專題7.2銳角三角函數(shù)正弦余弦與正切（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（蘇科版）

專題7.2銳角三角函數(shù)正弦余弦與正切（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．已知一個不等臂蹺蹺板AB長3米，支撐柱OH垂直地面，當(dāng)AB的一端A著地時，AB與地面夾角的正弦值為，如圖1；當(dāng)AB的另一端B著地時，AB與地面夾角的正弦值為，如圖2，則支撐柱OH的高為（）米．A．0.4 B．0.5 C． D．0.62．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，則BC的長度為（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm3．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則tan∠BDE的值等于（

）A． B． C． D．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)，連接．若，，則的值是（

）A．4 B．6 C．8 D．25．如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的格點(diǎn)上，那么sin∠BAC的值為（

）A． B． C． D．6．若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°7．如圖，已知正方形的邊長為2，如果將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)落在的延長線上的處，那么等于（

）A． B． C． D．8．已知30°＜α＜60°，下列各式正確的是(

)A．＜tanα＜ B．＜tanα＜C．＜tanα＜ D．＜tanα＜9．矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長是（

）A．3 B． C． D．10．如圖，四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC⊥CD，若，則對角線BD長的最大值是（

）A． B． C． D．二、填空題11．比較大?。篲_____（填“”“”）．12．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，，AB＝10，AC＝6，則BC的長為_____．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，連接BC，則的正弦值為______________．14．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，A、B均為格點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，圖中的點(diǎn)C是該弧與網(wǎng)格線的交點(diǎn)．則sin∠BAC的值等于_____．15．如圖，P（12，a）在反比例函數(shù)圖象上，PH⊥x軸于H，則tan∠POH的值為_____．16．如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，于點(diǎn)，若，，則的值為________．17．如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為______．18．如圖，在以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形紙片中，將角折起，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）處，折痕是．如圖，當(dāng)時，；如圖，當(dāng)時，；如圖，當(dāng)時，；……依此類推，當(dāng)（為正整數(shù)）時，_____．三、解答題19．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．20．如圖，在△ABC中（1）作圖，作BC邊的垂直平分線分別交于AC，BC于點(diǎn)D，E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）條件下，連接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．21．如圖，A，B，C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC'B'，求tanB'的值．22．如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE，（1）求證：△ABE≌△DFA．（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．23．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，過D點(diǎn)作AB的垂線交BC于點(diǎn)E，在直線DE上截取DF，使DF＝ED，連接AE、AF、BF．(1)求證：四邊形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝，BF＝5，連接CD，求CD的長．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸交于、兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且；(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，求的面積；(3)請直接寫出的解集．參考答案1．D【分析】根據(jù)正弦的定義得到OA＝2OH，OB＝3OH，根據(jù)題意列式計算即可．解：在Rt△AOH中，sinA，∴OA＝2OH，在Rt△BOH中，sinB，∴OB＝3OH∵AB＝3米，∴2OH+3OH＝3，解得：OH＝0.6（米），故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是銳角三角函數(shù)，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得BC和AB的比值，設(shè)出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．解：，∴設(shè)BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+(4x)2＝(5x)2，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），則BC＝4x＝8cm，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)與勾股定理，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．3．C【分析】連接AD，由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D為BC中點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可證得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD的長，那么在直角△ABD中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tan∠BAD，然后根據(jù)同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD，于是tan∠BDE=tan∠BAD．解：連接AD，∵△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BDBC＝6，∴AD，∴tan∠BAD．∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°，∴∠BDE=∠BAD，∴tan∠BDE=tan∠BAD，故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義以及余角的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．C【分析】首先根據(jù)直線求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)△BOC的面積求得BD的長，然后利用正切函數(shù)的定義求得OD的長，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得結(jié)論．解：如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于B，∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），∴OC＝2，∵，∴BD＝2，∵tan∠BOC，∴，∴OD＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），∵反比例函數(shù)y在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，∴，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)正切值求邊長，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，能夠求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．5．C【分析】過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，利用等面積法求出CM，然后利用正弦是定義求解即可．解：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，由題意得，，，即，解得，．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．6．B【分析】，，由此判斷得到正確答案．解：∵，，∴∴故選：【點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)銳角三角函數(shù)的數(shù)值，判斷角度的取值范圍，牢記特殊三角函數(shù)值是關(guān)鍵．