人教版九年級數學上冊專項訓練：旋轉（解析版）

第23章旋轉（培優(yōu)卷）

.選擇題（每小題3分，共24分）

1.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史，2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工

智能機器人A勿3G。進行圍棋人機大戰(zhàn).截取首局對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心

對稱的是（）

【答案】A

【解析】解：A.是中心對稱圖形，故本選項符合題意;

B.不是中心對稱圖形,故本選項不合題意;

C.不是中心對稱圖形,故本選項不合題意;

D.不是中心對稱圖形,故本選項不合題意.

故選:A.

2.如圖將△ABC繞點。（0,-1）旋轉180。得到△ABC,設點A的坐標為（a,b）,則A的坐標為（）

B.Q-a,-b-I)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b-2)

【答案】D

【解析】解：將△48C繞點C（0,-1）旋180。得到△ABC,，C4=G4',

設A（私〃）,而盟a,6）,

由中點坐標公式可得:

im+a

，解得」

|2m=-a

;A(-cit-b-2)

\n+bln--2-b

=-1

i2

故選D

3.如圖，將,ABC繞點A順時針旋轉得到“ADE,且點。恰好在AC上，ZBAE=ZCDE=136°,則NC的度

數是（）

A.24°B.26°C.30°D.36°

【答案】A

【解析】解：由題意可知：NE=NC,ZEAD=ZCAB

又；ZBAE^136°,：.ZEAD=ZCAB=1(360°-ZBAE)=112°

又：ZE+ZEAD=ZEDC=136°,/.ZE=ZEDC-ZEAD=24°,NC=24°

故選：A.

4.如圖，Rt^ABC中，ZB=30°,ZC=90°,AC=2,BC平行于y軸，以點A(0,5)為旋轉中心，將Rt^ABC

逆時針旋轉30。，得到RtZV?。，則點C'的坐標為()

A.卜石,3)B.A/5,4)C.^—5/3,3)D.卜班,4)

【答案】D

【解析】解：過點C'向A。作垂線，垂足為點。，如圖，

VZB=30°,ZC=90°,AZBAC=6OQ

：BC〃y軸，ZBAO=NB=30°,/.ZBAO+ZBAC=30°+60°=90°,

將RtZkABC逆時針旋轉30°,得到RtzMB,C,,

?.ZCAC'=ZC'AB=ZBAB'=30°,：.BC//AB',點在y軸上，

由旋轉的性質得，AC=AC=2,ACAD=ACAD=60°,AZACD=30°,

AD=-AC,=-x2=l,

22

A(0,5),；.OA=5,；.OD=CM—AD=5—1=4

由勾股定理得，CZ>=JAC2_AD2=后

:點C在第二象限，；.點C的坐標為卜6,4)

故選：D.

5.如圖，BA=BC,ZABC=1Q°,將繞點3逆時針旋轉至ABEA處，點區(qū)A分別是點。，C旋轉后

的對應點，連接。區(qū)則N3ED為()

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】A

【解析】???△30。繞點5逆時針旋轉至45陰處，點區(qū)A分別是點。，。旋轉后的對應點，

；?NCBD=/ABE,BD=BE,

VZABC=ZCBD-^ZABD,/EBD=/ABE+NABD,ZABC=70°,：.ZEBD=ZABC=70°,

?:BD=BE,：.ZBED=ZB￡>E=^-(180°-ZEBD)=1(180°-70°)=55°,

故選：A.

6.如圖，在平面直角坐標系中，已知點P(0,2),點A(4,2).以點P為旋轉中心，把點A按逆時針方向旋

轉60。，得點艮在M2(-V3,-l),%(1，4)，四個點中，直線尸3經過的點是()

A.M}B.M2C.M,D.M4

【答案】B

【解析】解：：點A(4,2),點P(0,2),

.?.B4_Ly軸，B4=4,

由旋轉得：ZAPB=60°,AP=PB=4,

如圖，過點2作BCLy軸于C,

ZBPC^30°,；.BC=2,PC=2A/3,:.B(2,2+2指),

設直線PB的解析式為：y=kx+b,

則F'=2+2百，*="一..直線依的解析式為：y=@+2,

(b=2[b=2

當產。時，A/3A+2=0,x=-巫,.?.點(-且，0)不在直線上,

33

當產-君時，y=-3+2=l,：.M2(-73,-1)在直線P8上，

當下1時，y=73+2,：.M3(1,4)不在直線P8上，

當尸2時，尸26+2，:.M4(2,y)不在直線尸8上.

