人教版高中數(shù)學 教案 學案綜合匯編 第6章橢圓及其它

人教版高中數(shù)學教案+學案綜合匯編

第6章橢圓及其它

第1課時

橢圓及其標準方程

一、教學目標

（一）知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程.

（二）能力訓練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的

能力.

（三）學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力.

二、教材分析

i.重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程.

（解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓的標準方程單

獨列出加以比較.）

2.難點：橢圓的標準方程的推導.

（解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關(guān)鍵步驟加以補充說明.）

3.疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因.

（解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡.）

三、活動設計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答.

四、教學過程

(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1:什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可

少？

對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正.這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎(chǔ)

上去探求新知識.

問題2：當a〉0時，而行=aVf(x)=a?是同解方程嗎？

當a〉0時f(x)=a?O-a)(Jf(x)+a)=0OJf(x)=a.

提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形.

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”.對同學提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡."

“到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡."

教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神.

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時

教師示范引導學生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2T3),當繩長大于F1

和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓.

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖.”有的同學

說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等……

圖2-13

在此基礎(chǔ)匕引導學生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點Fl、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定

點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距.

學生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點Fl、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從

兩個方面加以強調(diào)：

⑴將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需

加限制條件：“在平面內(nèi)”.

⑵這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|,則是線段

F1F2；若常數(shù)<|F1F2|,則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)

大于?F2|”.

（二）橢圓標準方程的推導

1.標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要

用坐標法先建立橢圓的方程.

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的集合；（3）代

數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟.

⑴建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量（距離、直線斜率等）的表

達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)?

以兩定點Fl、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系（如圖

2-14）.設|F1F2|=2C（C>0）,M（x,y）為橢圓上任意一點，則有F1（設,0）,F2（c,0）.

⑵點的集合

由定義不難得出橢圓集合為:

P={MIIMF1|+|MF2|=2a).

⑶代數(shù)方程

二|MFJ=J(x+c)2+y2,IMF2|=J(x-c)2+y2,

得方程J(x+c)2+y2+J(x-c)2+y2=2a.

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給

予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明.整理后，再平

方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②為使方程對稱和諧而引入b,同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

講.由2a〉2c可得a?-c?〉。，令a?-J=6?,則得方程3+[=1

ab

(a>b>0).

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略.

因此，方程目+4=19〉1：)〉0)即為所求橢圓的標準方程.它表

ab

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是Fl(-c,0)、F2(c,0).這里C2=a2-b2.

2.兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

(1)1+\=l(a〉b〉0)表示焦點在蚌由上的橢圓，焦點是F1(-c,

ab

0)、F2(C,0),這里c2=a2-b2；

22

⑵5+'=1(a〉b〉0)表示焦點在底由上的橢圓，焦點是耳(0，

ab

?、F2(0,c),這里c2=a2+b2,只須將⑴方程的x、y互換即可得到.

教師指出：在兩種標準方程中，：a2>b2,.?.可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標

軸上.

（三）例題與練習

例題平面內(nèi)兩定點的距離是8,寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程.

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程.

解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用Fl、F2表示.取過點F1和F2的直線為x軸，

線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系.

V2a=10,2c=8.

；.a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.，b=3

因此，這個橢圓的標準方程是

2222

■+多=1,即:+上=1

5232259

請大家再想一想，焦點Fl、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

線為珞由，軌跡方程是什么形式呢？1+（=1.

2J9

練習1寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

a=4,C=Ji5,焦點在我由上.

由學生口答，方程為4+-=1.

16

練習2下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[]

xy—xy

c-彳+彳=1與不+尹=1;

22

D.3+%與=1;（m〉0）.

4+m2+m

由學生口答，答案為D.

（四）小結(jié)

1.定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點Fl、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡.

2.標準方程：三?+]=l（a〉b〉0）I^W+M（a〉b〉0）.

abab

3.圖形如圖2-15、2-16.

4.焦點:Fl（-c,0）,F2（c,0）.Fl（0,-c）,F2（0,c）.

五、布置作業(yè)

1.如圖2-17,在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，A1F1|=2,A2

Fl的距離最大，A2F11=14,求橢圓的標準方程.

2.求橢圓之+4=1上一點MK2.4,4）與焦點的距離.

10ZJ

圖2-17

3.求適合下列條件的橢圓的標準方程:

（1）橢圓經(jīng)過兩點P（-2、管，0）,Q（O,J5）i

（2）長軸是短軸的3倍，橢圓經(jīng)過點P（3,0）；

（3）焦點坐標是（-2代，0）和（2小，0）,并且經(jīng)過點P（、5,

-V6）.

