第02講思想方法專題：相交線、平行線與平移中的思想方法(原卷版+解析)

第02講思想方法專題：相交線、平行線與平移中的思想方法（原卷版）——明確解題思想，體會便捷渠道典例剖析+針對訓(xùn)練類型一方程思想典例1（2020春?海淀區(qū)校級期末）如圖所示，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2：3：4，求∠α，∠D，∠B的度數(shù)．針對訓(xùn)練11．（2017春?無棣縣期末）如圖所示，直線AB交CD于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠EOD＝4：1，則∠AOF＝．類型二分類討論思想典例2（2021春?廣水市期末）在直線MN上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作射線PA、PB，若PA⊥PB，當(dāng)∠MPA＝55°時(shí)，則∠NPB度數(shù)是．針對訓(xùn)練22．（2021?饒平縣校級模擬）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．150° C．30°或150° D．90°

類型三(轉(zhuǎn)化思想)利用平移進(jìn)行轉(zhuǎn)化求圖形的周長或面積典例3（2022春?潮南區(qū)期中）如圖，直角三角形ABC的周長為100，在其內(nèi)部有6個(gè)小直角三角形，則6個(gè)小直角三角形的周長之和為．典例4（2019春?興化市期中）如圖，將直徑為3cm的圓O1向右平移5cm到圓O2，則圖中陰影部分面積為cm2．針對訓(xùn)練33．（2017春?嘉祥縣期末）如圖，邊長為8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此時(shí)陰影部分的面積為．

類型四從特殊到一般的思想典例5（2020春?溧水區(qū)期中）已知AB∥CD，試解決下列問題：（1）如圖1所示，∠1+∠2＝．（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？請說明理由．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝．（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．針對訓(xùn)練44．（2021春?西平縣期末）已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)．（2）如圖2中，∠ABM=13∠ABF，∠CDM=13∠CDF，寫出∠（3）若∠ABM=1n∠ABF，∠CDM=1n∠CDF，設(shè)∠E＝m°，直接用含有n，m°的代數(shù)式表示寫出∠M＝

專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2021春?高州市期中）同一平面內(nèi)的三條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（）A．0或3 B．1或2或3 C．0或1或2 D．0或1或2或32．（2017春?蔡甸區(qū)校級月考）如圖1，三條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，則圖中同旁內(nèi)角有對；如圖2，四條直線兩兩相交，任三條直線不經(jīng)過同一點(diǎn)，則圖中的同旁內(nèi)角有對．3．（2017春?啟東市期末）如圖，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，BD平分∠EBC．（1）若∠DBC＝30°，求∠A的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F在線段AE上，且7∠DBC﹣2∠ABF＝180°，請問圖中是否存在與∠DFB相等的角？若存在，請寫出這個(gè)角，并說明理由；若不存在，請說明理由．4．（2019春?農(nóng)安縣期末）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，△ABC沿AB方向平移至△DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm．（1）求△ABC沿AB方向平移的距離；（2）求四邊形AEFC的周長．第02講思想方法專題：相交線、平行線與平移中的思想方法（解析版）——明確解題思想，體會便捷渠道典例剖析+針對訓(xùn)練類型一方程思想典例1（2020春?海淀區(qū)校級期末）如圖所示，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2：3：4，求∠α，∠D，∠B的度數(shù)．思路引領(lǐng)：由條件可得∠1+∠D＝180°，∠2+∠B＝180°，可分別表示出∠1和∠2，再結(jié)合條件可求得∠1、∠2，∠α，進(jìn)一步可求得∠B和∠D．解：∵FC∥AB∥DE，∴∠1+∠D＝180°，∠2+∠B＝180°，∴∠1＝180°﹣∠D，∠2＝∠180°﹣∠B，∵∠1+∠2+∠α＝180°，∴180°﹣∠D+180°﹣∠B+∠α＝180°，即∠D+∠B﹣∠α＝180°，又∠α：∠D：∠B＝2：3：4，可設(shè)∠α＝2x°，∠D＝3x°，∠B＝4x°，∴3x+4x﹣2x＝180，解得x＝36，∴∠α＝2x°＝72°，∠D＝3x°＝108°，∠B＝144°．解題秘籍：本題主要考查平行線性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行，④a∥b，b∥c?a∥c．針對訓(xùn)練11．（2017春?無棣縣期末）如圖所示，直線AB交CD于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠EOD＝4：1，則∠AOF＝．思路引領(lǐng)：先設(shè)出∠BOE＝α，再表示出∠DOE＝α∠AOD＝4α，建立方程求出α，最用利用對頂角，以及角之間的和差即可．解：設(shè)∠BOE＝α，∵∠AOD：∠BOE＝4：1，∴∠AOD＝4α，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝α∴∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°，∴4α+α+α＝180°，∴α＝30°，∴∠AOD＝4α＝120°，∴∠BOC＝∠AOD＝120°，∵OF平分∠COB，∴∠COF=12∠∵∠AOC＝∠BOD＝2α＝60°，∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝120°．