專題21尺規(guī)作圖(精講精練)(原卷版+解析)

第21講尺規(guī)作圖（精講）學(xué)會(huì)作一條線段等于已知線段學(xué)會(huì)作一個(gè)角等于已知角學(xué)會(huì)作已知角的角平分線學(xué)會(huì)過(guò)一點(diǎn)作已知線段的垂線作已知線段的垂直平分線TOC\o"1-2"\h\u第21講尺規(guī)作圖（精講） 1考點(diǎn)1：作等線段 3考點(diǎn)2：作等角 8考點(diǎn)3：作角平分線 16考點(diǎn)4：過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線 26考點(diǎn)5：作垂直平分線 30考點(diǎn)6：綜合運(yùn)用 36課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 66分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 67考點(diǎn)1：作等線段作一條線段等于已知線段已知：線段，作一條線段，？作法：①用直尺畫(huà)射線②用圓規(guī)在射線上截取∴線段AB即為所求在給出的圖形中，完成以下作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）①作的平分線，交于點(diǎn)；②延長(zhǎng)到，使，連接．如圖，在中，．（1）用尺規(guī)作的平分線，交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）若，求的度數(shù)．用圓規(guī)、直尺作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡，已知：如圖，線段，．求作：線段，使．如圖，已知線段，射線．按要求完成作圖：（1）用圓規(guī)在射線上截取，連接；（2）以為一邊，以為頂點(diǎn)，在射線上方，用三角尺作；延長(zhǎng)，交于點(diǎn)；（3）比較線段與的大小，與的大小，并直接寫(xiě)出結(jié)論．如圖，已知直線和直線外三點(diǎn)，，，請(qǐng)按下列要求畫(huà)圖：（1）畫(huà)線段；（2）畫(huà)射線；（3）延長(zhǎng)到，使得；（4）在直線上找一點(diǎn)，使得最小，并說(shuō)明你的作圖依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短．考點(diǎn)2：作等角作一個(gè)角等于已知角已知：求作：作法：①以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA與點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E；②作射線③以為圓心,OD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交于點(diǎn)④以為圓心,ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交上一步所畫(huà)的弧與⑤過(guò)作射線,為所求已知，如圖，作的外接圓，在上方作弦使，連接，并求證：．（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）已知：線段，，垂足為點(diǎn)．求作：四邊形，使得點(diǎn)，分別在射線，上，且，，．（2021?福建）如圖，已知線段，，垂足為．（1）求作四邊形，使得點(diǎn)，分別在射線，上，且，，；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)，分別為（1）中四邊形的邊，的中點(diǎn)，求證：直線，，相交于同一點(diǎn)．（2020?福建）如圖，為線段外一點(diǎn)．（1）求作四邊形，使得，且；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形中，，相交于點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別為，，求證：，，三點(diǎn)在同一條直線上．（2020?陜西）如圖，已知，，．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)，使．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，答案不唯一）（2017?泰州）如圖，中，．（1）用直尺和圓規(guī)在的內(nèi)部作射線，使（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）若（1）中的射線交于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．（2017?青島）已知：四邊形．求作：點(diǎn)，使，且點(diǎn)到邊和的距離相等．考點(diǎn)3：作角平分線作已知角的角平分線作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD=OE。②分別以D、E為圓心，以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)，，．用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）在勞動(dòng)植樹(shù)節(jié)活動(dòng)中，兩個(gè)班的學(xué)生分別在，兩處參加植樹(shù)勞動(dòng)，現(xiàn)要在道路的，交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)，使到兩條道路的距離相等，且使，請(qǐng)同學(xué)們用圓規(guī)、直尺在圖中畫(huà)出供應(yīng)點(diǎn)的位置，保留畫(huà)圖痕跡，不要證明．如圖，在中，．（1）作的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）當(dāng)，時(shí)，求的周長(zhǎng)．如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)，，．用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）如圖，已知．①請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出邊的垂直平分線，交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）②在（1）的條件下，連接，若，，求的周長(zhǎng)．如圖，在中，（1）尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）是底邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，，若，求證：．如圖，已知，用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（1）作的角平分線；（2）在邊上找一點(diǎn)，使得．如圖，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，用尺規(guī)在邊上找一點(diǎn)，使得與的面積相等．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）如圖，在中，（1）用直尺和圓規(guī)分別作的平分線、線段的中垂線、它們的交點(diǎn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標(biāo)注點(diǎn)；（2）過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、．求證：．（2017?福建）如圖，中，，，垂足為．求作的平分線，分別交，于，兩點(diǎn)；并證明．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2017?陜西）如圖，在鈍角中，過(guò)鈍角頂點(diǎn)作交于點(diǎn)．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離等于的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）考點(diǎn)4：過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線過(guò)一點(diǎn)作已知線段的垂線求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作法：①以點(diǎn)C為圓心，大于到線段距離為半徑作弧，交AB與點(diǎn)D、E。②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F。③作直線CF，CF即為所求的直線如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：在線段上找一點(diǎn)，以為圓心作圓，使經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)；（2）在（1）中所作圖中，求證：與的相切．如圖在中，，，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法作使得與相切于點(diǎn)，同時(shí)與相切（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．作圖與計(jì)算：如圖正方形．（1）用帶刻度的直尺和圓規(guī)，分別作正方形的外接圓和內(nèi)切圓．（2）若正方形的邊長(zhǎng)是，求它的內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)的面積（答案保留．考點(diǎn)5：作垂直平分線作已知線段的垂直平分線作法：①以A為圓心大于長(zhǎng)為半徑作弧，以B為圓心大于長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于C、D兩點(diǎn)②連接CD，即為所求如圖，在四邊形中，，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點(diǎn)，連接、，使得．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2021?阿壩州）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，連接，則的大小為A． B． C． D．（2019?無(wú)錫）如圖，為半圓的直徑，為半圓上一點(diǎn)，．（1）請(qǐng)用直尺（不含刻度）與圓規(guī)在上作一點(diǎn)，使得直線平分的周長(zhǎng)；（不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，求的面積．（2019?棗莊）如圖，是菱形的對(duì)角線，，（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作的垂直平分線，垂足為，交于；（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接，求的度數(shù)．（2018?