專題15矩形的判定與性質(zhì)(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題15矩形的判定和性質(zhì)姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分評(píng)分閱卷人一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)得分1．（2分）（2022八下·撫遠(yuǎn)期末）如圖所示，是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．若，，則的周長(zhǎng)為（）A．10 B． C． D．142．（2分）（2022八下·涿州期末）如圖，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，點(diǎn)P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，則OP的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2分）（2022八下·虎林期末）如圖，矩形中把矩形沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．74．（2分）（2022八下·元陽(yáng)期末）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，且，連接DE，則DE的長(zhǎng)為（）A．6 B． C． D．85．（2分）（2022八下·鋼城期末）在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，線段交于定O，過(guò)O作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，則的值為（）A．1 B． C． D．6．（2分）（2022八下·環(huán)翠期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)F將沿折疊，點(diǎn)D恰好落在上M點(diǎn)處，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，有下列四個(gè)結(jié)論：①垂直平分；②是等邊三角形；③；④．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④7．（2分）（2022八下·內(nèi)江期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，MP⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為（）A． B．3 C． D．8．（2分）（2022八下·南充期末）如圖，矩形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，于，的延長(zhǎng)線交于．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2分）（2022八下·廣安期末）如圖1，在矩形MNPQ中，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)N出發(fā)，沿N→P→Q→M方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)M處停止．設(shè)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程為x，△MNR的面積為y．若y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5 B．當(dāng)y＝5時(shí)，x＝2C．當(dāng)x＝6時(shí)，y＝10 D．矩形MNPQ的周長(zhǎng)是1810．（2分）（2022八下·慈溪期末）如圖，正方形中，點(diǎn)P為延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)P作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F.下列結(jié)論：①；②；③；④若，則.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4閱卷人二、填空題(共10題；每題2分，共20分)得分11．（2分）（2022八下·無(wú)為期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，，，，則矩形ABCD的面積為．12．（2分）（2022八下·環(huán)翠期末）如圖，矩形OABC中，OA=4，AB=3，點(diǎn)D在邊BC上，且CD=3DB，點(diǎn)E是邊OA上一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在邊OC上，則OE的長(zhǎng)為．13．（2分）（2022八下·鋼城期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P是不與A，D重合的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作和的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則的值是．14．（2分）（2022八下·廣饒期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC＝12，BD＝16，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，且P不與點(diǎn)B、C重合．過(guò)P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，連結(jié)EF，則EF的最小值等于．15．（2分）（2022八下·門頭溝期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以同樣每秒個(gè)單位的速度沿折線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果，那么秒．16．（2分）（2022八下·建昌期末）如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．則以下結(jié)論中：①；②；③是等邊三角形；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)為．17．（2分）（2022八下·福州期末）如圖，在矩形中，已知，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將四邊形沿折疊，得到四邊形，連接，則長(zhǎng)度的最小值是．18．（2分）（2022八下·越城期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，連接AE．若AD平分∠OAE，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)AE上的兩點(diǎn)A，F(xiàn)，且AF＝EF，△ABE的面積為18，則k的值為．19．（2分）（2022八下·禹州期末）如圖，在正方形ABCD中，，E為對(duì)角線AC上與A，C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，連接DE，F(xiàn)G，下列結(jié)論：①；②；③；④FG的最小值為2，其中正確的結(jié)論是.（只填序號(hào)）20．（2分）（2022八下·長(zhǎng)興期末）如圖，在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)B落在CD邊點(diǎn)B'處，連結(jié)BB'交EF于點(diǎn)G，點(diǎn)M在A'B'上，A'M=2B'M，若CD=3，AD=6，在折疊的過(guò)程中，點(diǎn)B'在邊CD上不同的位置時(shí)，則MG+B'G的最小值閱卷人三、解答題(共7題；共60分)得分21．（6分）（2022八下·長(zhǎng)春期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線交外角∠BAF的平分線于點(diǎn)E．求證：四邊形ADBE是矩形．22．（7分）（2022八下·南康期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F，點(diǎn)M在上，連接，把延翻折．當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，求的度數(shù)．23．（10分）（2019八下·高要期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于E.（1）（3分）求證：EO=FO；（2）（3分）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；（3）（4分）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論。24．（8分）（2022八下·越城期末）如圖均是由邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)P、Q、R均在格點(diǎn)上．要求只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，不要求寫畫(huà)法．（1）（4分）如圖1，以線段PQ為對(duì)角線畫(huà)一個(gè)面積為9的平行四邊形PMQN，且M、N在格點(diǎn)上；（2）（4分）如圖2，畫(huà)△PQR邊RQ上的高線PH，點(diǎn)H是垂足．25．（9分）（2022八下·順平期末）如圖，正方形的周長(zhǎng)是40．點(diǎn)P是正方形對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)分別作、的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）（2分）求證：四邊形是矩形．（2）（3分）請(qǐng)你猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）（4分）在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的長(zhǎng)也隨之變化，求的最小值．26．（10分）（2022八下·環(huán)翠期末）如圖，在矩形中，，直角尺的直角頂點(diǎn)P在上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A、D不重合），一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一直角邊交于點(diǎn)E．（1）（3分）求證：∽；（2）（3分）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）（4分）是否存在這樣的點(diǎn)P，使的周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)的2倍？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．27．（10分）（2022八下·鲅魚(yú)圈期末）將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，OA＝9，OC＝15．（1）（3分）如圖1，在OA上取一點(diǎn)E，將△EOC沿EC折疊，使點(diǎn)O落在邊AB上的點(diǎn)D處，求直線EC的解析式；（2）（3分）如圖2，在OA，OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)M，N，將△MON沿MN折疊，使O點(diǎn)落在AB邊上的點(diǎn)D'處，過(guò)點(diǎn)D'作D'G⊥CO，垂足為G，交MN于點(diǎn)T，連接OT，判斷四邊形OTD'M的形狀，并說(shuō)明理由；（3）（4分）在（2）的條件下，若點(diǎn)T的坐標(biāo)為（6，），點(diǎn)P在直線MN上，坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，D'，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2022-2023學(xué)年浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題15矩形的判定和性質(zhì)閱卷人一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)得分1．（2分）（2022八下·撫遠(yuǎn)期末）如圖所示，是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．若，，則的周長(zhǎng)為（）A．10 B． C． D．14【答案】C【規(guī)范解答】解：∵點(diǎn)O是矩形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E點(diǎn)為AD中點(diǎn)，∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，在Rt△ABE中，，在Rt△ABC中，，∴，則△BOE的周長(zhǎng)為：，故答案為：C．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)可求得OE，AE，勾股定理可得BE、AC的邊長(zhǎng)，最后求得△BOE的周長(zhǎng).2．（2分）（2022八下·涿州期末）如圖，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，點(diǎn)P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，則OP的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【規(guī)范解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AD，則此時(shí)OP的長(zhǎng)度最小.∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∵，∴AO=DO=∵∠AOD=∠BOC=120°∴∠OAD=30°∵∠OPA=90°∴OP=故答案為：A.

