19.1.1變量與函數(精講)-2021-2022學年八年級數學下學期重要考點(人教版)

變量與函數變量、常量的概念在一個變化過程中，我們稱數值發(fā)生變化的量為變量.數值保持不變的量叫做常量.注意：一般地，常量是不發(fā)生變化的量，變量是發(fā)生變化的量，這些都是針對某個變化過程而言的.例如，，速度60千米/時是常量，時間和里程為變量.題型1：變量與常量1.圓的周長公式是C=2πr，那么在這個公式中，關于變量和常量的說法正確的是（）A．2是常量， B．π、r是變量C．2、π是常量， D．r是變量C.2是常量，r是變量【答案】B【解析】【解答】解：圓的周長計算公式是c=2πr，C和r是變量，2、π是常量.故答案為：B.【分析】常量是固定不變的量，變量是變化的量，據此判斷.【變式11】設路程s，速度v，時間t，在關系式s=vt中，說法正確的是（）A．當s一定時，v是變量，t是變量B．當v一定時，t是常量，s是變量C．當t一定時，t、s是常量，v是變量D．當t一定時，s是常量，v是變量【答案】A【解析】【解答】解：A、當s一定時，s是常量，v、t是變量，故原題說法正確；B、當v一定時，v是常量，t、s是變量，故原題說法錯誤；C、當t一定時，t是常量，s，v是變量，故原題說法錯誤；D、當t一定時，t是常量，v、s是變量，故原題說法錯誤.故答案為：A.【分析】常量是固定不變的量，而變量是變化的量，據此判斷.【變式12】一本筆記本5元，買x本共付y元，則常量和變量分別是（）A．常量：5；變量：x B．常量：5；變量：yC．常量：5；變量：x，y D．常量：x，y；變量：5【答案】C【解析】【解答】解：一本筆記本5元，買x本共付y元，則5是常量，x、y是變量.故答案為：C.【分析】由題意可得：付的錢數y隨著買的本數x的變化而變化，筆記本的單價為固定值，據此判斷.【變式13】分析并指出下列關系中的變量與常量：（1）球的表面積Scm2與球的半徑Rcm的關系式是S=4πR2；（2）以固定的速度v0米/秒向上拋一個小球，小球的高度h米與小球運動的時間t秒之間的關系式是h=v0t﹣4.9t2；（3）一物體自高處自由落下，這個物體運動的距離hm與它下落的時間ts的關系式是h=12gt2（其中g取9.8m/s2（4）已知橙子每千克的售價是1.8元，則購買數量W千克與所付款x元之間的關系式是x=1.8W．【答案】解：（1）球的表面積Scm2與球的半徑Rcm的關系式是S=4πR2，其中，常量是4π，變量是S，R；（2）以固定的速度v0米/秒向上拋一個小球，小球的高度h米與小球運動的時間t秒之間的關系式是h=v0t﹣4.9t2，常量是v0，4.9，變量是h，t；（3）一物體自高處自由落下，這個物體運動的距離hm與它下落的時間ts的關系式是h=12gt2（其中g取9.8m/s2）其中常量是12g，變量是h，（4）已知橙子每千克的售價是1.8元，則購買數量W千克與所付款x元之間的關系式是x=1.8W，常量是1.8，變量是x，w．【解析】【分析】根據變量和常量的定義：在一個變化的過程中，數值發(fā)生變化的量稱為變量；數值始終不變的量稱為常量可直接得到答案題型2：因變量和自變量2.對于關系式y(tǒng)＝3x＋5，下列說法：①x是自變量，y是因變量；②x的數值可以任意選擇；③y是變量，它的值與x無關；④這個關系式表示的變量之間的關系不能用圖象表示；⑤y與x的關系還可以用表格和圖象表示，其中正確的是()A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤【答案】D【解析】【解答】解：①x是自變量，y是因變量，正確；②x的數值可以任意選擇，正確；③y是變量，y隨x的變化而變化，故原說法錯誤；④根據函數的三種表示形式，可知用關系式表示的能用圖象表示，故原說法錯誤；⑤y與x的關系還可以用列表法和圖象法表示，正確.故答案為：D.【分析】根據自變量、因變量的概念可判斷①；根據關系式可得y隨x的變化而變化，據此判斷②③；根據函數的表示方法可判斷④⑤.【變式21】某居民小區(qū)電費標準為0.55元/千瓦時，收取的電費y（元）和所用電量x（千瓦時）之間的關系式為y=0A．x是自變量，0.55是因變量 B．0.55是自變量，x是因變量C．x是自變量，y是因變量 D．y是自變量，x是因變量【答案】C【解析】【解答】解：A、x是自變量，0.55是常量，故不符合題意；B、0.55是常量，x是自變量，故不符合題意；C、x是自變量，y是因變量，符合題意；D、x是自變量，y是因變量，故不符合題意.故答案為：C.

