專題19等腰三角形(原卷版+解析)

專題19等腰三角形【專題目錄】技巧1：等腰三角形中四種常用作輔助線的方法技巧2：巧用特殊角構(gòu)造含30°角的直角三角形技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應用【題型】一、等腰三角形的定義【題型】二、根據(jù)等邊對等角求角度【題型】三、根據(jù)三線合一求解【題型】四、根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形【題型】五、根據(jù)等角對等邊求邊長【題型】六、等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合【題型】七、等邊三角形的性質(zhì)【題型】八、含30°角的直角三角形【考綱要求】1.了解等腰三角形的有關概念，掌握其性質(zhì)及判定．2.了解等邊三角形的有關概念，掌握其性質(zhì)及判定．3.掌握線段中垂線的性質(zhì)及判定．【考點總結(jié)】一、等腰三角形等腰三角形等腰三角形概念有兩邊相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.【考點總結(jié)】二、等邊三角形等邊三角形等邊三角形概念三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。等邊三角形性質(zhì)和判定（1）等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60o。（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有一個角是60o的等腰三角形是等邊三角形。（4）在直角三角形中，如果一個銳角等于30o，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（補充：（1）三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離等。（2）三角形三個邊的中垂線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。（3）常用輔助線：=1\*GB3①三線合一；=2\*GB3②過中點做平行線【考點總結(jié)】三、直角三角形直角三角形直角三角形性質(zhì)①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.直角三角形判定有一個角是直角的三角形是直角三角形.

勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;②勾股定理的逆定理:若一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個三角形是直角三角形.【技巧歸納】技巧1：等腰三角形中四種常用作輔助線的方法【類型】一、作“三線”中的“一線”1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，過點A作EF∥BC，且AE＝AF.求證：DE＝DF.【類型】二、作平行線法2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P從點B出發(fā)沿線段BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，點P，Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖①，當點P為AB的中點時，求證：PD＝QD.(2)如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E，當P，Q在移動的過程中，線段BE，ED，CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．【類型】三、截長補短法3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求證：BD＋DC＝AB.【類型】四、加倍折半法4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度數(shù)．5．如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.求證：CD＝2CE.技巧2：巧用特殊角構(gòu)造含30°角的直角三角形【類型】一、直接運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE＝1，則BC＝()A.eq\r(3)B．2C．3D.eq\r(3)＋22．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm.求BC的長．【類型】二、連線段構(gòu)造含30°角的直角三角形3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點，DE⊥AC于E，AE＝8，求CE的長．4．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于點D，交BC于點E.求證：CE＝2BE.【類型】三、延長兩邊構(gòu)造含30°角的直角三角形5．如圖，四邊形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的長．【類型】四、作垂線構(gòu)造含30°角的直角三角形6．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求證：AD＝2BC.技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應用【類型】一、當頂角或底角不確定時，分類討論1．若等腰三角形中有一個角等于40°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝eq\f(1,2)BC，則等腰三角形ABC的底角的度數(shù)為()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一個外角為64°，則底角的度數(shù)為________．【類型】二、當?shù)缀脱淮_定時，分類討論4．已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的兩邊長分別為7和9，則其周長為________．6．若實數(shù)x，y滿足|x－4|＋(y－8)2＝0，則以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為________．【類型】三、當高的位置關系不確定時，分類討論7．等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)．【類型】四、由腰的垂直平分線引起的分類討論8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40°，求底角∠B的度數(shù)．【類型】五、由腰上的中線引起的分類討論9．等腰三角形ABC的底邊BC長為5cm，一腰上的中線BD把其分為周長差為3cm的兩部分．求腰長．【類型】六、點的位置不確定引起的分類討論10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有()A．7個B．6個C．5個D．4個11．如圖，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直線AB上的兩點，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)．【題型講解】【題型】一、等腰三角形的定義例1、已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，則它的周長為（）A．9 B．17或22 C．17 D．22【題型】二、根據(jù)等邊對等角求角度例2、如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，點D在AC邊上，以CB，CD為邊作□BCDE，則∠E的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【題型】三、根據(jù)三線合一求解例3、如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（）A．2 B．3 C．4 D．5【題型】四、根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形例4、下列能斷定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周長為14【題型】五、根據(jù)等角對等邊求邊長例5、如圖，將矩形折疊，使點和點重合，折痕為，與交于點若，，則的長為（）A． B． C． D．【題型】六、等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合例6、如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為、、，測得，，千米，求、兩點間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．【題型】七、等邊三角形的性質(zhì)例7、如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點，則的面積是（）A．1 B． C． D．【題型】八、含30°角的直角三角形例8、如圖，在中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點落在邊上，連接，則的長度是（）A． B． C． D．等腰三角形（達標訓練）一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（