22

4.己知橢圓「+%=l（a〉b〉0）,FPF2是它的焦點，AB

A1.

ab

是過Fl的直線被橢圓截得的線段長，求AABF2的周長.

作業(yè)答案：

---1---

6428

3713

IM^J=y.

4.由橢圓定義易得，^ABF2的周長為4a.

六、板書設計

§2.8橢圓及其標準方程

（一）橢圓的概念（二）桶圓標準方程的推導（三）例題與賽習

問題11.標準方程的推導例題

問題2

問題3

定義練習1

2.標準方程的比較煉習2

（四）小結(jié)

第2課時

橢圓的幾何性質(zhì)

一、教學目標

（一）知識教學點

通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一

些實際應用.

（二）能力訓練點

通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學，培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力.

（三）學科滲透點

使學生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，

這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等.

二、教材分析

i.重點：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運用.

（解決辦法：引導學生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進行歸納小結(jié).）

2.難點：橢圓離心率的概念的理解.

（解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的影響，最后通

過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義.）

3.疑點：橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標系選擇無關(guān)，即不隨坐標系

的改變而改變.

（解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學生說明.）

三、活動設計

提問、講解、閱讀后重點講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié).

四、教學過程

（一）復習提問

1.橢圓的定義是什么？

2.橢圓的標準方程是什么？

學生口述，教師板書.

（-）幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是

解析幾何的基本問題之一.本節(jié)課就根據(jù)橢圓的標準方程。=1（a〉

b>0）來研究橢圓的幾何性質(zhì).說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是與坐標系選擇

無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變.

1.范圍

引導學生從標準方程3+4=1得出不等式^-<1,

abab

即|x|〈a,iy|〈b,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里（圖2T8）.注

意結(jié)合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點.

2.對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的兒何性質(zhì)2.

設問：為什么“把x換成-x,或把y換成-y?，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不

變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點對稱的”呢？

圖2-18

事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x,y)在曲線上時，點

P關(guān)于y軸的對稱點Q(-x,y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.類似可以證明其他兩個

命題.

同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點對稱中的任意兩種，

那么它一定具有另一種對稱.如：如果曲線關(guān)于x軸和原點對稱，那么它一定關(guān)于y軸對稱.

事實上，設P(x,y)在曲線上，因為曲線關(guān)于x軸對稱，所以點Pl(x,-y)必在曲線上.又

因為曲線關(guān)于原點對稱，所以P1關(guān)于原點對稱點P2(-x,y)必在曲線上.因P(x,y)、P2(-x,

y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心.

3.頂點

引導學生從橢圓的標準方程4+4=1分析它與x軸、y軸的交點.

ab

只須令x=0,得y=±b,點B1(O,-b)、B2(0,b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0,得

x=±a,點Al(-a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點.強調(diào)指出：橢圓有四個頂點Al(-a,

0)、A2(a,0)、Bl(0,-b)、B2(0,b).

教師還需指出：

⑴線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就

可以得到較正確的圖形.

4.離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

橢圓的焦距與長軸的比e=￡.

a

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義.

先分析橢圓的離心率e的取值范圍:

Va>c>0,/.0<e<l.

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(1)當e接近1時，c越接近a,從而b="二7越小，因此橢圓越扁；

⑵當e接近0時，c越接近0,從而b越接近a,因此橢圓接近圓；

⑶當e=0時;c=0,a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2,圖形就是圓了.

(三)應用

為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1.

例1求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描

點法畫出它的圖形.

本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成.后一部分由教師講解，以引起學生重

視，步驟是：

(1)列表.將第+2=1變形為y=±2J25-Xa,根據(jù)y=+?J25-X、

2J16D5

在第一象限K5的范圍內(nèi)算出幾個點的坐標(x,y)：

X012345

y43.93.73.22.40

⑵描點作圖.先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整

個橢圓(圖2T9).要強調(diào)：利用對稱性可以使計算量大大減少.

圖2-19

例2點M(x,y)與定點F(c,0)的距離和它到定直線1：x=土的

C

距離的比是常數(shù)々a〉c〉0),求點M的軌跡.

a

本例實質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)?定義做準備的，同時再一次使

學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：

設d是點M到直線1的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

1

P=----=-----.

3-2V2cos9

11

|MN|=Pi+P2=3.272cos0+3+20cos8

=_____6_____=o

-9-8cos20一4

將上式化簡，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

設a2-c2",就可化成：W+W=l.

ab

這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓.

由此例不難歸納出橢圓的第二定義.

(四)橢圓的第二定義

1.定義

平面內(nèi)點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

e=￡(0<e<l)時，這個點M的軌跡是橢圓.定點是橢圓的焦點，定直

a

線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率.