【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AD，則此時(shí)OP的長(zhǎng)度最小.由矩形的性質(zhì)可得AO=DO=，由對(duì)頂角相等可得∠AOD=∠BOC=120°，利用等要哦三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和可求出∠OAD=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OP=.3．（2分）（2022八下·虎林期末）如圖，矩形中把矩形沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【規(guī)范解答】解：解：，，又，，，，，，，，故答案為：C．

【思路點(diǎn)撥】

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)折疊性質(zhì)證得，等腰三角形腰相等，再根據(jù)勾股定理即可求得AD.4．（2分）（2022八下·元陽(yáng)期末）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，且，連接DE，則DE的長(zhǎng)為（）A．6 B． C． D．8【答案】A【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵，∴∠ACB=30°，∵∴在Rt△ABC中，∴AD=BC=3，∵∴在Rt△DAE中，DE=故答案為：A【思路點(diǎn)撥】先求出AD和AE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可。5．（2分）（2022八下·鋼城期末）在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，線段交于定O，過(guò)O作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，則的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【規(guī)范解答】解：∵將矩形沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，∴∠ACB＝∠ACE，∠E＝∠B＝90°，AE＝AB＝4，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠ACE＝∠DAC，∴OA＝OC，設(shè)OA＝OC＝x，則OE＝8?x，在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，∴42＋（8?x）2＝x2，解得x＝5，∴OA＝OC＝5，∵OG⊥AC，∴AG＝CG＝AC，而AC＝，∴AG＝CG＝2，∴OG＝，∵AG＝CG，，∴GH∥AB，∴GH＝AB＝2，∴，故答案為：B．

