2020-2021學(xué)年新人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)綜合十九（含解析）

綜合十九-【新教材】人教A版（2019）

高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)（含解析）

一、單選題

1.已知集合4={y\y=2X—l,x6/?},B={x\x2—x—2<0},則（）

A.-IEAB.V3g5C.A\JB=AD.An（CRB）=A

2.已知石譚精巧=￥，則tag的值為（）

A.—在B.在C.—@D.在

2288

3.如圖,正方形A2CZ）的邊長為2,E為BC邊的中點(diǎn)，

產(chǎn)為CD邊上一點(diǎn)，若而.荏=|荏『，則|而|=

（）

A.3B.5

C.1D.

22

4.甲、乙兩人在相同的條件下各打靶6次，每次打靶的情況如下面的折線圖所示（虛

線為甲的折線圖）,則以下說法錯(cuò)誤的是

環(huán)數(shù)

2__l_J__L-±_L-I

IIIIII

0123456打靶次數(shù)

A.甲、乙兩人打靶的平均環(huán)數(shù)相等B.甲的環(huán)數(shù)的中位數(shù)比乙的大

C.甲的環(huán)數(shù)的眾數(shù)比乙的大D.甲打靶的成績比乙的更穩(wěn)定

5.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（3+i）=4-2i,則下列說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的模為2

B.復(fù)數(shù)z的共筑復(fù)數(shù)為-l+i

C.復(fù)數(shù)z的虛部為T

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

logi（3—%<1

5''的值域?yàn)镽,則小的取值范圍為（）

{%2—6%+m,x>1

A.(0,8]B.M

C.(0,|]D.(-oo(-i]u(0,|]

7.如圖，在正方體4BCD-4$iGDi中，P,Q,M,N,H,R是各條棱的中點(diǎn)（）

①直線.ADi〃平面MNP；@HDyICQ;③P,Q,H,R四點(diǎn)共面；④&C1平

面4Bi5.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

X32

8.設(shè)三個(gè)函數(shù)y=2+x-2,y=log2x+x-2和y=x-3x+3x-1的零點(diǎn)分別

為無i、0和%3，則（）

A.xrx2>X3,xx+x2>2X3B.xxx2<^3?+%2=2%3

C.XX>^3，+x<D.2%3

1222X3XXX2=-^3?+%22

二、多選題

9.已知Q>o,b>0,下列說法成立的是（）

A.（。+8）2<2（?2+/?2）

B.[ln（a+〃）]2>InsIn。

C.若b（a+b）=4,則〃+5柜8

D.存在a,b>0使得302-lgl2>lg?+等）

10.在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩

種三角函數(shù)：定義1-cos。為角。的正矢，記作versin仇定義1-sin。為角。的余矢，

記作couersinJ,則下列命題正確的是（）

.167r1

AA.versin——=-

32

B.versin（^—0）=coversin0

第2頁，共26頁

2

C.若如0r>g"T=2,貝ij(couersinx—versin%)=-

versinx-15

D.函數(shù)/(%)=versin(2020x-g)+coversin(2020x+g)的最大值為2+y/2

36

11.下列命題中，正確的選項(xiàng)是（）

A.已知非零向量五工，若m+」|=|方一向,則萬_1_了

B.對于任意的平面向量區(qū)石,3若心方=云1，且為羊。，則3=不

C.對于任意的平面向量。瓦乙若日〃石且方〃3貝聯(lián)〃

D.設(shè)點(diǎn)〃是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若宿=丫荏+y宿且x+y=點(diǎn)則4MBC

的面積是△48C面積的[

12.如圖，在棱長為1的正方體ABCO-4中，下

列結(jié)論中正確的有（）

A.異面直線4C與8cl所成的角為60。

B.直線AB】與平面ABC[￡>i所成的角為45°

C.二面角A—3iC—B的正切值為近

D.四面體/—A/C的外接球的體積為在7T

2

三、填空題

13.下面有四個(gè)命題:

①設(shè)一扇形的半徑為2cm面積為4cm2,則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)是2；

②設(shè)等邊三角形ABC的邊長為2,則向最麗在向量配上的投影為1；

③若tana=則sin2a=|.

