2024年上海中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圖形的相似（講義）（解析版）

專題14圖形的相似核心知識點精講

復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì).

2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的實際問題.

3.掌握圖形相似的概念，能用相似的性質(zhì)將一個圖形放大或縮小.

【知識網(wǎng)絡(luò)】

■I相似多邊形的特征|

d相似的圖形H____

L定義|

2.兩角對應(yīng)本蔣1

■］識別方法］―

3.兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等|

圖4.三邊對應(yīng)成比例|

形L對應(yīng)角相等］

的林目似三角形1

相2.對應(yīng)邊、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、

似1性質(zhì)卜

對應(yīng)高線、周長的比等于相似比

3.面積的比等于相似比的乖司

［應(yīng)用：解決實陳問題

---1位似I

［用坐標(biāo)來確定位置|

---1圖形與坐標(biāo)|—

—|圖形的運動與坐標(biāo)］

考點梳理

考點一、比例線段

1.比例線段的相關(guān)概念

如果選用同一長度單位量得兩條線段a,b的長度分別為m,n,那么就說這兩條線段的比是

nm

-=—,或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.

bn

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱

比例線段.

若四條a,b,c,d滿足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項，線段a,d叫做比例外項，

線段b,c叫做比例內(nèi)項.

/7b

如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即一=—或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a,c的比例中項.

bc

2、比例的基本性質(zhì)：①a：b=c：dOad=bc②a：b=b：c<^>b2=ac.

3、黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC(AOBC),并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點

J5-1

C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=——AB^O.618AB.

2

考點二、相似圖形

1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖

形).

2.相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等

于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

【要點詮釋】

結(jié)合兩個圖形相似，得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線

段的長.對于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(3)如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；

(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等,

那么這兩個三角形相似.

典例期領(lǐng)

【題型1：比例線段】

【典例1]下列四條線段成比例的是()

A.a—4,b=6,c—5,d—10B.a==3,c=2,d=

C.a=2,b=y/5,c=\/15,d=2-\/3D.a=12,Z?=8,c=15,6?=11【答案】C

【分析】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，

另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案.

【詳解】解：A、10x4^5x6,

團四條線段不成比例；

B、,3x5/22x\[3,

團四條線段不成比例；

C、2x^15=75X2A/3,

團四條線段成比例；

D、8x15^11x12,

國四條線段不成比例.

故選：C.

80時檢測

1.若a,6,Gd是成比例的線段，其中。=1,6=2,c=3,則線段d的長為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】本題主要考查了成比例線段，根據(jù)成比例線段的性質(zhì)列出比例式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)比例線段的性質(zhì)列出比例式，然后代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可解答.

【詳解】解：回a",Gd是成比例的線段，

^\a:b-c:d,

^bc-ad,即2x3=lxd,解得：d=6.

故選：D.

2.已知成比例的四條線段的長度分別為6cm,12cm,xcm,8cm,且11ABe的三邊長分別為xcm,

3cm,5cm,貝!]ABC是（）

A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.無法判定

【答案】C

【分析】本題考查了成比例線段和勾股定理的逆定理，掌握成比例線段定理是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)題意

求出尤的值；然后再根據(jù)勾股定理的逆定理，確定三角形的形狀即可.

【詳解】解：四條線段成比例，

6:12=x:8

解得：x=4；

一ABC的三邊長分別為xcm,3cm,5cm,32+42=52,

是直角三角形，

故選：C.

3.在比例尺為1:36000的某市旅游地圖上，某條道路的長為5cm,則這條道路的實際長度為（）

A.0.18kmB.1.8kmC.18kmD.180km

【答案】B

【分析】本題考查了比例線段，熟練掌握利用比例尺靈活計算實際問題，掌握單位的換算，是解答本題的

關(guān)鍵.

根據(jù)比例尺=圖上距離:實際距離，依題意設(shè)這條道路的實際長度為x,則上京=*,由此得到答案.

36000x

【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)：

這條道路的實際長度為x,

貝U—1—=*，

36000x

解得：x=18OOOO（cm）=1.8（km）,

故選：B.