2.說明

⑴對于橢圓5+3=1，相應于焦點F(c,0)的準線方程是x=匕.

abc

根據(jù)橢圓的對稱性，相應于焦點F'(-c,0)的準線方程是x=-土.

C

⑵對于橢圓與+a=1,相應于焦點F(0,C)的準線方程是y='，

abc

相應于焦點F，(0,-c)的準線方程是y=--.

c

這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離的比.

(五)小結(jié)

解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進行的，同-曲線由于坐標系選取不同，方程的形式也不同，

但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標系的選取無關(guān).前面我們著重分析了第一個標準方程的橢圓的性

質(zhì)，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質(zhì).布置學生最后小結(jié)下列表格：

2222

xyyx

標準方程-j-H—y=l(a>b>口)—y+-j-=l(a>b>0)

abab

圖象

范圍

對稱性

頂點

長軸

短軸

焦點

離心率

準線

五、布置作業(yè)

1.求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、準線方程：

(l)25x2+4y2T00=0,

(2)x2+4y2-l=0.

2.我國發(fā)射的科學實驗人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近

地點距地面266Km,遠地點距地面1826Km,求這顆衛(wèi)星的軌道方程.

3.點P與一定點F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：2,求點P的軌跡

方程，并說明軌跡是什么圖形.

4.橢圓的中心在原點，一個頂點是(0,2),離心率e=,，求橢圓

的方程.

作業(yè)答案：

1.⑴2a=10,2b=4,2c=2仞，e==,焦點(0,士歷)，頂

25

點(0,±5)、(±2,0),=士-y=

(2)2a=2,2b=1,2c=V3,e=y,焦點(士彳，0),頂點(±1,0)、

19

(0，士5)，士忑

2.選取坐標系‘后布產(chǎn)+嬴7=1

3.1+\=1軌跡是長半軸等于4,短半軸等于2、月的橢圓.

1612

4.頂點(0,2)可能是長軸的端點，也可能是短軸的一個端點，故分兩種情況求方程：

x2y2x2y2

----F--=1或——+--=1.

16414

六、板書設計

§2.9捕到的幾何性質(zhì)

（一）提問（三）應用（四）橢圓的第二定義

1.例11.定義：

2.2.說明：

（二）幾何性質(zhì)例2

1.（五）小結(jié)

2.

3.

4?

第3課時

雙曲線及其標準方程

一、教學目標

（一）知識教學點

使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導.

（-）能力訓練點

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養(yǎng)學生分析、歸納、推理等能力.

（三）學科滲透點

本次課注意發(fā)揮類比和設想的作用，與橢圓進行類比、設想，使學生得到關(guān)于雙曲線的定義、標準方

程一個比較深刻的認識.

二、教材分析

i.重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程.

（解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設問給出雙曲線的定義；對于雙曲線

的標準方程通過比較加深認識.）

2.難點：雙曲線的標準方程的推導.

（解決辦法：引導學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導類比.）

3.疑點：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？

（解決辦法：教師可以從引導學生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在

課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式.）

三、活動設計

提問、實驗、設問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結(jié).

四、教學過程

（一）復習提問

1.橢圓的定義是什么？（學生回答，教師板書）

平面內(nèi)與兩定點Fl、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓.教師要強

調(diào)條件：（1）平面內(nèi)；（2）到兩定點Fl、F2的距離的和等于常數(shù)；（3）常數(shù)2a>|F1F2].

2.橢圓的標準方程是什么？（學生口答，教師板書）

焦點在行由上的橢圓標準方程為-y+2=l（a〉b〉O）；焦點在蚌由

ab

上的橢圓標準方程為%+R=l（a〉b〉O）.

（二）雙曲線的概念

把橢圓定義中的''距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1.簡單實驗（邊演示、邊說明）

如圖2-23,定點Fl、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過

套管，點M移動時-，1MF1HMF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由IMF2HMFl|是同一常

數(shù)，可以畫出另一支.

M

N

圖2-23

注意：常數(shù)要小于IF1F2,否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線.

2.設問

問題1：定點Fl、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？

請學生回答，不能.強調(diào)“在平面內(nèi)”.

問題2：|MF1|與|MF2|哪個大?

請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|>|MF2|；當?M在雙曲線左支上時，|MF1|

<|MF2|.

問題3：點M與定點Fl、F2距離的差是否就是|MF1-|MF2|?

請學生回答，不一定，也可以是|MF21正確表示為||MF2|-|MF1|

問題4：這個常數(shù)是否會大于等于|F1F2]?