河池）如圖，在中，，（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）①作的垂直平分線，垂足為；②以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交于異于，連接；（2）探究與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)6：綜合運(yùn)用如圖，在中，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交的兩側(cè)于點(diǎn)、，連接，交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為A． B． C． D．尺規(guī)作圖：作角等于已知角．示意圖如圖所示，則說(shuō)明的依據(jù)是A． B． C． D．如圖①，已知，用直尺和圓規(guī)作的平分線．如圖②，步驟如下：第一步，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．第二步，分別以點(diǎn)，為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)．第三步，畫(huà)射線．射線即為所求．下列說(shuō)法正確的是A． B． C． D．在中，，，，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊上找一點(diǎn)，使，下列作法正確的是A．B．C． D．如圖，的面積是，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交、于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則的面積是A． B． C． D．（2021?青島）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．已知：及其一邊上的兩點(diǎn)，．求作：，使，且點(diǎn)在內(nèi)部，．（2021?湖北）已知和都為正三角形，點(diǎn)，，在同一直線上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，作的中線；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，作的中線．（2021?南京）如圖，已知是外一點(diǎn)．用兩種不同的方法過(guò)點(diǎn)作的一條切線．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．（2021?嘉峪關(guān)）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理．如圖，已知，是弦上一點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過(guò)程．（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；①作線段的垂直平分線，分別交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，兩點(diǎn)不重合），連接，，．（2）直接寫(xiě)出引理的結(jié)論：線段，的數(shù)量關(guān)系．（2021?重慶）如圖，在中，．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在上截取，使；作的平分線交于點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接交于點(diǎn)，猜想按角分類的類型，并證明你的結(jié)論．（2020?昆明）如圖，點(diǎn)是的直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：在直徑上方的圓上作一點(diǎn)，使得，連接，（保留清晰作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；并證明是的切線；（2）在（1）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．（2020?咸寧）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，在上截取．連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在內(nèi)找一點(diǎn)，使．（標(biāo)出點(diǎn)的位置，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2020?嘉峪關(guān)）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，且．（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）①作的角平分線交于點(diǎn)；②作線段的垂直平分線交于點(diǎn)．（2）連接，直接寫(xiě)出線段和的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系．（2019?陜西）如圖，已知，點(diǎn)在邊上．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法求作，使與邊相切．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2019?廣州）如圖，的直徑，弦，連接．（1）尺規(guī)作圖：作弦，使（點(diǎn)不與重合），連接；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）所作的圖中，求四邊形的周長(zhǎng)．（2019?江西）在中，，點(diǎn)在以為直徑的半圓內(nèi)．請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求畫(huà)圖（保留畫(huà)圖痕跡）．（1）在圖1中作弦，使；（2）在圖2中以為邊作一個(gè)的圓周角．（2019?金昌）已知：在中，．（1）求作：的外接圓．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）若的外接圓的圓心到邊的距離為4，，則．（2019?達(dá)州）如圖，在中，，，．（1）尺規(guī)作圖：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．①作的平分線，交斜邊于點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)．（2）在（1）作出的圖形中，求的長(zhǎng)．（2019?德州）如圖，，點(diǎn)、分別在射線、上，，．（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在、兩點(diǎn)分別與射線和相切．要求：寫(xiě)出作法，并保留作圖痕跡；（2）根據(jù)（1）的作法，結(jié)合已有條件，請(qǐng)寫(xiě)出已知和求證，并證明；（3）求所得的劣弧與線段、圍成的封閉圖形的面積．（2018?江西）如圖，在四邊形中，，，為的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求畫(huà)圖（保留畫(huà)圖痕跡）．（1）在圖1中，畫(huà)出的邊上的中線；（2）在圖2中，若，畫(huà)出的邊上的高．如圖，點(diǎn)、、在上，．請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求作圖．（1）在圖（1）中，作一個(gè)度數(shù)為的圓周角；（2）在圖（2）中，作一個(gè)度數(shù)為的圓周角．（1）如圖1，已知，是的角平分線，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺作出的平分線；（2）如圖2，已知，且，分別平分與，與相交于，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺作出的平分線．如圖，一組等距的平行線上有一個(gè)半圓，點(diǎn)為圓心，為直徑，點(diǎn)，，，是半圓弧與平行線的交點(diǎn)．只用無(wú)刻度的直尺作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中作出邊上的中線．（2）在圖2中作的角平分線．（2021?阿壩州）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，連接，則的大小為A． B． C． D．（2021?興安盟）如圖，中，、交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于、兩點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，的周長(zhǎng)為14，則的長(zhǎng)為A． B．6 C．8 D．10（2021?百色）如圖，在中，尺規(guī)作圖的部分作法如下：（1）分別以弦的端點(diǎn)、為圓心，適當(dāng)?shù)乳L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩弧相交于點(diǎn)；（2）作直線交于點(diǎn)．若，，則等于A． B． C． D．（2021?鄂爾多斯）已知：的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．②分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)相交于點(diǎn)．③畫(huà)射線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A．， B．， C．， D．，（2021?黃石）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交、于、兩點(diǎn)；②分別以、為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作射線，交邊于點(diǎn)．若，，則線段的長(zhǎng)為A．3 B． C． D．（2021?貴陽(yáng)）如圖，已知線段，利用尺規(guī)作的垂直平分線，步驟如下：①分別以點(diǎn)，為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和．②作直線．直線就是線段的垂直平分線．則的長(zhǎng)可能是A．1 B．2 C．3 D．4（2021?廣元）觀察下列作圖痕跡，所作線段為的角平分線的是A． B． C． D．（2021?杭州）已知線段，按如下步驟作圖：①作射線，使；②作的平分線；③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；④過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則A． B． C． D．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固1．（2022秋?泰山區(qū)期末）如圖，在中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法不一定正確的是A． B． C． D．2．（2022秋?館陶縣期末）數(shù)學(xué)課上，老師提出一個(gè)問(wèn)題：經(jīng)過(guò)已知角一邊上的點(diǎn)，做一個(gè)角等于已知角．如圖，用尺規(guī)過(guò)的邊上一點(diǎn)（圖①作（圖②．