23.1旋轉的概念與性質（第1課時）（作業(yè)）（夯實基礎能力提升）

23.1旋轉的概念與性質（第1課時）（作業(yè)）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、單選題1．（2022·全國·九年級專題練習）在以下生活現(xiàn)象中，屬于旋轉變換的是（）A．鐘表的指針和鐘擺的運動B．站在電梯上的人的運動C．坐在火車上睡覺的旅客D．地下水位線逐年下降【答案】A【分析】根據(jù)平移的意義，在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移；根據(jù)旋轉的意義，在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉．【詳解】解：A、鐘表的指針和鐘擺的運動都是旋轉變換，故本選項正確；B、站在電梯上的人的運動屬于平移現(xiàn)象，故本選項錯誤；C、坐在火車上睡覺，屬于平移現(xiàn)象，故本選項錯誤；D、地下水位線逐年下降屬于平移現(xiàn)象，故本選項錯誤；故選：A．【點睛】本題是考查圖形的平移、旋轉的意義．圖形平移與旋轉的區(qū)別在于圖形是否改變方向，平移圖形不改變方向，旋轉圖形改變方向；旋轉不一定作圓周運動，象鐘擺等也屬于旋轉現(xiàn)象．2．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，將繞著點O順時針旋轉，得到（點C落在外），若，，則最小旋轉角度是（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】直接利用已知得出∠AOC的度數(shù)，再利用旋轉的性質得出對應邊之間夾角，得出答案即可．【詳解】∵∠AOB=30°，∠BOC=10°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=30°+10°=40°∵將△AOB繞著點O順時針旋轉，得到△COD，∴最小旋轉角為∠AOC=40°．故選：C．【點睛】此題主要考查了旋轉的性質，正確得出∠AOC的度數(shù)是解題關鍵．3．（2022·廣東廣州·模擬預測）如圖，點A、B、C、D、O都在方格紙上，若△COD是由△AOB繞點O按逆時針方向旋轉而得，則旋轉的角度為（）A．30° B．45° C．90° D．135°【答案】D【分析】利用旋轉的性質得到∠AOC為旋轉角，然后利用∠AOB＝45°得到∠AOC的度數(shù)即可．【詳解】解：∵△COD是由△AOB繞點O按逆時針方向旋轉而得，∴∠AOC為旋轉角，∵∠AOB＝45°，∴∠AOC＝45°+90°=135°，即旋轉角為135°．故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質，對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．4．（2022·全國·九年級專題練習）依次觀察三個圖形：，并判斷照此規(guī)律從左向右第四個圖形是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可知，從左到右是依次順時針旋轉圖形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由圖形規(guī)律可得從左到右是依次順時針旋轉圖形，∴第四個圖形是D．故答案為：D【點睛】本題考查了旋轉的性質，根據(jù)三個圖形找出旋轉的規(guī)律是解題關鍵．5．（2022·河北保定·九年級期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△MPN繞某一點旋轉某一角度得到△M′P′N′，則旋轉中心可能是（）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】B【分析】連接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分線，作NN'的垂直平分線，作MM'的垂直平分線，交點為旋轉中心．【詳解】如圖，∵△MNP繞某點旋轉一定的角度，得到△M'N'P'，∴連接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分線，作NN'的垂直平分線，作MM'的垂直平分線，∴三條線段的垂直平分線正好都過B，即旋轉中心是B．故選：B．【點睛】本題考查了學生的理解能力和觀察圖形的能力，以及旋轉的性質，注意：旋轉時，對應頂點到旋轉中心的距離應相等且旋轉角也相等，對稱中心在連接對應點線段的垂直平分線上．6．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，將等邊△ABC繞點C順時針旋轉120°得到△EDC，連接AD，BD．則下列結論：①AC=AD；②BD⊥AC；③四邊形ACED是菱形．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)旋轉和等邊三角形的性質得出∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，求出△ACD是等邊三角形，求出AD=AC，根據(jù)菱形的判定得出四邊形ABCD和ACED都是菱形，根據(jù)菱形的判定推出AC⊥BD．∵將等邊△ABC繞點C順時針旋轉120°得到△EDC，∴∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，∴∠ACD=120°﹣60°=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AC=AD，AC=AD=DE=CE，

∴四邊形ACED是菱形，∵將等邊△ABC繞點C順時針旋轉120°得到△EDC，AC=AD，

