數(shù)學(xué)例題與探究：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講【例1】一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球,所有這些小球的顏色互不相同。(1）從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法?（2）從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球,有多少種不同的取法？思路分析：欲完成從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球這件事，可有兩類辦法，或從第一個(gè)口袋取或從第二個(gè)口袋取，都能完成這件事，所以題（1）可用分類加法計(jì)數(shù)原理來(lái)解;欲完成從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球這件事，需分兩個(gè)步驟，第一步從第一個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球,第二步從第二個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，兩個(gè)步驟都完成了這件事就解決了，因此題（2）可用分步乘法計(jì)數(shù)原理來(lái)解。解：（1）從兩個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，有兩類辦法：第一類辦法是從第一個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，可以從5個(gè)小球中任取1個(gè)，有5種方法;第二類辦法是從第二個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，可以從4個(gè)小球中任取1個(gè)，有4種方法。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，得到不同的取法種數(shù)是N=m1+m2=5+4=9。所以從兩個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，有9種不同的取法.（2）從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，可以分成兩個(gè)步驟來(lái)完成:第一步是從第一個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球，有5種方法；第二步是從第二個(gè)口袋內(nèi)任取1個(gè)小球,有4種方法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到不同的取法的種數(shù)是N=m1×m2=5×4=20。所以從兩個(gè)口袋內(nèi)各取1個(gè)小球，有20種不同的取法.綠色通道：在用兩個(gè)原理解決問題時(shí),一定要分清完成這件事,是有n類辦法還是需分成n個(gè)步驟,而判斷“分步”還是“分類"，主要是看作一次能否完成整個(gè)事件，這是問題的實(shí)質(zhì)所在。應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理必須要求各類的每一種方法都能完成這件事。應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理則需要各步均是完成這件事必須經(jīng)過的若干彼此相關(guān)聯(lián)的步驟.變式訓(xùn)練1在夏季，一個(gè)女孩有紅、綠、黃、白4件上衣，紅、綠、黃、白、黑5條裙子,3雙不同鞋子，3雙不同絲襪，這位女孩夏季某一天去學(xué)校上學(xué),有多少種不同的穿法？思路解析：此題在于完成穿衣這一件事：需分4個(gè)步驟：穿上衣、裙子、絲襪和鞋子才能完成整件事，其中各個(gè)步驟互不干擾又不可或缺。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,得到不同的穿法的種數(shù)為4×5×3×3=180.答案：180.變式訓(xùn)練2有不同的中文書7本，不同的英文書5本,不同的法文書3本，若從中選出不屬于同一種文字的2本書,共有多少種選法？思路解析:先用分步乘法計(jì)數(shù)原理，后用分類加法計(jì)數(shù)原理.選中文、英文書各一本有7×5=35種選法，選中文、法文書各一本有7×3=21種選法,選英文、法文書各一本有5×3=15種選法，所以總共有35+21+15=71種不同的選法。