故答案為：120°．解題秘籍：此題考查了對頂角，鄰補(bǔ)角，角平分線的意義，解本題的關(guān)鍵是找到角與角之間的關(guān)系，用方程的思想解決幾何問題是初中階段常用的方法．類型二分類討論思想典例2（2021春?廣水市期末）在直線MN上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作射線PA、PB，若PA⊥PB，當(dāng)∠MPA＝55°時(shí)，則∠NPB度數(shù)是．思路引領(lǐng)：分兩種情況：①射線PA，PB在直線MN的同側(cè)，②射線PA，PB在直線MN的異側(cè)，根據(jù)垂直的定義和平角的定義解答即可．解：①如圖1，∵PA⊥PB，∠MPA＝55°，∴∠NPB＝180°﹣90°﹣55°＝35°；②如圖2，∵PA⊥PB，∠MPA＝55°，∴∠MPB＝35°，∴∠NPB＝180°﹣35°＝145°，綜上所述：∠NPB的度數(shù)是35°或145°．故答案為：35°或145°．解題秘籍：本題考查了垂線，平角的定義，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練22．（2021?饒平縣校級模擬）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．150° C．30°或150° D．90°思路引領(lǐng)：根據(jù)垂直關(guān)系知∠AOC＝90°，由∠AOB：∠AOC＝2：3，可求∠AOB，根據(jù)∠AOB與∠AOC的位置關(guān)系，分類求解．解：∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，∵∠AOB：∠AOC＝2：3，∴∠AOB＝60°．因?yàn)椤螦OB的位置有兩種：一種是在∠AOC內(nèi)，一種是在∠AOC外．①當(dāng)在∠AOC內(nèi)時(shí)，∠BOC＝90°﹣60°＝30°；②當(dāng)在∠AOC外時(shí)，∠B′OC＝90°+60°＝150°．故選：C．解題秘籍：此題主要考查了垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，即兩條直線互相垂直．同時(shí)做這類題時(shí)一定要結(jié)合圖形．類型三(轉(zhuǎn)化思想)利用平移進(jìn)行轉(zhuǎn)化求圖形的周長或面積典例3（2022春?潮南區(qū)期中）如圖，直角三角形ABC的周長為100，在其內(nèi)部有6個(gè)小直角三角形，則6個(gè)小直角三角形的周長之和為．思路引領(lǐng)：根據(jù)平移的性質(zhì)判斷出6個(gè)小直角三角形的周長之和＝Rt△AOB的周長，從而得解．解：由平移的性質(zhì)，6個(gè)小直角三角形較長的直角邊平移后等于BC邊，較短的直角邊平移后等于AC邊，斜邊之和等于AB邊長，所以，6個(gè)小直角三角形的周長之和＝Rt△ABC的周長，∵直角三角形ABC的周長為100，∴6個(gè)小直角三角形的周長之和為100．故答案為：100．解題秘籍：本題考查生活中的平移現(xiàn)象，平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．典例4（2019春?興化市期中）如圖，將直徑為3cm的圓O1向右平移5cm到圓O2，則圖中陰影部分面積為cm2．思路引領(lǐng)：根據(jù)平移的性質(zhì)得到圖中陰影部分面積＝矩形ABCD的面積，根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算即可．解：由平移的性質(zhì)可知，圖中陰影部分面積＝矩形ABCD的面積＝3×5＝15（cm2）故答案為：15．解題秘籍：本題考查的是扇形面積計(jì)算、平移的性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)得到陰影部分面積＝矩形ABCD的面積是解題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練33．（2017春?嘉祥縣期末）如圖，邊長為8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此時(shí)陰影部分的面積為．思路引領(lǐng)：陰影部分為長方形，根據(jù)平移的性質(zhì)可得陰影部分是長為6，寬為4，讓長乘寬即為陰影部分的面積．解：∵邊長為8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，∴陰影部分的長為8﹣4＝4m，∵向右平移2cm，∴陰影部分的寬為8﹣2＝6cm，∴陰影部分的面積為6×4＝24cm2．故答案為：24cm2．解題秘籍：考查了平移的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用平移的性質(zhì)得到陰影部分的邊長．類型四從特殊到一般的思想典例5（2020春?溧水區(qū)期中）已知AB∥CD，試解決下列問題：（1）如圖1所示，∠1+∠2＝．（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？請說明理由．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝．（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．思路引領(lǐng)：（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案；（2）過點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；（3）過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類比可得答案．解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：180°；（2）如圖2，過點(diǎn)E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）如圖3，過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）×180°，故答案為：（n﹣1）×180°．