專項(xiàng)32相似三角形-射影定理綜合應(yīng)用（2種類型）（原卷版）

專項(xiàng)32相似三角形射影定理綜合應(yīng)用（2種類型）一、射影定理直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ為高，則有ＣD２＝ＢＤ?AD、ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（證明略）二、變式推廣１．逆用如圖（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ為高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ為直角三角形。２．一般化，若△ＡＢＣ不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)Ｄ滿足一定條件時(shí)，類似地仍有部分結(jié)論成立。（后文簡稱：射影定理變式（2））如圖（２）：△ＡＢＣ中，D為ＡＢ上一點(diǎn)，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ為ＡＢ上一點(diǎn)，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ?！绢愋?：直角三角形中射影定理】【典例1】（2021秋?南京期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【變式11】（2022?義烏市校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，則CD的長為（）A．4 B．4 C．4 D．【變式12】（2021秋?漳州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，AD＝3，CD＝4，則BD的長為（）A． B． C． D．2【變式13】（2020秋?梁平區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AC2＝AD?AB B．CD2＝CA?CB C．CD2＝AD?DB D．BC2＝BD?BA【變式14】（2015?黃岡中學(xué)自主招生）將沿弦BC折疊，交直徑AB于點(diǎn)D，若AD＝4，DB＝5，則BC的長是（）A．3 B．8 C． D．2【類型2：非直角三角形中射影定理】【典例2】如圖，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP?AB，則∠B的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【變式21】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，則AC的長為（）A．2 B． C．5 D．2【變式22】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，∠ABC＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的長．【典例3】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，則BC的長為．【變式3】如圖，在銳角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，則CD＝．1.（2022秋?義烏市月考）如圖，小明在A時(shí)測得某樹的影長為3m，B時(shí)又測得該樹的影長為2m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（）m．A． B． C．6 D．2．（2012?麻城市校級(jí)自主招生）如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點(diǎn)D，與直角邊AC相交于點(diǎn)E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，則⊙O的半徑是（）A．3 B．4 C．4 D．23．（2022春?周村區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，則AD的長為．4．（2021春?漢陰縣期中）如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，對(duì)角線AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，則AE＝cm．5．（2022?武漢模擬）在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于點(diǎn)E，G為垂足．若CG＝CD＝1，則AC的長是．6．（2021秋?灤州市期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中a、b、c為△ABC的三邊長．（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若CD是AB邊上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的長．7．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的長．8．（鹽城校級(jí)模擬）【問題情境】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明AC2＝AD?AB，這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，試證明這個(gè)定理；【結(jié)論