專題23.1圖形的旋轉(zhuǎn)（專項拔高卷）教師版

20232024學年人教版數(shù)學九年級上冊同步專題熱點難點專項練習專題23.1圖形的旋轉(zhuǎn)（專項拔高卷）考試時間：90分鐘試卷滿分：100分難度：0.51一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?二道區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′．若點B′恰好落在BC邊上，且AB＝CB′，則∠C′的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．24° D．28°解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故選：C．2．（2分）（2023?賽罕區(qū)二模）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點．將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE那么下列結(jié)論正確的是（）?A．AB＝AE B．AB∥EC C．∠ABC＝∠DAE D．DE⊥AC解：∵AB＝AC，點D是BC的中點．∴∠BAD＝∠CAD，由旋轉(zhuǎn)可得△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠CAD＝∠CAE，∴AC⊥DE，所以D對故答案選：D．3．（2分）（2023春?荊門期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC、BD相交于點O，將△ABD繞B點順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△BEF，EF交CD于點G連接BG交AC于H，連接EH．則下列結(jié)論：①EG＝CG＝CF；②四邊形EHCG是菱形；③△BDG的面積是；④；其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠BAD＝90°，∠DBC＝∠ADB＝∠BCA＝45°．由旋轉(zhuǎn)可知AB＝BE，∠BEG＝∠BAD＝90°，∠GFB＝∠ADB＝45°，∴BE＝BC，∠BEG＝∠BCG＝∠GCF＝90°，∴△CFG為等腰直角三角形，∴CF＝CG．∵BG＝BG，∴Rt△BEG≌Rt△BCG（HL），∴EG＝CG，∴EG＝CG＝CF，故①正確；∵△BEG≌△BCG，∴∠EBH＝∠CBH＝22.5°．又∵BE＝BC，BH＝BH，∴△EBH≌△CBH（SAS），∴EH＝CH．∵∠CHG＝∠CBH+∠BCA＝22.5°+45°＝67.5°，∠BGC＝90°﹣∠CBH＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CHG＝∠BGC，∴CH＝CG，∴EH＝CH＝CG＝EG，∴四邊形EHCG為菱形，故②正確；∵∠BEF＝90°，∠EDG＝45°，∴，∴．∵CD＝CG+DG＝4，∴，∴S△BDG＝＝（8﹣4）×4＝16﹣8，故③正確；根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出OD＝＝BC＝2，∵，∴，∴，故④正確；綜上可知，正確的為①②③④．故選：D．4．（2分）（2023?河西區(qū)模擬）如圖，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），得到△CDE，這時點A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點D恰好在直線AD上，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠CBD＝∠ECD B．∠CAB＝∠CDB C．∠ECB＝α D．∠EDB＝180°﹣α解：∵將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），得到△CDE，∴∠CBD＝∠ECD，∠CAB＝∠CDB，∠ECB＝α，∠E＝∠ABC，故A選項符合題意，B選項和C選項不符合題意，∴∠E+∠DBC＝∠ABC+∠DBC＝180°，∴∠EDB＝360°﹣∠BCE﹣（∠E+∠DBC）＝180°﹣α，故D選項不符合題意，故選：A．5．（2分）（2023春?昌江區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△A1B1C，當A1，B1，A三點共線時，AA1的值為（）A．12 B． C． D．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，∴∠BAC＝30°，則，∵將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△A1B1C，∴∠A1B1C＝∠ABC＝60°，B1C＝BC＝4，CA＝CA1，A1B1＝AB，∠A1＝∠CAB＝30°，∵CA＝CA1，∴∠CA1B1＝∠CAA1＝30°，∵A1，B1，A三點共線，∴∠ACB1＝∠A1B1C﹣∠A1AC＝60°﹣30°＝30°，∴B1A＝BC＝4，∴AA1＝AB1+A1B1＝4+8＝12，故選：A．6．（2分）（2023春?太倉市期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A（5，0），點B（8，4）．若將線段AB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段A′B′，當點B′恰好落在y軸正半軸上時，點A′的坐標為（）A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）解：過點B作BN⊥x軸，過點A作AM⊥OB于M，過點A′作A′M′⊥y軸，∴∠BNO＝90°，∵點A（5，0），點B（8，4），∴OA＝AB＝5，點B到x軸的距離為4，∴AN＝3，∴ON＝8，∴OB＝＝＝4，∵∠ONB＝∠AMO＝90°，∠AOM＝∠BON，∴△AOM∽△BON，∴＝＝，即，∴AM＝，OM＝2，∵將線段AB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段A′B′，∴OA＝OA′，∠AOB＝∠A′OB′，∵∠AMO＝∠A′M′O＝90°，∴△AOM≌△A′OM′（AAS），∴OM′＝OM＝2，A′M′＝AM＝，∴A′（，2），故選：A．7．（2分）（2023春?