備戰(zhàn)2023年新高考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編-專題19 解三角形綜合題

專題19解三角形綜合題1．（2022?新高考Ⅰ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1），，．，化為：，，，，，，．（2）由（1）可得：，，，，為鈍角，，都為銳角，．，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的最小值為．2．（2021?新高考Ⅰ）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，點(diǎn)在邊上，．（1）證明：；（2）若，求．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：由正弦定理知，，，，，，即，，；（2）法一：由（1）知，，，，在中，由余弦定理知，，在中，由余弦定理知，，，，即，得，，，或，在中，由余弦定理知，，當(dāng)時(shí)，（舍；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，．法二：點(diǎn)在邊上且，，，而由（1）知，，即，由余弦定理知：，，，，或，在中，由余弦定理知，，當(dāng)時(shí)，（舍；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，．法三：在中，由正弦定理可知，而由題意可知，于是，從而或．若，則，于是，無(wú)法構(gòu)成三角形，不合題意．若，則，于是，滿足題意，因此由余弦定理可得．3．（2022?鹽城一模）從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成解答．已知點(diǎn)在內(nèi)，，，，，若_____，求的面積．【答案】見(jiàn)解析【詳解】選擇條件①：，且，，或，當(dāng)時(shí)，，由余弦定理知，，，解得，無(wú)法構(gòu)成或，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，由余弦定理知，，，解得，，，，．選擇條件②：，，即，，，，或，當(dāng)時(shí)，，由余弦定理知，，，解得，無(wú)法構(gòu)成或，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，由余弦定理知，，，解得，，，，．選擇條件③：，即，，在中，由余弦定理得，，，在中，由余弦定理知，，，，．4．（2022?連云港二模）在平面四邊形中，，，，．（1）求的面積；（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）中，由余弦定理得，，即，所以，的面積；（2）中，由正弦定理得，，所以，同理，中，由正弦定理得，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以?．（2022?南通模擬）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，．從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，判斷是否為鈍角三角形，并說(shuō)明理由．①；②．【答案】見(jiàn)解析【詳解】選擇①，由余弦定理知，，所以，因?yàn)?，所以最大的角是，而，故是鈍角三角形．選擇②，由余弦定理知，，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍負(fù)），因?yàn)?，所以最大的角是，而，故不是鈍角三角形．6．（2022?江蘇模擬）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，________，求的面積．【答案】見(jiàn)解析【詳解】選擇條件①：依題意，，在中，由正弦定理得，，由余弦定理得：，若為銳角，則，則，則，又，解得，或，，即有的面積為，若為鈍角，則，則，有，又，無(wú)解，舍去，綜上可得，的面積為．選擇條件②：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫?，整理得：，即，而，則，若為銳角，則，有，由余弦定理得：，則有，又，解得，或，，即有的面積為，若為鈍角，則，則，舍去，綜上可得，的面積為．選擇條件③因?yàn)?，由余弦定理，若為銳角，則，則，則，又，解得，或，，即有的面積為．若為鈍角，則，則，有，又，無(wú)解，舍去，綜上可得，的面積為．7．（2022?南京三模）在中，記角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，求．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由，可得，由于，可得，即為，因?yàn)椋?，即；?），即，則，且為銳角，由，可得，由，可得，則，即，在中，由正弦定理可得，則．8．（2022?江蘇模擬）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，．若是的中點(diǎn)，且，求的面積．【答案】【詳解】在中，由余弦定理可得，即，可得，，則為等腰直角三角形，由，可得，在中，，，由正弦定理可得，即，所以，所以的面積為．9．（2022?南通模擬）在中，角，，所對(duì)邊分別為，，，，．（1）證明：；（2）求的面積的最大值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，即，所以；?）由余弦定理得，所以，所以的面積，當(dāng)即時(shí)，取得最大值．10．（2022?蘇州模擬）在中，，，分別是內(nèi)角，，的對(duì)邊，且滿足．（1）求角大??；（2）若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，，即，所以，所以，，，故，?）由題意可得，，解可得，，由正弦定理可得，，故，，，所以，，11．（2022?南通模擬）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求；（2）若是的中點(diǎn)，且，在下面兩個(gè)問(wèn)題中選擇一個(gè)進(jìn)行解答．①求面積的最大值；②求的最大值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【詳解】（1）在中，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，又因?yàn)?，所以．?）若選①，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，在中，由余弦定理，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最大值是．若選②，在中，由余弦定理，得，所以，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．．所以的最大值是．12．（2022?江蘇模擬）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由．結(jié)合正弦定理得，，，，，．（2）由余弦定理，，．13．（2022?江蘇模擬）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，．從條件①、②中找出能使得唯一確定的條件，并求邊上的高．條件①，；條件②，．【答案】見(jiàn)解析【詳解】由得：，即，因?yàn)?，得，結(jié)合得；如選①，因?yàn)?，故，或，結(jié)合，兩種情況都滿足內(nèi)角和定理，故有兩解，不符合題意；如選②，結(jié)合，由余弦定理得，即，解得，或（舍，故②滿足題意，即，結(jié)合面積公式得，即，解得．14．（2022?海安市模擬）在平面凸四邊形中，已知，，，，，求及．【答案】；【詳解】中，由余弦定理得，所以，又，因?yàn)?，所以，，中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以為銳角，，故，中，由正弦定理得，．15．（2022?南通模擬）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，已知，．（1）求角的大??；（2）若的面積為，設(shè)是的中點(diǎn)，求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1），由正弦定理得，，即，即，即，即，，，，，；（2），，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，，．