甘肅省臨夏市2025年高三數(shù)學(xué)第三次模擬考試試題（含解析）

甘肅省臨夏市2025年高三數(shù)學(xué)試題第三次模擬考試試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)/（x）二在［-2乃,2捫的圖象大致為

cosx-x

2.已知數(shù)列｛為｝對(duì)任意的〃eN*有％=%-￡^+1成立，若q=L則％。等于（）

10191111122

A.-----B.—C.----D.-----

10101111

3.已知函數(shù)/（x）=g依2_（x—若對(duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)和9、七，都有/（石）+/（%）2/（不），

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[1,2]［則C.[14]D.[1,2)3%4]

4.已知集合4=任￡可匕＜8口，B={2,3,6},C={2,3,7},則3D(?C)=()

A.{2,3,4,5}B.{2,3,4,5,6}

C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,4,5,6,7)

5-已知函數(shù)/⑴二嬴二,則函數(shù)y=1）的圖象大致為（）

6.三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)

以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃

色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用2義勾義股+（股-勾）2=4x朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)，化簡(jiǎn)，得勾2+股2=弦2.設(shè)勾股形

中勾股比為1:8,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）

C.300D.500

7.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以歹為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2\MF\,

則直線OM的斜率的最大值為（）

A.立B.-C.—D.1

332

22

8.已知6、E是雙曲線=-==1（。>0,6>0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)居與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一

ab

條漸近線于點(diǎn)若點(diǎn)“在以線段￡月為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.(2,+oo)B.(62)C.(6,6)D.(1,72)

9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是（）

10.已知加，”是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是()

A.若加||。，m||/?,n//a,n///3,則e||月

B.若加〃”，m±cr,nVp,則

C.若加J_〃，mua,nu0,則tz_L〃

D.若加_L”，m\\a,nVf3,則。_L￡

11.設(shè)集合A={%—2<x<a},B={0,2,4},若集合8中有且僅有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

A.(0,2)B.(2,4]

C.[4,^?)D.(-oo,0)

12.設(shè)集合4、B是全集U的兩個(gè)子集，貝！|“A=3”是“Afi18=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/(x)=Jlogo.5(4x-3)的定義域是.

14.已知a是第二象限角，且sina=乎，tan(cr+/7)=-2,貝!!tan￡=—.

77"77"JT

15.已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+9),對(duì)于任意x都有/(—+x)=/(——x),則/(一)的值為_(kāi)___________.

666

16.已知角a+f的終邊過(guò)點(diǎn)P(—1,—20),貝！Isine=.

6

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZADC=60°,為等邊三角形,

平面從D_L平面ABC。，M,N分別是線段尸。和5c的中點(diǎn).

(1)求直線CM與平面BL5所成角的正弦值;

(2)求二面角D-AP-B的余弦值；

(3)試判斷直線MN與平面如5的位置關(guān)系，并給出證明.

18.(12分)如圖，在斜三棱柱A3C—4與G中，側(cè)面ACGA與側(cè)面成用C都是菱形，ZACC^ZCC^=60。，

AC=2.

(I)求證：ABX±CQ；

(n)若做=逐，求平面CAB,與平面AyAB,所成的銳二面角的余弦值.

einY

19.(12分)已知函數(shù)/(%)=----，0<x<7i.

X

TT

(1)求函數(shù)/(x)在X=g處的切線方程；

2

TT

(2)當(dāng)0(相v不時(shí)，證明：/(%)vain九十—對(duì)任意1￡(0,?)恒成立.

%

2

20.(12分)已知〃>0,函數(shù)=+

(I)若/(尤)在區(qū)間||,+，|上單調(diào)遞增，求a的值；

(II)若aeZ〃尤)>0恒成立，求。的最大值.(參考數(shù)據(jù)：e'i.6)

21.(12分)從拋物線C：x2^2py(。>0)外一點(diǎn)作該拋物線的兩條切線”1、PB(切點(diǎn)分別為A、B),分別與x

軸相交于C、D,若與y軸相交于點(diǎn)。，點(diǎn)/(/,2)在拋物線C上，且司=3(尸為拋物線的焦點(diǎn)).

(1)求拋物線C的方程；

(2)①求證：四邊形PCQ。是平行四邊形.