【分析】根據自變量和因變量的定義求解即可?！咀兪?2】圓柱的高是6cm，當圓柱的底面半徑r由小到大變化時，圓柱的體積V也隨之發(fā)生變化.在這個變化過程中，常量是，自變量是，因變量是.【答案】6；底面半徑r；圓柱的體積V【解析】【解答】解：當圓柱的底面半徑r由小到大變化時，圓柱的體積V也隨之發(fā)生變化，在這個變化過程中，常量是6，自變量為底面半徑r，因變量為圓柱的體積V.

故答案為：6，底面半徑r，圓柱的體積V.

【分析】在變化過程中，圓柱的高為6cm始終沒有發(fā)生變化，體積V隨著底面半徑r的變化而變化，據此解答.【變式23】一次試驗中，小明把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛砝碼，下面是測得的彈簧長度y（cm）與所掛砝碼的質量x（g）的一組對應值：

x（g）012345…y（cm）182022242628…（1）表中反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？（2）彈簧的原長是多少？當所掛砝碼質量為3g時，彈簧的長度是多少？（3）砝碼質量每增加1g，彈簧的長度增加多少厘米？【答案】解：（1）上表反映了彈簧長度與所掛砝碼質量之間的關系；其中所掛砝碼質量是自變量，彈簧長度是因變量；（2）因為不掛砝碼時的彈簧長度即為彈簧的原長，所以彈簧的原長是18cm；當所掛物體重量為3g時，彈簧長24cm；（3）根據上表可知，砝碼質量每增加1g，彈簧的長度增加2cm．【解析】【分析】（1）因為表中的數據主要涉及到彈簧的長度和所掛物體的質量，所以反映了所掛物體的質量和彈簧的長度之間的關系，所掛物體的質量是自變量；彈簧的長度是因變量；（2）由表可知，當物體的質量為0g時，彈簧的長度即彈簧的原長是18cm；當物體的質量為3g時，彈簧的長度是24cm；（3）由表中的數據可知，x=0時，y=18；x=1時，y=20，則砝碼質量每增加1g，彈簧的長度增加2cm．函數的定義一般地，在一個變化過程中.如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數.注意：對于函數的定義，應從以下幾個方面去理解：（1）函數的實質，揭示了兩個變量之間的對應關系；（2）對于自變量的取值，必須要使代數式有實際意義；（3）判斷兩個變量之間是否有函數關系，要看對于允許取的每一個值，是否都有唯一確定的值與它相對應.（4）兩個函數是同一函數至少具備兩個條件：①函數關系式相同（或變形后相同）；②自變量的取值范圍相同.否則，就不是相同的函數.而其中函數關系式相同與否比較容易注意到，自變量的取值范圍有時容易忽視，這點應注意.題型3：函數的概念3.如圖，有一個球形容器，小海在往容器里注水的過程中發(fā)現，水面的高度h、水面的面積S及注水量V是三個變量．下列有四種說法：①S是V的函數；②V是S的函數；③h是S的函數；④S是h的函數．其中所有正確結論的序號是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【解析】【解答】①：由題意可知，對于注水量V的每一個數值，水面的面積S都有唯一值與之對應，所以V是自變量，S是因變量，所以S是V的函數，符合題意；②：由題意可知，對于水面的面積S的每一個數值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函數，不符合題意；③：由題意可知，對于水面的面積S的每一個數值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函數，不符合題意；④：由題意可知，對于水面的高度h的每一個數值，水面的面積S都有唯一值與之對應，h是自變量，S是因變量，所以S是h的函數，符合題意；所以正確的的序號有①④，故答案為：B．【分析】根據水面的高度h、水面的面積S及注水量V是三個變量，再結合圖形求解即可?！咀兪?1】下列關于變量x，y的關系，其中y不是x的函數的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，所以y是x的函數，此項不符題意；B、對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，所以y是x的函數，此項不符題意；C、對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，所以y是x的函數，此項不符題意；D、當x=3時，有兩個y的值與其對應，所以y不是x的函數，此項符合題意.故答案為：D.【分析】對于兩個變量x和y，如果每給定x的一個確定值，y都有唯一一個確定的值與其對應，那么我們就說y是x的函數，據此判斷.【變式32】下列關系式：①x3x=4；②s=3.5t；③y=2x；④y=5x3；⑤C=2πr；⑥y2=2x．其中是函數關系的有()A．①⑥ B．②③④⑤ C．④⑥ D．①②【答案】B【解析】【解答】解：①中含有一個變量，不是函數關系；②③④⑤符合函數的概念；⑥中給定一個負數x，有兩個y值與之對應，不是函數.

故答案為：B.