7．A【分析】先利用正方形的性質(zhì)得到BD=2，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=BD=2，根據(jù)勾股定理計算的長，然后利用三角函數(shù)的定義即可求解．解：∵正方形ABCD的邊長為2，∴BD==2，∵線段BD繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在CB的延長線上的處，∴=BD=2，在Rt△中，=．∴．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義．8．C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，及正切函數(shù)隨角度的增大而增大解答．解：∵tan30°=，tan60°=，30°＜α＜60°，∵當(dāng)0°＜α＜90°，tanα隨α的增大而增大，∴＜tanα＜．故選C．【點(diǎn)撥】熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】連接BF交AE于點(diǎn)G，根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根據(jù)E為BC中點(diǎn)，可證BE=CE=EF，通過等邊對等角可證明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函數(shù)（或相似）求出BF，則根據(jù)計算即可．解：連接BF，與AE相交于點(diǎn)G，如圖，∵將沿折疊得到∴與關(guān)于AE對稱∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)∴BE=CE=DF=∴∵∴∴∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故選D【點(diǎn)撥】本題考查了折疊對稱的性質(zhì)，熟練運(yùn)用對稱性質(zhì)證明相關(guān)線段相等是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】過點(diǎn)B作BE⊥AB，使得，連接AE，DE，先求出AE，然后根據(jù)已知證得△ABE∽△ACD，得出∠BAE＝∠CAD，，從而證得∠BAC＝∠EAD，得出△BAC∽△EAD，求出，代入數(shù)據(jù)解答即可．解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AB，使得，連接AE，DE，則在△ABE中，，，，∵∠ABE＝∠ACD＝90°，∴△ABE∽△ACD，，∴∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，，即，，，即BD的最大值為．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角形的應(yīng)用、三角形相似的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)知識并根據(jù)題意正確添加輔助線．11．【分析】把余弦化成正弦,再通過角度大小比較正弦值的大小即可．解：∵．在銳角范圍內(nèi)，隨的增大而增大，∴，∴．故答案為：＜．【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)值的大小比較，利用正弦余弦的關(guān)系進(jìn)行大小比較即可．12．##【分析】在Rt△ACD中，利用，可求CD，利用勾股定理求得AD，在Rt△ADB中，利用勾股定理求得BD，則BC=CD+BD，結(jié)論可得．解：∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC=90°．∵，∴∴．∴．在Rt△ADB中，．∴BC=CD+BD=3+．故答案為：3+．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形．選擇合適的直角三角形利用邊角關(guān)系和勾股定理求出線段的長度是解題的關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)題意得出，利用求出，再利用勾股定理求出，在根據(jù)正弦的定義：對邊比斜邊即可得解．解：∵，∴，∴，由題意得：，∴，∴∴；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查求角的正弦值．熟練掌握正弦的定義：，是解題的關(guān)鍵．14．【分析】利用CDAB，得到∠BAC=∠DCA，根據(jù)同圓的半徑相等，AC=AB=3，可得sin∠ACD==，從而可得答案．解：如圖：∵CDAB，∴∠BAC＝∠DCA．∵同圓的半徑相等，∴AC＝AB＝3．在中，sin∠ACD＝．∴sin∠BAC＝sin∠ACD＝．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用圖形的性質(zhì)進(jìn)行角的等量代換．15．解：∵P（12，a）在反比例函數(shù)圖象上，∴a==5，∵PH⊥x軸于H，∴PH=5，OH=12，∴tan∠POH=，故答案為．16．【分析】先證得△ABE≌△FCB，可得BE=BC=2，AE=BF，再證得△ABF∽△EBA，可得，然后由勾股定理可得，即可求解．解：在矩形中，∠BAE=90°，AE∥BC，AD=BC=2，∴∠CBF=∠AEB，∵，∴∠BFC=∠BAE=90°，∵，∴△ABE≌△FCB，∴BE=BC=2，AE=BF，∵∠AFB=∠BAE=90°，∠ABF=∠ABE，∴△ABF∽△EBA，∴，即，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴．故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．1【分析】連接BC，由網(wǎng)格求出AB，BC，AC的長，利用勾股定理的逆定理得到△ABC為等腰直角三角形，即可求出所求．解：解：連接，由網(wǎng)格可得，，即，∴為等腰直角三角形，∴，則，故答案為1.【點(diǎn)撥】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)題意得到正切值的分子的規(guī)律和勾股數(shù)的規(guī)律，再進(jìn)行計算即可得到答案.解：觀察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，分母與勾股數(shù)有關(guān)系，分別是勾股數(shù)3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中間一個．∴.故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查規(guī)律，解題的關(guān)鍵是由題意得到規(guī)律.19．．【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．解：由勾股定理得，，所以，答：．【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．20．(1)見分析;(2)【分析】（1）分別以B、C為圓心，大于BC的一半長為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，再過兩點(diǎn)畫直線即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得EC=BC=6，BD=CD=9，再根據(jù)余弦定義可求解．解：（1）如圖所示，直線DE即為所求；（2）∵DE是BC的垂直平分線，∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9，∴cos∠C＝＝＝．【點(diǎn)撥】本題考查基本作圖，三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的畫法，以及線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．21．tanB'＝【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得tanB'＝tanB即可求出tanB'的值.解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠B＝∠B′，∴tanB'＝tanB．∵tanB＝，∴tanB'＝．【點(diǎn)撥】此題主要考查三角函數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義.22．（1）證明見分析；（2）．【分析】（1）根據(jù)矩形的對邊平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠AEB．再結(jié)合一對直角相等即可證明三角形全等；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的長；再根據(jù)勾股定理求得DE的長，運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．解：(1)在矩形中，，．，,．．(2)由(1)知．．在直角中，，．在Rt中，，．23．(1)見分析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的判定條件：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形進(jìn)行證明即可；（2）先證明∠AEC=∠EBF，從而求出CE=3，，BC=8，利用勾股定理求出AB的長，即可利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CD的長．（1）解：∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∵DE=DF，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴四邊形AEBF是菱形；（2）解：∵四邊形AEBF是菱形，∴，AE=BF=BE=5，∴∠AEC=∠EBF，∵∠ACB=90°，∴，∴CE=3，∴，BC=CE+BE=8，∴，∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB