專題2.3勾股定理中的最短路線與翻折問題專項(xiàng)講練

專題2.3勾股定理中的最短路線與翻折問題專項(xiàng)講練勾股定理中的最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。題型1.圓柱有關(guān)的最短路徑問題【解題技巧】計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開后兩個端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長的一半進(jìn)行計(jì)算。要點(diǎn)總結(jié)：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)。例1．（2022·山東青島·八年級期末）如圖，一個圓桶，底面直徑為16cm，高為18cm，則一只小蟲從下底點(diǎn)A處爬到上底B處再回到A處，則小蟲所爬的最短路徑長是（

）（取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm【答案】A【分析】先將圓柱的側(cè)面展開為一矩形，而矩形的長就是底面周長的一半，高就是圓柱的高，再根據(jù)勾股定理就可以求出其值．【詳解】解：展開圓柱的側(cè)面如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短就可以得知AB最短．由題意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得cm．∵一只小蟲從下底點(diǎn)A處爬到上底B處再回到A處，∴最短路徑長為60cm.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱側(cè)面展開圖的運(yùn)用，兩點(diǎn)之間線段最短的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用．在解答時(shí)將圓柱的側(cè)面展開是關(guān)鍵．變式1．（2022·吉林長春·八年級期末）如圖，有一個圓柱，底面圓的直徑AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中點(diǎn)P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻能夠找到距離食物的最短路徑，則螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P的最短路程為_____cm．【答案】13【分析】化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，得到兩點(diǎn)的位置，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可．【詳解】將圓柱體的側(cè)面展開，如圖所示：AB＝底面周長＝××＝12（cm），BP＝BC＝5（cm），所以AP＝（cm），故螞蟻從A點(diǎn)爬到P點(diǎn)的最短距離為13cm，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查最短距離問題，化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理是常用求解方法．變式2．（2022·浙江金華初三月考）如圖，圓柱底面半徑為cm，高為18cm，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長度最短為（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm【答案】B【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解析】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動最短路線是：AC→CD→DB；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運(yùn)動到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為cm，∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：2π×＝8cm；又∵圓柱高為18cm，∴小長方形的一條邊長是6cm；根據(jù)勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的計(jì)算、平面展開??路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．題型2.長方體有關(guān)的最短路徑問題想【解題技巧】計(jì)算跟長方體有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要熟悉長方體的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。要點(diǎn)總結(jié)：1）長方體展開圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個端點(diǎn)中有一個不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同。例2．（2021·陜西八年級期末）如圖，長方體的棱AB長為4，棱BC長為3，棱BF長為2，P為HG的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬行到點(diǎn)處吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．【答案】5【分析】利用平面展開圖有3種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可．【詳解】解：分三種情況：如圖1，,如圖2，，∴AP=5，如圖3，，，它爬行的最短路程為5，故答案為：5．,【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有3種情況分析得出是解題關(guān)鍵．變式1.（2022·重慶八年級期中）如圖，長方體的底面邊長是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開始經(jīng)過個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么用細(xì)線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm【答案】B【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，利用勾股定理求出所需結(jié)果．【詳解】解：如圖，將長方體展開，連接A、B′，則AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），A′B′＝6cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開?最短路徑問題，本題的關(guān)鍵是把長方體的側(cè)面展開“化立體為平面”，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理解決．變式2．（2022·陜西咸陽·八年級期末）如圖，在長方體的頂點(diǎn)G處有一滴糖漿，棱AE上的P處的螞蟻想沿長方體表面爬到容器G處吃糖漿，已知容器長AB＝5cm，寬AD＝4cm，高AE＝4cm，AP＝1cm，那么螞蟻需爬行的最短距離是______cm．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】求螞蟻爬行的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】解：∵AE＝4cm，AP＝1cm，∴PE＝3cm，如圖1，∴PH＝3+4＝7（cm），∴PG＝（cm）；如圖2，∴PG＝（cm）；如圖3∴PG＝（cm），故螞蟻需爬行的最短距離是cm．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可．題型3.階梯中的最短路徑問題【解題技巧】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段之和最小進(jìn)行解決。