）A．2 B．4 C．6 D．82．如圖，在中，，，，用圖示尺規(guī)作圖的方法在邊上確定一點．則的周長為（

）．A．12 B．14 C．16 D．213．下列命題，錯誤的是（）A．有一個銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等B．如果∠A和∠B是對頂角，那么∠A＝∠BC．等腰三角形兩腰上的高相等D．三角形三邊垂直平分線的交點到三角形三邊的距離相等4．如圖，點，在上，，．添加一個條件，不一定能證明的是（

）A． B． C． D．5．如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點E、O、F，若，則EF的長為（

）A．8 B．15 C．16 D．24二、填空題6．如圖，在中，，平分，，點到的距離為5.6，則___．7．如圖，在中，，于點E，于點D，請你添加一個條件__________，使（填一個即可）．三、解答題8．如圖，E、F分別是矩形ABCD對角線上的兩點，且．求證：．等腰三角形（提升測評）一、單選題1．如圖，點D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點，點F在DE的延長線上，CFBA，若△ADE的面積為2，則四邊形BCFD的面積為（

）A．10 B．8 C．6 D．42．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（

）A．10 B．12 C．9 D．63．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD=5，P為AB上一動點，則PD的最小值為(

)A．2 B．3 C．4 D．54．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在CD邊上，，AG交BF于點H，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個．二、填空題5．如圖，在邊長為的正方形中，點、分別是邊、上的動點．且，連接、，則的最小值為______．6．正方形的邊長為，E為的中點，連接，過點作交于點，垂足為，則______．三、解答題7．如圖，在矩形中，的平分線交于點，交的延長線于點，點為的中點，連接、．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的度數(shù)．8．如圖，在四邊形中，點在邊上，，，作交線段于點，連接，求證：．專題19等腰三角形【專題目錄】技巧1：等腰三角形中四種常用作輔助線的方法技巧2：巧用特殊角構(gòu)造含30°角的直角三角形技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應用【題型】一、等腰三角形的定義【題型】二、根據(jù)等邊對等角求角度【題型】三、根據(jù)三線合一求解【題型】四、根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形【題型】五、根據(jù)等角對等邊求邊長【題型】六、等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合【題型】七、等邊三角形的性質(zhì)【題型】八、含30°角的直角三角形【考綱要求】1.了解等腰三角形的有關概念，掌握其性質(zhì)及判定．2.了解等邊三角形的有關概念，掌握其性質(zhì)及判定．3.掌握線段中垂線的性質(zhì)及判定．【考點總結(jié)】一、等腰三角形等腰三角形等腰三角形概念有兩邊相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.【考點總結(jié)】二、等邊三角形等邊三角形等邊三角形概念三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。等邊三角形性質(zhì)和判定（1）等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60o。（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有一個角是60o的等腰三角形是等邊三角形。（4）在直角三角形中，如果一個銳角等于30o，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（補充：（1）三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離等。（2）三角形三個邊的中垂線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。（3）常用輔助線：=1\*GB3①三線合一；=2\*GB3②過中點做平行線【考點總結(jié)】三、直角三角形直角三角形直角三角形性質(zhì)①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.直角三角形判定有一個角是直角的三角形是直角三角形.

勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;②勾股定理的逆定理:若一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個三角形是直角三角形.【技巧歸納】技巧1：等腰三角形中四種常用作輔助線的方法【類型】一、作“三線”中的“一線”1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，過點A作EF∥BC，且AE＝AF.求證：DE＝DF.【類型】二、作平行線法2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P從點B出發(fā)沿線段BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，點P，Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.(1)如圖①，當點P為AB的中點時，求證：PD＝QD.(2)如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E，當P，Q在移動的過程中，線段BE，ED，CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．【類型】三、截長補短法3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求證：BD＋DC＝AB.【類型】四、加倍折半法4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度數(shù)．5．如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.求證：CD＝2CE.參考答案1．證明：如圖，連接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.2．(1)證明：如圖①，過點P作PF∥AC交BC于F.∵點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP，∴FP＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，F(xiàn)P＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.(2)解：線段ED的長度保持不變．理由如下：如圖②，過點P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝eq\f(1,2)BC，∴線段ED的長度保持不變．3．證明：如圖，延長BD至E，使BE＝AB，連接CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE為等邊三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.4．解：在DC上截取DE＝BD，連接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是線段BE的垂直平分線，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可設∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，∴∠B＝2x，∴∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，則∠C＝20°.5．證明：如圖，延長CE到點F，使EF＝CE，連接FB，則CF＝2CE.∵CE是△ABC的中線，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝AE，,∠BEF＝∠AEC，,EF＝EC，))∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中線，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.在△CBF與△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CB＝CB，,∠CBF＝∠CBD，,BF＝BD，))∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.技巧2：巧用特殊角構(gòu)造含30°角的直角三角形【類型】一、直接運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE＝1，則BC＝()A.eq\r(3)B．2C．3D.eq\r(3)＋22．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm.求BC的長．【類型】二、連線段構(gòu)造含30°角的直角三角形3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點，DE⊥AC于E，AE＝8，求CE的長．4．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于點D，交BC于點E.求證：CE＝2BE.【類型】三、延長兩邊構(gòu)造含30°角的直角三角形5．如圖，四邊形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的長．【類型】四、作垂線構(gòu)造含30°角的直角三角形6．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求證：AD＝2BC.參考答案1．C2．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AB⊥AD，∴∠ADB＝60°.又∵∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠CAD＝30°＝∠C.∴CD＝AD＝4cm.∵AB⊥AD，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8cm.∴BC＝BD＋CD＝12cm.3．解：連接AD，∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)×120°＝60°.在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝16.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2×16＝32.∴CE＝AC－AE＝32－8＝24.4．證明：如圖，連接AE.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°－30°＝90°.又∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.5．解：延長AD，BC交于點E.∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°.又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－120°＝60°.∴△DCE是等邊三角形．設CD＝CE＝DE＝a，則有2(1＋a)＝4＋a，解得a＝2.∴CD的長為2.6．證明：過點C作CE⊥AD交AD的延長線于E.∵DC∥AB，∠DAB＝30°，∴∠CDE＝30°.在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，又∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.又∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠DAB，∴BC＝CE，∴AD＝2BC.7．證明：過點B作BE⊥AD交AD的延長線于點E，則∠DEB＝90°.∵∠BAD＝30°，∴BE＝eq\f(1,2)AB.∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠DEB＝∠DAC.又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，∴△BED≌△CAD，∴BE＝AC，∴AC＝eq\f(1,2)AB.點撥：由結(jié)論AC＝eq\f(1,2)AB和條件∠BAD＝30°，就想到能否找到或構(gòu)造直角三角形，而顯然圖中沒有含30°角的直角三角形，所以過點B作BE⊥AD交AD的延長線于點E，這樣就得到了直角三角形ABE，這是解決本題的關鍵．技巧3：分類討論思想在等腰三角形中的應用【類型】一、當頂角或底角不確定時，分類討論1．若等腰三角形中有一個角等于40°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝eq\f(1,2)BC，則等腰三角形ABC的底角的度數(shù)為()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一個外角為64°，則底角的度數(shù)為________．【類型】二、當?shù)缀脱淮_定時，分類討論4．已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的兩邊長分別為7和9，則其周長為________．6．若實數(shù)x，y滿足|x－4|＋(y－8)2＝0，則以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為________．【類型】三、當高的位置關系不確定時，分類討論7．等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)．【類型】四、由腰的垂直平分線引起的分類討論8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40°，求底角∠B的度數(shù)．【類型】五、由腰上的中線引起的分類討論9．等腰三角形ABC的底邊BC長為5cm，一腰上的中線BD把其分為周長差為3cm的兩部分．求腰長．【類型】六、點的位置不確定引起的分類討論10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有()A．7個B．6個C．5個D．4個11．如圖，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直線AB上的兩點，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)．參考答案1．D2.C3.32°4.C5.23或256.207．解：設AB＝AC，BD⊥AC；(1)高與底邊的夾角為25°時，高一定在△ABC的內(nèi)部，如圖①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.(2)當高與另一腰的夾角為25°時，如圖②，高在△ABC的內(nèi)部時，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如圖③，高在△ABC的外部時，∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各個內(nèi)角的度數(shù)為：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.點撥：由于題目中的“另一邊”沒有指明是“腰”還是“底邊”，因此必須進行分類討論，另外，還要結(jié)合圖形，分高在三角形內(nèi)還是在三角形外．8．解：此題分兩種情況：(1)如圖①，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D，∠ADE＝40°，則∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如圖②，AB邊的垂直平分線與CA的延長線交于點D，∠ADE＝40°，則∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小為65°或25°.9．分析：由于題目中沒有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”為3cm，還是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”為3cm，因此必須分兩種情況討論．解：∵BD為AC邊上的中線，∴AD＝CD，(1)當(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3cm時，有AB－BC＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；(2)當(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3cm時，有BC－AB＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，但是當AB＝2cm時，三邊長分別為2cm，2cm，5cm.而2＋2＜5，不能構(gòu)成三角形，舍去．故腰長為8cm.[來源:學*科*網(wǎng)Z*X*X*K]10．B11．解：(1)當點D、E在點A的同側(cè)，且都在BA的延長線上時，如圖①，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)當點D、E在點A的同側(cè)，且點D在D′的位置，E在E′的位置時，如圖②，與(1)類似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)當點D、E在點A的兩側(cè)，且E點在E′的位置時，如圖③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)當點D、E在點A的兩側(cè)，且點D在D′的位置時，如圖④，∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.綜上所述，∠DCE的度數(shù)為20°或110°或70°.【題型講解】【題型】一、等腰三角形的定義例1、已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，則它的周長為（）A．9 B．17或22 C．17 D．22【答案】D【提示】分類討論腰為4和腰為9，再應用三角形的三邊關系進行取舍即可．【詳解】解：分兩種情況：當腰為4時，，所以不能構(gòu)成三角形；當腰為9時，，所以能構(gòu)成三角形，周長是：．故選：D．【題型】二、根據(jù)等邊對等角求角度例2、如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，點D在AC邊上，以CB，CD為邊作□BCDE，則∠E的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【提示】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ABC=∠C=70°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠E=∠C=70°．故選：D．【題型】三、根據(jù)三線合一求解例3、如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【提示】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法步驟判斷即可．【詳解】由作圖痕跡可知AD為∠BAC的角平分線，而AB=AC，由等腰三角形的三線合一知D為BC重點，BD=3，故選B【題型】四、根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形例4、下列能斷定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周長為14【答案】C【提示】根據(jù)三角形內(nèi)角和計算角的度數(shù)，判斷三角形中是否有相等的角；根據(jù)三角形的周長計算是否有相等的邊即可判斷.【詳解】A.