④設(shè)函數(shù)/'（x）=sinx-acosx圖象的一條對稱軸為直線久=也則實(shí)數(shù)a的值為

—V3-

所有正確命題的序號是.（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）

14.已知復(fù)數(shù)z滿足z+2^=6+i,則z的實(shí)部為.

15.在四棱錐P-ABC。中，底面A8C。是邊長為2的正方形，側(cè)面2481底面ABC。，

且乙4PB=60。，當(dāng)APAB的面積最大時(shí)，四棱錐P-ABCO的高為,四棱錐

P-48CD外接球的表面積為.

16.從某地高中男生中隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)繪制成頻率

分布直方圖(如圖所示).由圖中數(shù)據(jù)可知體重的平均值為kg：若要從體重在

[60,70),[70,80),[80,90]三組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項(xiàng)

活動，再從這12個(gè)人中選兩人當(dāng)正副隊(duì)長，則這兩人體重不在同一組內(nèi)的概率

為.

四、解答題

17.已知函數(shù)/'(%)=i4sin(cox+(p)(A>0,w>0,0<<2兀)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(X)的解析式;

(2)若h(x)=/(x)"(x-3,xG[0,=],求九(x)的取值范圍.

第4頁，共26頁

18.已知銳角向ABC的內(nèi)角4B,C所對的邊分別a,b,c,且a=3,b=若萬=(a,-b),

q=(sin2B,sinA),且方1軍.

(1)求角B和邊c.

(2)若點(diǎn)。滿足耳力：而+；充，求△4C0的面積.

19.某空調(diào)商家，對一次性購買兩臺空調(diào)的客戶推出兩種質(zhì)保期兩年內(nèi)的保維修方案：

方案一：交納質(zhì)保金300元，在質(zhì)保的兩年內(nèi)兩條空調(diào)共可免費(fèi)維修2次，超過2

次每次收取維修費(fèi)200元.

方案二：交納質(zhì)保金400元，在質(zhì)保的兩年內(nèi)兩臺空調(diào)共可免費(fèi)維修3次，超過3

次每次收取維修費(fèi)200元.

小李準(zhǔn)備一次性購買兩臺這種空調(diào)，現(xiàn)需決策在購買時(shí)應(yīng)購買哪種質(zhì)保方案，為此

搜集并整理了100臺這種空調(diào)質(zhì)保期內(nèi)兩年內(nèi)維修的次數(shù)，統(tǒng)計(jì)得下表：

維修次數(shù)0123

空調(diào)臺數(shù)20303020

用以上100臺空調(diào)維修次數(shù)的頻率代替一臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率.

(1)求購買這樣的兩臺空調(diào)在質(zhì)保期的兩年內(nèi)維修次數(shù)超過2次的概率;

(2)請問小李選擇哪種質(zhì)保方案更合算.

20.南寧地鐵項(xiàng)目正在如火如荼地進(jìn)行中，全部通車后將給市民帶來很大的便利.已知

地鐵2號線通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔t(單位：分鐘)滿足2<t<20,經(jīng)市場調(diào)

研測算，地鐵的載客量與發(fā)車的時(shí)間間隔f相關(guān)，當(dāng)10WtW20時(shí)，地鐵為滿載狀

態(tài)，載客量為500人；當(dāng)2Wt<10時(shí)，載客量會減少，減少的人數(shù)與(10成

正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，記地鐵的載客量為s(t).

(1)求s(t)的表達(dá)式，并求發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)列車的載客量；

(2)若該線路每分鐘的凈收益為Q一.⑴;2656—出元)問：當(dāng)列車發(fā)車時(shí)間間隔為

多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？

21.如圖，AABC為正三角形，且BC=CD=2,CD1BC,將ZABC沿BC翻

(1)若點(diǎn)A的射影在8力上，求4。的長；

(2)若點(diǎn)A的射影在4BCD中，且直線4B與平面AC。所成角的正弦值為警，求A。

的長.