要點(diǎn)總結(jié)：展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理例3．（2021·重慶八年級期末）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為______dm．【答案】17【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為8dm，寬為，則螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：，解得．故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．變式1．（2022·山西八年級期末）如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】將題中圖案展開后，連接AC，利用勾股定理可得AC長，將中間的墻展開在平面上，則原矩形長度增加寬度不變，求出新矩形的對角線長即為所求．【詳解】解：展開如圖得新矩形，連接AC，則其長度至少增加2MN，寬度不變，由此可得：，根據(jù)勾股定理有：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開圖形最短路線問題以及勾股定理得應(yīng)用；解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出正確的平面展開圖．題型4.將軍飲馬與最短路徑問題【解題技巧】解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。要點(diǎn)總結(jié)：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解。例4.（2022·重慶初二月考）圓柱形杯子的高為18cm，底面周長為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（）A． B．28 C．20 D．【答案】C分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長度即為所求.【解析】如圖所示，將杯子側(cè)面展開,作A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′，連接A′B,則A′B即為最短距離，A′B=(cm)故選C.點(diǎn)睛：本題考查了勾股定理、最短路徑等知識.將圓柱側(cè)面展開，化曲面為平面并作出A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′是解題的關(guān)鍵.變式1.（2022·山東菏澤·八年級階段練習(xí)）如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣．小明要在AB上選取一點(diǎn)E，能夠使他從點(diǎn)D滑到點(diǎn)E再滑到點(diǎn)C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出側(cè)面展開圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接DF，根據(jù)半圓的周長求得，根據(jù)對稱求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得．【詳解】其側(cè)面展開圖如圖：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接DF，∵中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5cm的半圓，∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm，在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距離約為cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理最短路徑問題，作出側(cè)面展開圖是解題的關(guān)鍵．變式2.（2021·陜西長安·八年級期中）有一個如圖所示的長方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請你畫出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲爬行的最短路線長（不計(jì)缸壁厚度）．【答案】（1）見解析；（2）100cm【分析】(1)做出A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A’，連接A’G，與BC交于點(diǎn)Q，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G為直角△A’EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)如下圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC所在直線的對稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)A’G最短，則為最短路線．(2)∵，∴，∴．在中，，，∴．由對稱性可知，∴．故小蟲爬行的最短路線長為100cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用勾股定理求最短路徑問題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱性作出A的對稱點(diǎn)A’，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，從而可找到路徑求出解．課后專項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2021·江蘇八年級月考）將一根的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察圖形，找出圖中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．【詳解】首先根據(jù)圓柱的高，知筷子在杯內(nèi)的最小長度是8cm，則在杯外的最大長度是248=16cm；再根據(jù)勾股定理求得筷子在杯內(nèi)的最大長度是AC===17，則在杯外的最小長度是2417=7cm，所以h的取值范圍是7cm≤h≤16cm，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意此題要求的是筷子露在杯外的取值范圍．主要是根據(jù)勾股定理求出筷子在杯內(nèi)的最大長度．2．（2022·河南鶴壁·八年級期末）如圖，在一個長為，寬為的長方形草地上，放著一根長方體木塊，它較長的邊和草地的寬平行且長大于，木塊從正面看是邊長為的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】由題意可知，將木塊展開，如圖，長相當(dāng)于是AB+2個正方形的寬，∴長為9+2×1＝11(m)；寬為6m．于是最短路徑為：(m)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求最短距離，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川樂山·八年級期末）如圖，一只螞蟻從長為4cm，寬為3cm，高為5cm的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱表面爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長是（）A．12cm B．cm C．cm D．cm【答案】B【分析】先將圖形展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再由勾股定理求解即可.【詳解】解：將長方體展開，如圖1所示，連接A、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB=cm；如圖2所示，cm，如圖3所示，cm，∵＜4＜，∴螞蟻所行的最短路線為cm.