我們可以通過(guò)以下步驟作圖：①作射線；②以點(diǎn)為圓心，小于的長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，；③以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交上一段弧于點(diǎn)；④以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)．下列排序正確的是A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①3．（2022?鄂州）如圖，直線，點(diǎn)、分別在、上，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．4．（2021?鄂爾多斯）已知：的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．②分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)相交于點(diǎn)．③畫(huà)射線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A．， B．， C．， D．，5．（2022?通遼）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求的度數(shù)．6．（2022?貴港）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）如圖，已知線段，．求作，使，，．7．（2022?青島）已知：，．求作：點(diǎn)，使點(diǎn)在內(nèi)部．且，．8．（2022?陜西）如圖，已知，，是的一個(gè)外角．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）9．（2022秋?丹東期末）如圖，已知平面上四個(gè)點(diǎn)，，，，請(qǐng)按要求完成下列問(wèn)題：（1）畫(huà)直線，射線，連接；（2）在線段上求作點(diǎn)，使得；（保留作圖痕跡）（3）請(qǐng)?jiān)谥本€上確定一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和最短，并寫(xiě)出畫(huà)圖的依據(jù)．1．（2022春?滑縣期末）如圖，是一張平行四邊形紙片，要求利用所學(xué)知識(shí)將它變成一個(gè)菱形，甲、乙兩位同學(xué)的作法分別如下．甲：分別作與的平分線、，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形是菱形；乙：分別以點(diǎn)、為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形是菱形．對(duì)于甲、乙兩人的作法，判斷正確的是A．甲、乙均正確 B．甲，乙均錯(cuò)誤 C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確2．（2022?邯鄲三模）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中記載了用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：①在上任取一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓弧分別交于，兩點(diǎn)；③連接，并延長(zhǎng)分別交于點(diǎn)，；④順次連接，，，，，，得到六邊形．連接，，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．的內(nèi)心與外心都是點(diǎn) B． C．點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn) D．3．（2020秋?五華區(qū)期末）如圖，在中，，，以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交、于點(diǎn)和，再分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是①是的平分線；②；③點(diǎn)在的垂直平分線上；④若，則點(diǎn)到的距離是；⑤．A．2 B．3 C．4 D．54．（2021秋?興隆臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在的邊上，用尺規(guī)作出了．以下是排亂的作圖過(guò)程：則正確的作圖順序是①以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)，交于點(diǎn)．②作射線，則．③以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)．④以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)，分別交，于點(diǎn)，．A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①②5．（2021?陽(yáng)新縣校級(jí)模擬）如圖，在中，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線，交于點(diǎn)；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)、，作直線，交于點(diǎn)；連接、．則的度數(shù)為A． B． C． D．6．（2023?小店區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知，點(diǎn)為上一點(diǎn)．（1）畫(huà)，垂足為；（2）畫(huà)的平分線，交于；（3）過(guò)點(diǎn)畫(huà)，交于點(diǎn)．（注：不需要寫(xiě)出作法，只需保留作圖痕跡）7．（2022秋?灌南縣期中）小明同學(xué)用圓規(guī)和直尺按下面方法作的平分線：作法：①如圖，以為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與，交于點(diǎn)，；②再以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與，交于點(diǎn)，；③連接，交于點(diǎn)，連接，則平分．老帥說(shuō)：小明同學(xué)這種作角平分線的方法是正確的，并且小明已證出，從而得到了，下面請(qǐng)你幫助小明同學(xué)完成后面平分的證明．8．（2022?豐澤區(qū)校級(jí)模擬）如圖，矩形中，，，是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且滿足．（1）請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在所給的圖中作出符合條件的點(diǎn)（不要求寫(xiě)作法，但保留作圖痕跡）；（2）若，試確定的長(zhǎng)．9．（2021秋?霍邱縣期末）如圖，以直線上一點(diǎn)為端點(diǎn)作射線，使，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．（注；（1）如圖①，若直角三角板的一邊放在射線上，則；（2）如圖②，將直角三角板繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如果在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；（3）將直角三角板繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如果在的外部，且，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出三角板的位置，并求出的度數(shù)．10．（2022?治多縣模擬）如圖，在中，，（1）按下列要求完成尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；連接并延長(zhǎng)至，使得；連接、（保留作圖痕跡，請(qǐng)標(biāo)明字母）；（2）判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．11．（2021秋?海安市校級(jí)月考）作圖題，不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．（1）如圖，鐵路和公路都經(jīng)過(guò)地，曲線是一條河流，現(xiàn)欲在河上建一個(gè)貨運(yùn)碼頭，使其到鐵路和公路的距離相等，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)通過(guò)畫(huà)圖找到碼頭的位置．（2）已知如圖線段、線段，求作等腰三角形，使底邊，底邊上的高等于．1．（2021秋?船山區(qū)校級(jí)期末）如圖，求作一點(diǎn)，使，并且點(diǎn)到兩邊的距離相等（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．2．（2015?江陰市校級(jí)一模）提出問(wèn)題：如圖，在“兒童節(jié)”前夕，小明和小華分別獲得一塊分布均勻且形狀為等腰梯形和直角梯形的蛋糕，在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將自己的這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．背景介紹：這條分割直線既平分了梯形的面積，又平分了梯形的周長(zhǎng)，我們稱這條線為梯形的“等分積周線”．嘗試解決：（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出．請(qǐng)你幫小明在圖1中作出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．（2）小華覺(jué)得小明的方法很好，所以模仿著在自己的蛋糕（圖中畫(huà)了一條直線分別交、于點(diǎn)、．你覺(jué)得小華會(huì)成功嗎？如能成功，說(shuō)出確定的方法；如不能成功，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）通過(guò)上面的實(shí)踐，你一定有了更深刻的認(rèn)識(shí)．若圖2中，，，，，．請(qǐng)你找出梯形的所有“等分積周線”，并簡(jiǎn)要的說(shuō)明確定的方法．第21講尺規(guī)作圖（精講）學(xué)會(huì)作一條線段等于已知線段學(xué)會(huì)作一個(gè)角等于已知角學(xué)會(huì)作已知角的角平分線學(xué)會(huì)過(guò)一點(diǎn)作已知線段的垂線作已知線段的垂直平分線TOC\o"1-2"\h\u第21講尺規(guī)作圖（精講） 1考點(diǎn)1：作等線段 3考點(diǎn)2：作等角 8考點(diǎn)3：作角平分線 16考點(diǎn)4：過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線 26考點(diǎn)5：作垂直平分線 30考點(diǎn)6：綜合運(yùn)用 36課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 66分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 67考點(diǎn)1：作等線段作一條線段等于已知線段已知：線段，作一條線段，？