河南省南陽(yáng)市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考（10月）數(shù)學(xué)試題

2024年秋期六校第一次聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.2.曲線所圍成的封閉圖形的面積為（）A.1B.2C.3D.43.已知直線和.則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.0B.C.1D.25.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，直線與交于兩點(diǎn)，若的面積是的面積的2倍，則（）A.B.C.D.或6.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線與它的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，且是坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A.2B.C.D.37.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，則的最小值是（）A.4B.6C.8D.98.已知是橢圓的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，則的最小值是（）A.5B.9C.4D.3二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知直線的斜率分別是，傾斜角分別是，且，則下列關(guān)系可能正確的是（）A.B.C.D.10.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.方程表示的曲線是圓B.若兩條直線平行，則它們的斜率相等C.直線的一個(gè)法向量的坐標(biāo)是D.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓11.已知橢圓上有一點(diǎn)分別為其左?右焦點(diǎn)，的面積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則滿(mǎn)足題意的點(diǎn)有4個(gè)C.若是鈍角三角形，則D.橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最小值為12三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.若橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.13.已知圓，圓，若動(dòng)圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程是__________.14.已知函數(shù)，若在平面直角坐標(biāo)系中，所有滿(mǎn)足的點(diǎn)都不在直線上，則下列方程中：①，③，④可能是直線的方程的是__________.（填寫(xiě)序號(hào)）.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）15.（本小題滿(mǎn)分13分）已知是的三個(gè)頂點(diǎn)，求證：的三條高交于一點(diǎn).16.（本小題滿(mǎn)分15分）已知直線，圓.（1）求證：直線與圓恒相交；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線的方程.17.（本小題滿(mǎn)分15分）已知直線與交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程.18.（本小題滿(mǎn)分17分）已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，問(wèn)：直線，的斜率之和是否為定值？若是，請(qǐng)求出該值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.（本小題滿(mǎn)分17分）已知兩定點(diǎn)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)（不重合）.（1）求的取值范圍；（2）如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積.2024年秋期六校第一次聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案1.C2.B3.C4.A5.B6.A7.D8.C9.ABD10.ABD11.ABC1.【答案】C【解析】直線的斜率，所以?xún)A斜角為.2.【答案】B【解析】方程表示的曲線是邊長(zhǎng)為的正方形，所以圍成的圖形面積是2.3.【答案】C【解析】根據(jù)兩直線平行的條件得得或，但時(shí)兩直線重合，故選C.4.【答案】A【解析】由兩條切線的夾角是，得圓的半徑是2，從而.5.【答案】B【解析】由已知得：，解得或，但時(shí)，直線和橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，故.6.【答案】A【解析】由得雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，又，得，所以.7.【答案】D【解析】根據(jù)已知設(shè)直線方程為，得：，8.【答案】C【解析】由已知得，設(shè)，所以，從而或時(shí)取最小值為4.9.【答案】ABD【解析】當(dāng)傾斜角都為銳角或都是鈍角時(shí)，；當(dāng)為兩個(gè)銳角，一個(gè)鈍角時(shí)，；一個(gè)銳角，兩個(gè)鈍角時(shí)，.10.【答案】ABD【解析】A錯(cuò)的原因是軌跡不存在，B錯(cuò)的原因是兩直線都和軸平行時(shí)斜率不存在，D錯(cuò)的原因是軌跡可能是線段或不存在.故選ABD.11.【答案】ABC【解析】由橢圓可得，則，對(duì)于A，設(shè)，，則，由此可得，所以的面積為，所以，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，所以由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知滿(mǎn)足題意的點(diǎn)有4個(gè)，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭氢g角三角形，所以中有一個(gè)角大于，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以解得，所以，所以是鈍角三角形時(shí)，有，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)為橢圓內(nèi)接矩形位于第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)，令，，則橢圓內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為（其中且滿(mǎn)足），由得，所以橢圓內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的范圍為，即，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC.12.【答案】或10【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得.13.【答案】【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則由已知得，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.從而方程是.14.【答案】②③④【解析】在定義域上是單調(diào)遞增，又，曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，，在平面直角坐標(biāo)系中，所有滿(mǎn)足即的點(diǎn)都不在直線上.結(jié)合定義域點(diǎn)與陰影三角形無(wú)公共點(diǎn)即可），故答案為：②③④.15.【解析】由已知得：所以邊上高所在直線方程為：化簡(jiǎn)得：①同理得邊上高所在直線方程為：②同理得邊上高所在直線方程為：③聯(lián)立方程①②得：把代入，方程成立，所以的三條高交于同一點(diǎn).注意：求直線方程時(shí)，也可以利用垂直得斜率，利用點(diǎn)斜式求解.16.【解析】（1）方法一：證明：圓的圓心為，它到直線的距離為所以直線與圓恒相交.方法二：恒過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓恒相交.（2）由三角形的面積公式得所以當(dāng)時(shí)（顯然可以取到），的面積最大-此時(shí)到直線的距離為由解得故此時(shí)直線的方程為17.【解析】（1）由已知得所以?xún)芍本€恒垂直，又恒過(guò)點(diǎn)恒過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，從而點(diǎn)的軌跡方程為（化為一般式也得分）（2）設(shè)因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以即即①把代入整理，得所以，即②而代入①得，解得或都滿(mǎn)足②所以直線的方程為或.18.【解析】（1）由題意得：所以所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓且，從而所以的軌跡方程為：.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，（其中），，聯(lián)立，消可得，則，解得或，，所以（定值）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，則關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，所以，綜上可得（定值）19.【解析】（1）由雙