第6頁，共26頁

22.如圖，棱柱4BCD中，底面4BCD是平行四邊形，側(cè)棱44i1底面A8C￡),

過A8的截面與上底面交于PQ,且點(diǎn)尸在棱45上，點(diǎn)。在棱GB］上，且AB=1,

(1)求證：PQ"A\B\；

(2)若二面角4--C的平面角的余弦值為專，求側(cè)棱BBi的長.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

化簡集合4,B即可得出結(jié)論AUB=4屬于簡單的題型.

本題考查了集合的并集運(yùn)算以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：因?yàn)?-{y\y=2X-l,xeR}={y\y>-1}—(—1,+oo),

B——{x\x2—x—2<0]={x|-1<x<2]=(-1,2),

所以4UB=4

故答案為：A\JB=A.

故選C.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式，誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的化簡求

值，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式對原式分母進(jìn)行化解，利用兩角和的三角函數(shù)公式對原式分

子進(jìn)行化簡，得到1加才+乎”跳，再根據(jù)照=如心，得到ltaiLE+逛=9，

---------------co?n9'>1

cos工

即可得到答案.

【解答】

sin(x+-)曲1(工+不)

解：因?yàn)閪Tt~~~Tt~

281n.-2)曲心+￡)2sin(\--)eo?(---)

1.,41.、瓜

一SULTH----CUSTH-----CUSX

=22=22

sin(：—x)CO?N

第8頁，共26頁

所以taikr=>

2

故選B.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量的數(shù)量積應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

法一：建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

法二：由題意，根據(jù)向量的運(yùn)算，可得荏1請，即EF14E,再由E是BC的中點(diǎn),

進(jìn)而可求解，得到答案.

【解答】

解：法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AQ所在直線為），軸，

建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

則4(0,0),E(2,l).設(shè)|而|=x,則F(x,2),故都=(x,2)，荏=(2,1).

■.■AF-AE=\AE\2,???(x,2)-(2,1)=2x+2=5,解得x=|,

故選D.

法二：連接EF

D

AB

由題意，■.■AF-AE=\AF\\AE\cosZ.EAF=\AE\2,

：.|AF\cos/.EAF=|宿，

EF_L4E.：E是8c的中點(diǎn)，

???BE=CE=1.設(shè)CF=%,

則CF=2-x,

在RM4EF中，AE2+EF2=AF2,

即2?+I?+(2—x)2+l2=22+x2,

解得x=|>AF=y/AD2+DF2=j.

故選。.

4【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)和方差的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.根據(jù)圖中

數(shù)據(jù)，計(jì)算二人的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差即可.

【解答】

解：甲的平均數(shù)為(8+6+8+6+9+8)=?,

OO

乙的平均數(shù)為*x(4+6+8+7+10+10)=柒二人平均數(shù)相等，A正確；

甲的中位數(shù)是8,乙的中位數(shù)是8,兩人中位數(shù)相等，8正確；

甲的眾數(shù)是8,乙的眾數(shù)是10,甲的眾數(shù)比乙小，C錯(cuò)誤；

甲的數(shù)據(jù)與乙比較更集中些，更穩(wěn)定些，。正確.

故選：C.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義、共軌復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的四

則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z為代數(shù)形式，對各選項(xiàng)逐項(xiàng)判定,

即可求出結(jié)果.

第10頁，共26頁

【解答】

解：因?yàn)閦(3+i)=4—2i,

2

匚匚4-2i(4-2i)(3-i)12-4i-6i+2i.

JVT以MZ=---=---------=----------=1—i,

3+i(3+i)(3-i)10

所以復(fù)數(shù)z的模為J12+(―1)2=V2.故A錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)Z的共規(guī)復(fù)數(shù)為1+i,故8錯(cuò)誤;

復(fù)數(shù)Z的虛部為-1,故C錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限，故。正確.

故選￡>.

6.【答案】C

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題考查分段函數(shù)的值域，考查分類討論思想、函數(shù)思想，屬于中檔題.

討論m>0,zn<0和m=0時(shí)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到mW0時(shí)不成立，zn>0時(shí)需滿足

/(3)=171-9<mlogi(3-1)=-m,解出即可.