新城區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，此時點A′恰好落在AB邊上，則點B′與點B之間的距離為（）A． B． C．4 D．2解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA，∵∠A＝60°，∴△ACA′是等邊三角形，∴∠A′CA＝60°，則∠B′CB＝60°，∴△BCB′是等邊三角形，∴BB′＝BC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，∴，∴，即，故選：B．8．（2分）（2023春?德州期中）邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG如圖所示，若將正方形OEFG繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，在旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分四邊形OMAN的面積（）A．先增大再減小 B．先減小再增大 C．不斷增大 D．不變解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∠DAO＝∠ABO＝45°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，旋轉(zhuǎn)得：四邊形OE′F′G′是正方形，∴∠E′OG′＝90°，∴∠E′OG′＝∠AOB＝90°，∴∠E′OG′﹣∠AON＝∠AOB﹣∠AON，∴∠BON＝∠AOM，∴△AOM≌△BON（ASA），∴四邊形OMAN的面積＝△AON的面積+△AOM的面積＝△AON的面積+△BON的面積＝△AOB的面積＝正方形ABCD的面積，∴在旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分OMAN的面積不變，故選：D．9．（2分）（2023春?遂平縣期末）如圖，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBG．延長AE交CG于點F，連接DE．下列結(jié)論：①AF⊥CG，②四邊形BEFG是正方形，③若DA＝DE，則CF＝FG；其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③解：設(shè)AF交BC于K，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABK＝90°，∴∠KAB+∠AKB＝90°，∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBG，∴∠KAB＝∠BCG，∵∠AKB＝∠CKF，∴∠BCG+∠CKF＝90°，∴∠KFC＝90°，∴AF⊥CG，故①正確；∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四邊形BEFG是矩形，又∵BE＝BG，∴四邊形BEFG是正方形，故②正確；如圖，過點D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，∴AE＝CG，∵四邊形BEFG是正方形，∴BE＝GF，∴GF＝CG，∴CF＝FG，故③正確；∴正確的有：①②③，故選：A．10．（2分）（2023春?鳳城市期中）如圖，已知直線y＝kx+2k交x、y軸于A、B兩點，以AB為邊作等邊△ABC（A、B、C三點逆時針排列），D、E兩點坐標分別為（﹣6，0）、（﹣1，0），連接CD、CE，則CD+CE的最小值為（）A．6 B．5+ C．6.5 D．7解：∵點B在直線y＝kx+2k上，∴k（x+2）＝0，∵k≠0，∴x+2＝0．，∴x＝﹣2∴B（0，2），∵E（﹣1，0），D（﹣6，0），在x軸上方作等邊△AOF，∵∠CAB＝∠FAO＝60°，∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，即∠CAF＝∠BAO，又∵CA＝BA，AF＝AO，∴△AOB≌△AFC（SAS），∴∠AFC＝∠AOB＝90°，∴點C的軌跡為定直線CF，作點E關(guān)于直線CF的對稱點E'，連接CE'，CE＝CE'，∴CD+CE＝CD+CE'，∴當點D、C、E'在同一條直線上時，DE'＝CD+CE的值最小，∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°，∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2×AF＝3，即E'（，），∴（CD+CE）的最小值＝DE'＝＝7故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?昌圖縣期末）如圖，點E在正方形ABCD的CD邊上，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，若四邊形AECF的面積為16，DE＝3，則AE的長度為5．?解：∵把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置，∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于16，∴AD＝DC＝4，∵DE＝3，∴Rt△ADE中，AE＝＝5，故答案為：5．12．（2分）（2023?寧江區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB′C′D′，若點B的對應(yīng)點B′落在邊CD上，則B′C的長為1．?解：∵矩形ABCD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB′C′D′，∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，∵∠D＝90°，∴B'D＝＝＝4，∴B'C＝CD﹣B'D＝1，故答案為：1．13．（2分）（2023?崇川區(qū)校級開學）如圖，△ABC中，∠BAC＝55°，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．當α＝30°時，點D恰好落在BC上，此時∠AFE等于100°．