作法：①用直尺畫(huà)射線②用圓規(guī)在射線上截取∴線段AB即為所求在給出的圖形中，完成以下作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）①作的平分線，交于點(diǎn)；②延長(zhǎng)到，使，連接．【分析】根據(jù)角平分線的定義利用直尺和圓規(guī)作出即可．【解答】解：如圖所示：射線和線段即為所求．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖，角平分線的定義，正確理解角平分線的定義是關(guān)鍵．如圖，在中，．（1）用尺規(guī)作的平分線，交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）若，求的度數(shù)．【分析】（1）利用基本作圖作的平分線即可；（2）由平分得到，由得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，為所作；（2）平分，，，，，，，即，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖，熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．用圓規(guī)、直尺作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡，已知：如圖，線段，．求作：線段，使．【分析】作射線，在射線上截取，在線段上截取，則線段即為所求．【解答】解：如圖，線段即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．如圖，已知線段，射線．按要求完成作圖：（1）用圓規(guī)在射線上截取，連接；（2）以為一邊，以為頂點(diǎn)，在射線上方，用三角尺作；延長(zhǎng)，交于點(diǎn)；（3）比較線段與的大小，與的大小，并直接寫(xiě)出結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)要求作出圖形即可；（3）利用測(cè)量法解決問(wèn)題即可．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求；（2）如圖，射線即為所求；（3）利用測(cè)量法可知，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．如圖，已知直線和直線外三點(diǎn)，，，請(qǐng)按下列要求畫(huà)圖：（1）畫(huà)線段；（2）畫(huà)射線；（3）延長(zhǎng)到，使得；（4）在直線上找一點(diǎn)，使得最小，并說(shuō)明你的作圖依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短．【分析】根據(jù)線段，直線，射線的定義，兩點(diǎn)之間線段最短畫(huà)出圖形即可．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求；（2）如圖，射線即為所求；（3）如圖，線段即為所求；（4）如圖，點(diǎn)即為所求．理由是：兩點(diǎn)之間線段最短．故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，直線，射線，線段的定義，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解直線，射線，線段的定義，屬于中考常考題型．考點(diǎn)2：作等角作一個(gè)角等于已知角已知：求作：作法：①以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA與點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E；②作射線③以為圓心,OD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交于點(diǎn)④以為圓心,ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交上一步所畫(huà)的弧與⑤過(guò)作射線,為所求已知，如圖，作的外接圓，在上方作弦使，連接，并求證：．（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】作線段，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，以為圓心，為半徑作，以為圓心，為半徑作弧，在的上方交于點(diǎn)，連接即可．【解答】解：如圖，，線段即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，三角形的外接圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．已知：線段，，垂足為點(diǎn)．求作：四邊形，使得點(diǎn)，分別在射線，上，且，，．【分析】以為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)，分別以，為圓心，為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，作于，四邊形即為所求．【解答】解：如圖，四邊形即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（2021?福建）如圖，已知線段，，垂足為．（1）求作四邊形，使得點(diǎn)，分別在射線，上，且，，；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)，分別為（1）中四邊形的邊，的中點(diǎn)，求證：直線，，相交于同一點(diǎn)．【分析】（1）先截取，再分別以、為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，然后過(guò)點(diǎn)作的垂線得到；（2）證明：設(shè)交于，交于，利用平行線分線段成比例定理得到，，則，于是可判斷點(diǎn)與點(diǎn)重合．【解答】（1）解：如圖，四邊形為所作；（2）證明：設(shè)交于，交于，，，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，直線，，相交于同一點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線分線段成比例定理．（2020?福建）如圖，為線段外一點(diǎn)．（1）求作四邊形，使得，且；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形中，，相交于點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別為，，求證：，，三點(diǎn)在同一條直線上．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作，且，即可作出四邊形；（2）在（1）的四邊形中，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可證明，，三點(diǎn)在同一條直線上．【解答】解：（1）如圖，四邊形即為所求；（2）證明：如圖，，，，，，，的中點(diǎn)分別為，，，，，連接，，，，，點(diǎn)在上，，，，，三點(diǎn)在同一條直線上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．（2020?陜西）如圖，已知，，．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)，使．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，答案不唯一）【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個(gè)角等于已知角，在邊上求作一點(diǎn)，使即可，或作的垂直平分線交于點(diǎn)【解答】解：如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．（2017?泰州）如圖，中，．（1）用直尺和圓規(guī)在的內(nèi)部作射線，使（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）若（1）中的射線交于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的方法，以為一邊，在的內(nèi)部作即可；（2）根據(jù)與相似，運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖所示，射線即為所求；（2），，，，即，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本作圖以及相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．（2017?青島）已知：四邊形．求作：點(diǎn)，使，且點(diǎn)到邊和的距離相等．【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可知：到邊和的距離相等的點(diǎn)在的平分線上，所以第一步作的平分線，要想滿足，則作，得到點(diǎn)，再作兩角相等得點(diǎn)．【解答】解：作法：①作的平分線，②過(guò)作，交于點(diǎn)，③以為角的頂點(diǎn)作，則點(diǎn)和就是所求作的點(diǎn)；【點(diǎn)評(píng)】本題是作圖題，考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等是關(guān)鍵．考點(diǎn)3：作角平分線作已知角的角平分線作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD=OE。②分別以D、E為圓心，以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)，，．用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】作兩弦的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心；【解答】解：分別作和的垂直平分線，設(shè)交點(diǎn)為，則為所求圓的圓心；【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查作圖，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．在勞動(dòng)植樹(shù)節(jié)活動(dòng)中，兩個(gè)班的學(xué)生分別在，兩處參加植樹(shù)勞動(dòng)，現(xiàn)要在道路的，交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)，使到兩條道路的距離相等，且使，請(qǐng)同學(xué)們用圓規(guī)、直尺在圖中畫(huà)出供應(yīng)點(diǎn)的位置，保留畫(huà)圖痕跡，不要證明．【分析】因?yàn)榈絻蓷l道路的距離相等，且使，所以應(yīng)是的平分線和的垂直平分線的交點(diǎn)．【解答】解：如圖，理由是：因?yàn)槭堑钠椒志€和的垂直平分線的交點(diǎn)，所以到的兩邊和的距離相等，到、的距離相等，所以就是所求．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．如圖，在中，．