重難點(diǎn)01動(dòng)態(tài)幾何問題（原卷版）

重難點(diǎn)01動(dòng)態(tài)幾何命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)近幾年在中考數(shù)學(xué)試卷中動(dòng)態(tài)類題目成了壓軸題中的常選內(nèi)容，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、圖形運(yùn)動(dòng)等類型，呈現(xiàn)方式豐富多彩，強(qiáng)化各種知識(shí)的綜合與聯(lián)系，有較強(qiáng)的區(qū)分度，且所占分值較高，具有一定的挑戰(zhàn)性。幾何動(dòng)態(tài)問題是指：在圖形中，當(dāng)某一個(gè)元素，如點(diǎn)、線或圖形等運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，問題的結(jié)論隨之改變或保持不變的幾何問題。以動(dòng)態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。熱點(diǎn)解讀熱點(diǎn)解讀幾何動(dòng)態(tài)問題是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)一個(gè)由靜止的定態(tài)到按某一規(guī)則運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)情景，通過觀察、分析、歸納、推理，動(dòng)中窺定，變中求靜，以靜制動(dòng)，從中探求本質(zhì)、規(guī)律和方法，明確圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系．幾何動(dòng)態(tài)問題關(guān)心“不變量”，所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合思想，這里常把函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式聯(lián)系起來，實(shí)際上是一般化與特殊化的方法．當(dāng)求變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解；當(dāng)求特殊位置關(guān)系或數(shù)值時(shí)，常建立方程模型求解。滿分滿分技巧1）動(dòng)態(tài)幾何問題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩種，那么動(dòng)態(tài)幾何也有直線型的和曲線型的兩類，即全等三角形、相似三角形中的動(dòng)態(tài)幾何問題，也有圓中的動(dòng)態(tài)問題。有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)，就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)等。根據(jù)其運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，又可分為(1)動(dòng)點(diǎn)類(點(diǎn)在線段或弧線上運(yùn)動(dòng))也包括一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)；(2)動(dòng)直線類；(3)動(dòng)圖形問題。2）解決動(dòng)態(tài)幾何題，通過觀察，對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的探索，發(fā)現(xiàn)其中的‘變量”和“定量”動(dòng)中求靜，即在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性;動(dòng)靜互化抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動(dòng)與靜”的關(guān)系;這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、結(jié)合推理，得出結(jié)論。解決這類問題，要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)。解決運(yùn)動(dòng)型試題需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系。3）動(dòng)態(tài)幾何形成的存在性問題，重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進(jìn)行分類，包括等腰(邊)三角形存在問題，直角三角形存在問題，平行四邊形存在問題，矩形、菱形、正方形存在問題。全等三角形存在問題，相似三角形存在問題等。圖形運(yùn)動(dòng)問題一般與圖形變換結(jié)合，圖形在運(yùn)動(dòng)過程中只是位置發(fā)生變化，大小、形狀一般不變．所以解答這類問題往往可運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、平行、全等、等腰三角形等知識(shí)．解答幾何動(dòng)態(tài)問題大致可分為三步：（1）審清題意，明確研究對(duì)象．（2）明確運(yùn)動(dòng)過程，抓住關(guān)鍵時(shí)刻的動(dòng)點(diǎn)，如起點(diǎn)，終點(diǎn)．（3）將運(yùn)動(dòng)元素看作靜止元素，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題．限時(shí)檢測(cè)限時(shí)檢測(cè)類型1：動(dòng)點(diǎn)問題1．（2023·廣東珠?！ば？家荒＃┤鐖D①，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，．已知與之間的函數(shù)圖象如圖②所示，點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn)，那么正方形的邊長(zhǎng)的值為（

）A．2 B． C．4 D．2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為12，E是中點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，在上取點(diǎn)G，使得，交于H，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C． D．3．（2023·綿陽(yáng)市中考模擬）邊長(zhǎng)為4、中心為的正方形如圖所示，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)一周停止，若點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)的位置有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)4．（2023·重慶市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，連接．若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著線段以個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．求線段的長(zhǎng)．連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，過點(diǎn)作線段的垂線與直線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；已知點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)記為(如圖2)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)恰好落在內(nèi)部(不含邊界)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．類型2動(dòng)線問題5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于軸對(duì)稱．是直線上的動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得．連接，則線段的最小值為（

）．A．3 B． C． D．6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)、在上，點(diǎn)、分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．6 B．5 C．4 D．37．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它們交于點(diǎn)M，連接并延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)E、F，連接交相交于點(diǎn)H，連接．下列判斷中，其中正確結(jié)論有______（填序號(hào)）①；②；③；④8．（2022·江西·九年級(jí)一模）如圖，在中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接．若以為直徑的與的邊相切，則的值為_______．9．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）將正方形的邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，過點(diǎn)B作直線，垂足為點(diǎn)F，連接．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為______，的值為______；（2）當(dāng)時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)根據(jù)圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；②如圖3，正方形邊長(zhǎng)為4，，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在與相似？若存在，則的值為______，若不存在，請(qǐng)說明理由．類型3圖形運(yùn)動(dòng)問題10．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）（1）如圖1，紙片中，，，過點(diǎn)A作，垂足為E，沿剪下，將它平移至的位置，拼成四邊形，則四邊形的形狀為．（從以下選項(xiàng)中選取）A．正方形

B．菱形

C．矩形（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片中，在上取一點(diǎn)F，使，剪下，將它平移至的位置，拼成四邊形．①求證：四邊形是菱形；②連接，求的值．11．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖①，在中，，，，D為的中點(diǎn)，為的中位線，四邊形為的內(nèi)接矩形（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)均在的邊上）．（1）計(jì)算矩形的面積；（2）將矩形沿向右平移、點(diǎn)F落在上時(shí)停止移動(dòng)，在平移過程中，當(dāng)矩形與重疊部分的面積為時(shí)，求矩形平移的距離；（3）如圖③，將（2）中矩形平移停止時(shí)所得的矩形記為矩形，將矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)H1落在上時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，求的值．12．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，在中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）①當(dāng)時(shí)，＝________；②當(dāng)時(shí)，＝________；（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過E作于點(diǎn)N，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，并求出的值．(3)當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)O為的中點(diǎn)，求在旋轉(zhuǎn)過程中長(zhǎng)的最小值．真題演練1．（2022·黑龍江大慶·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在y軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，滿足．點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．2．（2020·黑龍江大慶市·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，，分別為與的中點(diǎn)，一個(gè)三角形沿豎直方向向上平移，在運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)恒在直線上，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，恰與，兩邊的中點(diǎn)重合．設(shè)點(diǎn)到的距離為，三角形與正方形的公共部分的面積為，則當(dāng)時(shí)，的值為（）A．或 B．或 C． D．或3．（2022·山東濱州·中考真題）正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O（如圖1），如果繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別與邊相交于點(diǎn)E、F（如圖2），連接EF，那么在點(diǎn)E由B到A的過程中，線段EF的中點(diǎn)G經(jīng)過的路線是（

）A．線段 B．圓弧 C．折線 D．波浪線4．（2022·湖北黃岡·中考真題）如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止．若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），AP的長(zhǎng)度為y（cm），y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．當(dāng)AP恰好平分∠BAC時(shí)，t的值為________．5．（2020·湖北鄂州市·中考真題）如圖，半徑為的與邊長(zhǎng)為的正方形的邊相切于E，點(diǎn)F為正方形的中心，直線過點(diǎn)．當(dāng)正方形沿直線以每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)__________秒時(shí)，與正方形重疊部分的