線性代數 課件全套 趙建紅 第1-13章 緒論、線性方程組- 特征值與特征向量

第一章緒論第一章

緒論為什么要學線性代數線性代數是什么如何學習線性代數1.1為什么要學線性代數一切問題都可以轉化為數學問題；一切數學問題都可以轉化為代數問題；而一切代數問題又都可以轉化為方程；因此，一旦解決了方程問題，一切問題都將迎刃而解.——【法】笛卡爾學習意義：1.培養(yǎng)抽象思維能力2.掌握數學基礎知識3.提高計算機編程能力4.拓展應用1.1為什么要學線性代數具體來說，學習線性代數可以：1.理解和應用線性代數的基本概念和原理，如向量、矩陣、行列式、線性方程組等；2.運用線性代數的計算方法，如矩陣運算、求逆、特征值和特征向量等；3.掌握線性代數的應用，如圖像處理、數據分析、機器學習等.線性代數更是應用型專業(yè)的一門重要基礎課程，是新工科、新醫(yī)科、新農科、新文科建設必不可少的重要支撐，學習線性代數對學生的學習和發(fā)展具有重要意義.1.2線性代數是什么線性方程有未知量的個數和未知量的次數兩個關鍵因素未知量的次數是1，一般可認為是線性的。代數代數——“任何數學對象用任何符號代之”。要打好基礎——理解概念——要掌握運算——要多做練習.1.3如何學習線性代數具體的學習方法：預習——聽課——復習——做練習——總結回顧與小結1.線性代數的概念與意義2.線性代數的學習方法思考題1.查閱相關文獻，談一談對線性代數的認識。第二章線性方程組第二章

線性方程組方程、多項式與線性方程組線性方程的矩陣表示矩陣2.1方程、多項式與線性方程組老子的《道德經》第四十二章有“道生一，一生二，二生三，三生萬物”的論述，這代表了我國道教的宇宙生成論。時至今日，這一論述仍然指導著人們認識這個世界。整個線性代數基本上都遵循這一規(guī)律，如線性方程組的方程個數，方程中未知量的個數都是由一到多進行推導的。2.1方程、多項式與線性方程組一切的數學問題都是以建立等價關系的等式出發(fā)的，如果等式中有某個量未知，等式就變成了一元一次方程這里面有兩個“一”，一個是“元”，也就是未知量或，一個是“次”，也就是的次冪.關于“次”這條線可以按以下思路延伸：

2.1方程、多項式與線性方程組公式1.1稱為多項式.關于“元”這條線就是元逐漸增加，方程個數也可以隨之增加，直至n元一次，也就是：

2.1方程、多項式與線性方程組如果要將“元”和“次”逐漸增加并將兩個規(guī)律同時疊加，那就可以得到更加復雜的代數式，但在大多數情況下，我們只需用到ｎ元二次多項式就可以了．例如∑(ｎ)∑(ｎ)

就稱2-3為二次型

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.1矩陣的概念

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.2線性方程組的矩陣表示對于線性方程組由其系數按行、列排成下面這樣的矩形陣列稱為它的系數矩陣

2.2線性方程組的矩陣表示在其系數矩陣基礎上最后加上常數項作為一列的矩形陣列稱為它的增廣矩陣，可見線性方程組與增廣矩陣之間存在著一一對應關系.2.2.2線性方程組的矩陣表示

2.2線性方程組的矩陣表示

其中：2.2.2線性方程組的矩陣表示

2.2線性方程組的矩陣表示

2.2.2線性方程組的矩陣表示

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.3線性方程組的分類

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.3線性方程組的分類

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.3線性方程組的分類

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.4不定方程組及其矩陣表示

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.4不定方程組及其矩陣表示

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.5超定方程組及其矩陣表示當

時，線性方程組1.2變成

此時稱其為不定方程組，對應的矩陣是

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.5超定方程組及其矩陣表示

回顧與小結1.線性方程組與矩陣的概念；2.線性方程組的分類；3.線性方程組的矩陣表示。2.3矩陣2.3.1幾類特殊矩陣

2.3矩陣對角矩陣2.3.1幾類特殊矩陣

1.12.3矩陣

2.3.1幾類特殊矩陣

1.12.3矩陣

2.3.1幾類特殊矩陣2.3矩陣對稱矩陣2.3.1幾類特殊矩陣同型矩陣

1.12.3矩陣2.3.1幾類特殊矩陣相等矩陣

1.12.3矩陣2.3.1幾類特殊矩陣①④②③鄰接矩陣

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運算矩陣加法2.3矩陣2.3.2矩陣的運算2.3矩陣2.3.2矩陣的運算2.3矩陣2.3.2矩陣的運算矩陣加法的運算規(guī)律如表2-1矩陣加法的運算所示。表2-1矩陣加法的運算條件交換律結合律其他

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運算

數乘矩陣數乘矩陣是相同矩陣加法的簡便運算.

