難度】★★【答案】60°．【解析】∵OE⊥AB，∴，∴∵，∴【總結(jié)】考察垂直的定義和角度的計(jì)算．例6.作圖題：1、已知直線AB和點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C做AB的垂線； 2、作線段MN的中垂線．【難度】★★【答案】虛線為所求．【解析】考察垂線和中垂線的畫(huà)法，注意垂線和中垂線都是直線．．例7.A、B兩廠在公路同側(cè)，擬在公路邊建一貨場(chǎng)C，若由B廠興建，并考慮B廠的利益，則要求貨物離B廠最近，請(qǐng)?jiān)趫D10中作出此時(shí)貨場(chǎng)C的位置，并說(shuō)出這樣做的道理．【難度】★★【答案】過(guò)B作公路的垂線，垂足為C；理由是垂線段最短【解析】考察垂線的畫(huà)法．【總結(jié)】注意總結(jié)距離最短的畫(huà)法．例8.如圖，已知OA⊥OB，OC⊥OD，比大，則的度數(shù)為_(kāi)______．【難度】★★【答案】35°．【解析】∵OA⊥OB，∴，即∵，∴∵OC⊥OD，即，∴．【總結(jié)】考察垂直的定義和角度的計(jì)算．例9.如圖，一棵小樹(shù)生長(zhǎng)時(shí)與地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小樹(shù)在同一條直線上，那么∠2等于多少度?【難度】★★【答案】10°．【解析】∵，，∴．【總結(jié)】考察垂直的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)．例10.如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OB平分∠DOF，∠COF=∠BOD．求∠AOC、∠EOD、∠COE的度數(shù)．【難度】★★【答案】70°，20°，160°．【解析】∵，，∠COF=∠BOD，∴．∴∴，，．【總結(jié)】考察角平分線的定義、角的計(jì)算、對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的定義．例11.如圖，與是鄰補(bǔ)角，OD、OE分別是與的平分線，試判斷OD與OE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【難度】★★★【答案】垂直，理由見(jiàn)解析．【解析】∵與是鄰補(bǔ)角，∴∵OD、OE分別是與的平分線，∴，∴∴，即．【總結(jié)】考察鄰補(bǔ)角和角平分線的定義、角度的計(jì)算，本題可總結(jié)為鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直．模塊四：綜合運(yùn)用例題解析例1.下列結(jié)論不正確的是( )A．互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線所成的角為90°B．相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角C．兩直線相交，若有一個(gè)交角為90°，則這四個(gè)角中任取兩個(gè)角都互為補(bǔ)角D．同角的余角相等【難度】★【答案】B【解析】相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角．【總結(jié)】考察鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的定義．例2.如圖，AB與CD為直線，圖中共有對(duì)頂角( )．A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【難度】★【答案】B【解析】和，和是對(duì)頂角．【總結(jié)】考察對(duì)頂角的定義．例3.如圖，運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲、乙兩名同學(xué)測(cè)得小明的跳遠(yuǎn)成績(jī)分別為DA=4.5米，DB=4.15米，則小明的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為_(kāi)_____米．【難度】★★【答案】4.15米．【解析】跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)用算垂直距離，所以D到AB的距離為DB的長(zhǎng)度．【總結(jié)】考察點(diǎn)到直線的距離在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用．例4.如圖所示，已知AB、CD相交于O點(diǎn)，OE⊥AB，∠EOC=28°，則∠AOD=_______．【難度】★★【答案】62°．【解析】∵OE⊥AB，∴，即∵∠EOC=28°，∴，∴【總結(jié)】考察垂直的定義、角度的計(jì)算．例5.如圖，直線AD和BE相交于O點(diǎn)，OC⊥AD，∠COE=70°，求∠AOB的度數(shù)．【難度】★★【答案】20°【解析】∵OC⊥AD，∴，即∵∠COE=70°，∴，∴【總結(jié)】考察垂直的定義、角度的計(jì)算．例6.如圖，已知AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度數(shù)．【難度】★★【答案】28°，118°，59°．【解析】∵∠FOD＝28°，∴∵AB⊥CD，∴，即∴∵，∴∵OG平分∠AOE，∴．【總結(jié)】考察垂直和角平分線的定義、角度的計(jì)算，計(jì)算時(shí)注意角度之間的關(guān)系．例7.已知直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE的度數(shù)．