∴AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，∴①②③都正確考點：(1)、旋轉的性質；(2)、等邊三角形的性質；(3)、菱形的判定．7．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，如果正方形ABCD旋轉后能與正方形CDEF重合，那么圖形所在平面內(nèi)，可作為旋轉中心的點個數(shù)（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】可以繞點D,點C,線段CD的中點旋轉，故選C.8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一個邊長為1cm的小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉，那么這個小正方形第一次回到起始位置時，小正方形箭頭的方向是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，矩形ABCD的邊長AB和BC分別是3cm和2cm，小正方形的邊長為1cm，則這個小正方形第一次回到起始位置時需10次翻轉，而每翻轉4次，它的方向重復依次，小正方形共翻轉10次回到起始位置，即可得到它的方向．【詳解】解：根據(jù)題意可得：小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉，矩形ABCD的邊長AB和BC分別是3cm和2cm，小正方形的邊長為1cm，則這個小正方形第一次回到起始位置時需10次翻轉，而每翻轉4次，它的方向重復1次，故回到起始位置時它的方向是向下．故選：C．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律題，關鍵是得出小正方形共翻轉10次回到起始位置．9．（2022·江蘇南京·二模）如圖，已知菱形ABCD與菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結論：①經(jīng)過1次平移和1次旋轉；②經(jīng)過1次平移和1次翻折；③經(jīng)過1次旋轉，且平面內(nèi)可以作為旋轉中心的點共有3個．其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】利用平移，旋轉，翻折的性質等知識一一判斷即可．【詳解】解：將菱形ABCD向右平移至點B與點G重合，然后以點G為旋轉中心旋轉即可得到菱形AEFG；故①符合題意；將菱形ABCD向右平移至點C與點F重合，然后以過點F的垂線為對稱軸翻折即可得到菱形AEFG；故②符合題意；將菱形ABCD以點A為旋轉中心旋轉即可得到菱形AEFG；設直線BD、GE相交于點O，將菱形ABCD以點O為旋轉中心旋轉即可得到菱形AEFG；但旋轉中心只有點A和點O兩個個，故③不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查平移，旋轉，翻折等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題10．（2022·全國·九年級單元測試）一個正五角星繞著它的中心至少旋轉_________度能與自身重合．【答案】72【分析】該圖形被平分成五部分，因而每部分被分成的圓心角是72°，因而旋轉72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合．【詳解】解：該圖形被平分成五部分，旋轉72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合，因而一個正五角星繞著它的中心至少旋轉72度能與自身重合．故答案為：72【點睛】本題考查旋轉對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角．11．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，P是正△ABC內(nèi)的一點，若將△PAB繞點A逆時針旋轉到△P1AC，則∠PAP1等于________度．【答案】60【分析】利用旋轉的性質即可得出答案．【詳解】解：∵△ABC是正三角形，∴，由旋轉的性質可知，∠PAP1．故答案為：60．【點睛】本題考查正三角形的性質和旋轉的性質，由旋轉的性質得出∠PAP1是解題的關鍵．12．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，用六個全等的等邊三角形可以拼成一個六邊形，三角形的公共頂點為O，則該六邊形繞點O至少旋轉______°后能與原來的圖形重合．【答案】60【分析】根據(jù)旋轉的性質可進行求解．【詳解】解：由題意可知該六邊形是正六邊形，則可知正六邊形每條邊所對的圓心角為60°，所以該六邊形繞點O至少旋轉60°后能與原來的圖形重合；故答案為60．【點睛】本題主要考查旋轉的性質及正多邊形，熟練掌握旋轉的性質及正多邊形是解題的關鍵．13．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABF和△ADE經(jīng)旋轉后得到的，則可知旋轉中心為___，旋轉了___度，如果連接EF，那么△AEF是___三角形．【答案】

點A

90

等腰直角【分析】由旋轉的性質可得旋轉中心點，旋轉角度，然后問題可求解．【詳解】解：如圖，∵△ABF是△ADE的旋轉圖形，∴旋轉中心是點A；∵∠DAB＝90°，且AD與AB是對應邊，∴旋轉了90°，∵AE＝AF，∠FAE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形；故答案為：點A，90，等腰直角．【點睛】本題主要考查旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．14．（2022·福建省福州第十九中學九年級開學考試）如圖，正方形ABCD的邊長為3，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．若AE=1，則FM的長為________．【答案】2.5【分析】由旋轉可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；則可得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用ABAE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x,可得出BF=BMFM=BMEF=4x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為FM的長．【詳解】解：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三點共線，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，設EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BMMF=BMEF=4x，∵EB=ABAE=31=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得，即，解得：x=2.5，∴FM=2.5．故答案為：2.5．【點睛】此題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．15．（2022·黑龍江·虎林市東方紅鎮(zhèn)中學九年級階段練習）如圖，在平面內(nèi)將Rt△ABC繞直角頂點C逆時針旋轉90°到Rt△EFC，若AB=，BC=1，則BE的長為______．