【思路點(diǎn)撥】設(shè)OA＝OC＝x，則OE＝8?x，利用勾股定理可得42＋（8?x）2＝x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC和OG的長(zhǎng)，最后利用中位線的性質(zhì)可得GH＝AB＝2，從而可得到。6．（2分）（2022八下·環(huán)翠期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)F將沿折疊，點(diǎn)D恰好落在上M點(diǎn)處，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，有下列四個(gè)結(jié)論：①垂直平分；②是等邊三角形；③；④．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】B【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，由折疊的性質(zhì)可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF＝MF，∴DF＝CF，在△DFE與△CFN中，∴△DFE≌△CFN，∴EF＝FN，∴△EBN為等腰三角形，無(wú)法確定△EBN為等邊三角形，故②不符合題意；由等腰三角形的三線合一得：BF⊥EN，∴BF垂直平分EN，故①符合題意；∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，∴∠EFM＝∠EBF，∵∠DFE＝∠EFM，∴∠DFE＝∠FBE，∴；故③符合題意；∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，∴BE＝3EM，∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，故④符合題意．綜上所述：①③④都符合題意，故答案為：B．【思路點(diǎn)撥】由折疊的性質(zhì)得出∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，由等腰三角形的性質(zhì)得出BF垂直平分EN，由兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可求，由AAS證出△DFE≌△CFN，得出BE＝3EM，則S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，即可得出結(jié)論。7．（2分）（2022八下·內(nèi)江期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，MP⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為（）A． B．3 C． D．【答案】A【規(guī)范解答】解：連接CM，如圖所示：∵M(jìn)P⊥CD于點(diǎn)P，MQ⊥BC于點(diǎn)Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，，∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，∴四邊形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，∴當(dāng)CM最小時(shí)，PQ最小，∵點(diǎn)M在BD上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)CM⊥BD時(shí)，CM最小，則PQ最小，由勾股定理得：，∵，∴此時(shí)，∴PQ的最小值為，．故答案為：A．【思路點(diǎn)撥】連接CM，可證四邊形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知當(dāng)CM最小時(shí)，PQ最小，由于點(diǎn)M在BD上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)CM⊥BD時(shí)，CM最小，則PQ最小，由勾股定理求出BD的長(zhǎng)，再利用求出CM值即可.8．（2分）（2022八下·南充期末）如圖，矩形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，于，的延長(zhǎng)線交于．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【規(guī)范解答】解：連接CM、DM，∵矩形ABCD∴，∵，M，N分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，∴故①正確；∵∴四邊形AMCN是平行四邊形∴AN∥CM∴∵∴CM垂直平分PB∴BC=PC∴（SSS）∴即故②正確；∵，，∴（HL）∴故③正確；取CQ中點(diǎn)E，連接EN∵N是CD中點(diǎn)∴EN是△CDQ的中位線∴∵∴∴，即故④正確；綜上所述，正確的是①②③④故答案為：D．【思路點(diǎn)撥】連接CM、DM，由矩形的性質(zhì)可得AB=CD，根據(jù)線段的中點(diǎn)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，故①正確；可證四邊形AMCN是平行四邊形，可得AN∥MC，根據(jù)SSS證明，可得，故②正確；根據(jù)HL可證明，可得PQ=AQ，故③正確；取CQ中點(diǎn)E，連接EN，可得EN是△CDQ的中位線，可得DQ=2EN，根據(jù)大角對(duì)大邊進(jìn)行判斷即可.9．