解：∵將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜55°），得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝30°，AB＝AD，∠C＝∠E，∴∠B＝75°，∴∠C＝∠E＝50°，∴∠AFE＝180°﹣50°﹣30°＝100°，故答案為：100°．14．（2分）（2023春?靖江市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝24cm．將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得△DEC，直線AD、EB相交于點F．取BC的中點G，連接GF，則GF長的最大值為16cm．解：如圖，取AB的中點H，連接HG，HF，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到的，∴CE＝CB，CD＝CA，∠BCE＝∠ACD，設(shè)∠BCE＝∠ACD＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∴，∴，在四邊形BCDF中，，在△ABC中，∠ACB＝90°，∴，在Rt△ABF中，，∵HG為△ABC的中位線，∴，∴，∵FG≤HF+HG＝16cm，∴當F，H，G三點共線時，F(xiàn)G最大，最大值為HF+HG＝16cm，故答案為：16．15．（2分）（2023春?武侯區(qū)校級期末）如圖，等邊△ABC中，AB＝8，O是BC上一點，且，點M為AB邊上一動點，連接OM，將線段OM繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至ON，連接AN、CN，則△BCN周長的最小值為8+2．解：如圖，作QE⊥AB于點E，作NF⊥BC于點F，則∠OEM＝∠NFO＝90°，∴∠EMO＝90°﹣∠MOE，∵△ABC是等邊三角形，AB＝8，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝8，BO＝BC＝2，∴∠BOE＝30°，∴BE＝BO＝1，∴由勾股定理得OE＝，∵線段OM繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至ON，∴ON＝OM，∠MON＝60?，∵∠FON＝180°﹣∠MON﹣∠MOE﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣∠MOE﹣30°＝90°﹣∠MOE，∴∠EMO＝∠FON，∴△EMO≌△FON（AAS），∴NF＝OE＝，∴點N在到直線BC的距離為的一條直線上運動，設(shè)這條直線與AB的交點為Q，則NQ∥BC，作點B關(guān)于直線NQ的對稱點B′，連接BB′交直線NQ于點P，則當C、N、B′三點共線時，△BCN的周長最小，如圖2，∵NQ∥BC，∠NFO＝90°，∴∠FNP＝180°﹣∠NFO＝90°，由軸對稱的性質(zhì)得∠BPN＝90°，BB′＝2BP＝2，∴四邊形BPNF是矩形，∴BP＝NF＝OE＝，∠FBP＝90°，即，∠CBB′＝90°，∴CB′＝，∴，△BCN的周長＝BC+BN+CN＝BC+CB′＝8+2．故答案為：8+2．16．（2分）（2023春?鳳城市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，點P為AB上一點，將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得線段PQ，點Q在射線BC上，當PQ的垂直平分線MN經(jīng)過△ABC一邊中點時，PB的長為2或3或5．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝8，，PQ的垂直平分線MN經(jīng)過△ABC一邊中點，可分為以下三種情況：經(jīng)過AB的中點D；經(jīng)過AC的中點E；經(jīng)過BC的中點F．當MN經(jīng)過AB的中點D時，交BC于點G，如圖：，∵PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得線段PQ，∴PQ＝PB，∴∠PQB＝∠B＝30°，∵∠DPQ是△PQB的外角，∴∠DPQ＝∠B+∠PQB＝60°，∵MN垂直平分PQ，∴PD＝QD，∴△PQD是等邊三角形，∴PD＝QP，∴PD＝PB，∴；當MN經(jīng)過AC的中點E時，交BC于點G，如圖：，∵∠PQB＝30°，MN垂直PQ，∴∠EGQ＝60°，∴∠CEG＝30°，在Rt△ECG中，EC＝2，∴，∴，∵點G在MN上，∴PG＝QG，∴∠PQB＝∠QPG＝30°，∵∠PGB是△PQG的外角，∴∠PGB＝∠PQB+∠QPG＝60°，∴∠GPB＝90°，∴PG⊥PB，在Rt△PGB中，，∴，∴由勾股定理得：；當MN經(jīng)過BC的中點F時，交BC于點F（G），如圖：，同理可證：PG⊥PB，在Rt△PGB中，∠B＝30°，，∴PB＝3．綜上：PB的長為：2或5或3．故答案為：2或3或5．17．（2分）（2023春?黔東南州期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是邊AD上一點，且AE＝8，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值是．解：如圖，取AB的中點N，連接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延長線于H，由題意可得：AE＝8，DE＝4，∵點N是AB的中點，∴AN＝NB＝8，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等邊三角形，∴EA＝EN，∠AEN＝∠FEG＝60°，∠ANE＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴點G的運動軌跡是射線NG，∵BN＝EN，∠BNG＝∠ENG＝60°，NG＝NG，∴△EGN≌△BGN（SAS），∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∠H＝90°，DE＝4，∠EDH＝60°，∴，∴在Rt△ECH中，＝＝，∴GB+GC≥，∴GB+GC的最小值為；故答案為：．18．（2分）（2023春?灌云縣期中）如圖，在Rt△ABC中，AB＝5，∠B＝30°，點P是在直角邊BC上一動點，且△APD為等邊三角形，則CD的最小值是．