【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題，將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理是解題.4．（2022·云南昆明·八年級期末）如圖，正方體的棱長為2cm，點(diǎn)B為一條棱的中點(diǎn).螞蟻在正方體表面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】正方體側(cè)面展開為長方形，確定螞蟻的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)勾股定理可求出路徑長，【詳解】解：如圖，它運(yùn)動的最短路程（cm），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開最短路徑問題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短，找到起點(diǎn)終點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出是解題的關(guān)鍵．5．（2021·山東省鄆城第一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖所示，有一個長、寬各2米，高為3米的無蓋長方體紙盒放在桌面上，一只昆蟲從頂點(diǎn)要爬到頂點(diǎn)，那么這只昆蟲爬行的最短路程為（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米【答案】C【分析】分別畫出三個路徑的示意圖，利用勾股定理求出路程，再從中找出最短路程即可．【詳解】解：由題意，有以下三個路徑：①如圖，路徑一：則這只昆蟲爬行的路程為（米）；②如圖，路徑二：則這只昆蟲爬行的路程為（米）；③如圖，路徑三：則這只昆蟲爬行的路程為（米）；因?yàn)椋赃@只昆蟲爬行的最短路程為5米，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確畫出三個路徑的示意圖是解題關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，有一長、寬、高分別是5cm，4cm，4cm的長方體木塊，一只螞蟻沿如圖所示路徑從頂點(diǎn)A處在長方體的表面爬到長方體上和A相對的中點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，AB=cm，∴需要爬行的最短路徑長為cm，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是明確線段最短這一知識點(diǎn)，然后把立體的長方體放到一個平面內(nèi)，求出最短的線段．7．（2022·全國·八年級）如圖，正方體盒子的棱長為2，M為BC的中點(diǎn)，則一只螞蟻從A點(diǎn)沿盒子的表面爬行到M點(diǎn)的最短距離為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用展開圖確定最短路線，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，螞蟻沿路線AM爬行時(shí)距離最短；∵正方體盒子棱長為2，M為BC的中點(diǎn)，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了螞蟻爬行的最短路徑為題，涉及到了正方形的性質(zhì)、正方體的展開圖、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，解題關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與靈活應(yīng)用．8．（2022·四川省德陽市第二中學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長．寬．高分別為3、2、1的長方體的A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，它爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】按展開的方式不同，分類討論，將長方體展開，連接點(diǎn)A、B，再利用勾股定理即可求解．【詳解】按展開的方式不同，分類討論，第一種情況：當(dāng)按下圖展開時(shí)，根據(jù)勾股定理可得：；第二種情況：當(dāng)按下圖展開時(shí)，根據(jù)勾股定理可得：；第三種情況：當(dāng)按下圖展開時(shí)，根據(jù)勾股定理可得：；∵，∴最短路徑為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了長方體的展開以及勾股定理等知識，將長方體展開，連接AB，線段AB即是螞蟻爬行的最短距離，如此得到最短距離是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在A處發(fā)現(xiàn)C處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從A點(diǎn)到C點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：將臺階展開，如圖，因?yàn)镈C=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬是解題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽宿州·八年級期末）如圖，正四棱柱的底面邊長為4cm，側(cè)棱長為6cm，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱柱外表面到點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（

）A． B．14cm C． D．10cm【答案】D【分析】把正四棱柱展開為平面圖形，分兩種情形求出路徑，比較即可解答．【詳解】解：把正四棱柱展開為平面圖形，分兩種情形：如圖1中，，如圖2中，，∵，∴爬行的最短路徑是10cm．故選:D【點(diǎn)睛】本題考查平面展開最短路徑問題，涉及了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)勾股定理求解．11．（2022·成都市八年級專題練習(xí)）如圖，一個長方體盒子緊貼地面，一只螞蟻由出發(fā)，在盒子表面上爬到點(diǎn)，已知，，，這只螞蟻爬行的最短路程是________．【答案】【分析】將長方體盒子按不同方式展開，得到不同的長方形，求出不同長方形的對角線，最短者即為正確答案．【詳解】解：由題意，如圖所示，得；如圖所示，得，如圖3所示，，∴螞蟻爬行的最短路程是10．故答案為：10.【解答】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將長方體盒子展開為平面圖形，根據(jù)勾股定理求出最短路程進(jìn)行比較是解題關(guān)鍵．12．（2021·江蘇八年級期中）如圖，矩形中，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)（不與、重合），沿翻折，點(diǎn)落在處，當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，的長度為______．【答案】【分析】先確定當(dāng)，，共線時(shí)，的值最小，再根據(jù)勾股定理解題．【詳解】如圖，連接，∵，，，∴，∴當(dāng)，，共線時(shí)，的值最小，不妨設(shè)此時(shí)點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，設(shè)，∵，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本道題考查了兩點(diǎn)之間，線段最短、勾股定理(在直角三角形中，兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方)．解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)，，共線時(shí)，的值最?。?3．