2

【解答】

解：①若?n>0,

則當(dāng)x<1時(shí)，f(x)=logi(3-x)7n單調(diào)遞增，

2

當(dāng)x>1時(shí)，/(%)=x2—6%4-m=(%—3)2+m—9在(3,+8)上單調(diào)遞增，在［1,3)上

單調(diào)遞減，

若函數(shù)值域?yàn)镽,則需〃3)=m-9Wm/ogJ3-l)=m,解得0<瓶w*

②若m<0,

則當(dāng)％<1時(shí)，f。)=logi(3-%)7n單調(diào)遞減,

2

當(dāng)x21時(shí)，/(x)=/-6尤+m=(x-3)2+m-9在(3,+8)上單調(diào)遞增，在［1,3)上

單調(diào)遞減，

不滿足函數(shù)值域?yàn)榉膊环项}意，舍；

③若m=0,易知此時(shí)不滿足題意；

綜上：根的取值范圍為(0,3，

故選C.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了空間中線線，線面之間的關(guān)系，屬于中檔題.

根據(jù)題意，結(jié)合面面平行的判定及性質(zhì)可判斷①；假設(shè)②成立，推出矛盾，判斷②；

利用PQ//HR即可判斷③；根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)即可判斷④.

【解答】

解：因?yàn)镸,N分別是4/8/和C/。/的中點(diǎn)，所以MN〃A/D/,

因?yàn)镸NC平面4DD14,4/。/<=平面ADD14,

所以MN〃平面A0D1公,

同理NP〃平面40。遇1，

因?yàn)镸N,NPu平面MNP,MNCNP=N，

所以平面MNP〃平面ADCMi，因?yàn)閆D】u平面4DD14,

所以45〃平面MNP,①正確；

對于②，假設(shè)“51CQ,顯然DDi1CQ,DD1nHD1=D1,DD1u平面DD^AiA,H%u

平面。。1、小，所以CQ，平面OOi.Ai.A,又CD_L平面OR.貓“，所以CQ〃CD,與CQCl

CD=C矛盾，故②錯(cuò)誤.

對于③，因?yàn)镻Q"AC"HR,故P,Q,H,R四點(diǎn)共面，③正確；

對于④，顯然&G-LB1D1,ArA1B1D1,AtAn&&=Ar,ArAu平面AiACC】，41clu

平面AiACC],所以當(dāng)。1J■平面&4CC1，&CU平面4p4CCi，所以BWiL&C,同理可

證&A1ArC,又當(dāng)。1nBXA=Bi，B]Di，BiAu平面AB"],所以力傳_L平面

故④正確

所有正確的是①③④，

故選C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，分別作出函數(shù)y=2*與y=log?%,y=2-x三個(gè)

第12頁，共26頁

函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖像結(jié)合對稱可得%+不=2,然后利用基本不等式求出結(jié)果，屬于中

檔題.

【解答】

解：對于函數(shù)y=x3—3x2+3x—1,y'=3x2—6x+3=3(x—l)2>0,等號僅在x=

1處取得，

故函數(shù)y=/-3/+3%-i是增函數(shù)，且刀=1時(shí)，y=0,故X3=1,

畫出函數(shù)y=2工與y=logzX,y=2-x三個(gè)函數(shù)的

圖象如圖：

其中4Q1，yi),8(小，乃)分別是兩個(gè)函數(shù)y=2"與y=log?》的圖像與直線y=2-x的交

點(diǎn)，

由指數(shù)函數(shù)y=謨與y=logM的圖像關(guān)于直線y=x對稱，

且y=2-x也關(guān)于y=x對稱，所以交點(diǎn)A,8關(guān)于直線y=x對稱，

所以即2—X]+2—刀2=+%2，所以%1+》2=2.

再由基本不等式，得X62<(鬻)2=1(0<X1<%2).

故選B.

9【答案】AC

【解析】

【分析】

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

利用基本不等式逐項(xiàng)判斷，要注意等號成立條件.