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運算

2.3矩陣2.3.2矩陣的運算

.數乘矩陣的運算規(guī)律

結合律分配律備注矩陣相加與數乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.2.3矩陣2.3.2矩陣的運算

.

2.3矩陣2.3.2矩陣的運算

.

2.3矩陣2.3.2矩陣的運算

.

2.3矩陣2.3.2矩陣的運算

.

2.3.2矩陣的運算

.2.3矩陣2.3矩陣2.3.2矩陣的運算方陣的冪

2.3矩陣2.3.2矩陣的運算矩陣轉置

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運算

2.3矩陣

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運算

2.3矩陣

2.3矩陣2.3.2矩陣的運算

2.3矩陣2.3.3矩陣的用途

矩陣的本質是一個數表，可以簡化許多現實生活中繁雜的關系.2.3矩陣產品發(fā)送量矩陣2.3.3矩陣的用途

2.二次曲線的矩陣2.3矩陣回顧與小結

1.幾類特殊矩陣；2.矩陣的運算；3.矩陣的用途。

第三章高斯消元法第三章

主要學習內容高斯消元法求解線性方程組矩陣的秩和可逆矩陣的逆矩陣特殊的可逆矩陣的逆矩陣形式3.1高斯消元法求解線性方程組高斯消元法

是數學史上最重要的發(fā)現之一，高斯消元法是線性代數的基礎，它是以德國數學家高斯命名的，出現在19世紀初。事實上，這一思想早就在中國古代的《九章算術》中便初露端倪。具體為《九章算術》中第八章“方程”中提出的“方程術”思想，它和高斯消元法有著非常相似的思想。九章算術高斯消元法文字描述符號表示主要用于求解含有兩個或三個未知數的線性方程組求解含有任意多個未知數的線性方程組兩者本質上相同，但具體解法略有不同，高斯消元法更為簡潔。兩者的主要區(qū)別3.1高斯消元法求解線性方程組《九章算術》第八章中以一個例子介紹“方程術”“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗．問上、中、下禾實一秉各幾何?”其中“禾”指的是谷子，“秉”指的是“捆”，“實”指的是“果實”。利用這個例子，劉徽給出了古代解線性方程組的方法。它是中國古代人民的智慧結晶，比歐洲領先至少一千多年。3.1高斯消元法求解線性方程組高斯消元法是指通過線性方程組中各個方程之間的等價運算，使得方程組中未知數缺少越少，終極目標為：當知道某一未知數的值，即可回代逐一求得全體未知數的值。當然，在消元過程中，也可能出現矛盾等式，此時方程組無解。實際上，高斯消元法通過對線性方程組進行行變換，將其轉化為三角形方程組，然后再通過回代法求解出未知數的值，由以下例題加以說明。求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解若有解則利用高斯消元法化簡方程組并求得全體未知數的取值若無解則結束3.1高斯消元法求解線性方程組例1.《九章算術》第八章中介紹“方程術”的案例為：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗．問上、中、下禾實一秉各幾何?”將其翻譯過來就是：現有上等谷子3捆，中等谷子2捆，下等谷子1捆，果實共計39斗；上等谷子2捆，中等谷子3捆，下等谷子1捆，果實共計34斗；上等谷子1捆，中等谷子2捆，下等谷子3捆，果實共計26斗，問上等、中等、下等谷子1捆分別是幾斗？3.1高斯消元法求解線性方程組

利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.1高斯消元法求解線性方程組求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結束；若有解，則利用高斯消元法化簡方程組并求得全體未知數的取值

3.1高斯消元法求解線性方程組求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結束；若有解，則利用高斯消元法化簡方程組并求得全體未知數的取值例2：求解線性方程組

求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結束；若有解，則利用高斯消元法化簡方程組并求得全體未知數的取值解：利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.1高斯消元法求解線性方程組3.1高斯消元法求解線性方程組

例3求解線性方程組3.1高斯消元法求解線性方程組解：利用高斯消元法從上往下消元依次為：

待求方程組等價于：

于是，待求方程組的解為：

為任意實數.3.1高斯消元法求解線性方程組例4求解線性方程組

3.1高斯消元法求解線性方程組解：利用高斯消元法從上往下消元依次為

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

解：對應的線性方程組為：

利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.2

高斯消元法求矩陣的秩主要步驟為：（1）寫出矩陣對應的線性方程組；（2）利用高斯消元化簡線性方程組；（3）確定方程組中有效方程的個數就是矩陣的秩.一般來說，可以通過高斯消元法求解矩陣的秩.3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

分析：可以根據逆矩陣的定義利用定義法求逆矩陣.

根據矩陣相等的定義得：

分別解得

3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：（1）對于不是方陣的

3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：

3.3

高斯消元法求逆矩陣定理3.3.1可逆矩陣的逆矩陣唯一.

3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

分析：利用消元法求逆矩陣.