（2022·河南·鄭州楓楊外國語學(xué)校八年級期末）如圖，一大樓的外墻面ADEF與地面ABCD垂直，點(diǎn)P在墻面上，若PA＝AB＝5米，點(diǎn)P到AD的距離是4米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是______米【答案】【分析】可將大樓的墻面ADEF與地面ABCD展開，連接PB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過P作PG⊥BF于G，連接PB，∵AG=4，AP=AB=5，∴，BG=9，∴故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長來進(jìn)行解決．14．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會7個雪上競賽場館中唯一利用現(xiàn)有雪場改造而成的．下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場U型池的實(shí)景圖和示意圖，該場地可以看作是從一個長方體中挖去了半個圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為，其邊緣，點(diǎn)E在上，．一名滑雪愛好者從點(diǎn)A滑到點(diǎn)E，他滑行的最短路線長為_________m．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，線段AE即為滑行的最短路線長．在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理即可求出滑行的最短路線長．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，線段AE即為滑行的最短路線長．在Tt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得AE＝（m）．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，解決本題的關(guān)鍵是掌握圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，利用勾股定理求最短距離．15．（2021·新疆伊犁·八年級階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是12cm的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長是___________cm．【答案】【分析】先將圖形展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖如圖如圖它所行的最短路線的長為：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開圖—最短路徑問題，是重要考點(diǎn)，掌握分類討論法是解題關(guān)鍵．16．（2022·新疆克拉瑪依·八年級期末）如圖，正方體的盒子的棱長為，的中點(diǎn)為，一只螞蟻從點(diǎn)沿正方體的表面爬到點(diǎn)螞蟻爬行的最短距離是______．【答案】【分析】根據(jù)題意，先將正方體展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求解．【詳解】解：將正方體展開，連接、，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，，．如圖，，，最短距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開最短路徑問題，將正方體展開，據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可．17．（2022·廣東·常春藤國際學(xué)校八年級期中）如圖，一個圓柱體的底面周長為24，高BD＝5，BC是直徑．一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)，沿著表面爬到C的最短路程為_______．【答案】【分析】根據(jù)題意，有2條路線，①先將圓柱體展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解，②沿DBC路線求得路程比①更短，據(jù)此即可求解．【詳解】解：將圓柱體展開，連接DC，圓柱體的底面周長為24，則DE=12，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，CD=．而走BDC時(shí)，路程為，∵，∴螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)，沿著表面爬到C的最短路程為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，將圓柱體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可．18．（2021·無錫市八年級期中）（1）如圖1，長方體的底面邊長分別為3m和2m，高為1m，在盒子里，可以放入最長為_______m的木棒；（2）如圖2，在與（1）相同的長方體中，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)C，那么所用細(xì)線最短需要______m；（3）如圖3，長方體的棱長分別為AB=BC=6cm，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)以2厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以相同的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時(shí)間才能捕捉昆蟲甲?【答案】（1）；（2）；（3）昆蟲乙至少需要秒鐘才能捕捉到昆蟲甲【分析】（1）利用勾股定理求出斜對角線的長即可；（2）利用勾股定理求解即可；（3）由題意的最短路徑相等，設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)沿棱向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)A按路徑A→E→F，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒鐘，列出方程求解即可．【詳解】（1）最長的為斜對角線：=；（2）這根細(xì)線的長為：=；（3）設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)沿棱向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)A按路徑A→E→F，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒鐘，如圖1在Rt△ACF中，∵x>0，解得：答：昆蟲乙至少需要秒鐘才能捕捉到昆蟲甲．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形是解題的關(guān)鍵．三角形和矩形中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題解題技巧：勾股定理在有關(guān)圖形折疊計(jì)算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長度。例1．（2022·江蘇九年級專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．【答案】【分析】設(shè)，在中利用勾股定理求出x即可解決問題．【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，，，∴，由折疊的性質(zhì)知：，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，利用方程的去思考問題，屬于中考?？碱}型．變式1．（2022·重慶南開中學(xué)八年級月考）如圖，已知ABCD是長方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)面積求出BF、AF、CF，設(shè)DE為x，列方程求出即可．