【解析】

A：變形后，利用。2+爐》2ab即可，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號成立，故A正確;

B：令a=b=5易得8錯(cuò)誤：

C：由假設(shè)知，Q+b=:而a+5b=(Q+b)+4b=(+4b>24^=8,成立，

當(dāng)且僅當(dāng)b=l等號成立，故C正確；

。lg6+詈)2電(2楞虧=1，當(dāng)且僅當(dāng)^=管，b=5a等號成立，

31g2lgl2=喘等，因?yàn)镮n81nl2<”叱丫=(哼J/y<(InlO)2

故需<1，。錯(cuò)，

故選AC.

10.【答案】BC

【解析】

【分析】

本題考查新定義、考查了三角函數(shù)y=4sin(3x+s)的性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的恒等變

換、三角函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的化簡與求值，屬于中檔題.

A：利用新定義和誘導(dǎo)公式，得到wsinl-cos粵1+cos，結(jié)合特殊角

?5o?5

的余弦值即可判定;B：由新定義及同角三角函數(shù)關(guān)系,得出。ersin6-8)=l-cos(=-

6)=1-sin0=coversin6,可知8正確；C：利用新定義、二倍角公式以及同角三角

函數(shù)關(guān)系，可進(jìn)行化簡求值可判定；D；由新定義化簡得到/"(x)的解析式，再利用正弦

函數(shù)的性質(zhì)，得出最大值可判定.

【解答】

解：由題意，依次各選項(xiàng)進(jìn)行分析:

對A,tv/sin——=1—cos——=1+cos—=1+；=-,所以A不正確；

*JJ<1—2.

對B,versin(^—0)=1—cos(^-0)=1—sin。=coversin0,所以8正確;

若coversinx-11-sinx-l

對C,=2,即得=tan%=2,所以

versinx-11-cosx-l

(coversinx—versin%)2=[(1—sinx)—(1—cos%)]2

=(cosx—sin%)2=1—sin2x

a2tanxy

=1-----------=1一言=3所以C正確;

l+tan2x1+245

對Q,因?yàn)?(j)=rrrsin^2()20j,-+c(n?ersin[2()2(kr+I)

第14頁，共26頁

=2-?J?(202()J---sin(2O2(kr+()=2-2sin(20201+,

所以f(x)的最大值為4,故。錯(cuò)誤.

故選BC.

11.【答案】AO

【解析】

【分析】

本題考查平面向量的基本概念，屬于中檔題.

依據(jù)概念逐一判斷，即可，對于。的判斷稍難，注意適當(dāng)變形.

【解答】

解:對于A,將|五+另|=|2一石|兩邊平方,

得五2+b2+2a-b=a2+b2—2a-b'

a.K=0,即7f_L了，故正確；

對于8,向量落石,冷茜足五=

則方不正確,

可能了，了不等，但方1(3—F)；

故錯(cuò)誤；

對于C,對于任意的平面向量優(yōu)瓦3

當(dāng)石=6時(shí)，對于任意向量五兄，都有五〃石且成立，

但五//不顯然不一定成立，故錯(cuò)誤；

對于。，因?yàn)辂?=x^+y而，且x+y=}

所以2府=2x南+2y前，

令2而7=而，則B，N,C三點(diǎn)共線，且N點(diǎn)落在線段8c上，M為線段AN的中點(diǎn),

所以AMBC的面積是△力BC面積的5故正確.

故選AD.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查了球的表面積和體積，異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角，線面垂

直的判定，線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)，屬于較難題.

利用異面直線所成角求法，對A進(jìn)行判斷，利用面面垂直的性質(zhì)得當(dāng)。上平面ABC15,

再利用直線與平面所成角求法，對B進(jìn)行判斷，利用線面垂直的判定得BiCJ■平面480,

再利用線面垂直的性質(zhì)得4。18傳，再利用二面角的求法，對C進(jìn)行判斷，利用四面

體久-的結(jié)構(gòu)特征得其外接球半徑，再利用球的體積公式計(jì)算，對。進(jìn)行判斷,

從而得結(jié)論.