典例受領(lǐng)

【題型2：黃金分割點】

【典例2】小穎同學(xué)是校園藝術(shù)節(jié)的主持人，學(xué)完黃金分割后她想，主持節(jié)目時如果站在舞臺長的黃金分

割點的位置，會讓臺下的同學(xué)們看起來效果更好，于是她將舞臺的長看作線段AB,量得AB=8米，若點

C是線段A3的黃金分割點（AC>8C）,則線段AC的長為（）

A.46-1B.4（A/5-1）C.12-475D.8-4有【答案】B

【分析】本題考查黃金分割定理，解題關(guān)鍵是理解黃金分割的概念，熟悉黃金比的值.把一條線段分成兩

部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值

（由二1）叫做黃金比，由此進(jìn)行求解即可.

2

【詳解】解：-線段AB=8,點C是AB黃金分割點，AC>BC,

.-.AC=8X^=^=4（V5-1）.

故選8.

即時檢目

1.如圖，冬奧會吉祥物"冰墩墩"意喻敦厚，健康，可愛，活潑，它泛著可愛笑容的嘴巴位于黃金分割點

處，若玩偶身高6cm,則玩偶嘴巴到腳的距離是（）

0%,

A.(3>/5-3)cmD.(9-3\/5)cm

【答案】A

【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行列式計算即可解答.

【詳解】解：由題意得玩偶嘴巴到腳的距離為：6x與1=（36-3km

故選：A.

2.如圖，C是線段AB的黃金分割點，AC>BC,則下列結(jié)論中正確的是（）

I▲J

ACB

A.AC*2+BC2=AB2B.BC-0.618ABC.AC=^^~BC

2

D.BC:AC=AC:AB

【答案】D

【分析】本題主要考查黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)黃金分割的定義得

出生=任=避二1,即可得到答案.

ACAB2

【詳解】解：C是線段AB的黃金分割點，AC>BC,

,BCAC75-1

,AC-AB-2，

故選D.

3.黃金分割被很多人認(rèn)為是“最美比例"，是因為它符合人們的視覺習(xí)慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和

諧、平衡和美觀的藝術(shù)作品和產(chǎn)品.在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個有著“最美比例"的鸚鵡

螺，點8是線段AC的黃金分割點，AB>BC,若AC=16cm,那么AB的長為（）cm

A.24-8百B.48-16百C.84-8D.166-16

【答案】C

【分析】本題考查了黃金分割的有關(guān)計算，根據(jù)黃金分割的定義得到=把AC=16M?代入

2

計算即可得到答案.

【詳解】解：點8是線段AC的黃金分割點（鉆>3。，

:.AB=^^-AC,

2

AC=16cmf

AB=^-!-X16=（8A/5-8）C7?7,

故選：c.

4.已知線段A5的長度為2,點C是線段A5的黃金分割點，則AC的長度為（）

A.B.③-非C.石一1或3-逐D.或指一1

222

【答案】C

【分析】本題考查了黃金分割點的定義，根據(jù)黃金分割點的定義分兩種情況求解，熟記黃金分割點的定義

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)AC=。，則BC=2-a,

當(dāng)AC>3C時，

回點C是線段AB的黃金分割點，

ACBC

團----=----

ABAC

Q2-a

即二?=----，

2a

解得—1,=—A/5-1（不合，舍去）,

^AC=45-1;

當(dāng)ACV3C時，

回點C是線段A3的黃金分割點,

ACBC

團----=----，

BCAB

a2-a

即

2—ci2

解得q=3—^/5,%=3+A/5,

回%=3+\/5>2,

團出=3+^/^'不合，舍去，

團AC=3-6；

綜上，AC=^-1或3-6，

故選：C.

典例引領(lǐng)

【題型3：相似四邊形】

【典例3】如圖，把一張矩形紙片ABC。沿著4。和2C邊的中點連線EP對折，對折后所得的矩形正好與

原來的矩形相似，則原矩形紙片長與寬的比為（）

A.4：1B.72:1C.1：&D.2：1【答案】B

【分析】根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，設(shè)出原來矩形的長，就可得到一個方程，解方程即可求得.