【分析】在一個變化過程中，假設有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，那么就稱y是x的函數，據此判斷.【變式33】下列關系中，不是函數的是()．A．y=x+13 B．y=xC．y=9x(x≥0) D．y=±x2【答案】D【解析】【解答】解：A、B、C符合函數的概念，而D中給定一個x值，有兩個y值與其對應，故不是函數.

故答案為：D.

【分析】在一個變化過程中，假設有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，那么就稱y是x的函數，據此判斷.題型4：函數概念與基礎圖像識別4.下列圖象中，y不是x的函數的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：根據函數定義，如果在某變化過程中，有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，按照對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，而C中的y的值不具有唯一性，所以不是函數關系.

故答案為：C.

【分析】在一個變化過程中，假設有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，那么就稱y是x的函數，據此判斷.【變式41】如圖所示圖象表示的兩個變量間的關系中，y不是x的函數的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、此圖象中的y是x的函數，故A不符合題意；

B、此圖象中的y是x的函數，故B不符合題意；

C、此圖象中的y是x的函數，故C不符合題意；

D、此圖象中的y不是x的函數，故D符合題意；

故答案為：D.

【分析】一般地,在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，觀察函數圖象，可得到y(tǒng)不是x的函數圖象的選項.【變式42】下列圖象中，表示y是x的函數的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【解答】解：屬于函數的有故y是x的函數的個數有2個，故答案為：B．【分析】根據函數的定義逐項判斷即可?！咀兪?3】下列圖形中的曲線不能表示y是x的函數的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：由函數的定義，可知B選項中，一個x值，有兩個y值與之對應，不符合函數定義，故答案為：B.【分析】設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數，據此判斷.自變量取值范圍的確定使函數有意義的自變量的取值的全體實數叫自變量的取值范圍.注意：自變量的取值范圍的確定方法：首先，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義：（1）當解析式是整式時，自變量的取值范圍是全體實數；（2）當解析式是分式時，自變量的取值范圍是使分母不為零的實數；（3）當解析式是二次根式時，自變量的取值范圍是使被開方數不小于零的實數；（4）當解析式中含有零指數冪或負整數指數冪時，自變量的取值應使相應的底數不為零；（5）當解析式表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義.題型5：自變量的取值范圍5.下列函數中，自變量的取值范圍選取錯誤的是（）A．y=2x2中，x取全體實數 B．y=1x+1中，x取x≠C．y=x-2中，x取x≥2的實數 D．y=1x-3中，【答案】D【解析】【解答】解：A、y=2x2中，B、∵x+1≠0，即∴y=1x+1C、∵x∴x∴y=x-2D、∵x-3≥0∴x∴y=1x-3故答案為：D.【分析】A、二次函數的自變量取一切實數，據此解答即可；

B、根據分式有意義的條件：分母不為0，據此判斷即可；

C、二次根式有意義的條件：被開方數為非負數，據此判斷即可；

D、根據分式有意義的條件及二次根式有意義的條件進行判斷即可.【變式51】．函數y=1x+1+(xA．x≥-1 B．C．x>-1且x≠2 D．x≠-1【答案】C【解析】【解答】解：函數y=1x+1+(xx+1>0且x-解得：x>-1且x≠2故答案為：C.