【答案】3【分析】由勾股定理可得AC=2，由旋轉的性質可得CE=AC=2，即可求解．【詳解】解：∵△ABC為直角三角形，AB=，BC=1，∴AC==2，∵Rt△ABC繞著直角頂點C逆時針旋轉90°得到Rt△EFC，∴CE=AC=2，∴BE=BC+CE=3，故答案為：3．【點睛】本題考查旋轉的性質，勾股定理，解題的關鍵是明確旋轉前后對應邊相等．16．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在直角坐標平面內(nèi)，有點A（﹣2，0），B（0，），將線段AB繞點B逆時針旋轉90°，點A落在點C處，那么點C的坐標為__．【答案】（，﹣2）##【分析】如圖，過點C作CH⊥OB于H．利用全等三角形的性質求出OH，CH，可得結論．【詳解】解：如圖，過點C作CH⊥OB于H．∵A（﹣2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝，∵∠AOB＝∠CHB＝∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH（AAS），∴OA＝BH＝2，OB＝CH＝，∴OH＝OB﹣BH＝﹣2，∴C（，﹣2）．故答案為：（，﹣2）．【點睛】本題考查坐標與圖形變化﹣旋轉，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．三、解答題17．（2022·江西吉安·九年級期末）如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉得到矩形，點C的對應點恰好落在CB的延長線上，邊AB與相交于點E．求證：．【答案】見解析【分析】如圖，連接AC，，根據(jù)矩形的性質可得，根據(jù)旋轉的性質可得，由三線合一定理即可得到．【詳解】證明：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°，即．由旋轉，得，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，矩形的性質，三線合一定理，熟練掌握三線合一定理是解題的關鍵18．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，E是正方形ABCD的邊AB上一點，AB＝4，DE＝4.3，△DAE逆時針旋轉后能夠與△DCF重合．(1)旋轉中心是，旋轉角為°．(2)請你判斷△DEF的形狀，并說明理由；(3)四邊形DEBF的周長是，面積是．【答案】(1)D，90(2)等腰直角三角形，見解析(3)16.6，16【分析】（1）由旋轉變換的性質判斷即可；（2）結合（1）中所得可知DE=DF，∠EDF=90°，據(jù)此即可對△DFE的形狀進行判斷；（3）結合圖形，利用全等三角形的性質和圖中線段之間的關系不難得到四邊形DEBF的周長為AB+BC+DF+DE，面積等于正方形ABCD的面積，再聯(lián)系已知條件即可使問題得到解答．（1）解：觀察圖形，根據(jù)題意易得旋轉中心是點D，且△ADE≌CDF．∴∠ADE=∠CDF．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴旋轉中心是點D，旋轉角為90°．故答案為：D，90；（2）結論：△DFE是等腰直角三角形．理由：∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF．∵∠EDF=∠ADC=90°，∴△DFE是直角三角形．∵DE=DF，△DFE是直角三角形，∴△DFE是等腰直角三角形；（3）解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=4，∴AB=BC=4．∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，CF=AE．∵BE=ABAE，BF=BC+CF，AE=CF，∴BE+BF=AB+BC．∵DE=DF，DE=4.3，BE+BF=AB+BC，AB=BC=4，∴DE+DF+BF+BE=16.6．則四邊形DEBF的周長為16.6，∵△ADE≌△CDF，∴，∴，∵AB=4，∴=16．=16．故答案為：16.6，16．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的定義，旋轉變換等知識，解題的關鍵是掌握旋轉變換的性質，靈活運用所學知識解決問題．19．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在中，，將繞點A旋轉一定的角度得到，且點E恰好落在邊上．(1)求證：平分；(2)連接，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉性質得到對應邊相等，對應角相等，進而根據(jù)等邊對等角性質可將角度進行等量轉化，最后可證得結論．（2）根據(jù)旋轉性質以及三角形內(nèi)角和定理對角度進行等量轉化可證得結論．（1）證明：由旋轉性質可知：平分（2）證明：如圖所示：由旋轉性質可知：即在中，即【點睛】本題考查了三角形的旋轉變化，熟練掌握旋轉前后圖形的對應邊相等，對應角相等以及合理利用三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·九年級課時練習）4張撲克牌如圖（1）所示放在桌子上，小敏把其中兩張旋轉180°后得到如圖（2）所示，那么她所旋轉的牌從左起是（

）A．第一張、第二張B．第二張、第三張C．第三張、第四張D．第四張、第一張【答案】A【詳解】試題解析：觀察兩個圖中可以發(fā)現(xiàn)，所有圖形都沒有變化，所以旋轉的撲克是成中心對稱的第一張和第二張．故選A．考點：中心對稱圖形．2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，點G在CB的延長線上，DE＝CF＝BG．下列說法：①將△DCF沿某一直線平移可以得到△ABG；②將△ABG沿某一直線對稱可以得到△ADE；③將△ADE繞某一點旋轉可以得到△DCF．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C【分析】由正方形的性質和已知條件可以得到△ADE≌△DCF、△ADE≌△ABG、△ABG≌△DCF，然后根據(jù)圖形變換的知識可以對各選項的正誤作出判斷．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADE＝∠DCB＝90°，又∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF（SAS），同理可得：△ADE≌△ABG，△ABG≌△DCF，∴將△DCF沿某一直線平移可以得到△ABG，故①正確；將△ABG繞點A旋轉可以得到△ADE，故②錯誤；將△ADE繞線段AD，CD的垂直平分線的交點旋轉可以得到△DCF，故③正確；故選：C．