【詳解】根據(jù)條件可知：矩形AEF3回矩形ABC。，

AEAB

團----=----，

ABAD

ae為中點

SAE=-AD

—2

團5ApAB,

ABAD

HAD2=2AB2,

^AD=y[2AB，

團原矩形紙片長與寬的比為友:1

故選B

【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似形的對應(yīng)邊的比相等，把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題，正

確分清對應(yīng)邊，以及正確解方程是解決本題的關(guān)鍵.

即時_檢測

1.如圖，取一張長為。，寬為匕的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形

與原長方形相似，則原長方形紙片的邊心6應(yīng)滿足的條件是（）

第一次對折第二次對折

a

A.a=72bB.a=2bC.3=272bD.a=4b【答案】B

【分析】根據(jù)對折表示出小長方形的長和寬，再根據(jù)相似多邊形的判定，對應(yīng)邊成比例列式計算即可.

【詳解】解：對折兩次后的小長方形的長為b,寬為;a,

4

a_b

要使小長方形與原長方形相似，只要滿足習(xí)二工即可，

4a

團a=2Z?.

故選：B.

【點睛】本題考查了相似多邊形的判定，準(zhǔn)確表示出小長方形的長和寬是解題的關(guān)鍵.

2.裝裱一幅寬40cm、長60cm的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，裝裱上去的部分的

上下的寬都為15cm,若裝裱上去的左右部分的寬都為xcm,則％=.

【答案】10

【分析】根據(jù)相似圖形對應(yīng)邊成比例即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：回裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似,

4040+2x

0-=------,解得:x=10.

6060+15x2

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握形似的圖形對應(yīng)邊成比例.

3.如圖，在矩形ABC。中，AD>AB,AB=2.點E在矩形ABC。的邊8C上，連結(jié)AE,將矩形ABC。沿

AE翻折，翻折后的點B落在邊上的點尸處，得到矩形CDEE.若矩形OFE與原矩形ABC。相似，則

AD的長為

【答案】1+75

【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

【詳解】回矩形COEEIB矩形AOCB,

CDDF2AD-2

回——=—,a即n一=------,

ADCDAD2

整理得，AD2-2AD-4=0,

解得，ADi=l-y[5（舍去），AD2=1+\[5,

故答案為：1+

【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，正方形ABCD中，點E是對角線BD上的一點，BE=BC,過點E作EFEIAB,EG0BC,垂足分別為點

F,G,則正方形FBGE與正方形ABCD的相似比為

AD

ML

BGc

【答案】］

【分析】設(shè)BG=x,則BE=J^x,即BC=J^x,貝I正方形FBGE與正方形ABCD的相似比=86：BC=x：亞x=

A/2：2.

【詳解】設(shè)BG=x,

則BE=0x,

0BE=BC,

回BC=x,

則正方形FBGE與正方形ABCD的相似比=36：BC=x：逝x=&：2.

故答案為去

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，圖形相似的的性質(zhì).解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的性質(zhì)得到相關(guān)邊

長的比.

典例引領(lǐng)

【題型4：相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用】

【典例4】如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點尸處與地面BE的距離為1.6米，且滿足

3FD=2FA,若盲區(qū)￡B的長度是6米，則車寬E4的長度為（）米.

,111213-

A.—B.—C.—D.2【答案】B

777

【詳解】解回如圖，過點尸作尸。，6月于點。，交AF于點

設(shè)AF=x米,

B3FD=2FAf

2

回。尸=3%米，

根據(jù)題意得：四邊形ACDF是矩形,

團AF〃CD,

團APFs.BPE,

7

^AFPM1.6--X

團蒜=三萬'InnP--____3_

BEPQ61.6

12

解得：x若,

團人尸二19亍米，

12

即車寬E4的長度為了米.

故選：B.

即時檢算

1.如圖，在，ABC中，點G是.ABC的重心，過點G作上〃3c分別交邊A3、AC于點。、E,聯(lián)結(jié)

DC，那么S&DCE：S&DBC=

2

【答案】2:3/：

【分析】聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于根據(jù)重心的概念得到AG=2GH,根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的

性質(zhì)計算即可.