故選：B.

7.如圖，等邊三角形ABC內有一點P,分別連結AP、BP、CP,若AP=6,BP=S,CP=10.貝|S^ABP+S^BPC

=().

A.20+166B.24+126C.20+12#D.24+166

【答案】D

[解析】如圖，將LBPC繞點B逆時針旋轉60°后得_AB'P,連接PP',

A

根據旋轉的性質可知，旋轉角NP3P=NC4S=60。，BP=BF,_BPP為等邊三角形,BP=BP=PP=8,

由旋轉的性質可知，AP'=PC=10,

在APP'中，PP'=S,AP=6,由勾股定理的逆定理得，.A"'是直角三角形,

SBPP,=^-BP-BP=^-x64=16^3,

SAPP.=g.AP.PP'=；x6x8=24,

,,Sf^p+SBPC=S四邊形AP協=SBPP,SAPP=16A+24.

故選：D.

8.如圖，在平面直角坐標系中，將△A3。繞點A順時針旋轉到△ASG的位置，點、B、。分別落在點B/、

。處，點5在x軸上，再將△A8/G繞點8/順時針旋轉到△48(2的位置，點C2在無軸上，將△A/SC2

繞點C2順時針旋轉到△A2&C2的位置，點4在x軸上，依次進行下去…，若點A(3,0),B(0,4),則

A.12120B.12128C.12132D.12125

【答案】C

【解析】解：：點A(3,0),B(0,4),：.OA=3,OB=4,AB=Sl+OB'=4學+4?=5，

：II：)

.OA+AB+BC2=3+5+4=12,.B2(12,4),B4(24,4),B6(36,4),B2?(12H,4

；2022+2=1011,/.1011x12=12132,

故選：c.

二.填空題(每小題2分，共16分)

9.如果拋物線丁=2f—4%+機的頂點關于原點對稱點的坐標是(一1,-3),那么根的值是一

【答案】5

【解析】:拋物線y=2N-4x+加的頂點關于原點對稱點的坐標是(-1,-3),

二?拋物線》=2/-4%+根的頂點坐標是(1,3),

4x2m-(-4)2

4^2

解得，根=5；

故答案為：5.

10.如圖，在平面直角坐標系中，點A(T,2),OC=4,將平行四邊形0ABe繞點。旋轉90。后，點8的對

【答案】(一2,3)或(2,-3)

【解析】解：VA(-1,2),OC=4,：.C(4,0),B(3,2),M(0,2),BM=3,

AB//無軸，BM=3.

將平行四邊形0A8C繞點0分別順時針、逆時針旋轉90。后，

由旋轉得：OM=OMI=OM2^2,ZAOAI^ZAOA2=90°

BM=BIM尸B2M2=3,軸，A2B2_Lx軸，

.??⑶和星的坐標分別為：(-2,3),(2,-3),

二》即是圖中的囪和史,坐標就是，B,(-2,3),(2,-3),

故答案為：(-2,3)或(2,-3).

11.如圖，△ABC中，ZABC=64°,將△ABC繞點8逆時針旋轉到△48。的位置，使得A￥〃8C,貝iJ/CBC

C

B

【答案】52

【解析】解：：AABC繞點A逆時針旋轉得到八BA'C,：.BA'=AB,：.ZBAA'=ZBA'A,

'：AA'HBC,：.ZA'AB=ZABC,

VZABC=64°,AZA'AB=64°,：.ZABA'=(180°-2x64°)=52°,

VZCBC'=ZABA',：.ZCBC=52°.

故答案為：52.

12.如圖，//3C的三個頂點都在方格紙的格點上，其中A點的坐標是(-1,0),現將/4BC繞A點逆時針

旋轉90。，再向右平移一個單位后點C的對應點C，的坐標是.

【答案】(-1,3)

【解析】//8C繞A點逆時針旋轉90。后的圖像如圖:

觀察圖象，可知C對應的點G坐標為(-2,3),

A(-2,3)再向右平移一個單位后點C的對應點。的坐標是(-1,3)

故答案是：(-1，3).

13.如圖，在中，ZAOB=90°,AO=3cm,3O=4cm,將一AQB繞頂點O,按順時針方向旋轉到4。⑸

處，此時線段。片與的交點。恰好為A3的中點，則線段瓦。的長度為.

5

%

d

【答案】1.5cm

【解析】?.,在AAOB中，ZAOB=90°,A0=3cm,BO=4cm,

.,.AB=do尺+OB°=5cm,/.OD=；A8=2.5cm,

?.,將AAOB繞頂點。，按順時針方向旋轉到44。氏處，；.02/=。2=431,

BiD:=OBi-OD=1.5cm.