②四邊形PCQD能否為矩形？若能，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=|x-a?|+1x-2a+31,g(x)=X?+辦+3.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，解關(guān)于x的不等式/(x)<6；

(2)若對(duì)任意玉eR,都存在々eR,使得不等式/a)>g(%)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

因?yàn)?(。)=1,所以排除C、D.當(dāng)X從負(fù)方向趨近于。時(shí)，OVCOSX+XVCOSAX,可得。</(%)<1.故選A.

2.B

【解析】

觀察已知條件,對(duì)—「Ziy+i進(jìn)行化簡(jiǎn)，運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果?

【詳解】

已知%?一高+1，則%+「%=一舟一￡)+i=i一4一+),所以有的一q=1一(；一1，

%o-%=1—(§-布)，兩邊同時(shí)相加得4o=9一(1-伍)，又因?yàn)椋?1,所以％0=1+9—(1—元)=5.

故選：B

本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值，運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法，遇到形如一時(shí)就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，需要掌握

n(n+1)

數(shù)列中的方法，并能熟練運(yùn)用對(duì)應(yīng)方法求解.

3.C

【解析】

分析：先求導(dǎo)，再對(duì)a分類(lèi)討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫(huà)圖分析轉(zhuǎn)化對(duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)占、/、W，都有

/(^)+/(%2)>/(%3),得到關(guān)于a的不等式組，再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.

詳解：由題得九一［/+(九一1)力=。九一%e'=x{a-ex).

當(dāng)a<l時(shí)，/'(x)<。，所以函數(shù)f(x)在［0,1］單調(diào)遞減，

因?yàn)閷?duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)占、工2、%3，都有/(玉)+/(42)27(%3)，

所以/(1)+/(1)2/(0),

所以一ClH--

22

故哈1,與aVl矛盾，故aVl矛盾.

當(dāng)Igave時(shí)，函數(shù)f(x)在［O,lna］單調(diào)遞增，在(Ina,1］單調(diào)遞減.

12

所以/(九)儂=/(Intz)=—tzlna-aVaa+a.

因?yàn)閷?duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)占、工2、%3，都有/(石)+/(%2)2/(%3)，

所以〃。)+/⑴2/(lna),

112

所以1H—a2—aIna—QInQ+Q,

22

121

即一ciIna—aInciH—a—1<0

22

121

令g(a)=5〃lna-a］na+—a-l,(l<a<e),

所以g'(a)=g(ln2a—l)<0,

所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減，

所以g(a)max=g(D=J<0，

所以當(dāng)Ka<e時(shí)，滿足題意.

當(dāng)a?e時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

因?yàn)閷?duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)占、％、%，都有/(石)+/(%"/(%3)，

所以/(0)+/(。)2/⑴，

e、1

故1+12—a,

2

所以〃<4.

故e<〃<4.

綜上所述，ae［1,4］.

故選C.

點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于“對(duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)和馬、七，都有七)”的轉(zhuǎn)化?由于是函數(shù)的問(wèn)

題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值、極值等)來(lái)分析解答問(wèn)題.本題就

是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來(lái)，完成了數(shù)學(xué)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，找到了問(wèn)題的突破口.

4.C

【解析】

根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集的概念，可得結(jié)果.

【詳解】

集合A={xeN|N<8x}={xeN|0<x<8},

所以集合4={1,2,3,4,5,6,7)

B=［2,3,6},C={2,3,7),

故與。={1,4,5,6),

所以6u(aC)={l,2,3,4,5,6}.

故選：C.

本題考查的是集合并集，補(bǔ)集的概念，屬基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

用排除法，通過(guò)函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(x—1)=———,由于］］〉0,排除8選項(xiàng)；由于g(e)=二？-,g(e2)==所以

In%-%+1In—+—2-ev'3-e

22

g(e)>g(e?),排除C選項(xiàng)；由于當(dāng)xf48時(shí)，g(x)>0,排除￡>選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.

故選：A

本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.

6.A

【解析】

分析：設(shè)三角形的直角邊分別為1,g,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.

解析：設(shè)三角形的直角邊分別為1,色，則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為(百-=4-2』.

???圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為上馬8=2泊.

42

???落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為1000x"5土134.

2

故選：A.

點(diǎn)睛：應(yīng)用幾何概型求概率的方法

建立相應(yīng)的幾何概型，將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量.

(1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可；

(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來(lái)描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的基本事件，然后利用平面直角

坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；

(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件，利用空間直角坐

標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.