【詳解】解：ABCD是長方形紙片，∴AB=CD=3，，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，設(shè)DE為x，EF=DE=x，EC=3x，x2=(3x)2+1，解得，x=，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程．例2．（2021·四川成都市·八年級期末）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE，DE分別交AB于點(diǎn)G，F(xiàn)，若GE＝GB，則CP的長為____．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、GE=GB可得出△GEF≌△GBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出GF=GP、EF=BP，設(shè)BF=EP=CP=x，則AF=4x，BP=3x=EF，DF=DEEF=4（3x）=x+1，在Rt△ADF中，依據(jù)AF2+AD2=DF2，可得到x的值．【詳解】解：根據(jù)折疊可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△GEF和△GBP中，，∴△OEF≌△OBP（ASA），∴EF=BP，GF=GP，∴BF=EP=CP，設(shè)BF=EP=CP=x，則AF=4x，BP=3x=EF，DF=DEEF=4（3x）=x+1，∵∠A=90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，∴（4x）2+32=（1+x）2，∴x=，∴CP=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，設(shè)要求的線段長為x，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程是解決問題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇·靖江市靖城中學(xué)八年級期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C′上．若AB=6，BC=9，則BF的長為_______【答案】4【分析】首先求出BC′的長度，設(shè)出C′F的長，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段C′F的方程，解方程求出C′F的長，即可解決問題．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝90°；∵點(diǎn)C′為AB的中點(diǎn)，AB＝6，∴BC′＝3；由題意得：C′F＝CF（設(shè)為x），則BF＝9?x，由勾股定理得：x2＝32＋(9?x)2，解得：x＝5，∴BF＝9?5＝4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題以矩形為載體，以翻折變換為方法，以考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等幾何知識點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；靈活運(yùn)用有關(guān)定理來解題是關(guān)鍵．例3．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在線段DE上的點(diǎn)F處，則BE的長為______．【答案】【分析】設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．【詳解】解：設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知，，，．在中，，．在中，，即，解得．的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·上海松江·八年級期末）如圖，長方形ABCD中，BC=5，AB=3，點(diǎn)E在邊BC上，將△DCE沿著DE翻折后，點(diǎn)C落在線段AE上的點(diǎn)F處，那么CE的長度是________．【答案】【分析】由對折先證明再利用勾股定理求解再證明從而求解于是可得答案.【詳解】解：長方形ABCD中，BC=5，AB=3，由折疊可得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是長方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，求解是解本題的關(guān)鍵.例4．（2021·成都西川中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．將△CEB沿直線CE折疊到△CEF，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合．當(dāng)CF⊥AB時(shí)，線段EB的長為_____．【答案】2【分析】設(shè)CF與AB交于點(diǎn)H，利用勾股定理求出AB，利用面積法求出CH，求出HF和BH，設(shè)BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：設(shè)CF與AB交于點(diǎn)H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴S△ABC=，即，∴CH=，由折疊可知：CF=CB=4，∴HF=CFCH=，在△BCH中，BH=，設(shè)BE=EF=x，則EH=x，在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到相等線段，利用勾股定理列出方程．變式1．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)九年級）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點(diǎn)E．若為直角三角形，則BD的長是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的長，由折疊可知對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，當(dāng)為直角三角形時(shí)，可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出的長．【詳解】解：在中，，（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由折疊得：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，由折疊得：，則，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：17或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是：分類討論思想的應(yīng)用注意分類的原則是不遺漏、不重復(fù)．例5．（2022·貴州遵義·八年級期末）在中，，，，點(diǎn)、分別是直角邊和斜邊上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，則線段的長度為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)可得AE＝DE，則DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出BE即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得AE＝DE，∵，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，解得：BE＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理得出關(guān)于BE的方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·北京市第一六一中學(xué)八年級期中）如圖，中，，將折疊，使點(diǎn)C與的中點(diǎn)D重合，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則線段的長為（