請學生回答，應小于|F1F2|且大于零.當常數(shù)=|F1F2|時，軌跡是以Fl、F2為端點的兩條射

線；當常數(shù)>|F1F2|時，無軌跡.

3.定義

在上述基礎(chǔ)上，引導學生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點Fl、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于IF1F21）的點的軌跡叫做雙曲線.這

兩個定點Fl、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距.

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記.

（三）雙曲線的標準方程

現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這時設問：求橢圓

的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的

推導.

標準方程的推導：

⑴建系設點

取過焦點Fl、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

建立直角坐標系.

設M(x,y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c>0),那么Fl、F2的坐標分別是

(-C,0)、(c,0).又設點M與Fl、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù).

⑵點的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

P={MIIMF1-|MF2||=2a}={M|MFl-|MF21=±2a}.

⑶代數(shù)方程

2222

|MFJ=J(x+c)+y,|MF21=7(x-c)+y,

J(x+c)2+y2_j(x-c)2+y2=±2a.

(4)化簡方程(由學生演板)

將這個方程移項，兩邊平方得：

(x+c)24-y2=4a2±4aJ(x-c)2-Fy2+(x-c)24-y2.

化簡得：

2cos支2

X=1+------------x=1+------;

、since-cosatga-1

(,AA)<(B)(>

since2tga

y-+.y=+------

sina-cosatgce—1

x=l+|MP|cos支x=-1+|AP|CO945°

(°(y=|MP|sinaRy=".45。

兩邊再平方，整理得:

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

(以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導.)

由雙曲線定義，2c>2a即c>a,所以c2-a2>0.

設c2-a2=b2(b>0),代入上式得：

b2x2-a2y2=a2b2.

即4-p-=i.

這就是雙曲線的標準方程.

兩種標準方程的比較(引導學生歸納)：

22

(1)-2--77=l(a>0,b〉0)表示焦點在x軸上的雙曲線，焦點是F(c,

ab

0)、F2(C,0),這里c2=a2+b5

22

-^7=l(a>0,b>0)表示焦點在蚌由上的雙曲線，焦點是耳(0,

ab

-c)、F2(0,C),這里c?=a?+b2(只須將⑴方■程的X、y互換即可得到).

教師指出：

⑴雙曲線標準方程中，a>0,b>0,但a不一定大于b；

⑵如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y

軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上.

⑶雙曲線標準方程中a、b、c的關(guān)系是C2=a2+b2,不同于橢圓方程中c2=a2-b2.

(四)練習與例題

1.求滿足下列的雙曲線的標準方程：

焦點Fl(-3,0)、F2(3,0),且2a=4；

本題由學生先練習再口答：=

2.證明：楠圓盤+[=1與雙曲線x2-15y2=15的焦點相同.

y

由學生演板完成.橢圓焦點0)、F2(4,0)；雙曲線焦點F；

(40)、F2(4,0).

3.已知兩點F1(-5,0)、F2(5,0),求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程.如

果把這里的數(shù)字6改為12,其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5,a=3,所以b2=c2-a2=52-32=42.

因此，所求方程是差-捺，即9-.=1?

因為2a=12,2c=10,且2a>2c.

所以動點無軌跡.

㈤小結(jié)

1.定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于1F1F2|)的點的軌跡.

2.標準方程:-y-^y=l（a〉0,b〉0）,--y-j"=l（a〉0,b〉0）.

abab

3.圖形（見圖2-25）：

4.焦點：Fl（~c,0）、F2（C,0）；Fl（0,一c）、F2（0,C）.

5.a>b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2.

五、布置作業(yè)

1.根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程:

⑴焦點的坐標是(-6,0)、(6,0),并且經(jīng)過點A(-5,2)；

⑵經(jīng)過點P(-3,26)和Q(6也，-7),焦點在y軸上.

2.已知上~=1表示雙曲線，求k的取值范圍.

1+k1-k

3.已知圓錐曲線的方程為inx2+ny2=m+n(mV0<m+n),求其焦點坐標.

作業(yè)答案：

橢圓雙曲線拋物線

44=1g上I

a2b21

標準方程a2b2y2=2px(p>0)

(a>b>0)(a>0>b>0)

X1k

Wv

圖形

-aWxWax〉a或x<-ax>0

范圍

-b<y<by€RyeR

關(guān)于x軸、y軸對稱關(guān)于x軸、y軸對稱

對稱性關(guān)于X軸對稱

關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱

(-a?0)(a?0)

頂點(-a?0)(a?0)(0，0)

(0,-b)(0，b)

離心率0<e=-<1e=>>le=l

aa

y=±3x

漸近線無無

a

2.由(1+k)(l-k)V0解得：kV-l或k>l

3.原方程可化為:=1

(m+n)/m(m+n)/n

m+n

V—<0,—,故Jl匕曲繚礁點在蚌由曲雙螃，a2

mnn

1

.m+nm2-n

0bJ=--,---c--=7a2+b2=

mmn

???焦點垃（0,

六、板書設計

§2.11雙曲線及其標睢方程

（一）復習提問

1.

