河南省南陽市六校2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省南陽市六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(3,〃)，且P(J<4)=0.6,則尸(2<J<3)=()

A.0.05B.0.1C.0.3D.0.4

2.如圖，“BC,ACBD,ADBE,AEBF,…均為直角三角形,4C,。,瓦…為直角頂點(diǎn)，

ZABC=ZCBD=ZDBE=ZEBF=.?.=60°,且48=1,設(shè)這些直角三角形的周長從小到

大組成的數(shù)列為｛即｝,則％。=()

A.(1+V3)29B.(1+A^)210C,(3+V3)29D.(3+G)2Kl

3.已知函數(shù)f(x)=ae-"l)x,且/'⑴=e,則實(shí)數(shù)。=()

A.1B.2C.eD.2e

4.已知｛%｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，若%，3%成等差數(shù)列，則1叫％。-1叫%=()

A.3B.4C.5D.6

5.已知i為虛數(shù)單位，則的展開式中記的系數(shù)為()

A.-10B.10C.-15D.15

6.已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,出=2,且。,+2=%+i+a“，設(shè)，=(T)"“，則數(shù)列｛bn｝的前2024

項(xiàng)和為()

A.674B.673C.-673D.-674

試卷第1頁，共4頁

2

x-ax+l,x<0,

7.已知函數(shù)/（%）=（a若/（工）〉0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

lux——+l,x>0,

A.12,-/1B.（-2,-1）C.1-2,7JD.（-2,1）

21

8.已知雙曲線C:三-々=l（a>0,6>0）,如圖，過C的右焦點(diǎn)廠作直線與C的兩條漸近線

a~b~

QT3

分別交于點(diǎn)尸,。，與V軸交于點(diǎn)T,若且⑥=彳，則C的離心率為（）

PF2

A.V2B.V3C.2D.273

二、多選題

9.假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一個(gè)家庭中共有3個(gè)孩子，用A表示事件“該家庭

中既有男孩又有女孩”，用B表示事件“該家庭中最多有1個(gè)女孩”，則（）

31

A.尸（，）=1B.尸（削5）=-

C.P（B\^）=1D.A與8相互獨(dú)立

10.已知數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和S“=而2+3〃+/）,則下列說法中正確的是（）

A.{4}一定為等差數(shù)列

B.{6}可能為等比數(shù)列

C.若左>0,則{%}一定為遞增數(shù)列

D.若左=-g，則存在meN*,使得冊(cè)=0

11.已知函數(shù)〃x）=2e"-x,若不等式/（〃x））<x恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值不可

能是（）

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.將4個(gè)不同編號(hào)的球放到3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，則不同的分配方

法共有種.

13.已知點(diǎn)尸(x,y)在圓/+/-2x+4y+4=0上運(yùn)動(dòng)，則I的最小值是.

14.已知函數(shù)/(X)及其導(dǎo)函數(shù)f'(久)的定義域均為1-全野，且/⑴為偶函數(shù)，若轉(zhuǎn)0時(shí),

r(x)>/(x)tanx,且/佰］=2,則不等式/⑴〈'的解集為_________.

k37cosx

四、解答題

15.如圖，在四棱錐P-/2CD中，四邊形/BCD為正方形，P/_L平面

⑴若5EJ.PC,求；I；

(2)若％=求直線BE與平面/PC所成角的正弦值.

16.揚(yáng)子鱷是中國特有的一種小型鱷類，是國家一級(jí)重點(diǎn)保護(hù)野生動(dòng)物，活動(dòng)區(qū)域主要在長

江下游流域.研究人員為了解揚(yáng)子鱷的生長發(fā)育情況，隨機(jī)抽取了6只揚(yáng)子鱷，測(cè)量它們的

頭長x(單位:cm)與體長y(單位：cm),得到如下數(shù)據(jù)：

樣本編號(hào)，123456

頭長X,1515.315.316.616.817

體長乂125128130138142153

試卷第3頁，共4頁

22

并計(jì)算得之(七-x)x4,￡(Z.-v)=550,京x,.-x)(Z--j)“44

Z=1Z=1Z=1

(1)求這6只揚(yáng)子鱷的平均頭長與平均體長；

(2)求揚(yáng)子鱷的頭長與體長的樣本相關(guān)系數(shù)；(精確到0.01)

⑶己知X與y可以用模型>=樂-40進(jìn)行擬合，若某只揚(yáng)子鱷的頭長為20cm,利用所給數(shù)

據(jù)估計(jì)這只揚(yáng)子鱷的體長.