【點睛】本題考查正方形性質和圖形變換的綜合應用，根據(jù)全等三角形的性質和圖形變換的知識解題是關鍵所在．3．（2022·北京·人大附中九年級階段練習）如圖，是邊長為1的等邊的中心，將AB、BC、CA分別繞點A、點B、點C順時針旋轉，得到、、，連接、、、、．當?shù)闹荛L取得最大值時，此時旋轉角的度數(shù)為（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】D【分析】連接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，則有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等邊三角形，當O、C、共線時，O＝OC+C＝OC+CA＝+1時，O最長，此時＝?（+1）＝1+，α＝150°．【詳解】解：如圖，連接OA、OB、OC、．∵O是等邊三角形△ABC是中心，∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC，∵∠BA＝∠AC＝α，∴∠OA＝∠OC，在△OA和△OC中，，∴△OA≌△OC（SAS），∴∠AO＝∠CO，O＝O，∴∠O＝∠AOC＝120°，同理可證∠O＝∠O＝120°，O＝O，則有△O≌△O≌△O，∴＝＝，∴△是等邊三角形，在△O中，∵∠O＝120°，O＝O，∴當O最長時，最長，∵O≤OC+C，∴當O、C、共線時，O＝OC+C＝OC+CA＝+1時，O最長，此時＝?（+1）＝1+，α＝150°，∴△的周長的最大值為3+3．故選：D【點睛】本題考查旋轉變換、等邊三角形的性質和判定、全等三角形的判定和性質、最大值問題等知識，解題的關鍵是靈活應用全等三角形的判定，學會利用三角形的三邊關系解決最大值問題．4．（2022·江西上饒·九年級期末）如圖，是由6×6個邊長為1的小正方形網(wǎng)格組成，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的三個頂點A，B，C均在格點上，將△ABC繞著邊的中點旋轉180°，愛觀察與思考的小明發(fā)現(xiàn)以下結論不正確的是（

）A．△ABC各邊的中點都可通過網(wǎng)格確定；B．△ABC繞著AC的中點旋轉180°掃過的面積為13；C．旋轉前后的兩個三角形可形成平行四邊形；D．△ABC繞著各邊的中點旋轉后的△A′B′C′都在網(wǎng)格的格點上．【答案】B【分析】將△ABC繞著邊的中點旋轉180°后根據(jù)選項依次作答．【詳解】解：將△ABC繞著邊的中點旋轉180°后如圖，A．△ABC各邊的中點都可通過網(wǎng)格確定，正確；B．△ABC繞著AC的中點旋轉180°掃過的面積為⊙O的面積S=，故B錯誤；C．旋轉前后的兩個三角形可形成平行四邊形，正確；D．△ABC繞著各邊的中點旋轉后的△A′B′C′都在網(wǎng)格的格點上，正確．故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，旋轉變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題5．（2022·河南·模擬預測）如圖，正方形旋轉后能與正方形重合，那么點，，，中，可以作為旋轉中心的有______個．【答案】2．【分析】根據(jù)旋轉的性質，分類討論確定旋轉中心．【詳解】解：把正方形ABCD繞點D逆時針旋轉90°能與正方形CDEF重合，則旋轉中心為點D；把正方形ABCD繞點C順時針旋轉90°能與正方形CDEF重合，則旋轉中心為點C；綜上，可以作為旋轉中心的有2個．故答案為：2．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質．6．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，將邊長為1的正三角形沿軸正方向作無滑動的連續(xù)反轉，點依次落在點，，的位置，則點的坐標為______．【答案】【分析】根據(jù)圖形的翻轉，分別得出、、的橫坐標，再根據(jù)規(guī)律即可得出各個點的橫坐標，進一步得出答案即可．【詳解】解：由題意可知、的橫坐標是1，的橫坐標是2.5，、的橫坐標是4，的橫坐標是依此類推下去，、的橫坐標是2017，的橫坐標是2018.5，的橫坐標是2020，的坐標是，故答案為．【點睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的性質及坐標與圖形性質，根據(jù)題意得出、、的橫坐標，得出規(guī)律是解答此題的關鍵．7．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校九年級階段練習）已知平面直角坐標系內(nèi)有一點P（，），連接，將線段繞著點逆時針旋轉90度，點落在點的位置，則的坐標為________．【答案】【分析】先畫出符合題意的圖形，過分別作軸，軸，垂足分別為再證明利用全等三角形的性質可得答案．【詳解】解：如圖，由題意可得：過分別作軸，軸，垂足分別為則∴∴∵∴∴故答案為：【點睛】本題考查的是旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，坐標與圖形，利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．8．（2022·廣西·都安瑤族自治縣民族實驗初級中學九年級階段練習）如圖所示，在等邊△ABC中，AB＝6，D是BC的中點，將△ABD繞點A旋轉后得到△ACE．則∠DAE＝___度．【答案】60【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB=6，根據(jù)D是BC的中點，將△ABD繞點A旋轉得到△ACE，得到△ACE≌△ABD，推出∠CAE=∠BAD，推出∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°．【詳解】∵等邊△ABC中，∠BAC=60°，AC=AB=6，且D是BC的中點，將△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，∴△ACE≌△ABD，∴∠CAE=∠BAD，∴∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°．故答案為：60．【點睛】本題主要考查了等邊三角形，旋轉，解決問題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的邊角性質，旋轉圖形全等性．9．