3.3

高斯消元法求逆矩陣于是

即3.3

高斯消元法求逆矩陣

方程組（3-9）的解為：

利用高斯消元法對方程組（3-9）從上往下消元依次為：利用高斯消元法對方程組（3-10）從上往下消元依次為：

方程組（3-10）的解為：

3.3

高斯消元法求逆矩陣方程組（3-11）的解為：

利用高斯消元法對方程組（3-11）從上往下消元依次為：3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：可逆矩陣的乘積矩陣是否可逆？

3.3

高斯消元法求逆矩陣

解：由題意根據例8的結果知3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣3.3

高斯消元法求逆矩陣

回顧與小結

1.逆矩陣的定義；2.用逆矩陣的定義求方陣的逆矩陣；3.用高斯消元法求方陣的逆矩陣。思考題與作業(yè)題

思考題：查閱相關資料，還有沒有其他方法求逆矩陣？作業(yè)題：課本31頁習題A：1，2，5；習題B：1，2.第四章初等變換法第四章

主要學習內容矩陣的初等變換初等變換法求解線性方程組4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

由于線性方程組與它的增廣矩陣有著對應關系，為了解在求解線性方程組過程中增廣矩陣的變化，把消元過程中出現的線性方程組的增廣矩陣寫在該方程組的右邊．4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣利用高斯消元法從上往下消元依次為：

對應的增廣矩陣進行的變化為：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

把上述中“行”變?yōu)椤傲小奔吹镁仃嚨?種初等列變換（簡稱列變換）.矩陣的初等變換改變了原來的矩陣，所得的新矩陣與原矩陣一般不相等，不能用等號“=”連接,而使用箭線“→”或波浪線“~”連接，表明后一個矩陣是由前一個矩陣經過初等變換而得.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

線性方程組與其增廣矩陣是一一對應的，對線性方程組的增廣矩陣做初等行變換所得矩陣所對應的方程組與原方程組同解．也就是說初等行變換不改變線性方程組的解．

注意：行變換可施行于任何矩陣，不僅僅是對于線性方程組的增廣矩陣4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行變換是可逆的：

同理，列變換也可逆.綜上，矩陣的變換都可逆，其逆變換為同類型的變換.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行階梯形矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

這樣的矩陣，稱為階梯形矩陣.

將非零行的第一個非零元簡稱為首非零元.

于是行階梯形矩陣需要具備2個特點：（1）畫一條階梯線，線下全為0.或者下一行的首非零元在上一行首非零元右側；（2）每個臺階只能跨1行.或者零行在最下方.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：

；；以上矩陣是否為階梯形矩陣？4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：

；；以上矩陣是否為階梯形矩陣？答：A不是階梯形矩陣，因為零行不在最下方；B也不是階梯形矩陣，因為有一個臺階跨了2行；C是階梯形矩陣，因為階梯線下全為0，且每個臺階只跨了1行，或者理解為零行在最下方，且下一行的首非零元總在上一行首非零元右側；D不是階梯形矩陣，第4行的首非零元不在第3行首非零元的右側.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行最簡形矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：；；

，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：；；

，

答：A不是行最簡形矩陣，首先它就不是階梯形矩陣；B也不是行最簡形矩陣，它是階梯形矩陣，首非零元所在列除它本身其余全為0，但并非全部首非零元都為1；C是行最簡形矩陣，首先它是階梯形矩陣，全部首非零元都為1，且首非零元所在列除它本身其余全為0.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣標準形

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

解：4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，例4.1.3

將矩陣A依次化簡為階梯形、行最簡形.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，例4.1.3

將矩陣A依次化簡為階梯形、行最簡形.解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，

解：第一步，從左往右，關注第1個非零列，使得首非零元在該列頂端，通過交換變換或者倍加變換，使得頂端的首非零元為該列下方元素的約數；

第二步，用倍加行變換將第1個非零列首非零元下方的元素變成0.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，第三步，從左往右，關注第2個非零列，使得首非零元在第1個非零列首非零元的右下方；通過交換變換或者倍加變換，使得第2個非零列的首非零元為該列下方元素的約數，用倍加行變換將首非零元下方的元素變成0.

第四步，從左往右，關注第3個非零列，用上述的三個步驟直到沒有非零行需要處理為止.

至此，得到階梯形矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，第五步，從右往左，關注第1個非零列，使得首非零元在該列末端，通過交換變換或者倍加變換，使得末端的首非零元為該列上方元素的約數；

第六步，從右往左，關注第2個非零列，使得首非零元在第1個非零列首非零元的左上方；通過交換變換或者倍加變換，使得第2個非零列的首非零元為該列上方元素的約數，用倍加行變換將首非零元上方的元素變成0.