答案：71?！纠?】有四位同學(xué)參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽.(1)每位學(xué)生必須參加且只能參加一項(xiàng)競(jìng)賽，有多少種不同結(jié)果?(2）每項(xiàng)競(jìng)賽只許一位學(xué)生參加，有多少種不同結(jié)果？思路解析:(1)學(xué)生可以選擇競(jìng)賽項(xiàng)目，而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)于學(xué)生無(wú)條件限制，所以每位學(xué)生均有3個(gè)不同的機(jī)會(huì).要完成這件事必須是每位學(xué)生參加的競(jìng)賽全部確定下來(lái)才行，因此需分四步。而每位學(xué)生均有3個(gè)不同機(jī)會(huì)，所以用分步乘法計(jì)數(shù)原理。(2）競(jìng)賽項(xiàng)目可挑選學(xué)生,而學(xué)生無(wú)選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì)，每一個(gè)項(xiàng)目可挑選4個(gè)不同學(xué)生中的一個(gè)。要完成這件事必須是每項(xiàng)競(jìng)賽所參加的學(xué)生全部確定下來(lái)才行，因此需分三步，用分步乘法計(jì)數(shù)原理.解：(1)3×3×3×3=34=81種.(2）4×4×4=43=64種.黑色陷阱：解答此題，先考慮學(xué)生問題還是競(jìng)賽問題才能很好地完成這件事,易把兩問結(jié)果混淆;另外，每位學(xué)生選定競(jìng)賽或每項(xiàng)競(jìng)賽選定學(xué)生這一做法對(duì)完成整個(gè)事件的影響理解錯(cuò)誤導(dǎo)致原理弄錯(cuò),其原因是對(duì)題意理解不清，對(duì)事情完成的方式有錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).變式訓(xùn)練1火車上有十名乘客，沿途有五個(gè)車站，乘客下車的可能方式有多少種？思路解析：本題應(yīng)以“乘客”來(lái)考慮：十名乘客下車可看作十步，每人下車有5種方式，十名乘客不同下車方式有510種。答案:510種。變式訓(xùn)練2有4種不同溶液倒入5只不同的量杯，如果溶液足夠多,每只量杯只能倒入一種溶液,有幾種不同倒法?思路解析：由于5只不同的量杯都要倒進(jìn)一種溶液(溶液足夠多），量杯不能空置,故以“量杯”來(lái)考慮：5只不同的量杯各倒進(jìn)一種溶液可看作5步，每個(gè)量杯都有4種溶液可供選擇，由此可得倒法數(shù)為45=1024。答案：1024種.【例3】甲、乙、丙、丁4個(gè)人各寫1張賀卡，放在一起，再各取1張不是自己所寫的賀卡，共有多少種不同取法？思路分析:方法一：排出所有的分配方案。甲取得乙卡,分配方案如下表：此時(shí)乙有甲、丙、丁3種取法，若乙取甲,則丙取丁、丁取丙，故有3種分配方案;(2)甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取賀卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲;（3）甲取得丁卡,分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取賀卡如下：丁甲乙丙,丁丙甲乙，丁丙乙甲。由加法原理,共有3+3+3=9種.方法二：排除法。先求4個(gè)人各取1張賀卡的總方法，再去掉不合題意的取法.不合題意的取法包括：有3個(gè)人都取自己寫的賀卡;有2個(gè)人取自己寫的賀卡,另2個(gè)人不取自己所寫的賀卡；有1個(gè)人取自己寫的賀卡，另3個(gè)人不取自己所寫的賀卡.方法三:分步法.第一步，甲取1張不是自己所寫的賀卡，有3種取法；第二步，由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步，由剩余兩人中任一人取，此時(shí)只有1種取法；第四步，最后1個(gè)人取，只有1種取法。由乘法原理,共有3×3×1×1=9種。解法一:根據(jù)分析,由加法原理，共有3+3+3=9種.解法二：4個(gè)人各取1張賀卡。甲先取1張賀卡有4種方法，乙再取1張賀卡有3種方法，然后丙取1張賀卡有2種方法,最后丁僅有1種方法.由乘法原理，4個(gè)人各取1張賀卡共有4×3×2×1=24種。3個(gè)人都取自己寫的賀卡只有1種方法;2個(gè)人取自己寫的賀卡,另2個(gè)人不取自己寫的賀卡方法有6種（即從4個(gè)人中選出取自己所寫的賀卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙?。?