人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（一）解析版

第11講點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（一）

（重點(diǎn)題型方法與技巧）

目錄

類型一：判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

類型二：有關(guān)三角形外接圓的計(jì)算和證明

類型三：確定圓的條件

類型一：判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

理解點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的“兩點(diǎn)”技巧：

（1）等價(jià)關(guān)系：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系O點(diǎn)到圓心的距離（①和半徑⑺的數(shù)量關(guān)系.

（2）數(shù)形結(jié)合：解決點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的捷徑是利用數(shù)形結(jié)合的方法，借助圖形進(jìn)行判斷.

典型例題

例題1.（2022?江蘇?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)有兩點(diǎn)P,O,。。的半徑為5,若PO=6,則點(diǎn)尸與。。的

位置關(guān)系是（）

A.圓內(nèi)B.圓上C.圓外D.圓上或圓外

【答案】C

【詳解】的半徑為5,PO=6,

點(diǎn)P到圓心O的距離大于半徑，

點(diǎn)P在。。的外部，

故選C.

點(diǎn)評(píng)：例題1考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離小于

半徑即可判斷點(diǎn)P在。o的內(nèi)部.

例題2.（2022?四川?渠縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期末）已知。。的半徑為3,點(diǎn)M在。。上，則OM的長(zhǎng)可

能是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】解：：點(diǎn)M在。。上，。。的半徑為3,

：.OM=3,

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：例題2考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，則d＞r；當(dāng)

點(diǎn)在圓上時(shí)，則（1=1'；當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，則d＜r.

例題3.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）已知。的半徑為5cm,點(diǎn)A在。內(nèi)，則。4的長(zhǎng)度可能是（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】A

【詳解】解：?.,點(diǎn)A為。。內(nèi)的一點(diǎn)，且。。的半徑為5cm,

線段OA的長(zhǎng)度＜5cm.

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：例題3考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系：點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi).

例題4.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為圓心，4為半徑作圓，點(diǎn)尸的坐

標(biāo)是（5,5）,則點(diǎn)尸與。。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)尸在。。上B.點(diǎn)尸在。。內(nèi)

C.點(diǎn)P在。。外D.點(diǎn)尸在上或在外

【答案】C

【詳解】解：???點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（5,5）,

OP=752+52=572-

而＜。的半徑為4,

尸等于大于圓的半徑，

.,.點(diǎn)尸在（。外.

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：例題4考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系.先計(jì)算出OP

的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法求解.

例題5.（2021?浙江紹興?九年級(jí)期中）已知。。的半徑為55i,點(diǎn)尸在。。外，則OP5cm（填〉或=,

＜）.

【答案】＞

【詳解】：。。的半徑為5?！?，點(diǎn)尸在。。外

OP>5cm

故答案為：>.

點(diǎn)評(píng):例題5考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)。。的半徑為「，點(diǎn)在。O外d>r；點(diǎn)在。O上，=r；

點(diǎn)在。O內(nèi)1<r.

例題6.（2022?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試）已知圓外點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的距離中，最大值是6,最小值是1,則這個(gè)

圓的半徑是.

【答案】2.5

【詳解】解：如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)M在圓外時(shí)，外點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的距離中，最大值可表示為MO+半徑，最小值可表示為MO-半徑，

點(diǎn)到圓上的最小距離MB=\,最大距離MA=6,

；.2半徑=6-1=5,

/.半徑r=2.5,

故答案為：2.5.

點(diǎn)評(píng)：例題6主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解決本題的關(guān)鍵.畫(huà)出圖形，根據(jù)點(diǎn)在

圓外時(shí)，點(diǎn)到圓周上點(diǎn)的最大距離最小距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離表示即可得到結(jié)論.

例題7.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）已知。。的半徑r=5cm,圓心。到直線/的距離d=O￡>=3cm,在

直線/上有P、0、R三點(diǎn)，且有P0=4cm,00>4cm,RD<4cm,P、0、R三點(diǎn)與。。位置關(guān)系各是怎

樣的？

【答案】PD=4cm,點(diǎn)尸在上.QD>4cm,點(diǎn)。在。。外.RD<4cm,點(diǎn)R在。。內(nèi).

【詳解】解：連接PO,QO,RO.

PD=4cm,OD=3cm,

P0=sjpD^OD2=V42+32=5=r-

...點(diǎn)尸在。。上.