2.

（三）雙曲線的標準方程（四）練習與例題

（二）雙曲線的概念1.標睢方程的推導1.

1.簡單實能

2.兩種標準方程的比校2.

2.設問3.

（五）小結(jié)

3.定義

第4課時

雙曲線的幾何性質(zhì)

一、教學目標

（一）知識教學點

使學生理解并掌握雙曲線的兒何性質(zhì)，并能從雙曲線的標準方程出發(fā)，推導出這些性質(zhì)，并能具體估

計雙曲線的形狀特征.

（-）能力訓練點

在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學生分析、歸納、推理等能力.

（三）學科滲透點

使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關(guān)系概念的

理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題.

二、教材分析

1.重點：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運用.

（解決辦法：引導學生類比橢圓的幾何性質(zhì)得出，至于漸近線引導學生證明.）

2.難點：雙曲線的漸近線方程的導出和論證.

（解決辦法：先引導學生觀察以原點為中心，2a、2b長為鄰邊的矩形的兩條對角線，再論

證這兩條對角線即為雙曲線的漸近線.）

3.疑點：雙曲線的漸近線的證明.

（解決辦法：通過詳細講解.）

三、活動設計

提問、類比、重點講解、演板、講解并歸納、小結(jié).

四、教學過程

（一）復習提問引入新課

1.橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？

請一同學回答.應為：范圍、對稱性、頂點、離心率，是從標準方程探討的.

2.雙曲線的兩種標準方程是什么？

再請一同學回答.應為：中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線的標

準方程為耳-4=1；中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為

ab

y21

丁爐t

下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì).

（二）類比聯(lián)想得出性質(zhì)（性質(zhì)1?3）

引導學生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格（讓學生回答，教師引導、啟發(fā)、訂正并板書）.<

見下頁>

（三）問題之中導出漸近線（性質(zhì)4）

在學習橢圓時，以原點為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計

橢圓的形狀，畫出橢圓的簡圖都有很大作用.試問對雙曲線

ab

仍以原點為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形（板書圖形），那么雙曲線和這個矩形有什么關(guān)系？

這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖（圖2-26）有什么指導意義？這些問題不要求學生回答,

只引起學生類比聯(lián)想.

接著再提出問題：當a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？

請一同學回答，應為y=±2x,并畫出兩條對角線，進一步引導學

a

生從圖觀察得出結(jié)論：雙曲線5-g=1的各支向外延伸時，與這兩條漸

近線逐漸接近.

下面，我們來證明它:

橢圓雙曲線

2222

xyxy

方程一+—=l(a>b>0)---=l(a>0,b>0)

a2b2a2b2

a、b、c關(guān)系c?=a?a>b>0)c5丑)2(a>0,b>0)

Ju

圖形AJ

0F^/ai術(shù)

F

范圍|x|<aJlylWb|x|>ayER

對稱軸：x軸、y軸對稱軸：x軸、y軸

對稱性

對稱中心：原點對稱中心：原點

(-a?0),(a,0)(-a，0),(a,0)

(0.-b),(0,b)實軸為2a

頂點

長軸為2a虛軸為2b

短軸為2b

雙曲線在第一象限的部分可寫成:

y=-Vx2-a2（x>a）

a

圖2-26

設M(x,y)是它上面的點，N(x,7)是直線y=上與M有相同

a

的橫坐標的點，則y=^^.

a

y=-7x2-a2=-x-Jl-(-)<-x=y

aaV(xja

|MN|=y-y=—(x-A/X2-a2)=—

aa

(x-Vx2-a2)(x+Vx2-a2)

x+Vx2-a2

ab

x+Jx--a」

設|MQ|是點M到直線y=?x的距離，則有|MQ|〈|MN|.

a

當X逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限增大，MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說,

雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON.

在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況.

我們把兩條直線丫=±Bx叫做雙曲線的漸近線.

a

現(xiàn)在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點在y軸上的雙曲線方

程是由焦點在x軸上的雙曲線方程，將x、y字

母對調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字

母對調(diào)而得，所以，雙曲線W-1=1的漸近線的方程是x=士與即y=

aba

a

±bx'

定義：直線y=士,x叫做雙曲線-2-