（1）作的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）當(dāng)，時(shí)，求的周長(zhǎng)．【分析】（1）利用基本作圖作垂直平分；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用等線段代換得到的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖，為所作；（2）垂直平分，，的周長(zhǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)，，．用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】作兩弦的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心；【解答】解：分別作和的垂直平分線，設(shè)交點(diǎn)為，則為所求圓的圓心；【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查作圖，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．如圖，已知．①請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出邊的垂直平分線，交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）②在（1）的條件下，連接，若，，求的周長(zhǎng)．【分析】①利用基本作圖作的垂直平分線即可；②利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用等線段代換得到的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）①如圖，點(diǎn)為所作；②點(diǎn)為的垂直平分線與的交點(diǎn)，，的周長(zhǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．如圖，在中，（1）尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）是底邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，，若，求證：．【分析】（1）以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于一點(diǎn)，最后過(guò)該點(diǎn)與點(diǎn)作射線，交于點(diǎn)即可；（2）先根據(jù)角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，求得，進(jìn)而得出，再根據(jù)是的中點(diǎn)即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示，射線即為所求；（2）證明：，，平分，，，，是的外角，，，，又是的中點(diǎn)，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本作圖的運(yùn)用以及等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)．如圖，已知，用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（1）作的角平分線；（2）在邊上找一點(diǎn)，使得．【分析】（1）利用尺規(guī)作的角平分線交于點(diǎn)，線段即為所求；（2）作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)即為所求．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求；（2）如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線，線段的垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．如圖，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，用尺規(guī)在邊上找一點(diǎn)，使得與的面積相等．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】利用尺規(guī)作交于點(diǎn)，連接，即為所求．【解答】解：如圖，即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用等高模型解決面積線段問(wèn)題，是中考常考題型．如圖，在中，（1）用直尺和圓規(guī)分別作的平分線、線段的中垂線、它們的交點(diǎn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標(biāo)注點(diǎn)；（2）過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、．求證：．【分析】（1）利用尺規(guī)作出的角平分線，線段的中垂線即可；（2）證明，可得．【解答】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求；（2）證明：如圖，連接，，點(diǎn)在的垂直平分線上，，平分，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．（2017?福建）如圖，中，，，垂足為．求作的平分線，分別交，于，兩點(diǎn)；并證明．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出即可．先根據(jù)垂直的定義得出，故．再根據(jù)余角的定義得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再由可知，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：就是所求的的平分線，、就是所求作的點(diǎn)．證明：，，．，．，．，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖基本作圖，熟知角平分線的作法和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．（2017?陜西）如圖，在鈍角中，過(guò)鈍角頂點(diǎn)作交于點(diǎn)．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離等于的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】根據(jù)題意可知，作的平分線交于點(diǎn)即可．【解答】解：如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖基本作圖，熟知角平分線的作法和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線過(guò)一點(diǎn)作已知線段的垂線求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作法：①以點(diǎn)C為圓心，大于到線段距離為半徑作弧，交AB與點(diǎn)D、E。②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F。③作直線CF，CF即為所求的直線如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：在線段上找一點(diǎn)，以為圓心作圓，使經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)；（2）在（1）中所作圖中，求證：與的相切．【分析】（1）作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作即可．（2）欲證明是的切線，只要證明即可．【解答】解：（1）如圖，即為所作．（2）證明：連接中，由（1）可知，是的相切．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．如圖在中，，，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法作使得與相切于點(diǎn)，同時(shí)與相切（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．【分析】作的平分線，與交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作．即為所求．【解答】解：如圖，即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．作圖與計(jì)算：如圖正方形．（1）用帶刻度的直尺和圓規(guī)，分別作正方形的外接圓和內(nèi)切圓．（2）若正方形的邊長(zhǎng)是，求它的內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)的面積（答案保留．【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，分別為圓心，，的一半為半徑作圓即可；（2）判斷出利用圓的半徑，可得結(jié)論．【解答】解：（1）正方形的外接圓和內(nèi)切圓如圖所示；（2）由題意，，，它的內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，正方形的性質(zhì)，圓的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．考點(diǎn)5：作垂直平分線作已知線段的垂直平分線作法：①以A為圓心大于長(zhǎng)為半徑作弧，以B為圓心大于長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于C、D兩點(diǎn)②連接CD，即為所求如圖，在四邊形中，，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點(diǎn)，連接、，使得．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．【解答】解：如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．（2021?阿壩州）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，連接，則的大小為A． B． C． D．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出的度數(shù)．【解答】解：由作圖可知，直線是線段的垂直平分線，，．，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（2019?無(wú)錫）如圖，為半圓的直徑，為半圓上一點(diǎn)，．（1）請(qǐng)用直尺（不含刻度）與圓規(guī)在上作一點(diǎn)，使得直線平分的周長(zhǎng)；（不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，求的面積．