數(shù)學(xué)三同步訓(xùn)練：數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（附答案）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征1．某班一次語文測(cè)驗(yàn)的成績(jī)?nèi)缦拢旱?00分的3人，得95分的5人,得90分的6人，得80分的2人,70分的16人，60分的5人,則該班這次語文測(cè)驗(yàn)的眾數(shù)是（）A．70分B．80分C．16人D．10人2．一組數(shù)據(jù)為168,170,165,172，180,163,169,176,148,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．168B．169C．168。5D．1703．已知容量為40的樣本方差s2＝4，則其標(biāo)準(zhǔn)差s等于（)A．4B．3C．2D。eq\r（2)4．已知下列一組數(shù)據(jù)：10208040309050405040試分別求出該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．答案:1．A眾數(shù)即出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．由題意知，該班這次語文測(cè)驗(yàn)的眾數(shù)是70分．故選A.2．B將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序依次排列,處在中間位置的一個(gè)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）即為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù),所以169是所求的中位數(shù)．3．Cs＝eq\r(s2)＝2.4．解：將數(shù)據(jù)由小到大排列得:10203040404050508090在上面數(shù)據(jù)中，40出現(xiàn)了3次，是出現(xiàn)次數(shù)最多的,所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為40；最中間的兩個(gè)數(shù)均為40,所以中位數(shù)為40;平均數(shù)eq\x\to（x)＝eq\f（1，10）（10＋20＋30＋40＋40＋40＋50＋50＋80＋90）＝45.1．下列說法錯(cuò)誤的是(）A．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)不可能是同一個(gè)數(shù)B．極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量C．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)既不可能大于，也不可能小于這組數(shù)據(jù)中的所有數(shù)據(jù)D．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)2．期中考試結(jié)束以后，班長(zhǎng)算出了全班40個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為M，若把M當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù),與原來的40個(gè)分?jǐn)?shù)一起，算出這41個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為N,則eq\f(M,N)等于(）A。eq\f（40,41)B．1C.eq\f（41，40)D．23．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人,得95分的有1人，得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人，則該小組數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為…()A．85,85,85B．87，85,86C．87，85,85D．87，85,904．5個(gè)數(shù)1,2，3,4，a的平均數(shù)是3，則a＝______，這5個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是________．5．在一次歌手大獎(jiǎng)賽中，6位評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)給每位歌手打分，然后去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，其余分?jǐn)?shù)的平均數(shù)作為該歌手的成績(jī)．已知6位評(píng)委給某位歌手的打分是:9．29。59.49.69。89.5求這位歌手的得分及6位評(píng)委評(píng)分的眾數(shù)和中位數(shù)．6．從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射擊比賽，對(duì)他們的射擊水平進(jìn)行了測(cè)試,兩人在相同條件下各射擊10次,命中的環(huán)數(shù)如下：甲59107478686乙6867795787(1）計(jì)算甲、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）比較兩人的成績(jī)，然后決定選擇哪一人參賽．答案：1．A一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)可能是同一個(gè)數(shù)，例如數(shù)據(jù)10,11,11,11，11，11，12的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)都是11。故A錯(cuò)．2．B由題意知，全班總分?jǐn)?shù)為40M,若把M看成一個(gè)分?jǐn)?shù)，則總分為41M，平均分為：eq\f(41M，41)＝M，也即M＝N.3．C眾數(shù)、中位數(shù)都是85，平均數(shù)為eq\x\to（x）＝eq\f(1,10)×(100＋95＋90×2＋85×4＋80×1＋75×1)＝87.∴選C.4．5eq\r(2)∵eq\f（1，5）（1＋2＋3＋4＋a)＝3，∴a＝5?！鄐＝eq\r(\f(1,5)［（1－3）2＋(2－3）2＋（3－3)2＋（4－3)2＋（5－3）2)]＝eq\r(2)。5．解：(1)該歌手得分為eq\x\to(x′)＝eq\f(1,4)(9.5＋9。4＋9.5＋9.6）＝9.5.(2）9.5在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)2次，出現(xiàn)次數(shù)最多，故打分的眾數(shù)是9.5.(3)將這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列后最中間的兩個(gè)數(shù)都是9.5，故中位數(shù)是9。5。6．解：(1）計(jì)算得eq\x\to(x）甲＝7，eq\x\to（x)乙＝7；s甲≈1。73，s乙≈1。10。(2）由(1）可知，甲、乙的平均成績(jī)相等，但s乙＜s甲，這表明乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定一些．從成績(jī)的穩(wěn)定性考慮，選擇乙參賽．1．某工廠有10名工人，他們某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14，10，15,17，17,16,14，12。設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b，眾數(shù)為c,則有…（）A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a答案：Da＝eq\f（1,10)(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7；將這10個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)椋?0，12，14,14，15,15，16,17,17，17.