故答案為：L5cm.

14.如圖，在尺公ABC中，ZACB=9Q°,ZCAB=30°,BC=4.將△ABC繞點C逆時針旋轉a度（0<aW180）,

得到△DEC,A,B的對應點分別為。，E.邊DC,分別交直線AB于EG,當△OEG是直角三角形

時，則80=

【答案】2有或-4

【解析】解：根據題意得：CD=AC,ZCDE=ZA=30°,

當/OEG=90。時，如圖：

,/ZACB=9Q°,ZCAB=30°,8C=4.AB=2BC=8,：.CD=AC=AB2-BC2=4A/3>

7^AABC=^ABCF=^ACBC,：.CF=AC^C=2^/3,：.DF=CD-CF=2y/3■,

當/DGP=90。時，如圖:

VZCDE=ZA=30°,/DGB=90。,：.ZDFG=60°=ZABC,.?.點8與點產重合，

/.BD=CD-BC=4布-4；

綜上所述，8。的長為2石或40-4.

故答案為：2出或46-4

15.如圖，在平面直角坐標系xQy中，ABC為等腰三角形，AC=AB=5,BC=8,點A與坐標原點重合，

點C在無軸正半軸上，將一ABC繞點C順時針旋轉一定的角度后得到A4C,使得點B對應點”在無軸上,

記為第一次旋轉，再將ABC繞點與順時針旋轉一定的角度后得到&B￡,使得點4對應點4在x軸上,

以此規(guī)律旋轉，則第2023次旋轉后鈍角頂點坐標為.

【解析】過點A作于點。，

,/AB=AC=5,BC=8,：.BD=CD=1BC=4,，AD=y/AB2-BD2=3，

由題意4(9,3),A(18,0),4(18,0),4(27,3),4(36,0),4(36,0),4(45,3),...,

每3次是一個循環(huán)組，2023+3=674-1,

二4儂在豎直方向的位置與A的位置相同，縱坐標為3,

.?.第2023次旋轉后鈍角頂點的橫坐標為674x18+9=12141,

第2023次旋轉后鈍角頂點坐標為(12141,3).

故答案為(12141,3)

16.如圖，在矩形ABC。中，AB=2拒,BC=6,點E是直線BC上的一個動點，連接。E,將線段。E繞著

點。順時針旋轉120。得到線段QG,連接AG,則線段AG的最小值為

AD

BE

【答案】6

【解析】解：如圖所示，將線段DC繞點。順時針旋轉120。得到線段。C',作直線GC'交AD于K,過點4

作AHLGC'于點風

NEDC=1200-ZEDC=NGDC：CD=CD,DE=DG,.-.ADCEWDCG(SAS)

ZGC'D=NC=90°=NKC'D,

如圖所示，當點E在直線BC上運動時，G在直線GC'上運動，即點G的運動軌跡是直線GC'.

當點G運動到X時，AG最小，最小值即為A8的長度.

NCDC'=120°,ZCDA=90°,/.NKDC'=30°,/.C'K=-DK,ZC'KD=60°=ZAKH

2

CD=CD=AB=2區(qū)：.C'K=2,DK=4

AD=BC=6,:.AK=AD-DK=2

在用AAJf中，ZAKH=&)°,：.KH=LAK=1,AH=6KH=6

2

則線段4G的最小值為⑺

故答案為：6

三.解答題（共60分）

17.（6分）如圖，在一ABC中，AB=BC,NCBA=60。，點E是BC上的一點，連接AE,將E4繞點E順時

針旋轉90。得到即，點。恰好在AC的延長線上，若CE=2,求AC的長.

【答案】A/3+I

【解析】解：如圖，過點E作ENLAC于點N,

\-AB^BC,ZCBA^6Q°,ABC是等邊三角形，：.ZBCA^6Q0,

'：EN±AC,：.ZENC=90°,ZCEN=90°-ZBCA=30°,

,:CE=2,:.CN=1,EN=JCE。-CN。=5

由題可知E4繞點E旋轉90。得到ED,：.二ADE是等腰直角三角形，

二ZA￡N=NEW=45。，:?AN=NE=BAC=AN+CN=y[3+1.

18.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1的正方形，ABC的頂點均在格點上，點

A,B,C的坐標分別為A（-3,T）,8（—2,-4）,C（-l,-2）.