第七步，從右往左，關注第3個非零列，用第五、第六的步驟把每個首非零元上方的各元素變成0.若某個首非零元不是1，用倍乘變換將它變成1.可以簡單記憶為：從左往右、從上往下，變換矩陣為階梯形；從右往左、從下往上，變換階梯形為行最簡形矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣矩陣的秩指的是對應線性方程組中有效方程的個數.例4.1.5

求矩陣A的秩.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣例4.1.5

求矩陣A的秩.解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，1.矩陣等價回顧例4.1.1對線性方程組的求解，可知所有方程組均為等價方程組，方程組對應的增廣矩陣也等價．即若兩個線性方程組的增廣矩陣等價，則它們同解．由此得矩陣等價的定義

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，２.初等矩陣定義4.4對單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，３初等變換與初等矩陣的關系通過例4.1.7來探討初等變換與初等矩陣的關系

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

左行右列.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，４初等矩陣的逆矩陣在4.1.1初等變換與標準形中，已經知道初等變換可逆，其逆變換為同類型的變換，現在考慮初等矩陣是否可逆？如果可逆，其逆矩陣是什么？

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

初等矩陣是由單位矩陣經過相應的初等變換得到的，再經過同類型的初等逆變換又變回到單位矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，矩陣等價、初等矩陣與初等變換之間的關系：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣矩陣等價、初等矩陣與初等變換之間的關系：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，歸納總結后，得到如下定理

定理4.3

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，５.初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，５.初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.

解：4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.解：

思考題

思考題

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標準形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.解：

回顧與小結1.行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標準形和矩陣初等變換的概念；2.用初等變換求矩陣的秩；3.用初等變換求逆矩陣。4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.1非齊次線性方程組與齊次線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.1非齊次線性方程組與齊次線性方程組

定義4.2.14.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組1.方程組的解

方程組所有可能的解的集合稱為方程組的通解，即方程組全部解的一般表達式就是方程組的通解.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組1.方程組的解

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

定義4.2.24.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組定義4.2.3

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.1判定下列方程組是否為齊次方程組與其解的情況.(1)

(2)(3)(6)(5)(4)4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.1判定下列方程組是否為齊次方程組與其解的情況.(1)

(2)(3)(6)(5)(4)解：根據前文有關定義知，(1)(2)(3)是非齊次線性方程組，(4)(5)(6)是齊次線性方程組.方程組(1)無解，(2)(3)有唯一解，(4)只有零解（有唯一解），(5)(6)有無窮多解.且(2)(3)、(5)(6)分別為同解方程組也即等價方程組.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組初等變換法求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數矩陣對應的齊次線性方程組的解.（1）

（2）（3）4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數矩陣對應的齊次線性方程組的解.（1）

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數矩陣對應的齊次線性方程組的解.

（2）

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數矩陣對應的齊次線性方程組的解.

（3）

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.3求下列增廣矩陣對應的非齊次線性方程組的解.

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組解：這3個增廣矩陣均為行最簡形矩陣，可直接寫出方程組的解.

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組（3）對應的3方程組為

等價于

等價于

于是原方程組的解為

顯然，如果非齊次方程組出現了矛盾等式則必然無解，否則有解.同理，有解時，沒有自由未知數則有唯一解，有自由未知數則有無窮多解.容易發(fā)現，系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否一致決定了是否會出現矛盾等式，是否有自由未知數主要看系數矩陣（增廣矩陣）的秩與未知數的個數的關系.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，.4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.4解線性方程組.4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.5

解線性方程組4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.6求解非齊次線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，.4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質

回顧與小結1.齊次線性方程組、非齊次線性方程組、方程組的解的定義；2.初等變換法求解線性方程組的相關定理；3.初等變換法求解線性方程組的具體步驟；4.齊次線性方程組與非齊次線性方程組的解的性質。第五章克拉默法則第五章

主要學習內容n階行列式的概念、性質與計算適定方程組的系數行列式克拉默法則每個線性方程組都唯一對應于一個系數矩陣和增廣矩陣，并借矩陣可以求解一些線性方程組，對于適定方程組來說，有一種借助行列式得出線性方程組的公式解法——克拉默法則.行列式還可以判斷矩陣是否可逆等.接下來介紹適定方程組的系數行列式的概念.５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式５.１線性方程組的系數行列式

有沒有一種方法，它不需要以上這些消元的繁瑣過程，只需要給出方程組，就可以直接得到答案呢？５.１線性方程組的系數行列式1683年中國數學家關孝和在他的著作《算法統(tǒng)宗》中提出了“垛積術”，用于計算行列式1693年德國數學家萊布尼茨在他的著作《論行列式》中也提出了行列式的概念.他們兩人獨立地發(fā)現了行列式，并將其用于求解線性方程組.1750年瑞士數學家加百列·克拉默（GabrielCramer）發(fā)現了克拉默法則，該法則利用行列式來求解線性方程組的解.克拉默法則的發(fā)現使得行列式在求解線性方程組方面具有重要意義。十九世紀以后行列式理論得到了進一步的發(fā)展和完善５.１線性方程組的系數行列式解方程組構造行列式證明行列式可解方程組構造成功５.１線性方程組的系數行列式總的來說，行列式的定義思路要曲折一些，大致是：