【詳解】解：先證明：重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍；

由點G為ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG,BG,CG并延長交8C,AC,A3于"，Q,P,

則由三角形中線性質(zhì)可得：S,=S2,S3=54,S5=S6,

Sj+S5+S6=S2+S3+S4,Si+S2+S3=84+85+56，貝U285=284,251=256,

團E=S2=S3=S4=S5=￡,

,S.ACCAGS3+S4c

貝1^^=方=^^=2，即：AG=2GH,

'△HCG5”,2

即：重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍;

聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于

團G為一ABC的重心，

4G?

團AG=2GH,則——

AH3

^DE//BC,

ADAG2

團==—,

ABAH3

^DE//BC,

ADDE2

0------------=一，

ABBC3

^DE//BC,

^△DCE與4DBC的高相等，

則^ADCE-S△DBC=/DE'/?：—BC-h=2:3,

故答案為：2:3.

【點睛】本題考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線

的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.

2.如圖，G是ABC的重心，延長BG交AC于點延長CG交AB于點E,P、。分別是BCE和

△BCD的重心，BC長為6,則尸2的長為

【答案】1

【分析】連接OE,延長砂交8c于尸點，連接DF,由G是的重心，可證OE是一ABC的中位

線，從而可求出OE的長.利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到EP=2PF,DQ=2QF,再證明

FPQs-FED得至“或=理=!即可.

EDFE3

【詳解】解：連接延長EP交BC于/點，連接OF,如圖，

EIG是..ABC的重心，

國。、E分別是AB、AC的中點，

EIDE是一ABC的中位線，

SDE=-BC=3.

2

團尸點是BCE的重心，

回廠點為BC的中點，EP=2PF,

團。點是△BCD的重心，

團點Q在中線/上，DQ=2QF,

^ZPFQ=ZEFD,吆=吆=上,

-FEFD3

團FPQs_FED,

PQFP_1

a—=

EDFE~3

0P2=1E￡>=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì).三角形的重心是三角形

三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1.

3.如圖，某水平地面上建筑物的高度為A3,在點。和點/處分別豎立高是2m的標(biāo)桿8和EP,兩標(biāo)桿

相隔52m,并且建筑物A3、標(biāo)桿C￡＞和在同一豎直平面內(nèi).從標(biāo)桿CO后退2m到點G處，在G處測

得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿房后退4m到點“處，在”處測得建筑物頂端A和

標(biāo)桿頂端E在同一直線上，則建筑物的高是m.

【答案】54

【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得出一CDSABG,.EFH^ABH,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.

【詳解】解：SAB±BH,CD1,BH,EF1,BH,

AB//CD//EF,

:NCDG^NABGNEFH爾ABH,

DC_DGEF_FH

"AB-DG+BD；AB-FH+DF+DB；

CD=DG=EF=2m,DF=52m,FH=4m,

,2224

"AB一2+8〉卷—4+52+8￡)'

.2_4

"2+BD^4+52+BD'

解得：=52,

.2_2

一罰—2+52'

解得：AS=54,即建筑物的高是54m.

故答案為：54.

4.如圖，數(shù)學(xué)興趣小組下午測得一根長為1m的竹竿影長是0.8m,同一時刻測量樹高時發(fā)現(xiàn)樹的影子有一

部分落在教學(xué)樓的墻壁上，測得留在墻壁上的影高1.2m,地面上的影長為3m.請你幫算一下，樹高是—

m

【答案】4.95

【分析】此題考查了平行投影，相似三角形的應(yīng)用；在同一時刻任何物體的高與其影子的比值是相同的,

所以竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同，利用這個結(jié)論可以求出樹高.

【詳解】解：如圖,

設(shè)8。是BC在地面的影子，樹高為x,

根據(jù)竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得黑=工，

BD0.8

1.21

貝nlU-----=—，

BD0.8

解得：50=0.96,

，樹在地面的實際影子長是0.96+3=3.96（m）,

X1

竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得：三7=去，

3.960.8

解得：x=4.95,

二.樹高是495m.