解：在Rt△ABC中，AB＝5，∠B＝30°，∴AC＝AB＝，∵∠ACB＝90°，∴點C在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB的中點為H，連接DH，當點C在線段DH上時，CD的值最小，連接PH，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵點H為AB的中點，∴CH＝AH，∴△ACH是等邊三角形，∴∠ACH＝60°，AC＝AH，∴∠ACD＝120°，∵△APD為等邊三角形，∴∠DAP＝60°，AD＝AP，∴∠DAC＝∠HAP，∴△ADC≌△APH（SAS），∴∠AHP＝∠ACD＝120°，PH＝CD，∴∠BHP＝60°，∴∠CAB＝∠BHP，∴AC∥PH，∴BP＝CP，∴PH＝AC＝，∴CD的最小值是，故答案為：．19．（2分）（2023?南召縣模擬）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，且點P到點A、B、C的距離分別為2、1、，則正方形ABCD的面積為13．解：將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得△CBE，連接PE，過點B作BH⊥PE于H，∴BP＝BE，∠PBE＝90°，∠APB＝∠CEB，AP＝CE，∴△BPE是等腰直角三角形，∴PE＝，∵PE2+CE2＝（）2+（2）2＝10，PC2＝（）2＝10，∴PE2+CE2＝PC2，∴∠PEC＝90°，∴∠BEC＝∠APB＝135°，∴∠APB+∠BPE＝135°+45°＝180°，∴點A、P、E三點共線，∵PE＝，∴PH＝BH＝，∴AH＝AP+PH＝，在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2＝BH2+AH2＝（）2+（）2＝13，∴正方形ABCD的面積為：13．故答案為：13．20．（2分）（2023?南山區(qū)三模）如圖，矩形ABCD中，BC＝2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP′，連接PP′，CP′．過點P′作P′E⊥BC，垂足為點E，若P′E＝AP＝1，則AD＝2+4．?解：預(yù)備知識：tan75°＝2+，證明如下：如圖Rt△ABC中，∠90°，∠ABC＝30°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，∴∠D＝∠BAD，∵∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠BAD，∴∠BAD＝15°，∴∠CAD＝∠CAB+∠BAD＝60°+15°＝75°，令A(yù)C＝1，則BD＝AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，∴CD＝BC+BD＝+2，∴tan∠CAD＝tan75°＝＝+2．解決問題：∵線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP′，∴△BPP′是等邊三角形，∴BP＝BP′，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD，∵P′E⊥BC，∴∠P′EB＝90°，∵P′E＝AP＝1，∴Rt△ABP≌Rt△EBP′（HL），∴∠ABP＝∠EBP′，∵∠ABP+∠EBP′＝30°，∴∠ABP＝15°，∴∠APB＝90°﹣15°＝75°，∵tan∠APB＝tan75°＝＝+2，∴AB＝+2，∴BC＝2AB＝2+4，∴AD＝BC＝2+4．故答案為：2+4．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?倉山區(qū)校級開學）如圖，△AEC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△APB，∠AEC＝120°．求證：B、P、E三點共線．證明：連接PE，∵△AEC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△APB，∴∠PAE＝60°，AE＝AP，∠AEC＝∠APB，∴△APE是等邊三角形，∴∠APE＝60°，∵∠AEC＝120°，∴∠APB+∠APE＝120°+60°＝180°，∴B、P、E三點共線．22．（6分）（2022秋?江漢區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時點A'恰好在AB邊上，連結(jié)BB'．（1）說明△CAA′為等邊三角形；（2）求△A'BB'的周長．解：（1）∵△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時點A'恰好在AB邊上，∴CA＝CA'，CB＝CB'，∠ACA'＝∠BCB'，∵CA＝CA'，∠A＝60°，∴△CAA′為等邊三角形；（2）解：∵△CAA′為等邊三角形，∴∠ACA'＝60°，AA'＝AC＝1，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠A'CB＝∠A'BC＝30°，∴A'B＝A'C＝1，∴AB＝2，，∵CB＝CB'，∠BCB'＝60°，∴△CBB'為等邊三角形，∴，∴△A'BB'的周長為，故答案為：．23．（8分）（2023?思明區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝5，BC＝4，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使得CE∥AD，連接BE，與AD交于點F．（1）求證：∠CAD＝∠CBE；（2）求四邊形ACEF的面積．（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ECD＝∠ACB＝30°，CD＝CA＝5，CE＝CB＝4，∴∠CEB＝∠CBE，∠CDA＝∠CAD，∵CE∥AD，∴∠CDA＝∠ECD＝30°，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，∵∠CAD+∠CDA+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠ACB＝30°，∴∠BCD＝120°﹣∠ACB＝120°﹣30°＝90°，∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+30°＝120°，∵CB＝CE，∴，∴∠CAD＝∠CBE；（2）解：∵CE∥AD，∴∠EFD＝∠CEB＝30°，又∠CAD＝30°，∴∠EFD＝∠CAD＝30°，∴AC∥EF∴四邊形ACEF是平行四邊形，過點A作AG⊥EC交EC的延長線于點G，如圖，∴∠ACG＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD﹣∠DCE＝180°﹣30°﹣90°﹣30°＝30°，∴，∴S?ACEF＝CE?AG＝4×＝10．