?a-無)(%-區(qū))

附：相關(guān)系數(shù)―IJ“，局。2.35.

、區(qū)a-可5(%-刃2

V1=11=1

17.已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足%=1,當(dāng)〃22時(shí)，a〃-%=2〃-1.

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)s”為數(shù)列檢，的前〃項(xiàng)和，證明：S”<2.(參考結(jié)論：當(dāng)"“時(shí)，?2<2".)

18.已知函數(shù)/(%)=(犬+a)cosx,其中a之2.

■7T

⑴討論“X)在區(qū)間(0,-)上的單調(diào)性；

(2)若。=2,函數(shù)g(x)=/(x)-質(zhì)2在區(qū)間(0,萬)內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

19.已知拋物線C:f=2處(0>0)的焦點(diǎn)尸到直線/：y=x-4的距離為述，尸為直線/上的

2

動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線分別與C相切于點(diǎn)M,N.

(1)求C的方程；

⑵證明：直線過定點(diǎn)；

⑶若直線4,4分別交x軸于點(diǎn)42,求H同的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BCBDCDABACDBD

題號(hào)11

答案BCD

1.B

【分析】應(yīng)用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率即可.

【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的基本性質(zhì)可知，對(duì)稱軸為4=3

尸(2<J<3)=尸(3<J<4)=尸(<4)—尸C<3)=0.6-0.5=0.1.

故選：B.

2.C

【分析】利用等比數(shù)列模型求解，建立等比數(shù)列模型，求解出其中的項(xiàng).

【詳解】根據(jù)題意，這些直角三角形是相似的，并且相鄰兩個(gè)三角形的相似比為駕=2,

AB

從而這些三角形的周長從小到大組成的數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，公比4=2,

首項(xiàng)為V4BC的周長3+6，因此%°=(3+C)29.

故選：C.

3.B

【分析】根據(jù)令x=l求出〃1),再由/'⑴=6求。.

【詳解】由題意知/(1)=在-/(1),所以7?⑴若，

所以八力=*若，

“、aeae

又/⑴=〃e-萬二萬=?！?/p>

所以a=2.

故選：B

4.D

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得9=4,再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算分析求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛冊(cè)｝的公比為夕g>o).

因?yàn)?〃1，；〃3,3%成等差數(shù)列，可得441+3〃2=%，即4%+3%4=%/，

整理可得q?—3q-4=0,解得9=4或4=-1(舍去).

答案第1頁，共11頁

9

所以logMo-logMTogs—=>og84=log,2i8=6.

%

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】展開式的通項(xiàng)&]=C產(chǎn)，=C鼠-以產(chǎn)”,

當(dāng)6-2r=2時(shí)，r=2,

因此r的系數(shù)為C；(-i)2=-15.

故選：C

6.D

【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合數(shù)列的周期性求解即可.

【詳解】因?yàn)槠鏀?shù)與奇數(shù)之和為偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)之和為奇數(shù)，

所以數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)的奇偶情況依次為奇、偶、奇、奇、偶、奇……

所以數(shù)列｛"｝的各項(xiàng)依次為-…,

故數(shù)列他?｝以3為周期，且相鄰3項(xiàng)之和為-1,

因?yàn)?024=3x674+2,

所以數(shù)列出?｝的前2024項(xiàng)和為-1x674-1+1=-674.

故選：D.

7.A

【分析】分段討論不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得出參數(shù)范圍.

【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=1>0.

