專題7.3與三角形有關的線段（舉一反三）（蘇科版）（原卷版）

專題7.3與三角形有關的線段【八大題型】【蘇科版】TOC\o"13"\t"正文,1"\hTOC\o"11"\h\u【題型1三角形的分類】 1【題型2判斷三角形的個數(shù)】 2【題型3三角形三邊關系的應用】 3【題型4三角形的穩(wěn)定性】 4【題型5三角形的角平分線、中線和高線概念辨析】 6【題型6三角形的中線與面積問題】 6【題型7三角形的中線與周長問題】 7【題型8證明三角形中線段不等關系】 8【知識點1三角形的概念】由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.【知識點2三角形的分類】按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形按角分類：三角形直角三角形【題型1三角形的分類】【例1】（2021秋?漳平市期中）下列說法正確的有（）①等腰三角形是等邊三角形；②三角形按邊分可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；③等腰三角形至少有兩邊相等；④三角形按角分類應分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④【變式11】（2021秋?威縣期末）下列關于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲分法正確，乙分法錯誤 C．甲分法錯誤，乙分法正確 D．甲、乙兩種分法均錯誤【變式12】（2021秋?陽新縣期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（）A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形 B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形 C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形 D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形【變式13】（2021秋?靜安區(qū)期末）下列說法錯誤的是（）A．任意一個直角三角形都可以被分割成兩個等腰三角形 B．任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個等腰三角形 C．任意一個直角三角形都可以被分割成兩個直角三角形 D．任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個直角三角形【題型2判斷三角形的個數(shù)】【例2】（2021?蒙陰縣校級開學）如圖中三角形的個數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式21】（2022春?建鄴區(qū)校級期中）如圖，以AB為邊的三角形的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式22】（2021秋?安徽期中）現(xiàn)有若干個三角形，在所有的內角中，有5個直角，3個鈍角，25個銳角，則在這些三角形中銳角三角形的個數(shù)是（）A．3 B．4或5 C．6或7 D．8【變式23】（2022秋?饒平縣校級期末）觀察圖形規(guī)律：（1）圖①中一共有個三角形，圖②中共有個三角形，圖③中共有個三角形．（2）由以上規(guī)律進行猜想，第n個圖形共有個三角形．【知識點3三角形的三邊關系】三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．【題型3三角形三邊關系的應用】【例3】（2022?平桂區(qū)二模）老師布置了一份家庭作業(yè)：用老師給的三根小木棍做出一個三角形木架，三根小木棍的長度分別為：5cm、9cm、10cm，要求只能對10cm的小木棍進行裁剪（裁剪后長度為整數(shù)）．你認為同學們最多能做出（）個不同的三角形木架．A．1 B．2 C．6 D．10【變式31】（2022春?秦淮區(qū)期中）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調整，若調整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是（）A．7 B．10 C．11 D．14【變式32】（2022?襄州區(qū)模擬）一個三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別為5和9，則滿足上述條件的三角形個數(shù)為（）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【變式33】（2021秋?祁陽縣期末）已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但它不是最短邊，這樣的三角形的個數(shù)為（）A．6個 B．8個 C．10個 D．12個【知識點4三角形的穩(wěn)定性】當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應用在實際生活中.【題型4三角形的穩(wěn)定性】【例4】（2021春?左權縣月考）我國建造的港珠澳大橋全長55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長的跨海大橋．如圖，這是港珠澳大橋中的斜拉索橋，那么你能推斷出斜拉索大橋中運用的數(shù)學原理是．【變式41】（2021秋?云夢縣月考）下列生活中的一些事實運用了“三角形穩(wěn)定性”的是（）A． B． C． D．【變式42】（2021秋?龍巖期末）下列圖形中，不具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【變式43】（2021秋?嵐皋縣校級月考）要使如圖所示的六邊形木架不變形，則至少需要釘上木條的根數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【知識點5三角形的角平分線、中線和高】從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．

（5）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點．【題型5三角形的角平分線、中線和高線概念辨析】【例5】（2022春?泗縣期中）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E．F為AB上的一點，CF⊥AD于H．下列判斷正確的有（）A．AD是△ABE的角平分線 B．BE是△ABD邊AD上的中線 C．CH為△ACD邊AD上的高 D．AH為△ABC的角平分線【變式51】（2021春?鎮(zhèn)江期中）如圖，△ABC的角平分線AD與中線BE相交于點O，有下列兩個結論：①AO是△ABE的角平分線：②DE是△ADC的中線，其中（）A．只有①正確 B．只有②正確 C．①和②都正確 D．①和②都不正確【變式52】（2022春?靜安區(qū)期中）下列判斷錯誤的是（）A．三角形的三條高的交點在三角形內 B．三角形的三條中線交于三角形內一點 C．直角三角形的三條高的交點在直角頂點 D．三角形的三條角平分線交于三角形內一點【變式53】（2021秋?茶陵縣期末）下列說法中，正確的個數(shù)是（）①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點．A．1 B．2 C．3 D．4【題型6三角形的中線與面積問題】【例6】（2022春?廣州期中）如圖，△ABC的面積是24，點D、E、F、G分別是BC、AD、BE、CE的中點，則△AFG的面積是（）A．9 B．9.5 C．10.5 D．10【變式61】（2022春?邗江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AD的中點，點F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，則S△ABC＝（）A．3 B．6 C．8 D．12【變式62】（2021秋?潮安區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，點E是AD的中點，連接BE、CE，若△ABC的面積是8，則陰影部分的面積為（）A．4 B．2 C．6 D．8【變式63】（2022春?泰興市校級月考）如圖，在△ABC中，G是邊BC上任意一點，D、E、F分別是AG、BD、CE的中點，S△ABC＝48，則S△DEF的值為．【題型7三角形的中線與周長問題】【例7】（2021秋?乳山市校級月考）在△ABC中，∠B＜∠C，AD為BC邊的中線，△ABD的周長與△ADC的周長相差3，AB＝8，則AC＝．【變式71】（2021秋?澗西區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多2，AB+AC＝8，則AC的長為．【變式72】（2021春?芙蓉區(qū)校級月考）△ABC中，AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成40和60兩部分，求BC的長．【變式73】（2022秋?重慶期末）如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點，E點在邊AB上，三角形BDE與四邊形ACDE的周長相等．（1）求線段AE的長．（2）若圖中所有線段長度的和是53cm，求BC+12【題型8證明三角形中線段不等關系】【例8】（2022春?鼓樓區(qū)期末）如圖，P為△ABC內任意一點，求證：AB+AC＞PB+PC．【變式81】（2021春?嵩縣期末）如圖所示，D是△ABC的邊AC上任意一點（不含端點