（2022·浙江杭州·一模）兩塊全等的等腰直角三角板如圖放置，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合，將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，當點D落在直線AB上時，若BC＝2，則AD＝______．【答案】或【分析】作直線AE，則AE⊥BC；設E點為坐標原點，則A（0，1），B（1，0），則直線AB為：y=x+1，設D點（a，a+1），利用D、E兩點的距離公式求得D點坐標，再求A、D兩點距離即可解答；【詳解】解：如圖，作直線AE，△ABC是等腰直角三角形，E是BC中點，∴AE⊥BC，∵BC=2，∴BE=1，AE=1，AB==，∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=，設E點為坐標原點，則A（0，1），B（1，0），設AB所在的直線為：y=kx+b，代入A，B坐標可得直線為：y=x+1，D點在直線AB上，設D點（a，a+1），由兩點距離公式可得：DE==，，解得：a=∴D點坐標為（，）（在BA延長線上），或（，）（在AB延長線上），A點坐標（0，1），∴AD==，或AD==，故答案為：或；【點睛】本題考查了圖形的旋轉，等腰三角形的性質，勾股定理，通過建立坐標系構造一次函數(shù)求得D點坐標是解題關鍵．三、解答題10．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，其中一個三角形是由另一個三角形繞某點旋轉一定的角度得到的，請你尺規(guī)作圖在圖中標記旋轉中心P的位置，并說出P的坐標．【答案】圖見解析，點【分析】對應點連線段的垂直平分線的交點即為旋轉中心．【詳解】作線段AB，線段CD，作線段AB的垂直平分線MN，線段CD的垂直平分線EF，直線MN交直線EF于點P，點P即為旋轉中心，如圖所示，可知旋轉中心，故答案為：．【點睛】本題考查坐標與圖形變化旋轉，解題的關鍵是理解對應點連線段的垂直平分線的交點即為旋轉中心．11．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ADE經(jīng)順時針旋轉后與△ABF重合．(1)旋轉中心是哪一點？(2)旋轉了多少度？(3)如果連接EF，那么△AEF是怎樣的三角形？【答案】(1)點A(2)90°(3)等腰直角三角形【分析】（1）可以根據(jù)圖形判斷點為旋轉中心；（2）根據(jù)對應邊、的夾角等于旋轉角可以求解；（3）根據(jù)旋轉的性質可得：，，根據(jù)等腰直角三角形的定義判定即可判斷．（1）解：由題意可判斷旋轉中心為點；（2）解：四邊形是正方形，，旋轉角為；（3）解：由旋轉的性質得：，，故是等腰直角三角形．【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，等腰直角三角形的判定，解題的關鍵是熟記性質并準確識圖．12．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，和都是等邊三角形.（1）沿著______所在的直線翻折能與重合；（2）如果旋轉后能與重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉中心的點是______；（3）請說出2中一種旋轉的旋轉角的度數(shù)______.【答案】（1）；（2）.點、點或者線段的中點；（3）【分析】(1)因為和有公共邊AC，翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；（2）將△ABC旋轉后與重合，可以以點A、點C或AC的中點為旋轉中心；（3）以點A、點C為旋轉中心時都旋轉，以AC中點旋轉時旋轉180.【詳解】(1)∵和都是等邊三角形，∴和是全等三角形，∴△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.故填AC;(2)將△ABC旋轉后與重合，則可以以點A為旋轉中心逆時針旋轉60或以點C為旋轉中心順時針旋轉60，或以AC的中點為旋轉中心旋轉180即可；（3）以點A、點C為旋轉中心時都旋轉，以AC中點旋轉時旋轉180.【點睛】此題考查平移的對稱軸確定的方法、旋轉中心確定的方法，依照平移、旋轉的性質來確定即可.13．（2022·北京市廣渠門中學九年級階段練習）如圖，在正方形ABCD中，射線AE與邊CD交于點E，將射線AE繞點A順時針旋轉，與CB的延長線交于點F，，連接FE．(1)求證：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】（1）根據(jù)正方形的性質得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，求得∠ABF=，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；（2）根據(jù)全等三角形的性質得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質得到AE=2DE=4，于是得到結論．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，∴∠ABF=，在△ABF與△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF=AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF=∠DAE，∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=，∴∠FAE=，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D=，∠DAE=，DE=2，∴AE=2DE=4，∴△AEF的面積=．【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，證得△ABF≌△ADE是解題的關鍵．14．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B逆時針旋轉60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，連接DE．(1)求證：△BDE≌△BCE；(2)試判斷四邊形ABED的形狀．并說明理由．【答案】(1)見解析(2)菱形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)性質的性質可知，AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°，繼而求得∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°，根據(jù)SAS證明△BDE≌△BCE；（2）由△BDE≌△BCE，得出DE＝CE，繼而得出AB＝EB＝DE＝AD，即可得出結論．