∠C=180°?40°?50°=90°，沒有相等的角，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

B、∵∠A=2∠B=70°，

∴∠B=35°，

∴∠C=75°，沒有相等的角，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

C、∠C=180°?40°?70°=70°，有相等的角，則是等腰三角形，本選項正確；

D、∵AB=3，BC=6，周長為14，

∴AC=14?6?3=5，沒有相等的邊，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

故選C．【題型】五、根據(jù)等角對等邊求邊長例5、如圖，將矩形折疊，使點和點重合，折痕為，與交于點若，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【提示】先證明再求解利用軸對稱可得答案．【詳解】解：由對折可得：矩形，BC=8由對折得：故選C．【題型】六、等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合例6、如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為、、，測得，，千米，求、兩點間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．【答案】、兩點間的距離約為11千米．【提示】如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可求出CD、AD的長，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得BD的長，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】如圖，過點C作于點D在中，，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、兩點間的距離約為11千米．【題型】七、等邊三角形的性質(zhì)例7、如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點，則的面積是（）A．1 B． C． D．【答案】D【提示】根據(jù)題意可以判斷四個小三角形是全等三角形,即可判斷一個的面積是．【詳解】∵分別是，，的中點,且△ABC是等邊三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面積是．故選D．【題型】八、含30°角的直角三角形例8、如圖，在中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點落在邊上，連接，則的長度是（）A． B． C． D．【答案】B【提示】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，進而得出為等邊三角形，進而求出．【詳解】解：∵由直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可知，∴cm，又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，且，∴為等邊三角形，∴．故選：B．等腰三角形（達標訓練）一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA＝4，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，故選：C．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．2．如圖，在中，，，，用圖示尺規(guī)作圖的方法在邊上確定一點．則的周長為（

）．A．12 B．14 C．16 D．21【答案】B【分析】根據(jù)題意得：尺規(guī)作圖的方法所作的直線是的垂直平分線，可得，從而得到的周長為，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：尺規(guī)作圖的方法所作的直線是的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，∴的周長為．故選：B．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作已知線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關鍵．3．下列命題，錯誤的是（）A．有一個銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等B．如果∠A和∠B是對頂角，那么∠A＝∠BC．等腰三角形兩腰上的高相等D．三角形三邊垂直平分線的交點到三角形三邊的距離相等【答案】D【分析】利用全等三角形的判定、對頂角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.【詳解】解：A、有一個銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等，正確，不符合題意；B、如果∠A和∠B是對頂角，那么∠A＝∠B，正確，不符合題意；C、等腰三角形兩腰上的高相等，正確，不符合題意；D、三角形三邊垂直平分線的交點到三角形三頂點的距離相等，故原命題錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解全等三角形的判定、對頂角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)，屬于基礎性知識，比較簡單．4．如圖，點，在上，，．添加一個條件，不一定能證明的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可．【詳解】A：∵，∴，∵在和中，，∴，正確，故本選項錯誤；B：∵，∴，∵在和中，，∴，正確，故本選項錯誤；C：∵在和中，，∴，正確，故本選項錯誤；D：根據(jù)，，不能推出，錯誤，故本選項正確．故選D．【點睛】本題考查全等三角形的判定的應用，平行線的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定定理是解本題的關鍵．5．如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點E、O、F，若，則EF的長為（