故答案為：4.95.

好題沖關(guān)

1.長春軌道交通6號線預(yù)計于2024年開通運營，在比例尺為1:500000的地圖上，量得全線長約為6cm,

則軌道交通6號線的實際距離約為—km.

【答案】30

【分析】本題考查了比例尺，關(guān)鍵是理解比例尺的概念，掌握計算方法，但要注意單位的轉(zhuǎn)換.根據(jù)比例

尺=圖上距離：實際距離，按題目要求解答即可.

【詳解】解：根據(jù)比例尺=圖上距離：實際距離，得:

軌道交通6號線的實際距離約為：6x500000=3000000(cm),

3000000c"?=30km.

故答案為：30.

2.已知線段匕是線段a,c的比例中項，a=4cm,b=9cm,那么c二cm.

Q1

【答案匕

【分析】本題考查線段的比例中項，根據(jù)線段比例中項定義得到是解答的關(guān)鍵.根據(jù)線段的比例中

項定義求解即可.

【詳解】解：回線段6是線段mc的比例中項,

團=ac,

又a=4cm,b=9cm，

a44

Q1

故答案為「cm.

3."黃金分割”給人以美感，它不僅在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而且在大自然中處處有美的痕

跡，一片小小的樹葉也蘊含著"黃金分割如圖，P為AB的黃金分割點(轉(zhuǎn)＞尸3),如果AB的長度為

8cm,那么AP的長度是.cm.

【答案】9石-4)

【分析】本題考查了黃金分割，難度較小，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)黃金分割的定

義，可得4尸=好匚42,然后進(jìn)行計算即可解答.

2

【詳解】解：SP為A3的黃金分割點A8的長度為8cm,

J5-1、

團AP='——AB=x8cm=(40-4km,

一

27

4.如圖，樂器上的一根弦A5的長度為100cm,兩個端點A、3固定在樂器板面上，支撐點。是弦靠近點

B的黃金分割點，則線段AC的長度為一cm.（結(jié)果保留根號，參考數(shù)據(jù)：黃金分割數(shù)：，）

【答案】（506-50）

【分析】本題考查黃金分割點的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義.根據(jù)黃金分割的定義直接求解

即可.

【詳解】解：回C是弦AB靠近點8的黃金分割點，AB=100cm,

0AC=AB^^=100x^^-=（50V5-50）cm,

故答案為：（504-50）.

虢力擢升

一、選擇題

1.如圖，點G為一ABC的重心，ZC=90°,ZB=30°,連接CG并延長交AB于點O,作DELCB于點

GF

E,過點G作G/〃49交AC于點尸，則一的值為（）

432X/3

A.1B.-C.-D.=-^-

323

【答案】B

【分析】首先根據(jù)30度所對的直角邊等于斜邊的一半得出。E=設(shè)DE=a,則瓦）=2°.再根據(jù)

2

2

重心的定義與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出CD=AL>=3D=2a,寄=§，然后利用平行線分線段成比

24aGF4

例定理得出3/=彳4。=?，進(jìn)而求出-=彳.本題考查了三角形重心的定義與性質(zhì)，三角形的重心是

33DE3

三角形三邊中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1,也考查了直角三角形的

性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，難度適中.

【詳解】解：0DE±CB,ZB=30°,

^DE=-BD.

2

設(shè)DE=a,則2a.

團點G為二ABC的重心，ZC=90°,

連接CG并延長交A8于點。，

CG2

團CD=AD=BD=2a，=—,

CD3

^\GF//AD,

GFCG2

團---=---=一，

ADCD3

24。

團GF=—AD=——，

33

GF4

團---=一

DE3

故選：B.

2.如圖，點G為，ABC的重心，若SA.=9,則Sw的值為（）

【答案】C

【分析】本題考查三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形重心的性質(zhì)

和相似三角形的性質(zhì)推出GM:CN=DG:DC=1:3.