（1）先將一ABC沿y軸正方向平移3個單位長度，再沿X軸負方向平移1個單位長度得到△44G，畫出

&月￡,點C坐標是；

(2)將用BC，繞點與逆時針旋轉90。，得到AB.Q,畫出旦G，點C?的坐標是

⑶我們發(fā)現點C,C?關于某點成中心對稱，對稱中心坐標是

【答案】⑴見解析，(-2,1)；⑵見解析,(-5,0)；(3)(-3-1)

【解析】(1)解：如圖，4G即為所求，G(-2,l)

(2)解：如圖，AA4G即為所求，點C?坐標為(-5,0)

故答案為：(-5,0)

(3)解：2),C2(―5,0),.?.二^=-3,三、=-1,.?.對稱中心坐標是(-3,-1),

故答案為：(-3,-1).

19.(8分)如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=N+2x與x軸的另一個交點為A,把該

拋物線在無軸及其下方的部分記作C/,將C/繞著點。旋轉180。，得到C2,C2與x軸交于另一點8.

(1)求拋物線C2的頂點E的坐標；

(2)將C2繞著點8旋轉180。得到C3,連接C/與C3的最低點，則陰影部分圖形的面積為

【答案】⑴(1,1);(2)4

【解析】⑴設拋物線產N+2x的頂點為G,

''y—^+lx—(x+1)2-1,G(-1,-1),

:將C/繞著點。旋轉180。，得到C2,...點G與點E關于原點。對稱，(1,1)；

(2)設C3的最低點為廠，

令y=0,則X2+2X=0,解得：x=0或x=-2,'.A(-2,0),

由題意：點A與點B關于原點。對稱，...B(2,0),

:將C2繞著點8旋轉180。得到C3,...點E與點尸關于原點。對稱，二尸(3,-1),

過點G作于點以過點尸作雁，2。于點K,過點￡作EML02于點如圖,

,：GH±OA,FK1BD,四邊形GH"為矩形.

VG(-1,-1),F(3,-1),：.HO=1,0K=3,：.HK=OH+OK=4,

根據旋轉不變性可得：S陰影部分=5矩形GHKF,

??S陰影部分=HK?HG=4xl=4,

故答案為：4.

20.(8分)問題：如圖(1),點E、尸分別在正方形ABC。的邊8C、CD上,ZEAF=45°,試判斷BE、EF、

陽之間的數量關系.

圖⑴圖⑵

(1)延長也＞到點G使。G=8E,連接AG,得到至AAOG,從而可以證明EF=8E+FD,請你利用圖(1)

證明上述結論.

(2)如圖(2),四邊形ABCD中，NBAD聲90°,AB=AD,ZB+ZD=180°,點￡、尸分別在邊2C、C。上,

則當NEAF與/BA。滿足數量關系時，仍有EF=BE+FD,并說明理由.

【答案】⑴見解析；(2)4AD=2ZE4F,理由見解析

【解析】(1)延長尸。到點G使0G=3E,連接AG.

如圖(1),在正方形A8CQ中，AB=AD,ZBAD=ZADC=ZB=90°,

AB=AD

在MBE和AADG中，＜/ABE=ZADG

BE=DG

:.^ABE^AADG(SAS)f/.ZBAE=ZGAD,AE=AGtAGAD+^DAF=ZBAE-^-ZDAF=45°

.\ZGAF=ZEAF=45°

GA=EA

在A4E尸和AAGF中，＜ZGAF=ZEAF

AF=AF

AAAEFAAGF,EF=GF=GD+DF=BE+DF

理由如下：如圖，延長CB至M,使BM=DF,連接AM,

ZABC+ZD=180°,ZABC+ZABM=180°,：.ZD=ZABM

AB=AD

在A/WM和AADb中，SZABM=ZD

BM=DF

/A4DF,AF=AM,ZDAF=ZBAM

NBAD=2NEAF,.?.ZDAF+ZBAE=ZBAM+ZBAE=ZEAF,:./FAF=7FAM

AF=AM

在AE4F和AEAM中，＜/EAF=NEAM

AE=AE

AEAF^A￡W,j.EF=EM=BE+BM=BE+DF,.\EF=BE+DF

21.(10分)如圖，一ABC中，AB=AC,NB4C=90。，點。、￡在5C邊上，ZDAE=45°,將一ACE繞點

A順時針旋轉90°得_ABF.