7.C

【解析】

試題分析：設(shè)尸(獸,為)，由題意/(3,0)，顯然為<0時(shí)不符合題意，故為>0,則

2p2

OM=OF+FM=OF+^FP=OF+^(OP-OF)=^OP+^OF=+可得：

AL

,32,20L

k°M=#p=%2P邛F，當(dāng)且僅當(dāng)為一=20,為=3。時(shí)取等號(hào)，故選C.

6p3P%

考點(diǎn)：L拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2.均值不等式.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程，均值不等式的靈活運(yùn)用，屬于中檔

2

題.解題時(shí)一定要注意分析條件，根據(jù)條件=利用向量的運(yùn)算可知寫(xiě)出直線的斜率,

注意均值不等式的使用，特別是要分析等號(hào)是否成立，否則易出問(wèn)題.

8.A

【解析】

Y2-V2b

雙曲線二-4=1的漸近線方程為廣土一x,

aba

b

不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)Fi與雙曲線的一條漸過(guò)線平行的直線方程為y=—(x-c),

a

hche

與y=-聯(lián)立，可得交點(diǎn)M(-,--

a22a

?..點(diǎn)M在以線段FiFi為直徑的圓外，

2>22

.,.|OM|>|OFi|,即有

44a-

/

A—>3,即N>3ai,

a

；.ci-ai>3a1即c>la.

則e=—>1.

a

...雙曲線離心率的取值范圍是（1,+oo）.

故選：A.

點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,

c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的

坐標(biāo)的范圍等.

9.A

【解析】

首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為25=32個(gè)，再利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求

出重復(fù)數(shù)量，可得事件的樣本點(diǎn)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】

樣本空間樣本點(diǎn)為25=32個(gè)，

具體分析如下：

記正面向上為1,反面向上為0,三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”，

有以下3種位置1___1.

剩下2個(gè)空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是2x2=4，

但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù)，重復(fù)數(shù)量為2+2=4,

事件的樣本點(diǎn)數(shù)為：4+4+4-2—2=8個(gè).

Q1

故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，—

324

故選：A

本題考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題

10.B

【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】

A選項(xiàng)，若m\\j3,n//a，n///3,則a||/或c與夕相交；故A錯(cuò)；

B選項(xiàng)，去mJ/n,m.La,則〃_La,又n工B，&，￡是兩個(gè)不重合的平面，則1||夕，故B正確；

C選項(xiàng)，若mua,則〃ua或〃〃&或〃與a相交，又〃u〃，a,〃是兩個(gè)不重合的平面，則或a

與夕相交；故C錯(cuò)；

D選項(xiàng)，若相m\\a,則〃ua或“〃o或“與a相交，又n工廿,名"是兩個(gè)不重合的平面，則a||尸或c與

夕相交；故D錯(cuò)；

故選B

本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題，熟記線線、線面位置關(guān)系，即可求解，屬于常考題型.

11.B

【解析】

由題意知{0,2}1A且4eA,結(jié)合數(shù)軸即可求得a的取值范圍.

【詳解】

由題意知,AP|B={0,2},則{0,2}口A,故a>2,

又則aW4,所以2<aW4,

所以本題答案為B.

本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算，以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問(wèn)題，其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

題.

12.C

【解析】

作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，即可得出結(jié)論.

【詳解】

如圖所示，An^B=0,

同時(shí)Acg3=0nA0B.

故選:C.

本題考查集合關(guān)系及充要條件，注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由于偶次根式中被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)要大于零，然后解不等式組可得答案.

【詳解】

解：由題意得，

x<1

log05(4x-3)>0解得13,

4尤一3>0X>一

[4

3

所以巳＜x〈l,

4

故答案為：

此題考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.

3

14.——

4

【解析】

由a是第二象限角，且sin(z=^^，

可得tana,由tan(。+#=-2及兩角和的正切公式可得tan￡的值.

5

【詳解】

解：由戊是第二象限角，JLsina,可得cosa=-26，tancr=--,

552

由tan(c+/?)=—2,可得Jana+tan°=_2,代入tan。=一!，

''1—tanaxtan尸2

3

可得tan'=一一，

4

...3

故答案為：-：.