５.１線性方程組的系數行列式５.１線性方程組的系數行列式

觀察上述結果，可以發(fā)現二元適定方程組的解具有以下特點：５.１線性方程組的系數行列式

二階行列式運算規(guī)則５.１線性方程組的系數行列式

二階行列式就是主對角線上的兩元素的乘積和次對角線上的兩元素的乘積之差.５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

觀察上述解的結果，可以發(fā)現三元適定方程的解有以下特點：５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

三階行列式運算規(guī)則顯然，該解具有上述6個特點.５.１線性方程組的系數行列式三階行列式等于表中所有不同行，不同列元素的乘積的代數和.圖5-2三階行列式對角線法則沿主對角線方向各實線相連的三個數的積取正號，沿次對角線方向各虛線相連的三個數的積取負號.所得各項的代數和即為式（5-12）所示的三階行列式的值.三階行列式的值可以用圖5-2來記憶.５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

５.１線性方程組的系數行列式

５.2克拉默法則定理5.2.1（克拉默法則）

５.2克拉默法則５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

回顧與小結1.二階行列式與三階行列式的概念；2.二階行列式與三階行列式的計算方法；3.克拉默法則求解二元一次方程組和三元一次方程組的具體步驟。５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算回顧二階、三階行列式的計算.

三階行列式運算規(guī)則

二階行列式運算規(guī)則５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

若是排列后一個數比前一個數小，符號為負.

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

即三個數字從左到右依次比較，都是小于時的排列在行列式中的項取正號；有兩個大于一個小于時的排列在行列式中的項取正號；５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算若排列為

即三個數字從左到右依次比較，都是大于時排列在行列式的項中取負號；兩個小于一個大于時的排列再行列式中的項取負號.若記小于號表示一個順序排列，大于號表示一個逆序排列，則有結論：二階、三階行列式的項中，若固定行標為順序排列時，列標是順序排列的項取正號；列標有一個或三個逆序排列的項取負號；列標有兩個逆序排列的項取正號.５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算5.3.1排列定義5.1如123456和453261是兩個6級排列，但是123425不是排列.

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算從左到右每個位置選數的方法見表5-1：表5-1n級排列從左到右每個位置選數的方法位置12…選法…1

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

從左到右每個位置選數的方法見表5-2：表5-25級排列從左到右每個位置選數的方法位置12345選法54321５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

定義5.2如排列312中，第一個位置是3，第二個位置是1，第一個位置的數比第二個位置的數大，這就構成了一個逆序;第三個位置的數為2，第一個位置的數比第三個位置的數大，這也構成了一個逆序.５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

定義5.3根據定義，求一個排列的逆序數的步驟：依次計算出排列中每個元素前面比它大的數碼的個數并求和,即算出排列中每個元素的逆序數,則所有元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數.５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算例5.3.2

求排列217986354的逆序數。５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算于是排列的逆序數為t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.217986354↓↓↓↓↓↓↓↓↓010013445例5.3.2

求排列217986354的逆序數。解：

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換.將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換.定義5.4

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

定理5.2如12534這個排列的逆序數為2，是一個偶排列，若將2與5對換，即經過一次相鄰對換，變?yōu)榕帕?5234，其逆序數為3，是一個奇排列；若將2與4對換一次，變?yōu)榕帕?4532，其逆序數為5，是一個奇排列，可見對換一次會改變排列的奇偶性.任意一個排列經過一次對換后，其奇偶性發(fā)生改變.定理5.3

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

定義5.5

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

定義5.6

性質1

注：性質1說明行列式中行與列具有同等的地位，行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

性質2

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

性質3

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

性質4５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

性質5５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

性質6５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算數學上常用的一種思想方法是將復雜的對象轉化為簡單的對象再進行計算，進而就有了降冪、降階等思想，自然的思考到，低階的行列式比高階的行列式簡單，那么高階的行列式能否轉化為低階的行列式再進行計算呢？答案依然是肯定的，這就是下面給出的行列式展開定理.5.3.4行列式展開定理５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

定義5.7

注：（1）行列式中每一個元素對應著一個余子式和代數余子式；

（2）一個元素的余子式和代數余子式只與該元素的位置有關，而與該元素的取值無關.５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

定理5.4

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

５.3ｎ階行列式的概念、性質與計算

回顧與小結

1.線性方程組與矩陣的概念；2.線性方程組的分類；

3.線性方程組的矩陣表示第六章第六章

第一節(jié)主要學習內容矩陣的運算矩陣運算法求解線性方程組6.1矩陣運算

這一章主要介紹矩陣運算及矩陣運算法求解線性方程組.6.1矩陣運算一、引例某高校期中、期末考試有選擇題、填空題、解答題三種類型的題，小王期中、期末考試答對選擇題分別為10題、6題，答對填空題分別為3題、5題，答對解答題分別為6題、7題；小李期中、期末考試答對選擇題分別為8題、4題，答對填空題分別為3題、2題，答對解答題分別為5題、6題.選擇題每題2分，填空題每題3分，解答題每題8分.問：（1）他們兩次考試各題型的分別答對了多少題？（2）他們期中、期末成績分別為多少？（3）如果期中占40%，期末占60%，他們的總評成績分別為多少？小王、小李在兩次數學考試中答對題數如表6-1考試情況所示：