）.A． B． C．3 D．【答案】D【分析】由折疊的性質(zhì)可得DN=CN，根據(jù)勾股定理可求DN的長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵D是AB中點(diǎn)，AB=4，∴AD=BD=2，∵將△ABC折疊，使點(diǎn)C與AB的中點(diǎn)D重合，∴DN=CN，∴BN=BCCN=6DN，在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=（6DN）2+4，∴DN=，∴CN=DN=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、折疊的性質(zhì)、勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．例6．（2022·河南開封·八年級期末）如圖，在，，，，以為折痕將翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的長為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案．【詳解】解：∵在，，，，∴,設(shè)，則，由折疊可知，在中，，∴，∴，∴．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理列方程求線段，準(zhǔn)確列出方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級期中）如圖，在中，，，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上．與點(diǎn)重合，AE為折痕，則的長為（

）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【分析】由勾股定理可求出AC，再由折疊的性質(zhì)可知，，進(jìn)而可得，設(shè)，在中，由勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，，∵折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)重合，，，，，設(shè)，則，又，在中，，即，解得：，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．例7．（2021·貴州九年級）如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，若，則的長為______．【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作，設(shè)，分別解得的長，繼而證明，由全等三角形的性質(zhì)得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，據(jù)此解題．【詳解】如圖，連接，過點(diǎn)作，設(shè)，則矩形中在與中，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·湖北陽新初二期末）（問題原型）如圖1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD，過點(diǎn)D作△BCD的BC邊上的高DE，易證△ABC≌△BDE，從而得到△BCD的面積為．（初步探究）如圖2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD．用含a的代數(shù)式表示△BCD的面積并說明理由．（簡單應(yīng)用）如圖3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連續(xù)CD，求△BCD的面積(用含a的代數(shù)式表示)．【答案】【問題原型】32；【初步探究】△BCD的面積為a2；【簡單應(yīng)用】△BCD的面積為a2．【分析】問題原型：如圖1中，△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；初步探究：如圖2中，過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；簡單運(yùn)用：如圖3中，過點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長線于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BF=BC，由條件得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．【解析】問題原型：如圖1中，，，如圖2中，過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E，∴∠BED=∠ACB=90°．∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=8．∵S△BCDBC?DE，∴S△BCD=32．故答案為：32．初步探究：△BCD的面積為a2．理由：如圖2中，過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E．∴∠BED=∠ACB=90°∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=a．∵S△BCDBC?DE，∴S△BCDa2；簡單應(yīng)用：如圖3中，過點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長線于點(diǎn)E，∴∠AFB=∠E=90°，BFBCa，∴∠FAB+∠ABF=90°．∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，∴AB=BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED(AAS)，∴BF=DEa．∵S△BCDBC?DE，∴S△BCD?a?aa2，∴△BCD的面積為a2．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．課后訓(xùn)練：1．（2021·陜西八年級期末）如圖，在長方形中，，，將此長方形折疊，便點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的面積為（）．A．12 B．10 C．6 D．15【答案】C【分析】設(shè)AE=x，由折疊BE=ED=9x，再在Rt△ABE中使用勾股定理即可求出x，進(jìn)而求出△ABE的面積．【詳解】解：設(shè)AE=x，由折疊可知：BE=ED=9x，在Rt△ABE中，由勾股定理有：AB2+AE2=BE2，代入數(shù)據(jù)：32+x2=(9x)2，解得x=4，故AE=4，此時(shí)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題中的勾股定理，利用折疊后對應(yīng)邊相等，設(shè)要求的邊為x，在一個直角三角形中，其余邊用x的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立方程求解x．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江衢州·八年級期末）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，則AB2﹣AC2的值是（）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得AC=AD，AB=2AD=4，可求AB2AC2的值．【詳解】解：∵將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處，∴∠ADC=∠ADE=90°，∵∠C=45°，AD=2，∴AC=AD=，∵∠B=30°，∴AB=2AD=2×2=4，∴AB2AC2=42（）2=8，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．3．（2022·廣西·桂林市第一中學(xué)八年級期中）如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊長AC＝6cm，BC＝8cm，將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得DA＝DB，設(shè)CD＝xcm，則BD＝AD＝（8﹣x）cm，在Rt△ACD中利用勾股定理得到x2+62＝（8﹣x）2，然后解方程即可．