2025屆北京一零一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2025屆北京一零一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則一定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形2．如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結(jié)果精確到）（參考數(shù)值：）A B.C. D.3．若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（）A.5 B.C.3 D.3或4．2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“”模式即語文、數(shù)學(xué)、英語必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，一名同學(xué)隨機選擇3門功課，則該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的概率為（）A. B.C. D.5．命題“，使得”的否定形式是A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得6．已知，，若，則（）A.9 B.6C.5 D.37．已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標(biāo)為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.8．命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得9．宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生"的問題，松長三尺，竹長一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的，分別為3，1，則輸出的等于A.5 B.4C.3 D.210．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.811．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.12．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____14．在數(shù)列中，，，則___________.15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，為其前n項和，滿足，則當(dāng)取得最大值時，______16．已知雙曲線的漸近線上兩點A，B的中點坐標(biāo)為（2，2），則直線AB的斜率是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC中點，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.18．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前n項和，求.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點的直角坐標(biāo)為，直線與曲線的交點為，求的值.20．（12分）如圖，在長方體中，，若點P為棱上一點，且，Q，R分別為棱上的點，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.21．（12分）在△中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知（1）求角的大小；（2）若的面積，求的值22．（10分）已知圓C：的半徑為1（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用余弦定理角化邊整理可得.【詳解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故選：C2、C【解析】先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，將點坐標(biāo)代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C3、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項公式求解【詳解】解：設(shè)該等比數(shù)列公比為q，∵數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，∴，，∴，故，解得，∴故選：C4、A【解析】先由列舉法計算出基本事件的總數(shù)，然后再求出該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的基本事件的個數(shù)，基本事件個數(shù)比即為所求概率.【詳解】由題意，記物理、歷史分別為、，從中選擇1門；記思想政治、地理、化學(xué)、生物為、、、，從中選擇2門；則該同學(xué)隨機選擇3門功課，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個基本事件；該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課所包含的基本事件有：，，共個基本事件；該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為.故選：A.【點睛】本題考查求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故選D【考點】全稱命題與特稱命題的否定【方法點睛】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．對含有存在（全稱）量詞的命題進行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結(jié)論加以否定6、D【解析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】.故選：D.7、B【解析】設(shè)點P到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點到直線的距離最短求出【詳解】如圖所示：設(shè)點P到準(zhǔn)線的距離為，準(zhǔn)線方程為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標(biāo)為故選：B8、A【解析】根據(jù)命題的否定的定義判斷【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題“，都有”的否定為：，使得故選：A9、B【解析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】解：當(dāng)n＝1時，a＝3，b＝2，滿足進行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝2時，a，b＝4，滿足進行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝3時，a，b＝8，滿足進行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝4時，a，b＝16，不滿足進行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選：B【點睛】本題考查的知識點是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答10、D【解析】由的周長為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.11、B【解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法與加法運算求解得，再求共軛復(fù)數(shù)及其虛部.【詳解】解：，所以其共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為故選：B12、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】聯(lián)立直線得，由無公共點得，進而得，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.14、##.【解析】由遞推關(guān)系取可求，再取求，取求.詳解】由分別取，2，3可得，，，又，∴，，，故答案為：.15、9或10【解析】等差數(shù)列通項公式的使用.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，且，得，得，則有，又因為，公差，所以或10時，取得最大值故答案為：9或1016、##【解析】設(shè)出直線的方程，通過聯(lián)立直線的方程和漸近線的方程，結(jié)合中點的坐標(biāo)來求得直線的斜率.【詳解】雙曲線，，漸近線方程為，設(shè)直線的方程為，，由，由，所以，所以直線的斜率是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件推導(dǎo)證得，再借助直角三角形中銳角的正切列式求解作答.(2)由給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解面面角作答【小問1詳解】連結(jié)BD，如圖，因底面ABCD，且平面ABCD，則，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，則，有，又，則有，有，則，解得，所以.【小問2詳解】依題意，DA，DC，DP兩兩垂直，以點D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由(1)知，，，，，，，，設(shè)平面AMP的法向量為，則，令，得，設(shè)平面BMP的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角A-PM-B的平面角為，則，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值為.18、（1）（2）【解析】（1）由題意可得數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，再由可求出，從而可求出通項公式，（2）由（1）可得，然后利用分組求和可求出【小問1詳解】因為數(shù)列滿足，所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，因為，所以，得，所以【小問2詳解】由（1）可得，所以19、（1）；（2）3.【解析】（1）把展開得，兩邊同乘得,再代極坐標(biāo)公式得曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）將代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得，再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義和韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）把展開得，兩邊同乘得①將代入①，即得曲線的直角坐標(biāo)方程為②（2）將代入②式，得，點M的直角坐標(biāo)為（0，3），設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根分別為t1，t2，則∴t1＜0，t2＜0則由參數(shù)t的幾何意義即得.【點睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化、直線參數(shù)方程t的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問1詳解】以D為坐標(biāo)原點，射線方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問2詳解】在長方體中，因為平面，所以平面平面，因為平面與平面交于，因為四邊形為正方形，所以，所以平面，即為平面的一個法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.21、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，將條件中的邊化成角，可得，進而可得的值；（2）由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，得最后結(jié)論試題解析：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得考點：正弦定理；余弦定理【易錯點睛】解三角形問題的兩重性：①作為三角形問題，它必須要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及其有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時進行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路；②它畢竟