解題秘籍：此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練44．（2021春?西平縣期末）已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)．（2）如圖2中，∠ABM=13∠ABF，∠CDM=13∠CDF，寫出∠（3）若∠ABM=1n∠ABF，∠CDM=1n∠CDF，設(shè)∠E＝m°，直接用含有n，m°的代數(shù)式表示寫出∠M＝思路引領(lǐng)：（1）首先作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE＝280°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF＝140°，從而得到∠BFD的度數(shù)；（2）先由已知得到∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠E，∠M＝∠ABM+∠CDM，等量代換，即可；（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠E＝360°，將∠E＝m°代入可得∠M=360°?m°解：（1）作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠CDE＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE＝360°∵∠BED＝∠BEG+∠DEG＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∵∠ABE和∠CDE的角平分線相交于E，∴∠ABF+∠CDF＝140°，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝140°；（2）∵∠ABM=13∠ABF，∠CDM=1∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM，∵∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F，∴∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠E＝360°，∵∠M＝∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E＝360°．（3）由（2）結(jié)論可得，2n∠ABM+2n∠CDM+∠E＝360°，∠M＝∠ABM+∠CDM，解得：∠M=360°?m°故答案為：∠M=解題秘籍：本題主要考查了平行線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，關(guān)鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)．專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2021春?高州市期中）同一平面內(nèi)的三條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（）A．0或3 B．1或2或3 C．0或1或2 D．0或1或2或3思路引領(lǐng)：根據(jù)兩直線平行和相交的定義作出圖形即可得解．解：如圖，三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是0或1或2或3．故選：D．解題秘籍：本題考查了直線相交的問題，難點(diǎn)在于考慮到直線的所有位置關(guān)系和交點(diǎn)的分布情況，作出圖形是解答此題的關(guān)鍵．2．（2017春?蔡甸區(qū)校級月考）如圖1，三條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，則圖中同旁內(nèi)角有對；如圖2，四條直線兩兩相交，任三條直線不經(jīng)過同一點(diǎn)，則圖中的同旁內(nèi)角有對．思路引領(lǐng)：如圖1，按兩條直線被第三條直線所截，得出同旁內(nèi)角的對數(shù)，發(fā)現(xiàn)可以形成6對同旁內(nèi)角；如圖2，根據(jù)總結(jié)出的結(jié)論得出．解：如圖1，直線EF與直線AB被直線CD所截時(shí)，所構(gòu)成的同旁內(nèi)角有：∠1與∠2，∠2與∠3，同理，每一條直線作截線時(shí)，都有兩對同旁內(nèi)角，所以一共有6對同旁內(nèi)角；如圖2，不交于同一點(diǎn)的四條直線兩兩相交，設(shè)這四條直線分別為a、b、c、d，可以分為：①a、b、c；②a、b、d；③a、c、d；④b、c、d，每三條直線都構(gòu)成了6對同旁內(nèi)角，所以這四組線中一共有24對同旁內(nèi)角；故答案為：6，24．解題秘籍：本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．3．（2017春?啟東市期末）如圖，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，BD平分∠EBC．（1）若∠DBC＝30°，求∠A的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F在線段AE上，且7∠DBC﹣2∠ABF＝180°，請問圖中是否存在與∠DFB相等的角？若存在，請寫出這個(gè)角，并說明理由；若不存在，請說明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠EBC＝2∠DBC＝60°，∠ABC＝2∠EBC＝120°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A+∠ABC＝180°，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)∠DBC＝x°，則∠ABC＝2∠ABE＝（4x）°，根據(jù)已知條件得到∠ABF＝（72x﹣90）°，求得∠DBF＝（90?12x）°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DFB+∠CBF＝180°，于是得到∠DFB＝（90解：（1）∵BD平分∠EBC，∠DBC＝30°，∴∠EBC＝2∠DBC＝60°，∵BE平分∠