【詳解】連接CG并延長交于。，過G作于過C作于N,

0GMCN,

:「DGMs工DCN,

SGMiCN=DG:DC,

I3G是ABC的重心，

:.DG:DC=1;3,

:.GM:CN^1:3,

SADRC=—AB?MG,ASbCAR「=—AB-CN,

.SABGGM1

"SABCCN3'

SABC—9,

??OABG~），

故選:c.

3.如圖，在YABCD中，點E在。。邊上，連接AE1交BD于點產(chǎn)，若DE:EC=2:1,則△形歹的面積與

廠的面積之比為（）

___________B

K

DEc

A.1:4B.4:9C.9:4D.2:3

【答案】c

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì),利用平行線判定，/防s,ED/,結(jié)

合AB:DE=3:2計算選擇即可.

【詳解[SYABCD,

0AB=CD,ABCD,

國ABFS..EDF,

回鼠*必，

S、EDF10切

「DE小

團——=2,

EC

回___D__E___=_D__E=___2_=—2

EC+DEDC1+23'

DE2

團---=—,

AB3

AB3

團---=一，

DE2

4=0=2,

S.[24

故選：c.

4.如圖，AABCs^ACD,相似比為2,已知AD的長為2,則A3的長為（）

A

D

BC

A.8B.4A/3C.6D.4

【答案】A

Aft

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)嘿=煞=2即可求解.

ACAD

【詳解】解：^AABC^AACD,相似比為2,

ABAC3

團——=——=2

ACAD

團AD的長為2,

EIAC=2AD=4,AB=2AC=8,

故選：A

5.如圖，若0ABe內(nèi)一點尸滿足aR4C=aPBA=aPC8,則稱點尸為0ABe的布洛卡點.問題：已知在等

腰直角三角形DEF中，回即尸=90。，若點Q為B1DEF的布洛卡點，。。=1,貝UEQ+FQ=()

A.5B.4C.3+0D.2+0

【答案】D

［分析］根據(jù)新定義得回2=回3,回DQF甌FQE,運用對應(yīng)邊成比例即可解題.

【詳解】解：如下圖，在等腰直角三角形DEF中,EIEDF=90。，DE=DF,01=02=03,

001+0QEF=03+0DFQ=45°/

EBQEF=EIDFQ,

002=03

EBDQFEEFQE,

DQFQDF1

?FQ=QE=EF=V2J

0DQ=1,

回FQ=VLEQ=2,

EIEQ+FQ=2+72

故選D.

D

【點睛】本題考查了新定義和三角形的相似，屬于簡單題，通過新定義證明三角形的相似是解題關(guān)鍵.

6.《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如圖所示，在井口A處立一根垂直于井

口的木桿AB,從木桿的頂端B觀察井水水岸。，視線與井口的直徑AC交于點E,通過測量AB,

AC,AE的長度，可以推算出水面以上部分CD的高度，這種測量原理，就是我們所學(xué)的（）

A.圖形的平移C.圖形的軸對稱D.圖形的相似

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用的知識點，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)；善于從實

際問題中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題是關(guān)鍵.

【詳解】解：'：AB±AC,DCLAC,

0ABDC,

：._DECs_BEA,

DCEC

BA-E4

：.DC=^

EA

酬艮據(jù)測量A3,AC,AE的長度可以求出CO的長度,

團這種測量原理利用的是圖形的相似.

故選：D.

7.如圖，周末小新一家來到河北石家莊正定古城游元，一座古塔A2塔高為84.2m,小新在距離古塔

400m的位置觀看古塔時，與觀看到的手中的景點地圖的古塔縮略圖感覺相同（△OABs^oCD）,若縮略

圖中的古塔高8為4.21cm,則縮略圖距離眼睛的距離。。為（）

A.20cmB.40cmC.60cmD.80cm

【答案】A

【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟練的利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解是關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得：03=400m,AB=84.2m,CD=4.21cm,

△(MB^AOCD,

OBAB

0——=

OD~CD

40084.2

0-----=-------

OD4.21

HOD=20(cm),經(jīng)檢驗符合題意;

故選A

8.如圖1,一長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到

容器口邊緣.圖2是此時的示意圖，若BC=6cm,AB=16cm,水面所離桌面的高度為9.6cm,則此時點

C離桌面的高度為()

A.10cmB.13.2cmC.14.4cmD.16cm

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，過點c作桌面的垂線CM,垂足

為點M,交BF于點、N；過點2作桌面的垂線3尸，垂足為點尸；根據(jù)題意易得3尸=MN=9.6cm,通過證

明CNBsAPB,求出EV=3.6,再根據(jù)勾股定理求出9=母匚芯=4.8，最后根據(jù)

CM=CN+MN,即可求解.