（2分）（2022八下·廣安期末）如圖1，在矩形MNPQ中，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)N出發(fā)，沿N→P→Q→M方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)M處停止．設(shè)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程為x，△MNR的面積為y．若y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5 B．當(dāng)y＝5時(shí)，x＝2C．當(dāng)x＝6時(shí)，y＝10 D．矩形MNPQ的周長(zhǎng)是18【答案】B【規(guī)范解答】解：由圖象可知，四邊形MNPQ的邊長(zhǎng)，，，A、時(shí)，△MNR的面積＝，正確，不符合題意；B、時(shí)，高，則高，點(diǎn)R在PN或QM上，距離QP有2個(gè)單位，對(duì)應(yīng)的x值是2或11，錯(cuò)誤，符合題意；C、時(shí)，點(diǎn)R在QP上，△MNR的面積＝，正確，不符合題意；D、矩形周長(zhǎng)為，正確，不符合題意.故答案為：B．【思路點(diǎn)撥】由圖2知，，然后結(jié)合圖象及三角形的面積公式逐項(xiàng)計(jì)算，再判斷即可.10．（2分）（2022八下·慈溪期末）如圖，正方形中，點(diǎn)P為延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)P作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F.下列結(jié)論：①；②；③；④若，則.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【規(guī)范解答】解：如圖1，在EF上取一點(diǎn)G，使FG=FP，連接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠FBC=∠ABD=45°，∴BF=EF，在△BFG和△EFP中，，∴△BFG≌△EFP（SAS），∴BG=PE，∠PEF=∠GBF，∵∠ABD=∠FPG=45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90°，∴∠APF=∠PEF=∠GBF，∴AP∥BG，∴四邊形ABGP是平行四邊形，∴AP=BG，∴AP=PE；故①正確；如圖2，連接CG，由①知：PG∥AB，PG=AB，∵AB=CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG=CD，∴四邊形DCGP是平行四邊形，∴CG=PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE=90°，∵∠CEG=45°，∴CE=CG=PD；故③正確；如圖3，連接AC交BD于O，∠CGF=∠GFD=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，BD=∴∠COF=90°，∴四邊形OCGF是矩形，∴OC=FG，BD=2OC=2FG，△BFG≌△EFP，，，故②正確；④，，，，，，，，，，，，，即.故④正確.故答案為：D.【思路點(diǎn)撥】在EF上取一點(diǎn)G，使FG=FP，連接BG、PG，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠FBC=∠ABD=45°，則BF=EF，證△BFG≌△EFP，得BG=PE，∠PEF=∠GBF，易得四邊形ABGP是平行四邊形，則AP=BG，據(jù)此判斷①；連接CG，易得四邊形DCGP是平行四邊形，則CG=PD，CG∥PD，根據(jù)三角函數(shù)的概念得CE=CG，據(jù)此判斷③；連接AC交BD于O，根據(jù)正方形性質(zhì)得AC⊥BD，BD=AB=PG，則四邊形OCGF是矩形，OC=FG，BD=2OC=2FG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得PF=FG，據(jù)此判斷②；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合內(nèi)角和定理可得∠BPE=∠BEP=67.5°，∠FPG=∠FGP=45°，則∠GPE=22.5°，推出PG=GE，則FG=GE，BE=(1+)FG，DF=(-1)PF，據(jù)此判斷④.閱卷人二、填空題(共10題；每題2分，共20分)得分11．（2分）（2022八下·無(wú)為期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，，，，則矩形ABCD的面積為．【答案】【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴OD=OB=OA=OC=，∵，∴，，∴，∵四邊形ABCD為矩形，∴矩形ABCD的面積=，故答案為：

