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解根據施密特正交化方法解根據施密特正交化方法2解此矩陣的第一個行向量非單位向量,故不是正交陣H是對稱矩陣解解解特征值λ1λ21征值λ3λ41的線性無關的特征向量0k1k2knrl1l2lnt使記γk1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr)k1k2knr0l1l2lnt0的特征值解令φ(λ)λ35λ27λ則φ(1)3φ(2)2φ(3)3是φ(A)的特征值解因為|A|12(3)60A可逆故14設矩陣可相似對角化

解設λp所對應的特征值則解之得特征值因為λ4A的特征值所以已知相似矩陣的行列式相同所以于是有正交矩陣P1AP183Aλ12λ22λ31求所以193A的特征值為λ11λ21λ30對應λ1、λ2的特征向量依次為x60得因此

203A的特征值λ16λ23λ33與特征值λ16解設即R(A3E)1x2x43x5x3x5x63因此21 重特征值對于λ2λn0解方程Ax0即aaTx0因為a0所以aTx0a1x1a2x2anxn0n22設對于λ15解方程(A5E)x0p2(212)TP(p1p2p3)則23在某國p的農村居民移居城鎮(zhèn)q的城鎮(zhèn)居民移居農村假設該國總人口數不變且上述人口遷移的規(guī)律也不變nxn因此設目前農村人口與城鎮(zhèn)人口相等即求解由可知A的特征值為λ11λ2r對于λ11解方程(AE)x0p1(qp)T24(1)設求于是有正交矩陣P1APdiag(15)設,求25(1)fx2xyy2xzz2yz解(2)fx2y2z2xyxzyz解 1 1 1 2 2fx2x2x2x22xx4x 1 1 1 2 2解解二次型的矩陣為解二次型的矩陣為27 2f2x23x23x3 2解二次型的矩陣為 f2y25y2 1 1 2 3fx2x2x2x22xx 1 1 2 3解二次型矩陣為當λ23可得單位特征向量28化成標準方程解二次型的矩陣為對于λ30Ax0得特征向量(011)T單位化得29明fxTAx在||x||1A1 2 nyTxxTTyT1TT有fxTAxyTTATTyyTyλy2λy1 2 n ||y||||x||1y2y2y 1 2 n fλy2λy1 2 n y11y2y3yn0fλ1 (1)f(x1x2x3)x23x25x22x1x24x f(x1x2x3)x23x25x (x1x22x3)24x2x32x2x (x1x22x3)22x令即

fy2y2y f(x1x2x3)x22x f(x1x2x3)x22x 令即

fy2y2y 解令即為正定二次型

fy2y2y 1 1 2fx2x25x22ax 1 1 2解二次型的矩陣為 1 1f2x26x24x22x 1 1解二次型的矩陣為f為負定 1 1 1 2 3f

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