QO=^QD2+OD2=^QD2+3>^42+32=5=r,

點(diǎn)。在。。外.

RO=y/RD2+OD2=JRD*乎<"2+3^=5=r，

...點(diǎn)/?在。。內(nèi).

點(diǎn)評(píng)：例題7主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知

點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

同類題型演練

1.（2019?山東濰坊?九年級(jí)期中）矩形ABCD中，AB=8,BC=6,如果（A是以點(diǎn)A為圓心，9為半徑的

圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點(diǎn)5、C均在，A外B.點(diǎn)6在（A外，點(diǎn)C在IA內(nèi)

C.點(diǎn)、B在A內(nèi)，點(diǎn)C在A外D.點(diǎn)8、C均在A內(nèi)

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)題意，繪制圖形如下,

連接AC,

;矩形ABC。，AB=8,BC=6,

R/AABC中，AC=y/AB2+BC2=782+62=10-

...點(diǎn)B在CA內(nèi)，點(diǎn)C在<A外,

故選：C.

2.（2022.廣東廣州.一模）A,B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3,4）,（-5,1）,以原點(diǎn)。為圓心，5為半徑作。O,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)A,點(diǎn)8都在。。上B.點(diǎn)A在。。上，點(diǎn)8在。。外

C.點(diǎn)A在。。內(nèi)，點(diǎn)3在。。上D.點(diǎn)A,點(diǎn)B都在。。外

【答案】B

【詳解】解：VOA=V32+42=5,

0B=^52+12=726>5,

.?.點(diǎn)A在。。上，點(diǎn)8在。。外.

故選：B.

3.（2022?江蘇江蘇?九年級(jí)期末）已知I。的半徑為4cm,點(diǎn)P在。上，則。尸的長(zhǎng)為（）

A.4cmB.5cmC.8cmD.10cm

【答案】A

【詳解】解：：⑷。的半徑為4cm,點(diǎn)尸在。。上，

OP=4cm.

故選：A.

4.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為5,點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為a,的半徑

為3,要使點(diǎn)B在。A內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.a<2B.a<8C.a>8D.2<a<8

【答案】D

【詳解】解：：0A的半徑為3,若點(diǎn)B在。A內(nèi)，

7點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為5,

.,.2<a<8,

故選：D.

5.（2022?浙江?九年級(jí)單元測(cè)試）已知。的半徑為5,點(diǎn)尸到圓心。的距離為d,如果點(diǎn)尸在圓內(nèi)，則d的

取值范圍為（）

A.d<5B.d=5C.d>5D.0?</<5

【答案】D

【詳解】解：?點(diǎn)P在圓內(nèi)，且C。的半徑為5,

/.0?d<5,

故選：D.

6.（2020?廣西南寧?九年級(jí)期末）已知O的半徑3cm,點(diǎn)尸在〔O內(nèi)廁。P3cm（填＞或=,＜）

【答案】＜

【詳解】解：，。的半徑為3的，

點(diǎn)尸在1。內(nèi)，

/.OP＜3cm.

故答案為:＜.

7.（2022?浙江.九年級(jí)單元測(cè)試）己知A為。。外一點(diǎn)，若點(diǎn)A到。。上的點(diǎn)的最短距離為2,最長(zhǎng)距離為

4,則OO的半徑為.

【答案】1

【詳解】解：如圖：

連接A。并延長(zhǎng)交圓。于點(diǎn)8,C兩點(diǎn)，點(diǎn)A到。。上的點(diǎn)的最短距離線段AB的長(zhǎng)，最長(zhǎng)距離為線段AC

的長(zhǎng)度.

設(shè)圓的半徑為r,則：BC=2r=AC-AB=4-2=2,

r—1.

故答案為：1.

8.（2022.全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知A為。上的一點(diǎn)，。的半徑為1,。所在的平面上另有一點(diǎn)P.

（1）如果叢=石，那么點(diǎn)尸與O有怎樣的位置關(guān)系？

（2）如果=那么點(diǎn)尸與。有怎樣的位置關(guān)系？

【答案】（1）點(diǎn)「在（。外；（2）點(diǎn)P可能在《。外，也可能在。內(nèi)，還可能在，。上，實(shí)際上，點(diǎn)尸位

于以A為圓心，以名為半徑的圓上.

【詳解】解：（1）■,PA=5。的直徑為2

???點(diǎn)P的位置只有一種情況在圓外，

即點(diǎn)P與。的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外.