題型

答題數姓名期中期末選擇題填空題解答題選擇題填空題解答題小王1036657小李8354266.1矩陣運算思考：（1）如何用矩陣表示他們兩次考試各題型的答對題數？（2）如何用矩陣表示他們期中、期末成績？（3）如果期中占40%，期末占60%，如何用矩陣表示他們的總評成績？6.1矩陣運算

二、矩陣的運算6.1矩陣運算

現實生活中的許多問題都可以轉化為相應的矩陣問題來處理，矩陣加減法、數乘、乘法、轉置、矩陣的逆等運算不僅符合數學邏輯，而且在現實生活中都有其實際意義.6.1矩陣運算

圖6-1矩陣加法

6.1矩陣運算

圖6-1矩陣加法

所以矩陣加法的幾何意義就是：它可以將兩個向量組合并成一個新的向量組，這個新的向量組包含了原來兩個向量組中的所有向量.6.1矩陣運算

當然，如果有更多的向量組合起來，可以形成這樣的矩陣乘法.6.1矩陣運算

圖6-2矩陣乘法6.1矩陣運算

圖6-3篩子及篩眼四、矩陣的秩圖6-2矩陣乘法6.1矩陣運算那么矩陣A的秩rank(A)可以看作篩眼的大小，R(A)越小對應的篩眼越?。ê雎缘艉Y子的形狀，下面用帶網格的圓來表示篩子），如圖6-4秩與篩子大小所示：圖6-4秩與篩子大小

圖6-5網格圓表示篩子6.1矩陣運算可以用帶網格兩個圓來表示這兩個篩子，可以看到各自的篩眼大小不同，也就是各自的矩陣的秩不相同，如圖6-6不同篩眼疊加所示：

當這兩個篩子疊在一起的時候，疊加部分的篩眼變小了，比單獨某一個篩子的篩眼要小,此時有rank(AB)<min(rank(A)，rank(B)).當然還有可能矩陣A，B的秩相同，篩眼大小相同，這時疊在一起時，疊加部分的篩眼等于其中某一個篩子的篩眼，如圖6-7相同篩眼疊加所示，此時有rank(AB)=min(rank(A)，rank(B)).

綜上所述：rank(AB)≤min(rank(A)，rank(B)).圖6-6不同篩眼疊加圖6-7相同篩眼疊加6.1矩陣運算五、矩陣的轉置

產品原料（噸）

甲

乙9445310例6.1.1一個工廠生產甲、已兩種產品，需用A，B，C三種原材料.如表6-2原材料需求表所示：表6-2原材料需求表6.1矩陣運算

6.1矩陣運算六、方陣的行列式

6.1矩陣運算

6.1矩陣運算

6.1矩陣運算七、矩陣的逆基于矩陣乘法和逆矩陣定義使用待定系數法求逆矩陣

6.1矩陣運算矩陣分塊法求逆矩陣

6.1矩陣運算逆矩陣的幾何意義：線性變換的“逆變換”

6.1矩陣運算

6.1矩陣運算逆矩陣的應用：矩陣編制Hill密碼密碼學在經濟和軍事方面都起著極其重要的作用.1929年，希爾（Hill）通過矩陣理論對傳輸信息進行加密處理，提出了在密碼學史上有重要地位的希爾加密算法.下面我們介紹一下這種算法的基本思想.

6.1矩陣運算

6.1矩陣運算

在實際應用中，可以選擇不同的可逆矩陣，不同的映射關系，也可以把字母對應的數字進行不同的排列得到不同的矩陣，這樣就有多種加密和解密的方式，從而保證了傳遞信息的秘密性.上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應用，將數學與密碼學緊密結合起來，運用數學知識破譯密碼，進而運用到軍事等方面.6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組二、矩陣乘法、逆矩陣法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組三、逆矩陣法求解線性方程組：圖6-8逆矩陣法求解線性方程組設AX=B，A可逆，則X=A-1B，A-1(A，B)=(E，X)，即(A，B)行(E，X)，求解步驟如圖6-8逆矩陣法求解線性方程組所示：6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

四、應用拓展表6-3營養(yǎng)成分及單價表要求既滿足動物生長的營養(yǎng)需要，又使費用最省的選用飼料方案.