（1）解：證明：∵由旋轉可知，AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝60°﹣30°＝30°，∴∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°，在△BDE和△BCE中，，∴△BDE≌△BCE．（SAS）．（2）結論：四邊形ABDE是菱形．理由：∵△BDE≌△BCE，∴DE＝CE，∵BE＝CE，AB＝EB，AD＝EC，∴AB＝EB＝DE＝AD，∴四邊形ABED是菱形．【點睛】本題考查了旋轉的性質，菱形的判定，全等三角形的性質與判定，掌握性質的性質是解題的關鍵．15．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在由邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，將格點繞某點順時針旋轉（）得到格點，點與點，點與點，點與點是對應點．(1)請通過畫圖找到旋轉中心，將其標記為點；(2)旋轉角的度數(shù)是______；(3)求的面積．【答案】(1)見解析(2)90°(3)【分析】（1）連接CC1、AA1，再分別作兩線段的中垂線，兩中垂線的交點即為所求；（2）連接CO、C1O，結合網(wǎng)格特點可得旋轉角∠COC1=α=90°；（3）利用割補法即可求面積．（1）如圖所示，連接CC1、AA1，再分別作兩線段的中垂線，兩中垂線的交點O即為所求；（2）如圖所示，連接CO、C1O，結合網(wǎng)格特點可得∠COC1=α=90°，故答案為；（3）．【點睛】本題主要考查作圖旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換的定義和性質．16．（2022·甘肅·張掖育才中學九年級期末）如圖1，在正方形ABCD中，EF分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝45°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．小王同學探究此問題的方法是將△ABE繞A點旋轉90°使得B與D重合，連接AG，由此得到，再證明，可得出結論，他的結論應是．拓展延伸：如圖2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點G，H在邊AC上，且∠GBH＝45°，寫出圖中線段AG，GH，CH之間的數(shù)量關系并證明．【答案】（1）BE=DG，EF=FG，EF=BE+DF；（2）GH2=AG2+CH2，證明見解析．【分析】（1）結論：EF=BE+DF．證明△AFE≌△AFG（SAS）即可解決問題．（2）結論：GH2=AG2+CH2．將△BCH繞點B逆時針旋轉90°得到△BAM．證明∠MAG=90°，△BGH≌△BGM（SAS）即可解決問題．【詳解】解：（1）結論：EF=BE+DF．由旋轉的性質可知：DG=BE，∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠FAG=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°，∴∠FAG=∠EAF，∵AF=AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，∵FG=DF+DG=DF+BE，∴EF=BE+DF．（2）結論：GH2=AG2+CH2．如圖：將△BCH繞點B逆時針旋轉90°得到△BAM．∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠C=45°，由旋轉的性質可知：BH=BM，∠C=∠BAM=45°，∠ABM=∠CBH，∴∠MAG=∠BAM+∠BAC=90°，∵∠HBG=45°，∴∠GBM=∠ABG+∠ABM=∠ABG+∠CBH=90°∠HBG=45°，∴∠HBG=∠MBG，∵BG=BG，∴△BGH≌△BGM（SAS），∴GH=GM，∵∠MAG=90°，∴AM2+AG2=GM2，∴GH2=AG2+CH2．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，旋轉變換，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加輔助線，屬于中考常考題型．17．（2022·全國·九年級課時練習）定義：若二次函數(shù)的圖象記為，其頂點為，二次函數(shù)的圖象記為，其頂點為，我們稱這樣的兩個二次函數(shù)互為“反頂二次函數(shù)”．分類一：若二次函數(shù)經(jīng)過的頂點B，且經(jīng)過的頂點A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數(shù)”．(1)所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）(2)試求出的“反頂伴侶二次函數(shù)”．(3)若二次函數(shù)與互為“反頂伴侶二次函數(shù)”，試探究與的關系，并說明理由．(4)分類二：若二次函數(shù)可以繞點M旋轉180°得到二次函數(shù)；，我們就稱它們互為“反頂旋轉二次函數(shù)”．①任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）②互為“反頂旋轉二次函數(shù)”的對稱中心點M有什么特點？③如圖，，互為“反頂旋轉二次函數(shù)”，點E，F(xiàn)的對稱點分別是點Q，G，且軸，當四邊形EFQG為矩形時，試探究二次函數(shù)，的頂點有什么關系．并說明理由．【答案】(1)假(2)(3)見解析(4)①真；②見解析；③見解析【分析】（1）根據(jù)題意舉反例驗證求解即可；（2），則“反頂伴侶二次函數(shù)”為，再將（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；（3）根據(jù)題意，分別表示出過頂點坐標的函數(shù)解析式，進行相加化簡即可得出結果；（4）①由旋轉的性質，找到對稱中心M，可知對于任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉二次函數(shù)”；②利用A，B坐標求出中點M的坐標，進而得出結論；③根據(jù)矩形的性質和平行的性質，得出AB∥y軸，進而得出A，B點的坐標均為（h，h），最后得出結論．(1)解：令的頂點坐標A為（1，4），開口向上，則的頂點坐標B為（4，1），此時C1不經(jīng)過B（4，1），∴所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是假命題．