）A．8 B．15 C．16 D．24【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AO=CO，∠AOE=∠COF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EAO=∠FCO,根據(jù)ASA推出△AEO≌△CFO，由全等得到OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC即可推出四邊形是菱形，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF=CF，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】連接AF，CE，∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，,∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形，∴AE=CE，設AE=CE=x，∵EF是AC的垂直平分線，∴AE=CE=x，DE=16-x，在Rt△CDE中，,，解得，∴AE=,∵,∴=10,∴,∴EF=2OE=15,故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，證得四邊形AECF是菱形是解題的關鍵．二、填空題6．如圖，在中，，平分，，點到的距離為5.6，則___．【答案】【分析】過D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD＝DE，再求出BD長，即可得出BC的長．【詳解】解：如圖，過D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴CD⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴CD＝DE，∵D到AB的距離等于5.6cm，∴CD＝DE＝5.6cm，又∵BD＝2CD，∴BD＝11.2cm，∴BC＝5.6＋11.2＝cm，故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線性質(zhì)的應用，解題時注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．7．如圖，在中，，于點E，于點D，請你添加一個條件__________，使（填一個即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】兩個三角形全等已具備的條件是：，，根據(jù)三角形全等的判定方法即可確定添加的條件．【詳解】解：添加的條件是，，，，，，，在和中，，．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關鍵．三、解答題8．如圖，E、F分別是矩形ABCD對角線上的兩點，且．求證：．【答案】見解析；【分析】根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)得出，，再根據(jù)，用可直接證明出，即可證明出．【詳解】證明：是矩形，,，在和中，．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定是解決問題的關鍵．等腰三角形（提升測評）一、單選題1．如圖，點D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點，點F在DE的延長線上，CFBA，若△ADE的面積為2，則四邊形BCFD的面積為（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DEBC，DE=BC，證明；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算（相似三角形的面積比等于相似比的平方），可求得SABC的面積；根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)定理，證明ADECFE，可得SADE=SCFE，從而可得S四邊形BCFD=SABC即可．【詳解】解：∵D，E分別是ABC的邊AB，AC的中點∴DE是ABC的中位線∴AE=CE，DEBC，DE=BC∴∴SADE=∵SADE=2∴SABC=8又∵CFBA∴∠A=∠FCE在ADE和CFE中，∴ADECFE（ASA）∴SADE=SCFE∴SADE+S四邊形BCED=SCFE+S四邊形BCED∴S四邊形BCFD=SABC=8故選：B．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、相以三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E為AB的中點，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（

）A．10 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】如圖：過D作DF⊥AB于F,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DF=CD=3,然后再根據(jù)中點的定義求得BE的長，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：如圖：過D作DF⊥AB于F,∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，∴DF=CD=3∵點E為AB的中點，AB＝12∴BE=AB=6∴△DBE的面積為．故選：C．【點睛】本題主要考查了角平分線定理、中點的定義、三角形的高等知識點，作出△DBE的高并運用角平分線定理求出成為解答本題的關鍵．3．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD=5，P為AB上一動點，則PD的最小值為(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】當DP⊥AB時，根據(jù)垂線段最短可知，此時DP的值最?。俑鶕?jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DP=CD解決問題；【詳解】解：當DP⊥AB時，根據(jù)垂線段最短可知，此時DP的值最?。勺鲌D可知：AE平分∠BAC，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵DP⊥AB，∴DP=CD=5，∴PD的最小值為5，故選：D．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，基本作圖等知識，解題的關鍵是學會利用垂線段最短解決最短問題．4．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在CD邊上，，AG交BF于點H，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個．【答案】B【分析】先證明△AHE≌△BCF（AAS），即可判斷①，由三角形的中位線定理可證GEBF，即可判斷②，由勾股定理可求BF的長，即可求sin∠ABF＝sin∠BFC，即可判斷③，由相似三角形的性質(zhì)可求FH，CH，AO的長，即可求出，即可判斷④．【詳解】解：如圖，設BF與AE的交點為O，設AB＝4a，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠ABC＝∠BCD＝