【解答】

解：對于4、在棱長為1的正方體4BCD-481的。1中，

因?yàn)?c〃&Ci，所以直線為G與BCI所成的角就是異面直線AC與BQ所成的角，

而小&BC1是正三角形，因此直線&的與SC1所成角為60。，

即異面直線4c與所成的角為60。，因此A正確；

對于8、在棱長為1的正方體ABCD-AiBiGDi中，

因?yàn)槠矫鍭BCiDi1平面B&C1C交于BC],

設(shè)BCiCiBiC=。，則BiOLBC],而當(dāng)。u平面BBRiC,

所以當(dāng)。1平面

因此連接AO,則AO是直線AB】在平面ZBG2內(nèi)的射影，

即4當(dāng)4。為直線AB】與平面4BGD1成角，

而sin/Bp4O=氏所以NBp4。=30。，

即直線4名與平面ABCiA成角為30。，因此B不正確；

對于C、由8知，在棱長為1的正方體48。。-4道傳1。1中，

因?yàn)锽O1BCAB1BC

而40n48=4,48U平面A3。，4。u平面A50,

所以81c1平面ABO,而40u平面ABO,因此4。18傳，

所以乙4OB是二面角4-BiC-B的平面角，

因此tan乙4。8=—=V2,

BO

即二面角BiC-8的正切值為近，因此C正確；

對于D、因?yàn)樗拿骟w5-的外接球就是棱長為1的正方體4BC。-&B1GD1的外

接球，

而棱長為1的正方體4BCD-4當(dāng)口久的外接球半徑為日，

第16頁，共26頁

即四面體。i-4晶。的外接球半徑為日，

所以四面體。1—4&C的外接球的體積為1;rx(乎)=乎萬，因此。正確?

故選ACD.

13?【答案】①④

【解析】

【分析】

本題考查命題真假的判定，涉及扇形的弧長，面積與圓心角，向量的投影，二倍角公式

輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

立足題中各種說法結(jié)合對應(yīng)知識點(diǎn)逐一進(jìn)行推理計(jì)算即可求得正確結(jié)果.

【解答】

解：對于①，因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?cs,面積為4cm2,設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為a,

則［x2xa2=4,解得a=2.

所以①正確：

對于②，因?yàn)榈冗吶切蜛8C的邊長為2

所以＜荏.配＞=120。，|荏|=2,

故向量而在向量部上的投影為|而|cosl20。=2X(-|)=-1,

所以②不正確:

對于③，因?yàn)閠ana-\

所以5也2a二駕安

sinza+cos2a

2tana

14-tan2a

2X;4

=砂屋

故③錯(cuò)誤；

對于④，因?yàn)閒(x)=sinx—acosx

=V1+a2sin(x-8)，(其中tan。=a),

又函數(shù)一條對稱軸為直線％=3

O

從而得到/G)=土五

O

即；；一。一人力+；.k€Z.

所以。A'TF一;.k€Z

因?yàn)閠an。=a

a=—y/3-

故④正確.

所以答案為①④.

14.【答案】2

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)2=。+6，（＜1/6/?）.根據(jù)復(fù)數(shù)2滿足2+2￡=6+3利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相

等即可得出.

【解答】

解：設(shè)2=。+6，（a,bE/?）.

,?,復(fù)數(shù)z滿足z+2z=6+3

3a-bi=6+i,

可得：3a=6,—b=1,解得a=2,b=1.

則z的實(shí)部為2.

故答案為2.

15.【答案】V3

287r

—

【解析】

【分析】

本題考查簡單多面體及其結(jié)構(gòu)特征，考查面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判斷，考查球的

表面積公式，屬于較難題.

作PH1AB,H為垂足,由題得到PH1底面4BC0.當(dāng)”為AB的中點(diǎn)時(shí)，△PAB為等邊

三角形，此時(shí)面積最大，即可得到四棱錐P-4BCD的高；設(shè)等邊A/MB的中心為01，

正方形A8CZ）的中心為。2,過。1、。2分別作平面尸AB、平面ABC。的垂線，且交于點(diǎn)

第18頁，共26頁

0,求出四棱錐P-ABCD外接球的半徑，根據(jù)球的表面積公式即可得解.

【解答】

解：點(diǎn)P在以弦48=2,所對的圓周角為60。的優(yōu)弧APB上運(yùn)動，

作“為垂足，

由側(cè)面P4B，底面ABCD,側(cè)面P4Bn底面ABC。=AB,

則PH_L底面ABCD.