【分析】（1）延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取，作的中垂線，垂足為，作直線即可得；（2）由作圖知是中位線，據(jù)此知，繼而由為等腰直角三角形得出，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）如圖所示，直線即為所求；（2）如圖，為的中位線，，是的直徑，，，是等腰直角三角形，，由勾股定理可得，則的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)、線段中垂線的尺規(guī)作圖、中位線定理等知識(shí)點(diǎn)．（2019?棗莊）如圖，是菱形的對(duì)角線，，（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作的垂直平分線，垂足為，交于；（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接，求的度數(shù)．【分析】（1）分別以、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，過(guò)兩弧的交點(diǎn)作直線即可；（2）根據(jù)計(jì)算即可；【解答】解：（1）如圖所示，直線即為所求；（2）四邊形是菱形，，，．，，，垂直平分線段，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于?？碱}型．（2018?河池）如圖，在中，，（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）①作的垂直平分線，垂足為；②以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交于異于，連接；（2）探究與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)線段中垂線的尺規(guī)作圖及圓的概念作圖可得；（2）連接，由（1）知，據(jù)此得，，結(jié)合知，相加即可得出答案．【解答】解：（1）如圖所示，直線和即為所求．（2），連接，由（1）知，則，設(shè)，則，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段中垂線的尺規(guī)作圖和圓的概念、性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)．考點(diǎn)6：綜合運(yùn)用如圖，在中，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交的兩側(cè)于點(diǎn)、，連接，交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】分別求出，的大小，可得結(jié)論．【解答】解：，，，由作圖可知垂直平分線段，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．尺規(guī)作圖：作角等于已知角．示意圖如圖所示，則說(shuō)明的依據(jù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)證明三角形全等，可得結(jié)論．【解答】解：在和△中，，△，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．如圖①，已知，用直尺和圓規(guī)作的平分線．如圖②，步驟如下：第一步，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．第二步，分別以點(diǎn)，為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)．第三步，畫(huà)射線．射線即為所求．下列說(shuō)法正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)基本作圖（作一個(gè)角的平分線）進(jìn)行判斷．【解答】解：第二步，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．在中，，，，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊上找一點(diǎn)，使，下列作法正確的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)“要在邊上找一點(diǎn)，使”知點(diǎn)應(yīng)該是線段垂直平分線與的交點(diǎn)，據(jù)此求解即可．【解答】解：若要在邊上找一點(diǎn)，使，則點(diǎn)應(yīng)該是線段垂直平分線與的交點(diǎn)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)．如圖，的面積是，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交、于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則的面積是A． B． C． D．【分析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．想辦法證明，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．由作圖可知，平分，，，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明．（2021?青島）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．已知：及其一邊上的兩點(diǎn)，．求作：，使，且點(diǎn)在內(nèi)部，．【分析】先在的內(nèi)部作，再過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)．【解答】解：如圖，為所作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（2021?湖北）已知和都為正三角形，點(diǎn)，，在同一直線上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，作的中線；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，作的中線．【分析】（1）連接交于點(diǎn)，線段即為所求．（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，交于點(diǎn)，連接交于，線段即為所求．【解答】解：（1）如圖1中，線段即為所求．（2）如圖2中，線段即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能結(jié)合題目條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（2021?南京）如圖，已知是外一點(diǎn)．用兩種不同的方法過(guò)點(diǎn)作的一條切線．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．【分析】方法一：直接以為直徑作圓，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得，可證直線是切線．方法二：利用三角形中位線定理解決問(wèn)題即可．【解答】解：方法一：如圖1中，連接，以為直徑作圓交于，作直線，直線即為所求．方法二：作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，以為半徑作圓，連接，設(shè)原來(lái)的圓半徑為，以（即的長(zhǎng)度為半徑，為圓心畫(huà)圓，交弧于點(diǎn)，連接，交于原來(lái)的圓于點(diǎn)，點(diǎn)即為切點(diǎn)（中位線能證明是半徑且垂直．【點(diǎn)評(píng)】本題考查專題復(fù)雜作圖，切線的判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外接圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圓周角定理構(gòu)造直角，屬于中考常考題型．（2021?嘉峪關(guān)）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理．如圖，已知，是弦上一點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過(guò)程．（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；①作線段的垂直平分線，分別交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，兩點(diǎn)不重合），連接，，．（2）直接寫(xiě)出引理的結(jié)論：線段，的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可．②根據(jù)要求作出圖形即可．（2）證明可得結(jié)論．【解答】解：（1）①如圖，直線，線段，線段即為所求．②如圖，點(diǎn)，線段，，即為所求作．（2）結(jié)論：．理由：垂直平分線段，，，，，，，．，，在和中，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．（2021?重慶）如圖，在中，．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在上截取，使；作的平分線交于點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接交于點(diǎn)，猜想按角分類的類型，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用基本作圖畫(huà)出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，則，，再證明，，從而得到，于是可判斷為直角三角形．【解答】解：（1）如圖，、為所作；（2）為直角三角形．證明：四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，平分，，，，為直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．（2020?昆明）如圖，點(diǎn)是的直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：在直徑上方的圓上作一點(diǎn)，使得，連接，（保留清晰作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；并證明是的切線；（2）在（1）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖：以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在直徑上方的圓上交一點(diǎn)，再根據(jù)已知條件可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，進(jìn)而證明是的切線；（2）在（1）的條件下，根據(jù)，，可得的長(zhǎng)，進(jìn)而可得半徑，再根據(jù)勾股定理即可求的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)即為所求；證明：連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，，，，，，，且是的半徑，是的切線；（2），，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得．