飼料蛋白質（克）礦物質（克）維生素（毫克）價格（元/斤）1310.50.2220.510.736220.3410.50.80.4求最優(yōu)問題例6.2.7

某動物園飼養(yǎng)動物，設每頭動物每天需要300克蛋白質，90克礦物質，100毫克維生素.現有4種飼料可供使用，各種飼料每公斤營養(yǎng)成分含量及單價如表6-3營養(yǎng)成分及單價表所示：6.2矩陣運算法求解線性方程組

求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結束；若有解，則利用高斯消元法化簡方程組并求得全體未知數的取值

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組

6.2矩陣運算法求解線性方程組逆矩陣法求解線性方程組回顧與小結第七章向量空間法第七章

第一節(jié)主要學習內容向量導入向量是線性代數中最基本的概念，在數學和應用科學領域發(fā)揮著重要的作用，它不僅是解決幾何問題的橋梁，而且在物理學、計算機圖形學、數學建模等領域中扮演著重要的角色.向量空間是滿足某些性質的集合，在向量空間中通過描述向量與矩陣的關系，向量與向量的線性組合來解決線性方程組解的問題.本章主要介紹了二維向量，三維向量，n維向量以及向量空間的基礎概念和性質，在向量空間中通過向量組的性質來求解齊次（非齊次）線性方程的解.一、向量《自然哲學的數學原理》（PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica）是艾薩克·牛頓（IsaacNewton，1643-1727）的偉大著作，在這本書中他確立了牛頓物理學的原理，用經典的二維和三維幾何學為“運動”和“力”這兩個新演員搭建舞臺，牛頓發(fā)現，對力的分析需要人們同時獲取“力有多大？”以及“在什么方向上施力？”在這方面，他預見了向量的概念，向量是具有大小和方向的數學量.第一節(jié)向量向量是指既有大小又有方向的量，僅有大小沒有方向的量叫做標量或數量.二、二維向量存在于在同一個平面的“向量”稱為二維向量，又稱為平面向量.例如物理中的力和速度，這些量是既有大小又有方向的二維向量的三種表示：幾何表示：帶有方向的線段叫做有向線段，如圖7-1二維向量所示，A是起點，B是終點，箭頭表示方向.向量可以用有向線段表示.其中有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的長度表示向量的大小.圖7-1二維向量

一切向量的共性是它們都有大小和方向，因此與起點無關的向量稱為自由向量.即自由向量可在同一平面自由平移，平移后不影響向量的大小及方向.本文所研究的向量均為自由向量.

圖7-3向量a的坐標表示

圖7-2向量的坐標表示

兩個向量的夾角及位置關系圖7-4向量的夾角

圖7-5木塊滑動

圖7-6向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則兩向量首位順次相接，首指向尾為和

圖7-7向量加法的平行四邊形法則兩向量共起點為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和.向量加法的平行四邊形法則

圖7-11平行向量的和

圖7-12向量加法的交換律

圖7-13向量加法的結合律

向量減法運算

即兩向量相減，共起點，連終點，方向指向被減向量圖7-14向量減法的平行四邊形法則

圖7-15向量減法的三角形法則

向量的數乘運算向量數乘運算的性質：

圖7-16向量加法的結合律向量數乘運算的性質：

圖7-17向量加法的分配律（1）圖7-18向量加法的分配律（2）

定理7.1.1

向量線性運算的坐標表示

三、三維向量圖7-21空間直角坐標系

圖7-22右手法則空間直角坐標系中任意兩條坐標軸可以確定一個平面，這樣的平面稱為坐標面.空間直角坐標系有三個坐標面，分別是由x軸、y軸所確定的xoy面，由y軸、z軸所確定的yoz面，由x軸、z軸所確定的zox面.三個坐標面把空間分成八個部分，每一個部分稱為一個卦限，如圖7-23空間直角坐標系卦限圖所示.圖7-23空間直角坐標系卦限圖

表7-1空間直角坐標系的八個卦限+--++--+++--++--++++----卦限IIIIIIIVVVIVIIVIII幾何表示：與二維向量類似，空間中的有向線段可以表示三維向量，如圖7-24三維向量，A是起點，B是終點，箭頭表示方向.有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的長度表示向量的大小.圖7-24三維向量三維向量的三種表示