16．（2022?鹽城三模）已知中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，滿足，是邊上的點(diǎn)且，．（1）求；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由余弦定理知，，因?yàn)?，所以．?）由（1）知，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，化?jiǎn)得所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故，所以的最小值為．17．（2022?如皋市模擬）已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，．（1）求；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由余弦定理知，，即，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，，所以，因?yàn)椋裕?）由正弦定理知，，所以，即，由（1）知，，即，解得或（舍負(fù)），故的面積．18．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，點(diǎn)在邊上，滿足，且．（1）求證：；（2）求．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】證明：（1）因?yàn)?，所以，，中，由正弦定理得，中，由正弦定理得，又，所以，所以；?）解：中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，由題意得，整理得，中，由余弦定理得，則，所以，，故．19．（2022?興化市模擬）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中．若問(wèn)題中的三角形存在，求該三角形面積的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，_____？【答案】見(jiàn)解析【詳解】選擇條件①：由正弦定理及，知，因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)?，所以，，又，，所以，，所以的面積．選擇條件②：由余弦定理知，，由正弦定理知，，所以，即，又，所以，所以或，即或（舍，因?yàn)?，且，所以，，所以，，又，所以，所以的面積．選擇條件③：因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，所以，因?yàn)椋?，即，也即，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為直角三角形，且，，又，所以，所以的面積．20．（2022?南通模擬）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，．（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積．【答案】（1）0或；（2）【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，由正弦定理可得，可得，或，所以，或．?）當(dāng)時(shí)，，的外心在其斜邊的中點(diǎn)處上，不符合題意；所以，，因?yàn)?，所以外接圓半徑，所以外接圓的面積．21．（2022?常州模擬）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）若，，求的面積；（2）若，且的邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，求．【答案】（1）16；（2）【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，又，得，故，所以，因?yàn)?，，所以，于是，故，為直角三角形，所以的面積；（2）由，得，由正弦定理，可得；由余弦定理，得，，．若，則，故，則，，此時(shí)，不符合題意．，由，得，又，即，則．，，故當(dāng)時(shí)，有，而，故能構(gòu)成三角形，故．22．（2022?常州模擬）在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且滿足．（1）證明：為等腰三角形；（2）若，求的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：由正弦定理及，知，所以，所以，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，所以為等腰三角形．（2）解：由，得，即，所以，即，所以，由（1）得，在中，由正弦定理得，，所以，所以．23．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿足．（1）求角；（2）角的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，若，，求．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）因?yàn)橹校瑑?nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿足．所以，從而有，得，由，從而有，因?yàn)?，所以；?）角的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，，，，又由余弦定理得，，解得，又，故，，或，，當(dāng)，，，故，在中，由正弦定理可得，．當(dāng)，，同理可得．綜上可得．24．（2022?濱?？h校級(jí)模擬）在中，已知是上的點(diǎn)，平分，且．（1）若，求的面積；（2）若，求．【答案】（1）6；（2）【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，平分，所以，設(shè)邊上的高為，所以，所以，又因?yàn)?，且，設(shè)，由得，解得，所以，，所以，故為直角三角形，所以．（2）設(shè)，，則，，由，所以，即，在中，，在中，，因?yàn)椋?，所以，所以，將代入上式，得，所以?5．（2022?江寧區(qū)校級(jí)模擬）從①為銳角且；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填入橫線上并完成解答．在三角形中，已知角，，的對(duì)邊分別為，，，____．（1）求角；（2）若且邊上的高為，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）若選①為銳角且，則，由余弦定理得，，，由正弦定理得，，，，．若選②，則，，，，，，，，．（2），由余弦定理得，，邊上的高為，，，，．26．（2022?如皋市模擬）已知圓的內(nèi)接四邊形中，，，．（1）求四邊形的面積；（2）設(shè)邊，的中點(diǎn)分別為，，求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）解：在中，，在中，，，四點(diǎn)共圓，，，，因?yàn)?，所以，所以，?）解：由（1）可知即外接圓的直徑，設(shè)的中點(diǎn)為，所以，．27．（2022?泰州模擬）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答．已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，且_________．（1）求；（2）若點(diǎn)在邊上，且，求．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）若選①，，，，所以，，．若選②，，，，．若選③，，，，（2），，，．28．（2022?興化市模擬）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知邊上的高等于．（1）求證：；（2）若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【詳解】證明：（1）設(shè)邊上的高為，則，所以，由正弦定理得．解：（2）由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，即，所以?9．（2022?江蘇模擬）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，．（1）若，，求；（2）點(diǎn)在