【難度】★★【答案】140°．【解析】∵，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，∴∴【總結(jié)】考察鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的定義和性質(zhì)及在角度計(jì)算中的運(yùn)用．例8.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠AOD－80°，求∠AOE的度數(shù)．【難度】★★★【答案】155°．【解析】∵∠AOC=∠AOD－80°，∴∵，∴∵OE平分∠BOD，∴∴【總結(jié)】考察角平分線、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的定義和角度的計(jì)算，本題綜合性較強(qiáng)，計(jì)算時(shí)注意觀察角度之間的關(guān)系．隨堂檢測(cè)1.下列語(yǔ)句中正確的是（ ）A．過(guò)直線AB的中點(diǎn)且和AB垂直的直線叫做中垂線B．過(guò)線段CD的中點(diǎn)且和CD垂直的直線叫做CD的中垂線C．和直線AB相交且過(guò)A點(diǎn)的直線是AB的中垂線D．和線段AB相交且成90度的直線是AB的中垂線【難度】★【答案】B【解析】直線沒(méi)有端點(diǎn)，更沒(méi)有中點(diǎn)【總結(jié)】考察中垂線的定義．2.下列圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（ ） A B C D【難度】★【答案】B【解析】考察對(duì)頂角的定義3．（2019·上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)南校七年級(jí)期中）如圖所示,三條直線AB,CD,EF相交于一點(diǎn)O,則∠AOE+∠DOB+∠COF等于()A．150° B．180° C．210° D．120°【答案】B【解析】解：∵∠DOB=∠AOC，∴∠AOE+∠DOB+∠COF=∠AOE+∠AOC+∠COF=∠EOF=180°．故選B．4.（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中：①對(duì)頂角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角；④若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等．不正確的有（）A．①② B．②③ C．②④ D．④③【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義和性質(zhì)，逐一判斷選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】∵對(duì)頂角相等，∴①不符合題意，∵如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角不一定成對(duì)頂角關(guān)系，∴②符合題意，∵若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角，∴③不符合題意，∵若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角可能相等也可能不相等，∴④符合題意，選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角的性質(zhì)和定義，掌握對(duì)頂角的定義和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．5．（2019·上海市培佳雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)月考）如圖，在中，，，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，能表示點(diǎn)到直線距離的是（）A．線段的長(zhǎng)度 B．線段的長(zhǎng)度C．線段的長(zhǎng)度 D．線段的長(zhǎng)度【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可得．【詳解】則由點(diǎn)到直線的距離的定義得：能表示點(diǎn)到直線距離的是線段BH的長(zhǎng)度故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，掌握理解定義是解題關(guān)鍵．6．（2019·上海市進(jìn)才中學(xué)北校七年級(jí)月考）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O,∠COE=55°,則∠BOD的度數(shù)是（）A．35° B．45° C．30° D．40°【答案】A【分析】先根據(jù)垂直的定義求出∠AOC，然后根據(jù)對(duì)頂角相等即可求出∠BOD的度數(shù)．【詳解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠COE=55°，∴∠AOC=90°∠COE=35°，