從而b＝eq\f（1,2）（15＋15)＝15，c＝17，∴a＜b＜c。2．一組數(shù)據(jù)的方差為s2，將這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大3倍，所得到的一組數(shù)據(jù)的方差是（)A。eq\f（1,3)s2B．s2C．3s2D．9s2答案：D當(dāng)每個(gè)數(shù)據(jù)乘以或除以一個(gè)常數(shù)a，則所得的方差是原來方差的a2倍或eq\f（1,a2）倍．3．?dāng)?shù)據(jù)101，98，102,100,99的標(biāo)準(zhǔn)差為（)A.eq\r(2）B．0C．1D．2答案：A它們的平均數(shù)eq\x\to（x)＝eq\f(1,5)（101＋98＋102＋100＋99)＝100，方差s2＝eq\f（1，5)［（101－100）2＋（98－100)2＋（102－100)2＋(100－100）2＋(99－100)2］＝2，∴s＝eq\r（2）.4。一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去80，得到一組新數(shù)據(jù),若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1。2,方差是4。4,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是(）A．81.2，4。4B．78。8,4。4C．81。2,84。4D．78。8,75.6答案：A設(shè)這組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn,都減去80后得到的新數(shù)據(jù)為x1′，x2′，…,xn′，則eq\f(x1′＋x2′＋…＋xn′,n）＝1.2，∴eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n）＝eq\f(x1′＋x2′＋…＋xn′,n）＋80＝81。2.又方差是反映數(shù)據(jù)離散程度的，故各數(shù)據(jù)減去(或加上）同一數(shù)據(jù)后，方差的大小不變．∴選A。5．為了科學(xué)地比較考試的成績(jī)，有些選拔性考試常常會(huì)將考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分，轉(zhuǎn)化關(guān)系為:Z＝eq\f(x－\x\to（x）,s）（其中x是某位學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)，eq\x\to（x)是該次考試的平均分,s是該次考試的標(biāo)準(zhǔn)差,Z稱為這位學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)分)．轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分后可能出現(xiàn)小數(shù)和負(fù)值，因此，又常常再將Z分?jǐn)?shù)作線性變換轉(zhuǎn)化成其他分?jǐn)?shù)．例如某次學(xué)業(yè)選拔考試采用的是T分?jǐn)?shù)，線性變換分式是：T＝40Z＋60.已知在這次考試中某位考生的考試分?jǐn)?shù)是85，這次考試的平均分是70，標(biāo)準(zhǔn)差是25，則該考生的T分?jǐn)?shù)為________．答案：84T＝40Z＋60＝40·eq\f（x－\x\to（x)，s)＋60＝40×eq\f(85－70，25）＋60＝84。6．（易錯(cuò)題)為迎接2008年北京奧運(yùn)會(huì),甲、乙、丙、丁四人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績(jī)和方差見表(1)．表(1)甲乙丙丁平均數(shù)eq\x\to(x)8。58。88.88方差s23.53.52。18。7則參加奧運(yùn)會(huì)的最佳人選應(yīng)為____________．答案：丙平均數(shù)說明水平的高低，越大水平越高;方差說明技術(shù)的穩(wěn)定性．∵乙、丙的平均數(shù)相等且最大，又seq\o\al（2,乙)＞seq\o\al（2,丙)，∴丙穩(wěn)定．點(diǎn)評(píng)：平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，方差則反映了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散程度．在平均數(shù)相同的前提下，方差越小,即離散程度越小，表明數(shù)據(jù)的集中穩(wěn)定程度越高；反之方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定．若忽視這一點(diǎn),會(huì)導(dǎo)致解題失誤，切記此規(guī)律并弄清概念內(nèi)涵是解題的關(guān)鍵．7．在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆撼煽?jī)(單位：m)1.501。601.651。701.751.801.851。90人數(shù)23234111則運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)為、中位數(shù)為、平均數(shù)為（平均數(shù)的計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位)．答案：1.75m1.70m1。69m1.75m出現(xiàn)次數(shù)最多，是4次，∴眾數(shù)為1。75m；17名運(yùn)動(dòng)員中間一位是第9名,所以中位數(shù)為1。70m；平均數(shù)為eq\x\to（x)＝eq\f（1,17)（1。5×2＋1.6×3＋1.65×2＋1.7×3＋1。75×4＋1。8×1＋1.85×1＋1。9×1）≈1。69m。8．已知樣本9，10，11，x,y的平均數(shù)是10,標(biāo)準(zhǔn)差是eq\r(2），則xy＝______。答案:96由已知得，平均數(shù)為eq\f(1，5)(9＋10＋11＋x＋y)＝10，∴x＋y＝20.方差為eq\f(1，5）[(9－10)2＋(10－10)2＋（11－10）2＋（x－10)2＋（y－10）2］＝2，∴（x－10）2＋(y－10)2＝8。把x＋y＝20代入得x＝12，y＝8或x＝8，y＝12.∴xy＝12×8＝96。9．對(duì)甲、乙兩個(gè)人的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測(cè)值如下:甲6080709070乙8060708075問：甲、乙誰的平均成績(jī)更好？誰的各門功課發(fā)展較平衡?解：eq\x\to（x)甲＝eq\f（1,5）(60＋80＋70＋90＋70)＝74；eq\x\to(x）乙＝eq\f（1，5)（80＋60＋70＋80＋75)＝73.seq\o\al(2，甲)＝eq\f(1，5）[(60－74)2＋（80－74）2＋(70－74)2＋(90－74)2＋（70－74)2］＝eq\f（1,5）（142＋62＋42＋162＋42）＝104；seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1，5)[(80－73）2＋（60－73）2＋（70－73）2＋(80－73）2＋（75－73）2］＝eq\f(1，5)（72＋132＋32＋72＋22)＝56?！嗉椎钠骄煽?jī)較好，乙的各門功課發(fā)展較平衡．10．某工廠有經(jīng)理1人,另有6個(gè)管理人員，5個(gè)高級(jí)技工,10個(gè)工人和1個(gè)學(xué)徒．現(xiàn)在需要增加一名新工人，小張前來應(yīng)征，經(jīng)理說:“我公司報(bào)酬不錯(cuò),平均工資每周300元．”小張工作幾天后找到經(jīng)理說:“你欺騙了我，我問過其他工人，沒有一個(gè)工人的周工資超過200元,平均工資怎么可能是300元呢？”經(jīng)理拿出如下的工資表說:“你看，平均工資就是300元．”人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒合計(jì)周工資2200250220200100人數(shù)16510123合計(jì)220015