【思路點(diǎn)撥】先利用割補(bǔ)法求出，再利用矩形的性質(zhì)可得矩形ABCD的面積=。12．（2分）（2022八下·環(huán)翠期末）如圖，矩形OABC中，OA=4，AB=3，點(diǎn)D在邊BC上，且CD=3DB，點(diǎn)E是邊OA上一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在邊OC上，則OE的長(zhǎng)為．【答案】【規(guī)范解答】解：連接A′D，AD，∵四邊形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵將四邊形ABDE沿DE折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′恰好落在邊OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在Rt△A′CD與Rt△DBA中，，∴Rt△A′CD≌Rt△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，

故答案為：.【思路點(diǎn)撥】連接A′D，AD，先利用“HL”證明Rt△A′CD≌Rt△DBA可得A′C=BD=1，求出A′O=2，再利用勾股定理可得22+OE2=（4﹣OE）2，最后求出OE的長(zhǎng)即可。13．（2分）（2022八下·鋼城期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P是不與A，D重合的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作和的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則的值是．【答案】【規(guī)范解答】解：如圖所示，連接OP，∵AB＝2，AD＝4，由勾股定理可得BD＝，S△ABD＝AB?AD＝×2×4＝4，在矩形ABCD中，OA＝OD＝OB＝BD＝，∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝S△ABD，∴OA?PE＋OD?PF＝×4＝2，即，∴PE＋PF＝，故答案為：．

【思路點(diǎn)撥】連接OP，利用割補(bǔ)法可得S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝S△ABD，再將數(shù)據(jù)代入可得OA?PE＋OD?PF＝×4＝2，即，求出PE＋PF＝即可。14．（2分）（2022八下·廣饒期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC＝12，BD＝16，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，且P不與點(diǎn)B、C重合．過(guò)P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，連結(jié)EF，則EF的最小值等于．【答案】4.8【規(guī)范解答】解：連接，四邊形是菱形，四邊形為矩形，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)的最小值為，故答案為：4.8．【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理和三角形的面積公式計(jì)算求解即可。15．（2分）（2022八下·門頭溝期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以同樣每秒個(gè)單位的速度沿折線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果，那么秒．【答案】或或6或3【規(guī)范解答】解：當(dāng)在邊上，如圖，由題意得：，，，，，；當(dāng)在上時(shí)，如圖，由題意得：，，，，；當(dāng)，有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，，和符合題意．故答案為：或．

【思路點(diǎn)撥】分兩種情況：①當(dāng)在邊上，②當(dāng)在上時(shí)，再分別畫(huà)出圖象并求解即可。16．（2分）（2022八下·建昌期末）如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．則以下結(jié)論中：①；②；③是等邊三角形；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)為．【答案】①③④【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，，，在中，點(diǎn)G是中點(diǎn)，且，，，，，設(shè)，則，，∴，∴，∴，∴，故①符合題意；，由題意知，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，故②不符合題意；，，，∴△AEF是等邊三角形，故③符合題意；，，，∵，，，故④符合題意；故答案為：①③④．

【思路點(diǎn)撥】利用矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)和等邊三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可。17．（2分）（2022八下·福州期末）如圖，在矩形中，已知，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將四邊形沿折疊，得到四邊形，連接，則長(zhǎng)度的最小值是．【答案】【規(guī)范解答】解：如圖，連接EO、PO、OC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠OAP=90°，∵點(diǎn)O，P分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，∴OB=AO=4，AP=DP=6，在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，∴OC=，在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，∴OP=，由折疊可得OE=OC=，∵PE≥OE-OP，∴PE最小值=OE-OP=，故答案為：．【思路點(diǎn)撥】連接EO、PO、OC，由矩形的性質(zhì)可得∠B=∠OAP=90°，在Rt△OBC中，用勾股定理可求得OC的值，在Rt△AOP中，用勾股定理可求得OP的值，由折疊的性質(zhì)得OE=OC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可得PE≥OE-OP，于是PE最小值=OE-OP可求解.18．（2分）（2022八下·越城期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，連接AE．若AD平分∠OAE，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)AE上的兩點(diǎn)A，F(xiàn)，且AF＝EF，△ABE的面積為18，則k的值為．【答案】12【規(guī)范解答】解：如圖，連接BD與AC交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，連接OF，

∴FH∥AG，

∵AE=EF，

∴FH是△AGE的中位線，

∴GH=HE，AG=2FH

∵點(diǎn)A、F在反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）圖象上，

∴S△AOG=S△FOH=，

∴OG·AG=OH·FH，

∴OH=2OG，

∴OG=GH=HE，

∵矩形ABCD，

∴OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

又∵AD平分∠OAE，

∴∠OAD=∠EAD，

∴∠ODA=∠EAD，

∴AE∥BD，

∴S△AOE=S△ABE=18，

∴S△AOG=S△AOE=6，

∴=6，

∴k=12.

故答案為：12.