（2）=:）O的直徑為2

，點(diǎn)P的位置有三種情況：①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi).

即點(diǎn)尸可能在<。外，也可能在內(nèi)，還可能在（。上，實(shí)際上，點(diǎn)P位于以4為圓心，以了為半徑的

圓上.

9.（2020?浙江?杭州市保俶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，已知△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

M為AB的中點(diǎn).

（1）以C為圓心，3為半徑作。C,則點(diǎn)A、B、M與。C的位置關(guān)系如何？

（2）若以C為圓心，作。C,使A、M兩點(diǎn)在。A內(nèi)且B點(diǎn)在。C外，求。C的半徑r的取值范圍.

【答案】（1）A在圓上，M在圓內(nèi)，B在圓外；（2）3<r<4

【詳解】解：（1）:?在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,AB的中點(diǎn)為點(diǎn)M,

,-.AB=732+42=5-CM=1-AB=|,

:以點(diǎn)C為圓心，3為半徑作。C,

；.AC=3,則A在圓上，CM=1<3,則M在圓內(nèi)，BC=4>3,則B在圓外；

（2）以C為圓心，作。C,使A、M兩點(diǎn)在。內(nèi)且B點(diǎn)在。C外，

3<r<4,

故OC的半徑r的取值范圍為：3<r<4.

類型二：有關(guān)三角形外接圓的計(jì)算和證明

典型例題

例題1.（2021?河北?九年級(jí)專題練習(xí)）邊長(zhǎng)為2的正三角形的外接圓的半徑是（）

A.2如B.2C.氈D.2

32

【答案】C

【詳解】解：如圖，等邊AABC中，三邊的垂直平分線交一點(diǎn)O,則。是△ABC外接圓的圓心,

答案：c.

點(diǎn)評(píng)：例題1考查等邊三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，三角形外接圓.掌握等邊三角形三線

合一以及其交點(diǎn)即為該等邊三角形外接圓的圓心是解答本題的關(guān)鍵.由等邊三角形三線合一可知，其交點(diǎn)

即為△ABC外接圓的圓心O,即可推出NOBC=NOCB=30。，BF=CF=1BC=1,再由含30。角的直角

三角形的性質(zhì)，即可求出OB長(zhǎng).

例題2.(2022?廣東珠海?九年級(jí)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3),點(diǎn)3(2,1),點(diǎn)C

(2,-3).則經(jīng)畫(huà)圖操作可知：△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)是()

【答案】A

【詳解】解：:△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),

如圖所示：EF與的交點(diǎn)。，即為所求的△ABC的外心，

.'.△ABC的外心坐標(biāo)是(-2,-1).

故選：A

I-------1ri-------1

點(diǎn)評(píng)：例題2考查了三角形外心的知識(shí).注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn).解此題的

關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.首先由AABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以在平面直角坐

標(biāo)系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為△ABC的外心.

例題3.（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一ABC是。的內(nèi)接三角形.若乙鉆C=45。，=0,則。

的半徑是.

【答案】1

【詳解】解：連接。4、OC,

ZABC=45。，

:.ZAOC=2ZABC=90°,

OA2+OC2=AC2,即2OA2=2,

解得：OA=1,

故答案為：1.

點(diǎn)評(píng)：例題3考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵.連接OA、OC,

根據(jù)圓周角定理得到NAOC=90。，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

例題4.（2022?湖南?長(zhǎng)沙市北雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：在△ABC中，AB=AC,—A<90?.

A

⑴找到△ABC的外心，畫(huà)出ZVIBC的外接圓（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)過(guò)程）

⑵若A4BC的外接圓的圓心。到5c邊的距離為8,BC=12,請(qǐng)求出。。的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵100萬(wàn)

【詳解】（1）解：如圖0。即為所求.

①分別以點(diǎn)6,點(diǎn)C為圓心，大于ggc的長(zhǎng)為半徑，畫(huà)弧，作出線段8C的中垂線；

②同理作出線段AB的中垂線；

③兩條中垂線的交點(diǎn)。為圓心，Q4為半徑畫(huà)圓，即為所求.

（2）解：如圖，連接03,由題意得:OD=8,

,：AB=AC,ADIBC,

BD=—BC=6,

2

OB=y/BD2+OD2=A/82+62=10，

，圓。的面積為：萬(wàn)產(chǎn)=1007.