【詳解】解：過點C作桌面的垂線CM,垂足為點交所于點N；過點B作桌面的垂線3尸，垂足為點

P,

回水面防離桌面的高度為9.6cm,

團BP=MN=9.6cm,

^BF//AP.CMLAP,

^CNLBF,

^\ZCBN+ZABF=ZABP+ZABF=90°,

O/CBN=ZABP,

又團NCNB=NAPB,

團CNBsAPB,

BNBCBN6

0一=一,即an一=—,

BPAB9.616

解得：BN=36,

根據(jù)勾股定理可得：CN=JBC，—BN2=4.8，

團CM=GV+M/V=4.8+9.6=14.4cm,

即此時點C離桌面的高度為14.4cm.

故選：C.

二、解答題

9.如圖，在AABC中，點D,E,F,G分別在AB,AC,BC上，AB^3AD,CE=2AE,BF=FG=CG,DG

與EF交于點H.

(1)求證：FH?AC=HG?AB；

(2)連接DREG,求證：ZA=/FDG+ZGEF.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)已知條件先證明DG0AC,EF0AB,可得EIHGF=I3C,0HFG=0B,即可證明AblFGa3ABC,從而

可得結(jié)論；

(2)連接DF,EG,DE,證明四邊形DFGE和ADHE是平行四邊形，即可證得結(jié)論.

【詳解】回AB=3AD,BF=FG=CG,

0BD=2AD,BG=2CG,

BDBG。

回一=—=2,

ADCG

團DG團AC,

同理可得，EF回AB,

回團HFG二回ABC,回HGF二回ACB,

團團HFG回團ABC,

ABAC

(2)連接。尸,￡G,DE,如圖所示,

0EF0AB,

GHGF

團——=

HDFB

團GF=FB

GHGF

回==1，

HDFB

團GH=HD,

同理可證，F(xiàn)H二EH,

團四邊形DFGE是平行四邊形,

團DF回EG,

回團FDG二團EGD,

加FHG二團EGH+回HEG,

回回DHE二團FHG,

回團DHE二團EGH+團HEG=/FDG+/GEF,

由EF團AB,DG回AC,得四邊形ADHE是平行四邊形,

團團A二團DHE,

⑦ZA=NFDG+/GEF

【點睛】此題主要考查了平行線分線段成比例的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相

減的判定與性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

10.如圖1,A￡＞是ABC的高，點E,尸分別在邊AB和AC上，且即〃3C.由“相似三角形對應(yīng)高的比

AGEF

等于對應(yīng)邊的比"可以得到以下結(jié)論:~AD~^C

圖1

⑴如圖2,在二ABC中，BC=6,邊上的高為8,在ABC內(nèi)放一個正方形肱VG",使其一邊G”在

3c上，點M,N分別在A3,AC上，則正方形的邊長=；

（2）某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個腰長為100cm,底邊長為120cm的等腰三角形展臺.現(xiàn)需將

展臺用平行于底邊的隔板，每間隔10cm分隔出一層，再將每一層盡可能多的分隔成若干個開口為正方形

的長方體格子，要求每個格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒，平面設(shè)計圖如圖3所示，將底邊BC的長度看作是第0

層隔板的長度；

①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)隔板厚度忽略不計時，每層平行于底邊的隔板長度（單位：cm）隨著層數(shù)

（單位：層）的變化而變化.請完成下表：

層數(shù)/層0123

隔板長度/cm120———

②在①的條件下，請直接寫出該展臺最多可以擺放多少瓶葡萄酒？【答案】（1）三；

（2）①105,90,75；②最多可以擺放40瓶葡萄酒.