當(dāng)〃為AB的中點(diǎn)時(shí)，APAB為等邊三角形，

此時(shí)△P4B的面積最大，且PH=V3,

即四棱錐P-ABC。的高為次.

設(shè)等邊△P4B的中心為0「正方形A8CD的中心為。2，

過。1、。2分別作平面厚8、平面A8CQ的垂線，且交于點(diǎn)O,

則。為四棱錐P-4BCC外接球的球心，

顯然R=J。2。2+。2爐=](曰)2+近?=

于是四棱錐P-4BC。外接球的表面積為47r(1)2=等.

故答案為舊；

16.【答案】64.5

2

3

【解析】

【分析】

本題考查頻率分布直方圖，分層抽樣和古典概率的計(jì)算，屬于中檔題.

利用頻率分布直方圖中的平均值計(jì)算公式得出體重的平均值，再得用分層抽樣原理得到

各組所要抽取的人數(shù);最后利用古典概型得出概率

【解答】

解：體重的平均值為45x0.005x10+55x0.035x10+65x0.03x10+75x0.02x

10+85x0.01X10=64.5.

體重在[60,70),[70,80),[80,90]三組內(nèi)的男生分別是30人,20人,10A;

用分層抽樣的方法選取12人參加一項(xiàng)活動，這三組抽取的人數(shù)分別是6人，4人，2人

從這12人中選兩人當(dāng)正副隊(duì)長的基本事件總數(shù)為132,兩人身高不在同一組內(nèi)這個(gè)事

件所包含的基本事件數(shù)為88,

所以兩人身高不在同一組內(nèi)的概率為瑞=|.

故答案為64.5|.

17.【答案】解：⑴由圖象有4=g，最小正周期7T偌+9=兀,

27T

所以3=—=2,所以f(x)=V3sin(2x+(p).

由f(得)=一遮，得2+0=手+2左江，kEZ,

所以W=g+2k兀，kEZ.

又因?yàn)镺V0V2"，所以W=g.

所以/(%)=V3sin(2x+j)

(2)由(1)可知/(x)=V3sin(2x+g),

TC

h(x)=f(x)?f(x--)

=V3sin(2x+g)xV3sin2x

1V3

=3sm2x(-sin2x4-—cos2x)

33V3

=-sinz92xH——sin2xcos2x

22

31—cos4x3V3

=---------------1——sin4x

224

3n3

=-sin(4x--)+-

因?yàn)椋［()用,所以4%_,€知I，

所以sin(4x—，)€卜［，斗

所以九(%)的取值范圍為［O，］.

第20頁，共26頁

【解析】本題考查函數(shù)y=As譏(3%+9)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)考查由部分圖象求解析式，由最值求A,最小正周期7求3,根據(jù)定點(diǎn)求仍即可求

出函數(shù)的解析式；

(2)由⑴可知/(%)=V5sin(2%+：),九(工)=/(%)?/(%—t)=|sin(4x-弓)+京確定

的范圍，即可求出九(%)的取值范圍.

18.【答案】解：⑴由

得萬?1=0

即(0,—b)?(sin2B,sinA)asin2B—bain4=0,

由正弦定理，

2sin.AsinBco?B-tinDsin-4=(),

又sin4W0,sinfiW0,

co?Z?=J,

又Be(°O?=B=：.

由Z?2=a2+c2-2accosB,

代入a-3,b=\，7得c?—3c+2=0,

,c=l或2,

當(dāng)c=l時(shí)，不合題意，舍；

當(dāng)。=2時(shí);a2<b2+c2,符合題意，

所以r=2；

(2)-E+2前，

33

1nnn

+-AB=^(AC-A^),

3333

???D在BC上，且為靠近C的三等分點(diǎn)，

SAapr=_CLCSIYIB=—x3x2x——-=——■?

h2222

3

.c_1c_1>/3_V3

??dA4CD_—3x

【解析】本題考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，平面向量的線性運(yùn)算，兩向

量垂直的坐標(biāo)表示，解題關(guān)鍵是由正弦定理化邊為角，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由向量垂直得數(shù)量積為0,再由正弦定理化邊為角，可求得B角，然后由余弦定理

求得c,注意取舍.