點(diǎn)評(píng)：例題4考查畫(huà)三角形的外接圓，以及垂徑定理求半徑.熟練掌握外心的定義和等腰三角形的判定與

性質(zhì)，以及垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

（1）分別作線段BC和線段AB的中垂線，中垂線的交點(diǎn)即為△ABC的外心O,以O(shè)為圓心，Q4為半徑畫(huà)

出△ABC的外接圓即可；

（2）如圖，連接。8,利用垂徑定理求出半徑，即可求出?O的面積.

同類題型演練

1.（2022?廣東?佛山市華英學(xué)校三模）如圖，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)為（）

A.(5,2)B.(2,4)C.(3,3)D.(4,3)

【答案】A

【詳解】解：根據(jù)▲ABC的外接圓的定義，作A3和的垂直平分線相交于點(diǎn)P,

二點(diǎn)尸（5,2）,

故選：A.

2.（2021?廣東?廣州市實(shí)驗(yàn)外語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）三角形的三邊長(zhǎng)為6,8,10,那么此三角形的外接圓

的半徑長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】解：；62+82=102,

...三角形為直角三角形，

:直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，斜邊為直角三角形中最長(zhǎng)邊，

，三角形外接圓的半徑=gxl0=5,

..?三角形外接圓的半徑等于5.

故選：D.

3.（2022.全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,-3）,B（2,-l）,C（2,3）.則△ABC的

外心坐標(biāo)為（）

A.（0,0）B.（T1）C.（―2,-1）D.（—2,1）

【答案】D

【詳解】解：點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,C點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）,

直線BC〃y軸，

/.直線BC的垂直平分線為直線y=l,

..?外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，

.?.△ABC外心的縱坐標(biāo)為1,

設(shè)△ABC的外心為尸（a,1）,

：.PA2=a2+（l+3）2=a2+16=PB2=（a-2）2+（1+1）2=a2-4a+8,

??a2+16=—4a+8，

解得a=-2,

.?.△ABC外心的坐標(biāo)為（-2,1）,

故選D.

4.（2022?江蘇?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4,第三邊的長(zhǎng)是方程V-12尤+35=0的根，則該三

角形外接圓的半徑為.

【答案】|

【詳解】解：x"12x+35=0,

（x-5）（x-7）=0,

解得=5,x2=7,

當(dāng)x=7時(shí)，3+4=7不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)x=5時(shí)，32+42=25=52,

這個(gè)三角形是斜邊為5的直角三角形，

該三角形外接圓的半徑為g,

故答案為：g.

5.（2022?重慶渝中?二模）如圖，菱形A5CD中，AB=2,DELBC于點(diǎn)、E,尸為以＞的中點(diǎn)，連接AE,AF,

EF.若4EE=9O。，則..A￡F的外接圓半徑為.

I+A/3

【答案】

2

【詳解】???菱形ABCD

ADHBC,AD=BC=CD=2

'：DELBC

：.DE±AD

?/ZAFE=90°

...一AEF的外接圓的圓心為4E中點(diǎn)。

如圖：

VDELAD,即NADE=90。

...點(diǎn)。在，：。上

DEYBC

EF^-CD=\

2

AD2+DE2=AF2+EF2=AE2

4+DE2^AF2+1=AE2

DE2=AE2-4-AF2=AE2-1

AE2=4+。￡2

AE2>4

；NEAF=/CDE,ZAFE=ZCED=90°

：.AAFEs^DEC

,AFAEAFAE

??一，艮HInJ-

DECDDE2

.AF2AE1

"DE?-4

.AE2-!AE2

"AE2-4~^~

設(shè)AE2=m

.m-1m

m-44

**?m=2^3+4m=—2^/3+4（舍去）

經(jīng)檢驗(yàn)，加=2石+4是原方程的解

AE?=2石+4=（1+可

，AE=l+g或AE=-1-g（舍去）

_AEF的外接圓半徑=14￡=￥衛(wèi)

22

故答案為：巨史.

2

6.（2021?福建省永春崇賢中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知△A8C為等腰三角形，ADLBC-,

(1)尺規(guī)作圖：作AABC的外接圓。。(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法);

(2)若底邊3C=6,腰AB=5,求AABC外接圓。。的半徑.

【答案】(1)見(jiàn)解析

【詳解】(1)解：如圖所示:

如圖；。是所求作的AABC的外接圓.