4

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式，相對(duì)不難，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

15.-2或2

【解析】

由條件得到函數(shù)的對(duì)稱性，從而得到結(jié)果

【詳解】

JI

.??X=一是函數(shù)f(x)=2sin(cox+cp)的一條對(duì)稱軸.

本題考查了正弦型三角函數(shù)的對(duì)稱性，注意對(duì)稱軸必過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

16.1-2而

6

【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得初”5訶9+2)-白的值.

66

【詳解】

解：?角。H—的終邊過(guò)點(diǎn)尸(-1,-2,

6

..71(7t\.712A/2百/11—2巫

..sina=sma-\—=sina-\——cos----cosa-\—sin—=----------------——?一二----------------,

LI6)6]I6；6I6；632I3)26

故答案為：上!諉.

o

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)叵(2)-且(3)直線MV//平面R43,證明見(jiàn)解析

105

【解析】

取AO中點(diǎn)。，連接。C,則OCLAD,再由已知證明。尸，平面ABCD,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C,OD,OP

所在直線為x,V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面？的一個(gè)法向量為.

(1)求出血的坐標(biāo)，由:與血所成角的余弦值可得直線CM與平面R鉆所成角的正弦值；

(2)求出平面上4。的一個(gè)法向量，再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角O-AP-3的余弦值；

(3)求出血的坐標(biāo)，由二血=o，結(jié)合平面B43，可得直線MN//平面？A3.

【詳解】

???底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZADC=6Q°,

.?.AAC。為等邊三角形.

取AD中點(diǎn)。，連接。C,則OCLA。，

?.?AZW)為等邊三角形，

:.OP±AD,

又平面平面ABCD，且平面PA。。平面A5CD=M＞，

:.OP_L平面ABCD.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C,OD,OP所在直線為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則4(0,-1，0),0(0,1,0),C(A/3,0,0),B電,-2,0),P(0,0,亞,

M(0,g,與,N(G-1，0).

AP=(0,1,73)-AB=(A-l,0)'設(shè)平面E4B的一個(gè)法向量為：=(x,y,z)?

n-AP=y+y/3z=0.

咋,=A-y=?！∈盏谩摹?/p>

(1)證明：設(shè)直線CM與平面R45所成角為。，

國(guó)=(一唱,當(dāng)，

則sin6*=|cos<n,CM>1=1=，_=巫,

\n\-\CM\45x210

即直線CM與平面PAB所成角的正弦值為叵；

10

(2)設(shè)平面Z14P的一個(gè)法向量為2=(1,0,0)，

,——n-m1&

由cos<n,m>=-tl=—=—=一

\n\-\m\布xl5

得二面角。—AP—3的余弦值為一正;

5

(3)?.?加=(退曰)，

.?二加=百一孚+*o,

又MVa平面B43，

二直線MV//平面R43.

本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.（I）見(jiàn)解析；（II）叵.

5

【解析】

試題分析：（1）取CG中點(diǎn)。，連Q4,0B],由等邊三角形三邊合一可知CG，04,eq±0B,即證.（2）以。月,

0G，04為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可求得平面CA5]與平面A】AB1所成的銳二面角的余弦值.

試題解析：（I）證明：連AG，CBX,則△ACC；和小片。。1皆為正三角形.

取CG中點(diǎn)。，連。4,0B},則CG，0A，Cq±OB,

則CG1平面0A3],則eq1ABl

（II）由（I）知，OA=OBl=73,又AB]=底,所以。.

如圖所示，分別以。與，。。1,Q4為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,—1,0),4("0,0),A(0,0,A/3),

設(shè)平面CAB｝的法向量為沉=(%,X,Z]),

因?yàn)楦?(G,0,—⑹，AC=(0,-1,-A/3),

取沅=（1,一也,1）

面的用的法向量取n=（1,0,1）,

fh-n2_Vio

貝Ucos(沅，而)

阿■阿A/55

平面CAB1與平面AA與所成的銳二面角的余弦值巫.

5

44

19.(1)y=--yx+—(2)見(jiàn)解析

n7i

【解析】

xcosx-sinx

(1)因?yàn)?'O)=,即可求得答案;

(2)要證/(x)<mlnx-\—對(duì)任意工￡(。,萬(wàn))恒成立，即證〃ixlnx>sinx—萬(wàn)對(duì)任意無(wú)￡(0,萬(wàn))恒成立.設(shè)

x

g(x)=mxlnx,h(x)=smx-7r,當(dāng)％￡(0,乃)時(shí)，/z(x)=sin%-?￡(-?,l-?］,即可求得答案.