【思路點(diǎn)撥】如圖，連接BD與AC交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，連接OF，則FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位線，即得GH=HE，AG=2FH，在根據(jù)k的幾何意義可得S△AOG=S△FOH=，從而得OG·AG=OH·FH，進(jìn)而推出OG=GH=HE，再由矩形的性質(zhì)得OA=OD，結(jié)合角平分線的定義，可推出∠ODA=∠EAD，從而推出AE∥BD，易得S△AOE=S△ABE=18，進(jìn)而可得S△AOG=S△AOE=6，則=6，即可求出k值.19．（2分）（2022八下·禹州期末）如圖，在正方形ABCD中，，E為對(duì)角線AC上與A，C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，連接DE，F(xiàn)G，下列結(jié)論：①；②；③；④FG的最小值為2，其中正確的結(jié)論是.（只填序號(hào)）【答案】①②④【規(guī)范解答】解：如圖所示，連接BE，交FG于點(diǎn)O，

∵，，∴，∵，∴四邊形EFBG為矩形，∴，，∵四邊形ABCD為正方形，∴，，在和中，∴（SAS），∴，∴，即①正確；延長(zhǎng)DE，交FG于M，交FB于點(diǎn)H，由（1）得，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，即②正確；∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥BC，

∴∠ABC、∠EFB、∠EGB均為直角，

∴四邊形EFBG為長(zhǎng)方形，

在△BEF和△FGB中

∴△BEF≌△FGB（SSS）

∴∠BGF=∠FEB

假設(shè)∠BGF=∠ADE，則有∠FEB=∠ADE，

又∵EF∥AD，則B、E、D在同一條直線上，

而題干中E是AC上的動(dòng)點(diǎn)，B、E、D并不一定共線，

故∠BGF不一定等于∠ADE.

故③錯(cuò)誤；

∵E為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，DE最小，∵，，∴，∴，由①知，，∴FG的最小值為，即④正確，綜上，①②④正確，故答案為：①②④.【思路點(diǎn)撥】連接BE，交FG于點(diǎn)，易得四邊形EFBG為矩形，得FG=BE，OB=OF=OE=OG，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，利用SAS證明△ABE≌△ADE，得出DE=BE，則可判斷①；延長(zhǎng)DE，交FG于M，交FB于點(diǎn)H，由(1)得出∠ABE=∠ADE，根據(jù)條件和角之間的關(guān)系求出DE⊥FG，即可判斷②；先通過(guò)三角為直角判定四邊形EFBG為長(zhǎng)方形，再通過(guò)SSS判定△BEF≌△FGB，從而可得∠BGF=∠FEB，通過(guò)反證法推理即可判斷③；根據(jù)垂線段最短得當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE最小，根據(jù)勾股定理求出AC長(zhǎng)，從而求出DE長(zhǎng)，即可得FG的最小值，即可判斷即④.20．（2分）（2022八下·長(zhǎng)興期末）如圖，在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)B落在CD邊點(diǎn)B'處，連結(jié)BB'交EF于點(diǎn)G，點(diǎn)M在A'B'上，A'M=2B'M，若CD=3，AD=6，在折疊的過(guò)程中，點(diǎn)B'在邊CD上不同的位置時(shí)，則MG+B'G的最小值【答案】【規(guī)范解答】解：如圖，連接GC，取線段AB的一點(diǎn)Q，使得AQ=2BQ，連接QG，QC，

∵AB=CD=3，

∴BQ=1，

∵矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)B落在CD邊點(diǎn)B'處，A'M=2B'M，

∴Q和M關(guān)于EF對(duì)稱，

∴QG=MG，

又∵G為BB'的中點(diǎn)，∠BCB'=90°，

∴GC=B'G，

∴MG+B'G=QG+GC，

∴當(dāng)Q、G、C三點(diǎn)共線時(shí)，CQ=QG+GC，此時(shí)QG+GC最短，

∴MG+B'G的最小值為CQ的長(zhǎng)，

在Rt△BCQ中，BQ=1，BC=6，

∴CQ===.

故答案為：.