(2)解：如圖：???AABC是等腰三角形，底邊3c=6,腰筋=5,

/.OALBC,BD=CD=-BC=3

2

.,.在RfAABD中，AD=>]AB2-BD1=752-32=4.

在R/ABO。中，/=32+(—4/

.25

7.(2020?江蘇?沐陽(yáng)縣懷文中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)、B(4,4)、C(6,

2).

(1)在圖中畫(huà)出經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的位置；

(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為；?！钡陌霃綖?；

(3)點(diǎn)。(5,-2)與。M的位置關(guān)系是點(diǎn)。在。M；

(4)若畫(huà)出該圓弧所在圓，則在整個(gè)平面直角坐標(biāo)系網(wǎng)格中該圓共經(jīng)過(guò)個(gè)格點(diǎn).

(2)M(2,0),MA=722+42=2A/5.

故答案為：(2,。)，275.

(3)點(diǎn)。(5-2)在。M內(nèi)部.

故答案為：內(nèi)部.

(4)如圖，滿足條件的點(diǎn)有8個(gè).

故答案為：8.

類型三：確定圓的條件

典型例題

例題1.(2022?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試)小王不慎把一面圓形鏡子打碎了，其中三塊如圖所示，三塊碎片中

最有可能配到與原來(lái)一樣大小的圓形鏡子的碎片是()

A.①B.②C.③D.都不能

【答案】B

【詳解】解：第②塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，

進(jìn)而可得到半徑的長(zhǎng).

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：例題1考查了垂徑定理的應(yīng)用，確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分

線的交點(diǎn)即為該圓的圓心.要確定圓的大小需知道其半徑.根據(jù)垂徑定理知第②塊可確定半徑的大小.

例題2.（2021?北京?九年級(jí)期中）有下列四個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓；

（2）任意一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)外接圓；

（3）三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；

（4）在圓中，平分弦的直徑一定垂直于這條弦；

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【詳解】（1）經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓，故本說(shuō)法錯(cuò)誤；

（2）任意一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)外接圓，本說(shuō)法正確；

（3）三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，本說(shuō)法正確；

（4）在圓中，平分弦（不是直徑）的直徑一定垂直于這條弦，故本說(shuō)法錯(cuò)誤；

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：例題2考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假

關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.根據(jù)確定圓的條件、三角形的外心的概念、垂徑定理的推論判斷即可.

例題3.（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)，那么

這條圓弧所在圓的圓心是（）

A.點(diǎn)尸B.點(diǎn)。C.點(diǎn)RD.點(diǎn)M

【答案】B

【詳解】解：作的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，

它們都經(jīng)過(guò)Q,所以點(diǎn)。為這條圓弧所在圓的圓心.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：例題3考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心.這也常用來(lái)確定圓心的方法.根據(jù)垂徑

定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，分別作AB,BC的垂直平分線即可得到答案.

例題4.(2021?江蘇宿遷?九年級(jí)階段練習(xí))已知直線/：y=x+4,點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)、B(2,0),設(shè)點(diǎn)尸為直

線,上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P的坐標(biāo)為..時(shí)，過(guò)尸，A,5三點(diǎn)不能作出一個(gè)圓.

【答案】(T,3)

【詳解】解：設(shè)直線A3的解析式為廣日+b,

?.2(0,2),點(diǎn)8(2,0),

k=-l

解得

b=2

/?y=—x+2.

y=-x+2

解方程組

y=x+4

當(dāng)尸的坐標(biāo)為(-1,3)時(shí)，過(guò)尸，A,B三點(diǎn)不能作出一個(gè)圓.

故答案為(T,3).

點(diǎn)評(píng)：例題4考查確定圓的條件和一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握確定圓的條件和一次函數(shù)的性質(zhì).由

而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫(huà)一個(gè)圓可知，當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)P,A,B三點(diǎn)不能作出一個(gè)圓.為

此，先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再與y=x-4聯(lián)立，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為所求.

例題5.(2021?河南南陽(yáng)?九年級(jí)期末)如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格的交點(diǎn)A,

B,C,請(qǐng)完成下列填空:

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）的方法作出該弧所在圓心。點(diǎn)的位置;

（2）并寫(xiě)出圓心。坐標(biāo)是,。的半徑是:

⑶求弧AC的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）（2,0）,2^/5

⑶君乃

【詳解】⑴解：如圖所示，點(diǎn)。即為所求；

（2）解：由（1）可知點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,0）,

AD=y/OA'+OD2=275-

故答案為：（2,0）,2A/5；

（3）解：如圖所示，連接A。，CD,

AD=CD=2如,AC=5/（6-0）2+（2-4）2=2710，

/.AD2+CD2=AC2,

：.ZADC=90°,

90x;rx2占

AC=----------------=小兀.