則的長(zhǎng)為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)．（2020?咸寧）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，在上截?。B接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在內(nèi)找一點(diǎn)，使．（標(biāo)出點(diǎn)的位置，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定即可證明；（2）連接，，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得和的交點(diǎn)即為點(diǎn)．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）如圖所示：點(diǎn)即為所求：【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、作圖基本作圖等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作出圖形，屬于中考?？碱}型．（2020?嘉峪關(guān)）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，且．（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）①作的角平分線交于點(diǎn)；②作線段的垂直平分線交于點(diǎn)．（2）連接，直接寫(xiě)出線段和的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作基本圖形的方法：①作的角平分線交于點(diǎn)即可；②作線段的垂直平分線交于點(diǎn)即可．（2）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理，即可寫(xiě)出線段和的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系．【解答】解：（1）如圖，①即為所求；②如圖，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．（2），平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，線段和的數(shù)量關(guān)系為：，位置關(guān)系為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．（2019?陜西）如圖，已知，點(diǎn)在邊上．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法求作，使與邊相切．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓即可．【解答】解：如圖，即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（2019?廣州）如圖，的直徑，弦，連接．（1）尺規(guī)作圖：作弦，使（點(diǎn)不與重合），連接；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）所作的圖中，求四邊形的周長(zhǎng)．【分析】（1）以為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于，線段即為所求．（2）連接，交于點(diǎn)，設(shè)，構(gòu)建方程求出即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求．（2）連接，交于點(diǎn)，設(shè)．是直徑，，，，，于．，，，解得，，，，四邊形的周長(zhǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題．（2019?江西）在中，，點(diǎn)在以為直徑的半圓內(nèi)．請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求畫(huà)圖（保留畫(huà)圖痕跡）．（1）在圖1中作弦，使；（2）在圖2中以為邊作一個(gè)的圓周角．【分析】（1）分別延長(zhǎng)、交半圓于、，利用圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)可得到，則可判斷；（2）在（1）基礎(chǔ)上分別延長(zhǎng)、，它們相交于，則連接交半圓于，然后證明，從而根據(jù)圓周角定理可判斷．【解答】解：（1）如圖1，為所作；（2）如圖2，為所作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理．（2019?金昌）已知：在中，．（1）求作：的外接圓．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）若的外接圓的圓心到邊的距離為4，，則．【分析】（1）作線段，的垂直平分線，兩線交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，即為所求．（2）在中，利用勾股定理求出即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖即為所求．（2）設(shè)線段的垂直平分線交于點(diǎn)．由題意，，在中，，．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．（2019?達(dá)州）如圖，在中，，，．（1）尺規(guī)作圖：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．①作的平分線，交斜邊于點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)．（2）在（1）作出的圖形中，求的長(zhǎng)．【分析】（1）利用基本作圖，先畫(huà)出平分，然后作于；（2）利用平分得到，再判斷為等腰直角三角形，所以，然后證明，從而利用相似比計(jì)算出．【解答】解：（1）如圖，為所作；（2）平分，，，為等腰直角三角形，，，，，即，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（2019?德州）如圖，，點(diǎn)、分別在射線、上，，．（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在、兩點(diǎn)分別與射線和相切．要求：寫(xiě)出作法，并保留作圖痕跡；（2）根據(jù)（1）的作法，結(jié)合已有條件，請(qǐng)寫(xiě)出已知和求證，并證明；（3）求所得的劣弧與線段、圍成的封閉圖形的面積．【分析】（1）過(guò)、分別作、的垂線，它們相交于，然后以為半徑作即可；（2）寫(xiě)出已知、求證，然后進(jìn)行證明；連接，先證明，然后根據(jù)切線的判定方法判斷、為的切線；（3）先證明為等邊三角形得到，，再計(jì)算出，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用劣弧與線段、圍成的封閉圖形的面積進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）作法：①過(guò)、分別作、的垂線，它們相交于，②以點(diǎn)為圓心，為半徑作，則為所作；（2）已知：如圖，，點(diǎn)、分別在射線、上，，，過(guò)、分別作、的垂線，它們相交于，以為半徑作，，求證：、為的切線；證明：，，，，連接，，，，，，、為的切線；（3），為等邊三角形，，，平分，，，劣弧與線段、圍成的封閉圖形的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理和扇形面積公式．（2018?江西）如圖，在四邊形中，，，為的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求畫(huà)圖（保留畫(huà)圖痕跡）．（1）在圖1中，畫(huà)出的邊上的中線；（2）在圖2中，若，畫(huà)出的邊上的高．【分析】（1）連接，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）連接，，，利用三角形重心的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）如圖1所示，即為所求：（2）如圖2所示，即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．如圖，點(diǎn)、、在上，．請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求作圖．（1）在圖（1）中，作一個(gè)度數(shù)為的圓周角；（2）在圖（2）中，作一個(gè)度數(shù)為的圓周角．【分析】（1）在優(yōu)弧上任意取點(diǎn)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可判斷滿足條件；（2）先作直徑，連接，則利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得到，在根據(jù)圓周角定理得到，于是可判斷滿足條件．【解答】解：（1）如圖（1），為所作；（2）如圖（2），為所作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理．（1）如圖1，已知，是的角平分線，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺作出的平分線；（2）如圖2，已知，且，分別平分與，與相交于，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺作出的平分線．【分析】（1）連接點(diǎn)和與的交點(diǎn)，并延長(zhǎng)交于，則滿足條件；（2）、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，可證明和都為等腰三角形，同時(shí)可判斷點(diǎn)為的角平分線的交點(diǎn)，則延長(zhǎng)交于，所以滿足條件．【解答】解：（1）如圖1，為所作；（2）如圖2，為所作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖．也考查了三角形三條角平分線相交于點(diǎn)．如圖，一組等距的平行線上有一個(gè)半圓，點(diǎn)為圓心，為直徑，點(diǎn)，，，是半圓弧與平行線的交點(diǎn)．只用無(wú)刻度的直尺作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中作出邊上的中線．（2）在圖2中作的角平分線．【分析】（1）利用網(wǎng)格特征作出的中點(diǎn)，連接即可；（2）連接交于點(diǎn)，連接即可．【解答】解：（1）如圖1中，線段即為所求；（2）如圖2中，線段即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行線的性質(zhì)，三角形的中線，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格特征，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（2021?阿壩州）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，連接，則的大小為A． B． C． D．