24．（8分）（2023?德陽）將一副直角三角板DOE與AOC疊放在一起，如圖1，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC．在兩三角板所在平面內(nèi)，將三角板DOE繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如圖2．（1）求α的值；（2）如圖3，繼續(xù)將三角板DOE繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在AC邊上點E2處，點D落在點D2處，設(shè)E2D2交OD1于點G，OE1交AC于點H，若點G是E2D2的中點，試判斷四邊形OHE2G的形狀，并說明理由．?解：（1）∵OD1∥AC，∴∠A＝∠AOD1＝30°，∵將三角板DOE繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）度到三角形D1OE1位置，∴∠AOD1＝α＝30°；（2）四邊形OHE2G是正方形，理由如下：∵∠E2OD2＝90°，OD2＝OE2，點G是E2D2的中點，∴E2G＝OG，E2G⊥OG，∵OD1∥AC，∴∠GOH＝∠AHO＝90°，∠OGE2＝∠CE2G＝90°，∴四邊形OHE2G是矩形，又∵E2G＝OG，∴四邊形OHE2G是正方形．25．（8分）（2023春?渠縣校級期末）閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB＝150°；（2）基本運用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如圖③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點O為Rt△ABC內(nèi)一點，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易證△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案為：150°；（2）如圖2，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如圖所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四點共線，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．26．（8分）（2023?鐵嶺模擬）已知∠ABN＝90°，在∠ABN內(nèi)部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．點D為射線BN上任意一點（與點B不重合），連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接EC并延長交射線BN于點F．（1）如圖1，當α＝90°時，線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系是BF＝CF；（2）如圖2，當0°＜α＜90°時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）過點E作EP⊥BN，垂足為點P．如圖3，當α＝60°，，PD＝1時，請直接寫出BD的長．解：（1）BF＝CF；理由如下：連接AF，如圖所示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠DAE＝α＝90°，AE＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝90°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ABF與Rt△ACF中，，∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），∴BF＝CF，故答案為：BF＝CF；（2）成立，理由如下：如圖2，連接AF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠DAE＝α，AE＝AD，∵∠BAC＝α，∴∠EAC﹣∠CAD＝α，∠BAD﹣∠CAD＝α，∴∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝90°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ABF與Rt△ACF中，，∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），∴BF＝CF；（3）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，①當∠BAD＜60°時，連接AF，如圖所示：∵Rt△ABF≌Rt△ACF，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，在Rt△ABF中，＝tan30°，，即CF＝BF＝4；根據(jù)（2）可知，△ACE≌△ABD，∴CE＝BD，∴EF＝CF+CE＝4+BD，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，又∵∠EPF＝90°，∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，∴PF＝EF＝2+BD，∴BP＝BF+PF＝6+BD，∴PD＝BP﹣BD＝6﹣BD＝1，∴BD＝10；②當∠BAD＝60°時，AD與AC重合，如圖所示：∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△ADE為等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∵∠ADB＝90°﹣∠BAC＝30°，∴∠ADE＝90°，∴此時點P與點D重合，PD＝0（舍）；③當∠BAD＞60°時，連接AF，如圖所示：∵Rt△ABF≌Rt△ACF，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，在Rt