圖7-25三維向量的坐標表示

兩個向量的夾角及位置關系圖7-26空間兩向量的夾角

向量的共線與共面

三維向量的線性運算

向量線性運算的坐標表示

向量的方向角與方向余弦圖7-27向量的方向角

向量在軸上的投影圖7-28向量投影

數量積的坐標表示

圖7-30數量積的分配律

圖7-30數量積的分配律

圖7-31數量積的數乘

向量積

向量的運算

向量的運算

向量與矩陣的關系

向量組

類似地

線性方程組的向量表示

五、向量空間

定義7.1.1線性關系

定義7.1.2

定義7.1.3

若向量組有一個部分組線性相關，則向量組整體線性相關．定理7.1.2

推論7.1.2-1

定理7.1.3

定理7.1.4

定理7.1.5

向量組的秩

定義7.1.4

定義7.1.5

定理7.1.6

推論7.1.6-1

等價的向量組具有相等的秩．

推論7.1.6-2

推論7.1.6-3

1、二維向量，2、三維向量，3、n維向量以及向量空間的基礎概念和性質回顧與小結思考題：課后習題A第一題的2、3、6；第二題的4、5。

作業(yè)題：課后習題A第三題的2、4、5。復習思考題或作業(yè)題第七章向量空間法第七章

第二節(jié)主要學習內容向量空間法求解線性方程組線性方程組在現實生活中的應用非常廣泛，不僅在工程學、計算機科學、通信、航空等學科和領域廣泛應用，同時在理工類的后續(xù)課程中廣泛應用，如電路、理論力學、計算機圖形學、信號與系統(tǒng)、數字信號處理、系統(tǒng)動力學、自動控制原理等課程.為了更好地解決問題，必須在解題過程中理論聯系實際，通過適當變換，學會選擇最有效的方法來進行解題.【導入】

產出分配購買者五金化工能源機械0.20.80.4五金化工0.30.10.4能源0.50.10.2機械

在前面的章節(jié)中，我們介紹了利用高斯消元法、初等變換法、克萊姆法則以及利用矩陣求解線性方程組.那么在我們學習了向量組的知識后，我們可以進一步討論當線性方程組有無窮多組解時，這些解具有什么樣的“結構”，即解決如下的問題：各組解之間具有什么關系？如何利用“老解”得出“新解”？如何利用已知的解表示出方程組的全部解.

第二節(jié)向量空間法解線性方程組一、齊次線性方程組齊次線性方程組的向量表示

性質7.2.1

性質7.2.2

齊次線性方程組的通解和基礎解系

二、非齊次線性方程組

性質7.2.3

性質7.2.4

非齊次線性方程組的通解

回顧與小結

1.齊次線性方程組的通解和基礎解系2.非齊次線性方程組的通解思考題與作業(yè)題

思考題：課后習題A第一題的10。作業(yè)題：課后習題A第三題的7、11。第八章線性變換第八章

主要學習內容變換線性變換變是絕對的，不變是相對的，數學就是在研究變與不變的客觀規(guī)律.變換是一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉化關系，這種關系可以用點的坐標之間的函數關系來刻畫；剛好矩陣可以用來反映坐標之間的變換關系，是研究變換的有力工具.本章主要介紹線性代數中變換和線性性的基本概念，以及線性變換的重要性和應用.【導入】在日常生活中，如縮放、旋轉、投影等現象，都是線性代數中的變換用相機拍出的照片，可根據人們的需求進行適當的縮小或放大，見圖8-1.

圖8-1生活中常見的圖片放縮.第一節(jié)變換如果只考慮拍照，拍照前，現實世界中的事物是原像，拍照后，相機拍出的照片是像，所以也叫相片.如果考慮縮放變換，相機拍出的照片的每個點稱為原像，原像的集合就是定義域，而將其進行縮放后的圖片對應的點稱為原像在這個縮放變換下的像，像的集合就是變換的值域.第一節(jié)變換地球每天都在圍繞其自轉軸和公轉軸進行旋轉，某個圖形繞一個具體的點按照一個具體方向轉動一個角度等，見圖8-2.圖8-2地球自轉可看成繞軸進行旋轉第一節(jié)變換

圖8-3地球表面的點可以看成隨自轉進行的旋轉第一節(jié)變換夏天大樹在陽光下的陰影可以看成大樹這個立體對地面的投影，同樣地將大樹上任意一點叫作原像，對應到地面上的影子為該點在投影變換下的像，見圖8-4.當然處理力學問題時討論力的分解，也可以看成合力在水平、垂直方向的兩個投影變換.圖8-4三維空間在平面上的投影“變”這一現象在宇宙中無時無刻都在進行著，不光上面介紹的例子.更一般的，斗轉星移、萬物生長、量子糾纏、測量物體等都物體前后對應的關系都可以看成數學上的變換.數學上將這種對應關系稱為映射，而在以往的學習中最常見的映射就是函數.上面提到的變換就是一種映射，它將變化前后的對象以一種特殊但是確定的方式聯系在一起，這里的對象可以是數字、向量、函數、或是任何物體.第一節(jié)變換在8.1節(jié)中介紹到的所有變換在生活或是專業(yè)上經常遇到的，如果想要了解到這些變換的更多的性質，需要借助數學思維將這些含有實際背景的變換抽離出來.如果不考慮其他的因素，將現實世界中的景物拍成照片的過程就可以看作景物對底片做了一次投影變換。第二節(jié)線性變換僅考慮投影這一動作會發(fā)現還有許多這樣的例子，計算機斷層掃描（CT）同樣是將病人體內的器官投影到影片上，繪制地圖的時候也可以看成將地球（曲面）投影到平面上.第二節(jié)線性變換