故答案為：假．(2)解：，則“反頂伴侶二次函數(shù)”為，由題意，得將（2，1）代入，得，解得a=1，∴的“反頂伴侶二次函數(shù)”為．(3)解：∵二次函數(shù)經(jīng)過的頂點B，且經(jīng)過的頂點A，∴①，②，①+②，得，當h=k時，與任意非零實數(shù)；當h≠k時，=0．(4)解：①如圖∵A，B的中點為M，∴對稱中心為M，∴任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉二次函數(shù)”．故答案為：真；②∵M為A，B的中點，∴M的坐標為，即M在直線y=x上．③解：∵軸，四邊形EFQG為矩形，∴AB∥y軸，∴h=k，即A，B的坐標均為（h，h），∴A，B兩點重合在直線y=x上．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質，以及矩形的性質，讀懂題意，理解新定義是解決問題的關鍵．18．（2022·北京四中九年級開學考試）在正方形ABCD中，點P是線段CB延長線上一點，連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉90°，得到線段PE，連接CE．過點E作EF⊥BC于F．(1)在圖1中補全圖形；(2)①求證：EF＝CF．②猜測CE，CP，CD三條線段的數(shù)量關系并證明；(3)若將線段PA繞點P逆時針旋轉90°，其它條件不變，直接寫出CE，CP，CD三條線段的數(shù)量關系為______．【答案】(1)補全圖形見解析(2)①見解析；②CP﹣CD＝CE，證明見解析(3)CE＝（CD?CP）或CE＝（CD+CP）【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形即可；（2）①根據(jù)正方形和垂直性質，證明，進而推出PB=EF，AB=PF，即可得出結論；②利用全等三角形性質和等腰三角形性質，即可得出結論；（3）①當點P在線段BC上時，在BA上截取BM=BP，得到是等腰直角三角形，再根據(jù)正方形和旋轉性質，證明，得出CE=PM，即可得出結論；②當點P在線段BC的延長線上時，在BA上截取BM=BP，則是等腰直角三角形，PM=BP，再根據(jù)正方形和旋轉性質，證明，得出CE=PM，即可得出結論．（1）解：補全圖形如圖1所示：（2）①證明：如圖1所示∵線段PA繞點P順時針旋轉90°得到線段PE，∴PA＝PE，∠APE＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，∵EFBC于F，∴∠PFE＝90o＝∠ABP，∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，∴∠APB＝∠PEF，在△APB和△PEF中，，∴△APB≌△PEF（AAS），∴PB＝EF，AB＝PF，∵AB＝BC，∴BC＝PF，∴PB＝CF，∴EF＝CF；②解：結論：CP﹣CD＝CE．理由：∵CD＝CB，∴CP﹣CD＝CP﹣CB＝PB＝CF，∵EF＝CF，∠CFE＝90°，∴CF＝CE，∴CP﹣CD＝CE；（3）（3）解：分兩種情況：①當點P在線段BC上時：CE＝（CD﹣CP），理由如下：在BA上截取BM＝BP，連接PM．則△PBM是等腰直角三角形，∴PM＝PB，∠BMP＝∠BPM＝45°，∵AB＝BC，∴AM＝PC，由旋轉的性質得：PE＝PA，∠APE＝90°，∴∠APM+∠CPE＝180﹣90°﹣45°＝45°，又∵∠MAP+∠APM＝∠BMP＝45°，∴∠MAP＝∠CPE，在△PCE和△AMP中，，∴△PCE≌△AMP（SAS），∴CE＝PM，∵CD﹣PC＝BC﹣PC＝BP，∴CE＝PM＝BP＝（CD﹣CP）；②當點P在線段BC的延長線上時，CE＝（CD+CP），理由如下：在BA上截取BM＝BP，連接PM，如圖4所示：則△PBM是等腰直角三角形，PM＝BP．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠DAM＝∠BAD＝90°，ADBC，∴AM＝PC，∠DAP＝∠APB，由旋轉的性質得：PE＝PA，∠APE＝90°，∴∠PAM＝∠EPC，在△PCE和△AMP中，，∴△PCE≌△AMP（SAS），∴CE＝PM，∵CD+CP＝BC+CP＝BP，∴CE＝PM＝BP＝（CD+CP）；故答案為：CE＝（CD﹣CP）或CE＝（CD+CP）．【點睛】本題考查的是四邊形的綜合題目，熟練掌握旋轉變換、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質等知識，添加輔助線構造全等三角形，靈活運用所學知識是解題關鍵．19．（2022·湖北·武漢二中廣雅中學九年級階段練習）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為平面內(nèi)的一點．(1)如圖1，當點D在邊BC上時，BD＝，且AD＝2，則AB＝______；(2)如圖2，當點D在△ABC的外部，且滿足∠BDC﹣∠ADB＝45°，請你證明線段CD與AD的數(shù)量關系；(3)）如圖3，若AB＝4，當D、E分別為AB、AC的中點，把△DAE繞A點順時針旋轉，設旋轉角為α（0＜α≤180°），直線BD與CE的交點為P，連接PA，直接寫出△PAB面積的最大值______．【答案】(1)；(2)CD＝AD，證明見解析；(3)．【分析】（1）將△ABD沿AB折疊，得到△ABE，連接DE交AB于F，由折疊的性質可知△ABD≌△ABE，AB垂直平分DE，進一步可證明△BDE是等腰直角三角形，求出BF＝DE＝1，證明△ADE是等邊三角形，進一步求出AF＝，即可求出AB＝AF+BF＝+1；（2）過點A作AE⊥AD，且AE＝AD，連接DE、CE，CE交BD于O，AC與BD交于點H，證明△BAD≌△CAE（SAS），得到∠ABD＝∠ACE，再證明△ADE是等腰直角三角形，得到ED＝AD，證明△DOC≌△DOE（ASA），得到CD＝DE，即可證明CD＝AD；（3）過點P作PG⊥AB于點G，當直線CE與該圓相切于點E時，△PAB的面積最大，求出PG的最大值即可求出答案．