【分析】利用含自變量的式子含有分式，則分母不等于0，二次根式有意義，則被開方數是非負數，任何不等于0的數的零次冪，可建立關于x的不等式組，然后求出不等式組的解集.【變式52】求函數y=2-x2x-3【答案】解：根據題意得：2-x≥02解得：x≤2且x≠3【解析】【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．【變式53】求下列函數中自變量的取值范圍．①y=-52x-1【答案】解：①根據題意得，2x﹣1≠0，解得x≠12②根據題意得，2x﹣1≥0，解得x≥1【解析】【分析】①根據分母不等于0列式進行計算即可得解；②根據被開方數大于等于0列式計算即可得解．【變式54】求下列函數中自變量x的取值范圍．y=x-2+【答案】解:根據題意得：x-解得：x≥2且x≠3；【解析】【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍；函數值是的函數，如果當＝時＝，那么叫做當自變量為時的函數值.注意：對于每個確定的自變量值，函數值是唯一的，但反過來，可以不唯一，即一個函數值對應的自變量可以是多個.比如：中，當函數值為4時，自變量的值為±2.題型6：函數值的定義6.已知一次函數y＝ax－3，當x＝1時，y＝7，當x＝－2時，求y的值.【答案】解：根據題意得：a-3=7∴a=10，∴一次函數解析式為y=10x∴當x＝－2時，y＝10×（－2）－3＝－23，∴y的值為－23.【解析】【分析】將x=1、y=7代入可得a3=7，求出a的值，據此可得一次函數的解析式，然后將x=2代入求解就可得到y(tǒng)的值.【變式61】當自變量x取何值時，函數y=52x+1與y=5x+17的值相等？這個函數值是多少？【答案】解：由題意得y=52x+1y=5當x=﹣325時，函數y=52x+1與y=5x+17【解析】【分析】根據函數值相等，自變量相等，可得方程組，根據解方程組，可得答案．【變式62】某地海拔高度h與溫度T的關系可用T=216h來表示(其中溫度單位為℃，海拔高度單位為km)，則該地區(qū)某海拔高度為2000m的山頂上的溫度為()A．9℃ B．7℃ C．6℃ D．3℃【答案】A【解析】【解答】解：2000米=2千米，T=216h=216×2=9℃.故答案為：A.【分析】2000米=2千米，然后將h=2代入T=216h中進行計算即可.【變式63】已知函數y=2x-1x+2中，當x=a時的函數值為【答案】解：函數y=2x-1x+2中，當2a-兩邊都乘以（a+2）得2a﹣1=a+2解得a=3．【解析】【分析】根據函數值與自變量的關系是一一對應的，代入函數值，可得自變量的值．【變式64】當x=2及x=﹣3時，分別求出下列函數的函數值：（1）y=（x+1）（x﹣2）；（2）y=x+2【答案】解：（1）當x=2時，y=（x+1）（x﹣2）=（2+1）（2﹣2）=0，當x=﹣3時，y=（x+1）（x﹣2）=（﹣3+1）（﹣3﹣2）=10；（2）當x=2時，y=x+2x-1當x=﹣3時，y=x+2x-1=【解析】【分析】（1）把x=2和x=﹣3分別代入函數y=（x+1）（x﹣2）計算即可求解；（2）把x=2及x=﹣3分別代入函數y=x+2題型7：構建簡單函數（幾何圖形）7.如圖，在靠墻（墻長8m）的地方圍建一個矩形的養(yǎng)雞場，另外三邊用柵欄圍成，如果柵欄總長為32m，求雞場的一邊y（m）與另一邊x（m）的函數關系式，并求出自變量的取值范圍．【答案】解：(1)根據題意得:雞場的長y(m)與寬x(m)有y+2x=32:即y=2x+32;(2)題中有8>y>0,2x+32≤8∴x≥12又y>x2x+35>x,解得x＜16則自變量的取值范圍為故答案為:12≤x<16.【解析】【分析】根據長方形的面積公式和圍成的長方形僅有三邊,找到函數關系解答即可【變式71】如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為DC上的點（不與C，D點重合）．設線段DP的長為x，求梯形ABCP的面積y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】解：梯形ABCP的面積y關于x的函數關系式：y=﹣x+4（0＜x＜2）【解析】【分析】根據梯形的面積可得函數關系式，【變式72】如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為10cm，AC與MN在同一直線上，開始時A點與M點重合，讓△ABC向右運動，最后A點與N點重合．試寫出重疊部分的面積ycm2與MA的長度xcm之間的關系式，并指出其中的常量與變量．【答案】解：由題意知，開始時A點與M點重合，讓正方形MNPQ向左運動，兩圖形重合的長度為AM=x，∵∠BAC=45°，∴S陰影=12×AM×h=12AM2=12則y=12x2，0＜x≤10其中的常量為等腰直角三角形ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為10cm，變量為重疊部分的面積y與MA的長度x．【解析】【分析】根據圖形及題意所述可得出重疊部分是等腰直角三角形，從而根據MA的長度可得出y與x的關系．再根據變量和常量的定義：在一個變化的過程中，數值發(fā)生變化的量稱為變量；數值始終不變的量稱為常量可得答案．【變式73】圓柱的底面半徑是2cm，當圓柱的高h（cm）由大到小變化時，圓柱的體積V（cm3）隨之發(fā)生變化．（1）在這個變化過程中，自變量和因變量各是什么？（2）在這個變化過程中，寫出圓柱的體積為V與高h之間的關系式？（3）當h由5cm變化到10cm時，V是怎樣變化的？（4）當h=7cm時，v的值等于多少？【答案】解：（1）自變量是圓柱的高，因變量是圓柱的體積；（2）體積V與高h之間的關系式V=4πh；（3）當h=5cm時，V=20πcm3；當h=10cm時，V=40πcm3．當h越來越大時，V也越來越大；（4）當h=7cm時，V=4π×7=28πcm3．【解析】【分析】（1）根據函數的定義，可得答案；（2）根據圓柱的體積公式，可得答案；（3）根據一次函數的性質，可得答案；（4）根據自變量的值，可得相應的函數值．題型8：構建記得函數（實際問題）8.物體從高處自由下落的高度h(m)與物體下落的時間t(s)之間的函數關系式是：h＝12gt2(g表示重力加速度，g取9.8m/s2)．某人發(fā)現頭頂上空490m處有一炸彈自由下落，其地面殺傷半徑為50m，此人發(fā)現后，立即以6m/s的速度逃離，那么此人有無危險？【答案】解：無危險，