【分析】（1）過A點作A。13c于D,交MN于E,設(shè)正方形的邊長為無，根據(jù)等=等

ADBC

即可求出x的長，即正方形的邊長.

（2）①由等腰三角形的性質(zhì)可得R）=60cm,由勾股定理可求得AD=80cm.設(shè)第1層、第2層、第3層

的隔板長度分別為％、為、％，由閱讀理解的結(jié)論可分別列方程求解.

②設(shè)第〃層隔板的長度為力,列出比例式，求出力與〃的關(guān)系式，則可求出最多可擺多少層，每層隔板

的長度及每層擺多少瓶，最后求出一共可擺多少瓶即可.

A

由閱讀理解的結(jié)論得笠=黑,

ADBC

設(shè)正方形MNG"的邊長為％,則

R-x_x

=,

86

解得X=萬.

74

故答案為：—

AB=AC=100

：.BD=CD=-BC=60

2

..,AD=V1002-602=80

①設(shè)第1層，第2層，第3層隔板的長度的分別為%,%,%，則

了80-10

解得％=1。5.

120-80

%80-20

解得%=90.

120-80

上=亞型，解得乂=75

120803

故答案為：105,90,75.

②第w層隔板的長度的分別為先,則

yn80-10〃

12080

得%=120-15",

因此得以=60,%=45,%=30,%=15,

團最多可擺7層，

第1層可擺105+10=10.5?10（瓶），

第2層可擺90+10=9（瓶），

第3層可擺75+10=7.5。7（瓶），

第4層可擺60+10=6（瓶），

第5層可擺45+10=4.5^4（瓶），

第6層可擺30+10=3（瓶），

第7層可擺15:10=1.5=1（瓶），

共10+9+7+6+4+3+1=40（瓶），

團該展臺最多可擺40瓶葡萄酒.

【點睛】本題主要考查了"相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比"，根據(jù)此比例式找出y與尤之間的關(guān)系式是

解題的關(guān)鍵.

直叁感知

一、單選題

1.（2023?湖北恩施,統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，￡>E〃3c分別交4C,AB于點。，E,EF//AC^.

AF1

BC于點、F,—=BF=8,則DE的長為（）

BE5

【答案】A

【分析】先證得四邊形DEFC是平行四邊形，得到?！?產(chǎn)。，再利用平行線截線段成比例列式求出尸C即

可.

【詳解】回。石〃3（?,EF//AC,

回四邊形DEFC是平行四邊形，

團DE=FC,

團石尸〃AC,

團BF=8,

0DE=y,

故選：A.

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，正確理解平行線截線段成比例是解

題的關(guān)鍵.

2.（2023?吉林?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點。在邊上，過點。作￡應(yīng)〃3。，交AC于點

AP

E.若位＞=2,BD=3,則丁的值是（）

【答案】A

【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出生=當(dāng)，即可求解.

ACAB

【詳解】解：團ABC中，DE//BC,

「AEAD

回——=——,

ACAB

團AD=2,BD=3

sjAE_AD_2_2

ACAD+BD2+35'

故選：A.

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關(guān)鍵是牢記"平行于三角形一邊的直線截其它兩邊

（或兩邊的延長線）所得對應(yīng)線段成比例

3.（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，48=90。,4=30。,3。=2,￡＞為A3的中點.若點

AFIDP

E在邊AC上，且二===，則AE的長為（）

A

A.1B.2C.1或3D.1或2

2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意易得AB=2VJ,AC=4,然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解.

【詳解】解：回4=90?！?30。,3c=2,

SAB=^3BC=2^3,AC=2BC=4,

回點。為AB的中點，

0AD=—AB=#),

2

ADDE

團-------，

ABBC

團。￡=1,

①當(dāng)點E為AC的中點時，如圖，

②當(dāng)點E為AC的四等分點時，如圖所示:

0AE=1,

綜上所述：AE=1或2；

故選D.

【點睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含3