專題01平行線中的拐點(diǎn)模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型（原卷版）

專題01平行線中的拐點(diǎn)模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個(gè)結(jié)論正確，理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，為等邊三角形，．若，則（）

A． B． C． D．例2．（2023下·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）山上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每?jī)蓚€(gè)支撐架之間的索道均是直的，若，，則（

）

A． B． C． D．例3．（2023下·河南駐馬店·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，則與滿足（

）

A．B．C．D．例4．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，分別交、于E、F兩點(diǎn)，作、的平分線相交于點(diǎn)K；作、的平分線交于點(diǎn)；依此類推，作、的平分線相交于點(diǎn)，…，作、的平分線相交于點(diǎn)，則，．

例5．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知和分別平分和，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例6．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．例7．（2023下·四川涼山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，則．例8．（2023·浙江七年級(jí)期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過(guò)，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不妨取名叫“木尺斷口問(wèn)題”．（1）如圖（2）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)，，有何關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)，，又有何關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)與有何關(guān)系并說(shuō)明理由．例9．（2023下·陜西渭南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在直線，之間，且．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作直線，求證：；(2)若平分，．①如圖2，平分，過(guò)點(diǎn)作，若，求的度數(shù)；②如圖3，過(guò)點(diǎn)作，若平分，試判斷與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，已知直線，與直線c分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在直線b上，點(diǎn)D在線段上，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．2．（2023上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，，則的大小為（

）

A． B． C． D．3．（2023·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°4．（2023下·吉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，直線，的直角頂點(diǎn)A落在直線a上，點(diǎn)B落在直線b上，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023·河南信陽(yáng)·校考三模）已知，如圖，一個(gè)含30°角的直角三角尺放在兩條平行線間，已知，，，則（

）

A． B． C． D．6．（2023·哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，則等于（

）A． B． C． D．7．（2023下·湖北襄陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)A為射線CF上一點(diǎn)，，，則的度數(shù)為．

8．（2023下·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，，當(dāng)β增大時(shí)，（填“增大”或“減小”）度．9．（2023下·遼寧撫順·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，A地與B地，B地與C地之間均有一條筆直的公路連接，B地分別在A地的南偏東的方向，在C地的南偏西的方向，若公路長(zhǎng)，公路長(zhǎng)，則A地到公路的距離是．

10．（2023下·四川南充·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，，，則．

11．（2023下·重慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)H在直線上，點(diǎn)F在直線之間，連接，．則的度數(shù)為度．

12．（2023下·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，，，，則°．

13．（2023上·福建福州·八年級(jí)福州日升中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線、分別經(jīng)過(guò)等邊三角形的頂點(diǎn)、，且，，則．

13．（2023下·貴州黔東南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，、分別是、的平分線，那么與之間的關(guān)系是.

14．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，，，．15．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線平分，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平分交于，若，則度．

16．（2023下·四川德陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，，下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的是（填序號(hào)）17．（2023下·貴州黔東南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）填空，并在后面的括號(hào)中填理由：如圖，已知，求證：．

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作∴______（

），∵，即∴______∴____________（

）又∵（

）∴____________（

）18．（2023下·福建南平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，直線與分別交于M，N，平分，平分．(1)當(dāng)時(shí)，求的大小；(2)設(shè)，用含α的式子表示．

19．（2023上·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，于B．(1)若，則______；(2)求證：；(3)如圖2，G在射線上，當(dāng)平分時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系．

20．（2023下·廣東湛江·七年級(jí)校考期中）已知直角三角形．

(1)如圖1，直線，且平分，求的度數(shù)．(用含x的式子表示)(2)在（1）的條件下，直線平分交直線于點(diǎn)D，如圖2，在x取不同數(shù)值時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)求出變化的范圍．21．（2023下·廣東河源·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)在，之間，，，三點(diǎn)均在直線的同側(cè)．(1)如圖，試說(shuō)明；(2)如圖，若，，分別平分和，求的度數(shù)；(3)如圖，若的度數(shù)為，平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示．

22．（2023下·陜西安康·七年級(jí)?？计谀﹩?wèn)題提出（1）如圖1，，直接寫出，，之間的關(guān)系：________．（2）如圖2，，平分，平分，試探究，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．問(wèn)題解決（3）如圖3，，，，，，求的度數(shù)．

23．（2023下·北京西城·七年級(jí)北京師大附中?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問(wèn)題．小明：老師說(shuō)在解決有關(guān)平行線的問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來(lái)幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE得到．求證：小明筆記上寫出的證明過(guò)程如下:證明：過(guò)點(diǎn)E作∵∵，∴∴∴∴請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問(wèn)題．(1)如圖，若，，求；(2)如圖，，BE平分，CF平分，，求．24．（2023下·湖北鄂州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，直線ABCD，點(diǎn)P在兩平行線之間，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，連接PE，PF．（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，請(qǐng)求出∠EPF．（請(qǐng)寫出必要的步驟，并說(shuō)明理由）（2）如圖2，若點(diǎn)P，Q在直線AB與CD之間時(shí)，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，請(qǐng)求出∠4