【詳解】

「，/、xcosx-sinx

(1)???/(%)=-------2------，

x乙

TT44

???函數(shù)"%)在尤=￡處的切線方程為丁=一一x+-.

271r71

JT

(2)要證/(尤)<Mln九+—對(duì)任意］￡(0,1)恒成立.

x

即證〃trlnx>sinx—4對(duì)任意x￡(0,萬(wàn))恒成立.

^g(x)=nvclnx,h(x)=sinx-7r,

當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，h(x)=sin%一萬(wàn)￡(一萬(wàn),1一句，

*/g'(%)=m(lnx+l),

?.?令g'(%)=。，解得x=，,

e

二當(dāng)0<x<:時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減;

當(dāng)!<x<"時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在［g,萬(wàn)］上單調(diào)遞增.

???VmG(0,71),——>1-71,

e

二當(dāng)0vmv萬(wàn)時(shí)，mxln%>sin%?對(duì)任意尤￡(。，乃)恒成立，

JT

即當(dāng)0<相(萬(wàn)時(shí)，/(%)<mlnx+—對(duì)任意xe(0,萬(wàn))恒成立.

x

本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握由導(dǎo)數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求

證不等式恒成立的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于難題.

20.(I)a=2；(II)3.

【解析】

(I)先求導(dǎo)，得:(x)=ln尤+尤+1--已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，又“可在區(qū)間+s)上單調(diào)遞增，故

rM=ln^-1+l>0,令g(a)=ing*+l,求得g<a)=y,討論得g(a)4g(2)=0,而g(a”0,故g(a)=0,

進(jìn)而得解；

(II)可通過(guò)必要性探路，當(dāng)％=2時(shí)，由/(2)=21n2+2-〃>0知Q<21n2+2<4,又由于則〃max=3,當(dāng)

a=3,f(x)=xlnx+y-3(x-l),尸(x)=lnx+x-2,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷必存在x°e(1,1.6)使得/'(%)=0,

得lnx°=2f,〃x)1nm=〃x0)=x0lnx°+]-3國(guó)一1),化簡(jiǎn)得〃XL=3-￡一天，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證；

【詳解】

(I)/(X)的定義域?yàn)?。,+°°)，/'(x)=lnx+x+l-a.

易知/'(%)單調(diào)遞增，由題意有/(￡|=1嗎-?|+120.

令g(a)=ln^_|+l,則g，(a)=今;

令g'(a)=°得。=2.

所以當(dāng)0<a<2時(shí)，g'(a)>。，g(。)單調(diào)遞增；當(dāng)a>2時(shí)，g'(a)<0,g(。)單調(diào)遞減.

所以g(a)4g(2)=0,而又有g(shù)(a"o,因此g(a)=0,所以a=2.

(II)由/(2)=21n2+2-a>0知a<21n2+2<4,又由于aeZ,貝

下面證明a=3符合條件.

若a=3,/(x)=xlnx+：—3(x—1).所以尸(x)=Inx+x-2

易知/'(%)單調(diào)遞增，wr(l)=-l<0,尸(1.6)。0.5+1.6_2=0.1>0,

因此必存在無(wú)oe(l,L6)使得/>'(不)=0,即lnx0=2-

且當(dāng)xe(0,飛)時(shí),/'(x)<0,/(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)尤e(%,+oo)時(shí),/,(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

則f(無(wú)需=〃％)=%M/-3-1)

=%(2-%)+奇-3(%-1)=3一%>3-1,6=0,12>0.

綜上，。的最大值為3.

本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題

21.(1)%2=4y；⑵①證明見(jiàn)解析；②能，(0,1).

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，求出。，即可求拋物線C的方程；

(2)①設(shè)A%，tj，B寫(xiě)出切線上4，尸6的方程，解方程組求出點(diǎn)P的坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)Q(0")，直線48

的方程丁=依+心代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),，可得線段C。,尸。相互平

分，即證四邊形PCQ0是平行四邊形；②若四邊形PCQD為矩形，則\PQ\=\CD\,求出,,即得點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】

(1)因?yàn)閨M耳=2+^=3,所以"=2,即拋物線C的方程是好=4%

(2)①證明：由—=4/^、=三，.設(shè)A%,