（1）解：如圖1，將△ABD沿AB折疊，得到△ABE，連接DE交AB于F，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵將△ABD沿AB折疊，得到△ABE，∴△ABD≌△ABE，AB垂直平分DE，∴AE＝AD＝2，BE＝BD，∠ABE＝∠ABD＝45°，∠BAD＝∠BAE，∴∠DBE＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DE＝BD＝2，BF＝DE＝1，∴AE＝DE＝AD，∴△ADE是等邊三角形，DF＝EF＝DE＝1，∴AF＝＝＝，∴AB＝AF+BF＝+1，故答案為：+1；（2）解：CD＝AD，理由如下：如圖2，過點A作AE⊥AD，且AE＝AD，連接DE、CE，CE交BD于O，AC與BD交于點H，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在和中，∴，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠AHB＝90°，∠CHO＝∠AHB，∴∠ACE+∠CHO＝90°，∴∠BOC＝90°，∵AE＝AD，∠DAE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE＝45°，ED＝AD，∵∠BDC﹣∠ADB＝45°，∴∠BDC＝∠ADC+45°＝∠EDB，在和中，∴，∴CD＝DE，∴CD＝AD；（3）解：過點P作PG⊥AB于點G，如圖3，∵△DAE繞A點順時針旋轉，設旋轉角為α（0＜α≤180°），∴D、E兩點在以點A為圓心，AD為半徑的圓上，當直線CE與該圓相切于點E時，△PAB的面積最大，∵CP是圓A的切線，∴AE⊥CP，∵∠AED＝45°，∴∠DEP＝45°，∴∠DEP＝∠ADE＝45°，∴，∴DP⊥CP，∵∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四邊形AEPD為正方形，∴∠ADB＝90°，PD＝AD＝AB＝2，∵BD＝＝＝2，∴BP＝BD﹣PD＝2﹣2，∵AD⊥BD，AD＝AB，∴∠ABD＝30°，∵PG⊥AB，∴，∴△PAB面積的最大值，故答案為：．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的性質和判定，勾股定理的應用，旋轉的性質，折疊的性質，作出輔助線是解本題的關鍵．20．（2022·湖北·武漢市武珞路中學九年級階段練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，點D，E都在邊BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的長．【答案】DE＝3﹣3．【分析】將繞點A逆時針旋轉120°得到，取CF的中點G，連接EF、EG，由AB＝AC、，可得出，根據(jù)旋轉的性質可得出，結合可得出為等邊三角形，進而得出為直角三角形，通過解直角三角形求出的長度以及證明全等找出，設，則，，在中利用勾股定理可得出，利用，可求出以及的值；【詳解】解：將繞點A逆時針旋轉120°得到，取的中點G，連接，如圖所示：過點作于點，如圖，∵，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴為直角三角形，∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．設，則，在中，，＝x，∴，∴，∴，答：的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、解一元二次方程以及旋轉的性質，通過勾股定理找出關于x的一元二次方程是解題的關鍵．21．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點旋轉（），，，連接，．(1)如圖，求證：≌；(2)直線與相交于點．如圖，于點，于點，求證：四邊形是正方形；如圖，連接，若，，直接寫出在旋轉的過程中，線段長度的最小值．【答案】(1)見解析(2)①見解析②【分析】根據(jù)證明三角形全等即可；根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；作交于點，作于點，證明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得結論．（1）證明：四邊形是正方形，，．，．，，在和中，≌；（2）證明：如圖中，設與相交于點．，．≌，．，．，，，四邊形是矩形，．四邊形是正方形，，．．又，≌．．矩形是正方形；解：作交于點，作于點，∵∴≌．．，，最大時，最小，．．由可知，是等腰直角三角形，．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．22．（2022·湖南·長沙市華益中學九年級階段練習）如圖，平面直角坐標系中，直線分別交x、y軸于A、B兩點，點P為線段AB的中點．(1)直接寫出點P的坐標：(2)如圖1，點C是x軸正半軸上的一動點，過點P作交y軸正半軸于點D，連接CD，點M、N分別是CD、OB的中點，連接MN．求的度數(shù)；(3)如圖2．點Q是x軸上的一個動點．連接PQ．把線段PQ繞點Q逆時針旋轉90°至線段QT，連接PT、OT．當?shù)闹底钚r，求此時點T的坐標．【答案】(1)(2)135°(3)【分析】（1）根據(jù)中點坐標公式，即可求解；（2）連接PO、PN、PM，過M作于Q，先證明≌，可得．可得，再由，P是AB的中點，可得，可證得，從而得到，進而得到，即可求解；（3）作軸于點Q，于點G，于點H，可證得≌，可得到PQ=QT，PG=HQ，再證得點T在直線上，設直線與y軸交于點K，則，然后過點K作軸，過點A作軸交于點，連接，可證得四邊形為正方形，從而得到，可得到當點P、T、三點共線時，最小，即最小，最小值為，再求出直線的解析式，然后與直線的解析式聯(lián)立，即可求解．（1）解：當x=0時，y=4，當y=0時，x=4，∴點A（4，0），B（0，4），∵點P為線段AB的中點．∴點P的坐標為，即（2，2）；（2）解：連接PO、PN、PM，過M作于Q，∵，∴，∴，∵，P是AB的中點，∴，，∴，∴≌，∴．∵M是CD的中點，∴，，∵，∴，∴，∵P、N分別是AB、BO的中點，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．（3）解：作軸于點Q，于點G，于點H，根據(jù)題意得：PQ=TQ，∠PQT=90°，∴∠TQH+∠PQG=90°，∵，，∴∠PGQ=∠THQ=90°，∴∠TQH+∠QTH=90°，∴∠PQG=∠QTH，∴≌，∴PQ=QT，PG=HQ，設，∵P（2，2），∴點G（a，2），∴QG=2，當時，，，∴，即；當時，，，∴，即；∴點T在直線上，當y=0時，x=4，∴直線與x軸交于點A，設直線與y軸交于點K，則，∴OK=OA=4，∵∠AOK=90°，∴，過點K作軸，過點A作軸交于點，連接，∴四邊形為矩形，∵OA=OK，∴四邊形為正方形，∴，∴，根據(jù)正方形的軸對稱性得：，∴，當點P、T、三點共線時，最小，即最小，最小值為，設直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得：，∴點T的坐標為．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質，旋轉的性質，正方形的判定和性質是解題的關鍵．23．（2022·山西呂梁·九年級期