(2)由向量的線性運(yùn)算求得。在BC上位置，利用1248c的面積得出結(jié)論.

19.【答案】解：(1)設(shè)“購買這樣的兩臺空調(diào)在質(zhì)保期的兩年內(nèi)維修次數(shù)超過2次”為

事件A，

購買這樣的兩臺空調(diào)在質(zhì)保期的兩年內(nèi)維修次數(shù)為X,

則rn.Pic(八X，=3c、)=2cx—3x—3F,2、x—1x—1=—13,P人(?X=4彳)、=-x3—3F,2x—3x—1=—21,

'710105550v71010105100

Q1Q111

P(X=5)=2X-xi=—,=6)=iXi=—,

'J10525'75525

P(A)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=蓋.

答：買這樣的兩臺空調(diào)在質(zhì)保期的兩年內(nèi)推使次數(shù)提過2次的概率為蓋.

(2)選擇方案一，小李可能交納的維修費(fèi)為300+200xP(X>3)=300+200x蓋=

426；

②選擇方案二，小車可能交納的維修費(fèi)為400+200XP(X>4),

其中P(X>4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=急一總=需，

所以400+200xP(X>4)=474.

因?yàn)?74>426,所以小李選擇質(zhì)保方案一更合算.①

方案一的維修費(fèi)用期望為：200X總+400x磊+600xW+800x圭=240元

維修總費(fèi)用為：300+240=540元,

方案二的維修費(fèi)用期望為：200x蕓+400x4+600x2=114元

維修總費(fèi)用為：114+400=514元，

故方案二更合算.

【解析】本題考查互斥事件的概率以及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查決策問題,

屬于中檔題.

(1)購買這樣的兩臺空調(diào)在質(zhì)保期的兩年內(nèi)維修次數(shù)為X,則X>2時(shí)X的可能值為

3,4,5,6,分別求出相應(yīng)概率，然后利用互斥事件的概率的加法公式即可求解;

(2)分別計(jì)算兩種方案下維修費(fèi)用，然后比較可作出正確決策.

第22頁，共26頁

20.【答案】解：(1)當(dāng)10WtW20時(shí)，s(t)=500.

當(dāng)24t<10時(shí)，s(t)=500-k(10-t)2,

vs(2)=372,372=500-/cx(10-2)2,解得/c=2.

s(t)=500-2(10-t)2.

.“八=(500—2(10—)2,210

"()(500,10<t<20

???s(5)=500-2X52=450人.

(2)當(dāng)10<t<20時(shí)，s(t)=500.

8x500-2656f1344,八一1344,八.

???Q=----------------60=---------60<---------60=74.4.

ttio

可得Qmox=74.4.

當(dāng)2Wt<10時(shí)，s(t)=500-2(10-t)2.

...Q=幽士&矢匕幽-60=-16(t+費(fèi))+260,

因?yàn)楹瘮?shù)y=t+中在tG[2,4)上為減函數(shù)，在tG(4,10)上為增函數(shù)，

所以當(dāng)t=4時(shí)，Qmg=132.

所以當(dāng)列車發(fā)車時(shí)問間隔為4時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大為132元.

【解析】【試題解析】

本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的單調(diào)性、對勾函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力

與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)當(dāng)10<t<20時(shí)，s(t)=500,當(dāng)24t<10時(shí)，s(t)=500-fc(10-t)2,由s(2)=

372,解得即可得出s(t).

(2)當(dāng)10WtW20時(shí)，s(t)=500,可得、=等一60,利用反比例函數(shù)的單調(diào)性即可

得出Qmax，當(dāng)2Wt<10時(shí)，s(t)=500-2(10-t)2,可得Q=-16?+手)+260W

132,利用對勾函數(shù)的性質(zhì)即可得出.

21.【答案】解：(1)取BC的中點(diǎn)O,連接4。并延長交BO于

?；???△ABC是正三角形，C'D±BC，OM1BC,OM//CD,

??.M是8。的中點(diǎn)，將△力BC沿BC翻折，

若點(diǎn)A的射影在BD上，則4M，平面BCD,

?