【思路點(diǎn)撥】如圖，連接GC，取線段AB的一點(diǎn)Q，使得AQ=2BQ，連接QG，QC，易得BQ=1，根據(jù)折疊的性質(zhì)得Q和M關(guān)于EF對(duì)稱，則QG=MG，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得GC=B'G，

從而得MG+B'G=QG+GC，當(dāng)Q、G、C三點(diǎn)共線時(shí)，CQ=QG+GC，此時(shí)QG+GC最短，MG+B'G的最小值為CQ的長(zhǎng)，最后在Rt△BCQ中，BQ=1，BC=6，由勾股定理求得CQ的長(zhǎng)即可求解.閱卷人三、解答題(共7題；共60分)得分21．（6分）（2022八下·長(zhǎng)春期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線交外角∠BAF的平分線于點(diǎn)E．求證：四邊形ADBE是矩形．【答案】證明：，AD⊥BC，，，，，平分，，，又，四邊形是平行四邊形，，四邊形ADBE是矩形．【思路點(diǎn)撥】先證明四邊形是平行四邊形，再結(jié)合，即可得到四邊形ADBE是矩形。22．（7分）（2022八下·南康期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F，點(diǎn)M在上，連接，把延翻折．當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，求的度數(shù)．【答案】解：如圖，連接，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F，∴垂直平分，∴，由翻折的性質(zhì)可知，∴，∴是等邊三角形，∴，在矩形中，，∴.【思路點(diǎn)撥】連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，再證明是等邊三角形，可得，最后利用三角形的內(nèi)角和求出即可。23．（10分）（2019八下·高要期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于E.（1）（3分）求證：EO=FO；（2）（3分）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；（3）（4分）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論?！敬鸢浮浚?）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形．如圖AO=CO，EO=FO，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，∴四邊形AECF是矩形．（3）解：△ABC是直角三角形∵四邊形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對(duì)等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答．24．（8分）（2022八下·越城期末）如圖均是由邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)P、Q、R均在格點(diǎn)上．要求只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，不要求寫畫(huà)法．（1）（4分）如圖1，以線段PQ為對(duì)角線畫(huà)一個(gè)面積為9的平行四邊形PMQN，且M、N在格點(diǎn)上；（2）（4分）如圖2，畫(huà)△PQR邊RQ上的高線PH，點(diǎn)H是垂足．【答案】（1）解：如圖所示，四邊形PMQN即為所求.（2）解：如圖所示，線段PH即為邊RQ上的高線.【思路點(diǎn)撥】（1）如圖1，將點(diǎn)P向右平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)N，再把點(diǎn)Q向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)M，再順次連接P、M、Q、N，即得到平行四邊形PMQN，且面積為9；（2）如圖2，連接以PR為邊的矩形的對(duì)角線，交RQ于點(diǎn)H，由直角三角形性質(zhì)及角的互余關(guān)系，即可得∠PHR=90°，即PH⊥RQ，因此線段PH為邊RQ上的高線.25．（9分）（2022八下·順平期末）如圖，正方形的周長(zhǎng)是40．點(diǎn)P是正方形對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)分別作、的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）（2分）求證：四邊形是矩形．（2）（3分）請(qǐng)你猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）（4分）在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的長(zhǎng)也隨之變化，求的最小值．【答案】（1）證明：∵，∴又∵是正方形∴∴四邊形四邊形是矩形（2）解：，證明如下：連接，∵四邊形為矩形，∴，又∵四邊形是正方形，P為上任意一點(diǎn)，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴，∴；（3）解：由（2）得，則的最小值，即的最小值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，∵正方形ABCD的周長(zhǎng)為40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°，，∵，∴∴的最小值是．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形即證結(jié)論；

（2），理由：連接，證明△ADP≌△ABP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得PB=PD，由矩形的性質(zhì)知PB=EF，即證PD=EF；

（3）由（2）得，則的最小值，即的最小值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出此時(shí)DP的長(zhǎng)即得結(jié)論.26．（10分）（2022八下·環(huán)翠期末）如圖，在矩形中，，直角尺的直角頂點(diǎn)P在上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A、D不重合），一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一直角邊交于點(diǎn)E．（1）（3分）求證：∽；（2）（3分）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）（4分）是否存在這樣的點(diǎn)P，使的周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)的2倍？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明：四邊形是矩形，，，