180

點(diǎn)評(píng)：例題5主要考查了坐標(biāo)與圖形，找圓心，勾股定理與勾股定理的逆定理，求弧長(zhǎng)，正確找到圓心的

位置是解題的關(guān)鍵.

（1）只需要作AB,BC的垂直平分線，兩者的交點(diǎn)即為點(diǎn)D；

（2）根據(jù)（1）所作即可得到答案；

（3）先利用勾股定理的逆定理證明NADC=90。，然后利用弧長(zhǎng)公式求解即可.

同類題型演練

1.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與

原來(lái)大小一樣的圓形鏡子（）

A.第一塊B.第二塊D.第四塊

【答案】A

【詳解】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心.

故選：A.

2.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法：①平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的??；②在等圓中，如果弦

相等，那么它們所對(duì)的弧也相等；③等弧所對(duì)的圓心角相等；④過(guò)三點(diǎn)可以畫(huà)一個(gè)圓；⑤圓是軸對(duì)稱圖形，

任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；⑥三角形的外心到三角形的三邊距離相等.正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【詳解】解：當(dāng)被平分的這條弦是直徑時(shí)，平分弦的直徑，不平分這條弦所對(duì)的??；故①不符合題意；

在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也不一定相等；因?yàn)閳A當(dāng)中任意一條弦都與兩條弧相對(duì)，故②

不符合題意；

等弧所對(duì)的圓心角相等；正確，故③符合題意；

過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫(huà)一個(gè)圓；故④不符合題意；

圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸；故⑤不符合題意；

三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.故⑥不符合題意；

故選A

3.（2020?浙江?余姚市蘭江中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度,

點(diǎn)O,A,B,C在格點(diǎn)上，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（）

y

r-i-T-i--i---------r-r-r-i

A.(11,~2)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(2,1)

【答案】A

【詳解】連接CB,作CB的垂直平分線，如圖所示:

在CB的垂直平分線上找到一點(diǎn)D,

CD=DB=DA=Vl2+32=710，

所以D是過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心，

即D的坐標(biāo)為(-1,-2),

故選：A.

4.(2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))當(dāng)點(diǎn)A(1,2),B(3,-3),C(5,w)三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，則“需要

滿足的條件為

【答案1-8

【詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為y=fcv+b,

VA(1,2),B(3,-3),

Jk+b=2

"[3k+b=-3'

解得：k=_：5,b=9

22

直線AB的解析式為y=-|5x+9|,

7點(diǎn)A(1,2),B(3,-3),C(5,n)三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓時(shí)，

...點(diǎn)C不在直線上，

5Q

當(dāng)點(diǎn)C在直線A2上時(shí)，n=--x5+-=-8,

22

當(dāng)點(diǎn)A（1,2）,B（3,-3）,C（5,力）三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，則w需要滿足的條件為“r-8,

故答案為：-8.

5.（2021.江蘇?沐陽(yáng)縣懷文中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）己知直線l:y=x-4,點(diǎn)A（0,2）,點(diǎn)B（2,0）,設(shè)點(diǎn)P為直線1

上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P的坐標(biāo)為.時(shí)，過(guò)P,A,B三點(diǎn)不能作出一個(gè)圓.

【答案】（3,-1）

【詳解】設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

：A(0,2),點(diǎn)B(2,0),

k=-l

解得

b=2

.*.y=—x+2.

二y=一-x+2，得x=3

解方程組4

.y=-i'

...當(dāng)P的坐標(biāo)為（3,-1）時(shí)，過(guò)P,A,B三點(diǎn)不能作出一個(gè)圓.故答案為（3,-1）.

6.（2021?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A,8和直線/,作一個(gè)圓，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)8,并且圓心在直線

/上.

(1)當(dāng)直線/與直線AB不垂直時(shí)，可作幾個(gè)圓？

(2)當(dāng)直線/與直線垂直但不經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)時(shí)，可作幾個(gè)圓？

(3)當(dāng)直線/是線段的垂直平分線時(shí)，可作幾個(gè)圓？

【答案】（1）1個(gè)；（2）。個(gè)；（3）無(wú)數(shù)個(gè).