∴∠BOD=∠AOC=35°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)，垂直的定義，根據(jù)圖形找出角的關(guān)系代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可，比較簡(jiǎn)單．7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中不正確的是（）A．在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)能而且只能畫(huà)一條直線與已知直線垂直B．一條線段有無(wú)數(shù)條垂線C．在同一平面內(nèi)過(guò)射線的端點(diǎn)只能畫(huà)一條直線與這條射線垂直D．如果直線AB垂直平分線段CD，那么CD也垂直平分AB【答案】D【分析】根據(jù)垂直公理和垂直平分線的定義逐一判斷即可．【詳解】A．在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)能而且只能畫(huà)一條直線與已知直線垂直，故本選項(xiàng)正確；B．一條線段有無(wú)數(shù)條垂線，故本選項(xiàng)正確；C．在同一平面內(nèi)過(guò)射線的端點(diǎn)只能畫(huà)一條直線與這條射線垂直，故本選項(xiàng)正確；D．如果直線AB垂直平分線段CD，因?yàn)锳B是直線，所以CD不垂直平分AB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是垂直公理和垂直平分線的定義，掌握垂直公理和垂直平分線的定義是解決此題的關(guān)鍵．8.（2018·上海七年級(jí)零模）已知，∠B與∠A互為鄰補(bǔ)角，且∠B=2∠A，那么∠A為_(kāi)_______度．【答案】60【分析】設(shè)，則，然后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則根據(jù)題意得，，解得：，∴，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題主要考查領(lǐng)補(bǔ)角的定義及一元一次方程的解法，熟練掌握領(lǐng)補(bǔ)角的定義及一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．9．（2018·上海松江區(qū)·七年級(jí)期中）如圖，已知，垂足為．若，則_______．【答案】48【分析】先根據(jù)垂直求得的余角的度數(shù)，再根據(jù)對(duì)頂角相等即可得出答案．【詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了余角、對(duì)頂角的計(jì)算，熟練掌握余角和對(duì)頂角的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2019·上海閔行區(qū)·七年級(jí)期中）如圖：直線，相交于點(diǎn)，若，則直線與的夾角度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)是鄰補(bǔ)角以及解出即可．【詳解】∵，又∵∴，∴。則直線與的夾角度數(shù)為．故答案為：【點(diǎn)睛】掌握鄰補(bǔ)角的意義是解題關(guān)鍵．11．（2019·上海七年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，∠1、∠2、∠3從小到大的順序?yàn)開(kāi)____________．【答案】∠2＜∠3＜∠1.【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)∠1+∠2+60°=180°、∠1+60°+50°=180°、∠1+∠3+50°=180°,求出∠1、∠2、∠3的度數(shù),進(jìn)而得出它們的大小關(guān)系.【詳解】觀察圖形可知:∠1+∠2+60°=180°、∠1+60°+50°=180°、∠1+∠3+50°=180°聯(lián)立上述3三式解得:∠1=70°∠2=50°∠3=60°故可得∠1、∠2、∠3從小到大的順序?yàn)?∠2＜∠3＜∠1.【點(diǎn)睛】此題考查平角的定義，解題關(guān)鍵在于利用平角的定義進(jìn)行計(jì)算.12．（2019·上海市進(jìn)才中學(xué)北校七年級(jí)月考）如圖，直線AB與CD交于O點(diǎn)，，則=_______．【答案】50°【解析】∠3∠1=80°,∠3+∠1=180°,所以∠1=50°,則∠2=50°.13．（2019·上海市松江區(qū)九亭中學(xué)七年級(jí)期中）平面內(nèi)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)且垂直于已知直線的直線共有_______條【答案】1【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作已知直線的垂線，這一點(diǎn)有可能在直線上，也可能在直線外，但是無(wú)論是這一點(diǎn)在直線上還是在直線外都只能做一條直線與已知直線垂直．【點(diǎn)睛】本題考查垂線的性質(zhì)．熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2019·上海市市西初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，，，則表示點(diǎn)到直線所在直線的距離為線段______的長(zhǎng)度．【答案】AD【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可得．【詳解】，則表示點(diǎn)到直線所在直線的距離為線段AD的長(zhǎng)度故答案為：AD．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，掌握理解相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．