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出的度數(shù)．【解答】解：由作圖可知，直線是線段的垂直平分線，，．，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（2021?興安盟）如圖，中，、交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于、兩點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，的周長(zhǎng)為14，則的長(zhǎng)為A． B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，，再由垂直平分線的性質(zhì)得出，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：由作圖可知，是線段的垂直平分線，，四邊形是平行四邊形，，，，的周長(zhǎng)為14，，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．（2021?百色）如圖，在中，尺規(guī)作圖的部分作法如下：（1）分別以弦的端點(diǎn)、為圓心，適當(dāng)?shù)乳L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩弧相交于點(diǎn)；（2）作直線交于點(diǎn)．若，，則等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)作圖過(guò)程和圓的性質(zhì)可得是的垂直平分線，先根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，進(jìn)而可得的值．【解答】解：如圖，連接，，根據(jù)作圖過(guò)程可知：是的垂直平分線，，在中，，，根據(jù)勾股定理，得，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖，垂徑定理、解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖過(guò)程可得．（2021?鄂爾多斯）已知：的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．②分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)相交于點(diǎn)．③畫(huà)射線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A．， B．， C．， D．，【分析】利用基本作圖得到，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，接著證明得到，設(shè)交軸于，如圖，設(shè)，則，，利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：由作法得平分，則，四邊形為平行四邊形，，，，，設(shè)交軸于，如圖，，，，設(shè)，，，在中，，解得，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）；也考查了平行四邊形的性質(zhì)．利用方程的思想求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（2021?黃石）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交、于、兩點(diǎn)；②分別以、為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作射線，交邊于點(diǎn)．若，，則線段的長(zhǎng)為A．3 B． C． D．【分析】利用基本作圖得平分，過(guò)點(diǎn)作于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到則，再利用勾股定理計(jì)算出，然后利用面積法得到，最后解方程即可．【解答】解：由作法得平分，過(guò)點(diǎn)作于，如圖，則，在中，，，，即，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）．也考查了角平分線的性質(zhì)．（2021?貴陽(yáng)）如圖，已知線段，利用尺規(guī)作的垂直平分線，步驟如下：①分別以點(diǎn)，為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和．②作直線．直線就是線段的垂直平分線．則的長(zhǎng)可能是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用基本作圖得到，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)題意得，即，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．（2021?廣元）觀察下列作圖痕跡，所作線段為的角平分線的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)基本作圖的方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)基本作圖，、選項(xiàng)中為過(guò)點(diǎn)作的垂線，選項(xiàng)作的垂直平分線得到邊上的中線，選項(xiàng)作平分．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了三角形的角平分線、中線和高．（2021?杭州）已知線段，按如下步驟作圖：①作射線，使；②作的平分線；③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；④過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則A． B． C． D．【分析】直接利用基本作圖方法得出，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)表示出，的長(zhǎng)，即可得出答案．【解答】解：，，平分，，，，，，設(shè)，故，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖以及等腰直角三角形的性質(zhì)，正確掌握基本作圖方法得出線段之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固1．（2022秋?泰山區(qū)期末）如圖，在中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法不一定正確的是A． B． C． D．【解答】解：由作圖可知垂直平分線段，平分，，，故選項(xiàng)，正確，，，，，故選項(xiàng)正確．故選：．2．（2022秋?館陶縣期末）數(shù)學(xué)課上，老師提出一個(gè)問(wèn)題：經(jīng)過(guò)已知角一邊上的點(diǎn)，做一個(gè)角等于已知角．如圖，用尺規(guī)過(guò)的邊上一點(diǎn)（圖①作（圖②．我們可以通過(guò)以下步驟作圖：①作射線；②以點(diǎn)為圓心，小于的長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，；③以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交上一段弧于點(diǎn)；④以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)．下列排序正確的是A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①【解答】解：正確的排序是：②以為圓心，以任意定長(zhǎng)為半徑作弧，分別交、于、；④以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)．③以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交上一段弧于點(diǎn)；①作射線；故選：．3．（2022?鄂州）如圖，直線，點(diǎn)、分別在、上，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，，，，，．故選：．4．（2021?鄂爾多斯）已知：的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．②分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)相交于點(diǎn)．③畫(huà)射線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A．， B．， C．， D．，【解答】解：由作法得平分，則，四邊形為平行四邊形，，，，，設(shè)交軸于，如圖，，，，設(shè)，，，在中，，解得，，．故選：．二．填空題（共1小題）5．（2022?通遼）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求的度數(shù)60．【解答】解：，四邊形是矩形，，．由作法可知，是的平分線，．由作法可知，是線段的垂直平分線，，，．故答案為：60．三．解答題（共4小題）6．（2022?貴港）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）如圖，已知線段，．求作，使，，．【解答】解：如圖，為所作．7．（2022?青島）已知：，．求作：點(diǎn)，使點(diǎn)在內(nèi)部．且，．【解答】解：①先作出線段的垂直平分線；②再作出的角平分線，與的交點(diǎn)為；則即為所求作的點(diǎn)．8．（2022?陜西）如圖，已知，，是的一個(gè)外角．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【解答】解：如圖，射線即為所求．9．（2022秋?丹東期末）如圖，已知平面上四個(gè)點(diǎn)，，，，請(qǐng)按要求完成下列問(wèn)題：（1）畫(huà)直線，射線，連接；（2）在線段上求作點(diǎn)，使得；（保留作圖痕跡）（3）請(qǐng)?jiān)谥本€上確定一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和最短，并寫(xiě)出畫(huà)圖的依據(jù)．【解答】解：（1）如圖，直線，射線，線段即為所求；（2）如圖，點(diǎn)即為所求；（3）如圖，點(diǎn)即為所求．1．（2022春?滑縣期末）如圖，是一張平行四邊形紙片，要求利用所學(xué)知識(shí)將它變成一個(gè)菱形，甲、乙兩位同學(xué)的作法分別如下．甲：分別作與的平分線、，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形是菱形；乙：分別以點(diǎn)、為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形是菱形．對(duì)于甲、乙兩人的作法，判斷正確的是A．甲、乙均正確 B．甲，乙均錯(cuò)誤 C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確【解答】解：甲的作法正確，理由：如圖1所示，平分，，，，，，同理可得，，又，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；乙的作法正確，