【詳解】解：∵△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，∴DA＝DB，設(shè)CD＝xcm，則BD＝AD＝（8﹣x）cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，∴x2+62＝（8﹣x）2，解得x＝，即CD的長為cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了勾股定理．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2021·山東煙臺·七年級期中）如圖，折疊長方形ABCD紙片，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處（AE為折痕）．已知AB=8，BC=10，則EC等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出BF的長；進(jìn)而求出FC的長度；由題意得EF=DE；利用勾股定理列出關(guān)于EC的方程，解方程即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴DC=AB=8；∠B=∠C=90°；由題意得：AF=AD=BC=10，由勾股定理得：BF2=AF2AB2=10282，∴BF=6，∴CF=BCBF=106=4；設(shè)EF=DE=x，EC=8x；在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2=42+（8x）2，解得：x=5，∴EF=DE=5，∴EC=CDDE=85=3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理；運(yùn)用勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022·遼寧鐵嶺·八年級期末）如圖，折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，，，則線段EF的長度為______．【答案】5【分析】根據(jù)長方形的性質(zhì)得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，設(shè)EF為x，則DE=x，EC=9x，根據(jù)勾股定理得出，即可得出FC的值，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．【詳解】四邊形ABCD為長方形折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，，設(shè)EF為x，則DE=x，EC=9x在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得即解得∴FC=BCBF=3在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理得FC2+EC2=EF2即解得x=5故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022·山東棗莊·八年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長為______．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=BE，設(shè)CE=x，則BE=8x，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：AE=BE，∵AC=8，∴BE+CE=8，設(shè)CE=x，則BE=8x，在中，，∴，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握圖形的折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江九年級二模）△ABC中，，AC＝6，，折疊△ABC，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D處，折痕EF交AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)由B向A連續(xù)移動過程中，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長記為m，則BC＝____________，m＝____________．【答案】【分析】過B作BM⊥AC，垂足為M，求出BM，CM長度，利用勾股定理即可求出BC長度，分析D點(diǎn)的運(yùn)動路徑，分段計(jì)算出長度加在一起即可．【詳解】解：過B作BM⊥AC，垂足為M，如圖1，∵∠A=45°，AB=4，∴BM=AM=，∵AC=6，∴CM=64=2，∴；①由折疊知，EF垂直平分CD，∴當(dāng)D與B重合時(shí)，此時(shí)AE最小，∴如圖2，作E1G⊥AB，垂足為G，連接E1B，設(shè)AE1=x，∵∠A=45°，∴AG=E1G=，E1C=6x，∵E1F垂直平分CB，∴E1B=E1C=6x，∴在Rt△E1GB中，E1B2=E1G2+GB2，即，解得x=1，（舍去負(fù)值）∴AE1=1，②∵ED=EC，∴當(dāng)AE最大時(shí)，EC最短，∴ED最短，∴當(dāng)ED⊥AB時(shí)，ED為垂線段，取最小值，∴如圖3，作E2D2⊥AB，垂足為D2，設(shè)AE2=y，則AD2=D2E2=，∴E2C=6y，∵E2F垂直平分CD2，∴E2D2=E2C，∴y=6y，∴y=126，∴AE2=126，∴E從最近到最遠(yuǎn)走了1261=116；③當(dāng)D從D2點(diǎn)繼續(xù)向A移動，ED增加，∴AE減小，當(dāng)D與A重合時(shí)，如圖4，此時(shí)E3D3=E3C=AC=×6=3，∴AE3=3，∴E從E2到E3運(yùn)動了1263=96，∴點(diǎn)E從E1，運(yùn)動到E2，再運(yùn)動到E3，路徑長為116+96=2012，故答案為：2；2012．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形翻折變換，勾股定理，等腰直角三角形等知識，熟練掌握圖形的翻折變換，勾股定理，等腰直角三角形等知識，是解題的關(guān)鍵．8．（2022·河南鶴壁·八年級期末）如圖，中，，M，N分別是邊上的兩個動點(diǎn)．將沿直線折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在邊的三等分點(diǎn)處，則線段的長為（

）A．3 B． C．3或 D．3或【答案】D【分析】根據(jù)題意，分和兩種情形，設(shè)，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在邊的三等分點(diǎn)處，設(shè)BN＝x，則和，，在中，，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊與勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江西·興國縣教學(xué)研究室八年級期末）如圖，將一個邊長分別為8，16的長方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折痕EF的長是___________．【答案】4【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，得到EC=AE，∠AEF=∠CEF，推出AE=AF=CE，勾股定理求出AE，得到BE，作EG⊥AF于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理求出EF．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，EC=AE，∠AEF=∠CEF，∵AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=CE，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2即82+（16AE）2=AE2，解得，AE=AF=10，BE=6，作EG⊥AF于點(diǎn)G，則四邊形AGEB是矩