15．（2019·上海浦東新區(qū)·七年級(jí)月考）兩條相交直線所成的一個(gè)角為140°，則它們的夾角是__________.【答案】40°【分析】根據(jù)兩直線相交的特點(diǎn)，可求出另一個(gè)角為，然后即可求得它們的夾角（一般為較小的一個(gè)角）.【詳解】另一個(gè)角為180°140°=40°，則它們的夾角（一般為較小的一個(gè)角）為40°.故答案為40°.16．（2020·上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，__________最短.【答案】垂線段試題解析：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.故答案為垂線段.17．（2019·上海市培佳雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)月考）直線、相交于點(diǎn)，，它們的夾角是______度．【答案】50【分析】作出草圖，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的和等于180°求解即可．【詳解】解：如圖，∵∠AOD=130°，

∴∠AOC=180°∠AOD=180°130°=50°．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相交線與鄰補(bǔ)角的和等于180°的性質(zhì)，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想更形象直觀，且不容易出錯(cuò)．18．（2020·上海浦東新區(qū)·七年級(jí)期末）如圖，直線AB和CD交于O點(diǎn)，EO⊥CD，∠EOB=50°，則∠AOC=_____．【答案】40°【分析】根據(jù)垂直的性質(zhì)即可求出∠AOC的值．【詳解】∵EO⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠AOC=180°﹣∠BOE﹣∠COE=180°﹣50°﹣90°=40°．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．19．（2018·上海松江區(qū)·七年級(jí)期末）如圖，如果垂足為，，，那么點(diǎn)到的距離為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)AB⊥BC，BC=4，可知點(diǎn)C到AB的距離為4．【詳解】∵AB⊥BC，BC=4，∴可知點(diǎn)C到AB的距離為4，故答案是：4．【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用了點(diǎn)到直線的距離定義，關(guān)鍵是理解好定義．20．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，且∠AOC=90°，∠AOE=140°，（1）直線AB與直線______垂直，記作______；（2）直線AB與直線______斜交，夾角的大小為_(kāi)_____；（3）直線_____與直線______夾角的大小為50°．【答案】（1）CD；AB⊥CD；（2）EF；40°；（3）CD；EF【分析】（1）根據(jù)垂直的定義和垂直的寫(xiě)法即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)斜交的定義和直線夾角的定義即可得出結(jié)論；（3）求出圖中度數(shù)為50°的角即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠AOC=90°，∴直線AB與直線CD垂直，記作AB⊥CD故答案為：CD；AB⊥CD；（2）∵∠AOE=140°∴直線AB與直線EF斜交，夾角∠AOF=180°－140°=40°故答案為：EF；40°；（3）∵AB⊥CD∴∠AOD=90°∵∠AOF=40°∴∠DOF=∠AOD－∠AOF=50°∴直線CD與直線EF夾角的大小為50°故答案為：CD；EF．【點(diǎn)睛】此題考查的是相交線的相關(guān)定義，掌握垂直定義、斜交的定義和兩直線夾角的定義是解決此題的關(guān)鍵．21．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，∠AOE=30°，求∠BOD和∠BOC的度數(shù)．【答案】∠BOD=120°；∠BOC=60°．【分析】根據(jù)角平分線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的定義，即可求解【詳解】∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠AOE；∵∠AOE=30°，∴∠AOD=60°，∵∠AOD和∠BOC是對(duì)頂角，∴∠BOC=60°，∵∠AOD和∠BOD是互補(bǔ)，∴∠BOD=120°．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的定義，掌握對(duì)頂角相等，補(bǔ)角的定義，是解題的關(guān)鍵．22．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直線a、b相交，∠1=2∠2，求∠1、∠2、∠3、∠4的度數(shù)．【答案】∠1=120°；∠2=60°；∠3=120°；∠4=60°．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】∵∠1和∠2互補(bǔ)，∠1=2∠2，∴∠1=120°