A

⑴求證：BF_LBC；

（2）連接。尸，求證：VADF^VADE；

（3）若即=3,CE=4,貝,四邊形AFDE的面積=.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）5；30

【解析】（1）證明：：將一ACE繞點A順時針旋轉90。得二尸，，/。=/的，

:在ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,：,ZABC=ZC=45°,

：./DBF=ZABC+ZABF=45°+45°=90°,二BF±BC.

（2）證明：\?將，ACE繞點A順時針旋轉90。得sABF,.?.AF=AE,ZBAF^ZCAE,

VZDAE=45°,ABAC=90°,：.ABAD+ZCAE=90°-45°=45°,

ZBAD+ZBAF=ZBAD+ZCAE=45°,ZDAF=ZDAE,

在，ADb和ADE中，

AF=AE

-ZDAF=NDAE,

AD=AD

：..ADF^ADE（SAS）.

（3）解：如圖，過點A作A”,3c于H,

?.,將ACE繞點A順時針旋轉90。得,ABR,BD=3,CE=4,：.BF=CE=4,

由（1）得，NDBF=90°,

在MVD3/中，DF=Y/BD2+BF2=V32+42=5-

由（2）得，7ADFAADE,:.DE=DF=5,SAADF=SAADE,：.BC=BD+DE+CE=3+5+4=12,

:在，ABC中，AB^AC,Z&4c=90。，AH±BC；:.BH=CH,

：.AH=^BC=6,四邊形AFDE1的面積:

s四邊形AEDE=S^ADF+S^ADE=2S=2x^xDExAH=DExAH=5x6=30.

故答案為：5；30.

22.(10分)△ABC和△OEC是等腰直角三角形,ZACB=ZDCE=90°AC^BC,CD=CE.

(1)【觀察猜想】當△ABC和△DEC按如圖1所示的位置擺放，連接B。、AE,延長8。交AE于點凡猜想

線段BD和AE有怎樣的數量關系和位置關系.

(2)【探究證明】如圖2,將AOCE繞著點C順時針旋轉一定角度tz(0°<a<90。)，線段2D和線段AE的數

量關系和位置關系是否仍然成立？如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由.

(3)【拓展應用】如圖3,在△AC。中，ZADC=45°,C￡)=0,AD=4,將AC繞著點C逆時針旋轉90。

至BC,連接BD,求的長.

【答案】（1）BD=AE,BD1AE-,（2）成立，理由見解析；（3）2指

【解析】（1）BD=AE,BD1AE,證明如下：

在△BCD和wACE中，

QZACB=ZDCE=90°,AC^BC,CD=CE,BCD=ACE,

BD=AE,ZCBD=ZCAE,

ZACB=90°,.，/CBD+/BDC=9伊,

ZBDC=ZADF,:.ZCAE^-ZADF=90°,.\BD±AE；

（2）成立，理由如下：

VZACB=ZDEC,:?ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,^ZBCD=ZACE,

在和中，

VAC=BC,/BCD=ZACE,CD=CE,:?&BCD'ACE,:?BD=AE,NCBD=/CAE,

,:ZBGC=ZAGF,:.ZCBD+ZBGC=NC4E+ZAGF,

VZACfi=90°,：./CBD+/BGC=90。，：.ZCAE+ZAGF=90°,：.ZAFB=90°,：.BD_LAE；

⑶

如圖，過點C作C"，CD,垂足為C,交AD于點”，

由旋轉性質可得：ZACB=9Q°,AC=BC,

■:CH1CD,：.ZDCH=90°,

VZADC+ZCHD=90°,且ZADC=45°,；.NCHD=45。,

：.ZCHD=ZADC,:.CD=CH=④,

在RNDCH中：DH=yJCD2+CH2=J（何+（何=2,

ZACB=ZDCH=90°,/.ZACB+ZACH=ZDCH+ZACH,§PZACD=Z.BCH,

在八48和二3CW中，

VAC=BC,ZACD=NBCH,CD=CH,:.△ACD^ABCH,

BH=AD=4,NCBH=NDAC,：.ZCBH+Z1=ZDAC+Z2,

VZACB=90°,；.NCBH+4=90。,AZDAC+Z2=90°,

：.ZBHA=90°,：.BH±AD,△BHD是直角三角形，

在&BD"中，BD=dBH、DH2="+2〉=26?

23.（10分）如圖，正方形ABC。和正方形CEPG（其中BZA2CE）,直線BG與DE交于點H.

(1)如圖1,當點G在C。上時，請直接寫出線段BG與。E的數量關系和位置關系;

(2)將正方形CEFG繞點C旋轉一周.

①如圖2,當點E在直線CO右側時，