；1個(gè)人取自己寫的賀卡,另3個(gè)人不取自己所寫的賀卡方法有8種。（從4個(gè)人中選出自己寫的賀卡的1個(gè)人有4種方法，而3個(gè)人都不取自己寫的賀卡的方法有2種方法，如下表)因此，4個(gè)人都不取自己所寫賀卡的取法有24—（1+6+8）=9種。解法三:根據(jù)分析,由乘法原理，共有3×3×1×1=9種.黑色陷阱：（1）方法二中容易多減一項(xiàng)4個(gè)人都取自己所寫賀卡的取法,原因在于4個(gè)人都取自己所寫賀卡與3個(gè)人都取自己所寫賀卡是同一種情況。（2）方法一與方法三中若甲先取乙卡，第二步由乙取，有3種取法，若由丙、丁中1人先取,就會(huì)誤入歧途，很難斷定有兩種還是3種取法。變式訓(xùn)練1甲、乙、丙、丁4個(gè)人各寫1張賀卡，放在一起，各取1張，其中甲、乙、丙不能取自己所寫的賀卡，共有多少種不同取法?思路解析：分類法：第一類，丁取自己所寫的賀卡，則甲、乙、丙不能取自己所寫的賀卡只有2種方法。（分配如下表）第二類，丁不取自己所寫的賀卡,有3種方法，甲、乙、丙不能取自己所寫的賀卡只有3種方法,這時(shí)由乘法原理可得9種方法。（此時(shí)就是例3的情形)綜合上述兩類，有加法原理可得共有2+3×3=11種。答案:11。變式訓(xùn)練2設(shè)有編號(hào)①，②，③，④，⑤的5個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)盒子，現(xiàn)將這5個(gè)球投入這5個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)投入一個(gè)球，并且恰好有2個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法總數(shù)為多少？思路解析:由題意知需保證只有2個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,另外3個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)全不相同，這樣先在5個(gè)球中任選2個(gè)球投放到恰好編號(hào)相同的盒子內(nèi)，有10種選法（①②；①③；①④；①⑤；②③；②④；②⑤；③④；③⑤；④⑤）；剩下3個(gè)球不能投放到與之編號(hào)相同的盒子內(nèi)只有2種方法.（不失一般性，不妨設(shè)它們的編號(hào)為③、④、⑤分配如下）故共有投放方法為10×2=20種.答案:20。問題探究問題1：隨著人民生活水平的提高，“家庭理財(cái)"已經(jīng)成為普通家庭一個(gè)關(guān)注的問題.李明大學(xué)畢業(yè)參加工作后,從每月工資中節(jié)余一筆錢，他打算從人民幣定期儲(chǔ)蓄和購(gòu)買國(guó)債兩種方式中選擇一種來(lái)投資.人民幣儲(chǔ)蓄可以從一年期、二年期兩種中選擇一種，購(gòu)買國(guó)債則可從一年期、二年期和三年期三種中選擇一種。問:李明一共有多少種不同的理財(cái)方式？導(dǎo)思:李明共有兩類不同形式的選擇:第一類,從一年期和二年期兩種人民幣定期儲(chǔ)蓄中任意選擇一種投資方法；第二類,從一年期、二年期和三年期三種國(guó)債中任意選擇一種投資方法。以上任選一種方法都能達(dá)到理財(cái)?shù)哪康?因此，李明的不同選擇共有2+3＝5種.探究:分類是指做一件事,完成它可以有幾類方案，這是對(duì)完成這件事的所有方法的一個(gè)分類.分類時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類;其次分類時(shí)要注意滿足兩條基本原則：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，分屬于不同類的方法是不同的方法.問題2：由于李明工資水平逐步提高，他決定把節(jié)余的錢分成兩筆,其中一筆存入人民幣定期儲(chǔ)蓄,另一筆用來(lái)購(gòu)買國(guó)債，定期儲(chǔ)蓄和國(guó)債的種類與問題1相同，問：李明共有多少種不同的理財(cái)方式？導(dǎo)思：李明要完成定期儲(chǔ)蓄和國(guó)債這兩項(xiàng)投資，理財(cái)目標(biāo)才算完成，所以可以分兩步來(lái)做。第一步，將一筆錢存入人民幣定期儲(chǔ)蓄，從一年期和二年期中任意選擇一種理財(cái)方法；第二步，用另一筆錢購(gòu)買國(guó)債，從一年期、二年期和三年期中選擇一種理財(cái)方法.對(duì)于第一步中的兩種儲(chǔ)蓄方法中的每一種方法，在第二步中都有不同的購(gòu)買國(guó)債的選擇，當(dāng)