當(dāng)x<0時(shí)，/(無)=尤2-"+1>0恒成立等價(jià)于a>x+L恒成立，因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),

X

I=-2,所以〃>-2.

Xmax

當(dāng)尤>0時(shí)，/(無)>0恒成立等價(jià)于a<xlm:+x恒成立.

記g(x)=xlnx+x,則8'(工)=欣+2名，門)在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù),

并且零點(diǎn)為苫=卜，xe(0,5：g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

答案第2頁，共11頁

xe]?,+<?],g'(x)>O,g1)單調(diào)遞增，

因此8打簿小8[5]"/，所以"-g.

CyCC

綜上，—2<a<—z-.

e

故選：A.

8.B

【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程和題設(shè)條件可得|尸盟="|。尸|=%利用相似形求出|"|與

\QT\,借助于倍角公式和三角函數(shù)定義得方程生士/化簡(jiǎn)即得.

12abb2-a2

b\PFI

【詳解】在RdOPF中，因tan/POF=—可設(shè)|尸尸|=加，貝1］］。尸］=成，

a\OP|

因尸尸_LOP,lil!j||2+1OP|2=|OF|2,BP(aA)2+(bk)2=c2,則左=1,

2

故歸同=瓦|0尸卜即由三角形相似可知|O尸產(chǎn)=|研尸尸I，因此=

又因空='所以=0.設(shè)/TOP=/TO0=e,則tan6=：,

rr22b

2a吸。

---9A6

故=下「，又。中,22

tan26=—^Rt^OPQPb22a+3b,

ab-atan26=

l-ROPa2ab

故得即3/2a4=4/62,從而w2_2叫(3/+叫=0,

labb2-a2'八7

故得〃=2〃，從而離心率為

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查求解雙曲線的離心率問題，屬于難題.

解題關(guān)鍵在于理解FPLO尸蘊(yùn)含的信息|尸盟="|。尸|=。，以及借助于RtZXOP。，利用兩種

方式表示tan26得出a,6,c的齊次方程.

9.ACD

【分析】根據(jù)對(duì)立事件概率求解判斷A選項(xiàng)，應(yīng)用古典概型計(jì)算判斷B選項(xiàng)，條件概率計(jì)

算判斷C選項(xiàng)，應(yīng)用相互獨(dú)立事件概率乘積公式判斷D選項(xiàng).

_73

【詳解】尸(4)=1-尸(/)=1-￥="故A正確.

答案第3頁，共11頁

1c11c13

-,

9)=*號(hào)4網(wǎng)/專8

(.、P(AB\3/.xP(AB\1

所以尸(削8)=片骨="P(面”)=九，=5,故B錯(cuò)誤，C正確.

7

因?yàn)镻(/)尸(5)=尸(/2)=g,所以A與8相互獨(dú)立，故D正確.

O

故選：ACD.

10.BD

【分析】對(duì)于A：證明6=0,｛4｝才是等差數(shù)列，對(duì)于B：取左=6=0,即可說明；對(duì)于C：

證明為可判斷，對(duì)于D：用二次函數(shù)的性質(zhì)說明即可.

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)"22時(shí)，

an=Sn-Sn_x=(hr+3,+6)-[左(〃-1)-+3(?-1)+6]=2kn-k+3,

該通項(xiàng)公式為一次函數(shù)形式，所以｛4｝從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列的條件只需滿足當(dāng)n=1時(shí)滿足〃N2的通項(xiàng)公式即可，

即當(dāng)〃=1,岳=左+3+6=左+3,所以只有當(dāng)6=0時(shí)，｛%｝才是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)左=6=0時(shí)，Sn=3n,an=3,滿足要求，故B正確；

對(duì)于C：若左=1,6=3,則S“=川+3〃+3,%=S]=7,出=邑一耳=6,所以%>的，故C錯(cuò)誤；

11a

對(duì)于D,若左=-：函數(shù)f(x)=f+3x+6的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，因此邑=$5,從

而。5=。，故D正確.

故選：BD

11.BCD

【分析】先把不等式移項(xiàng)化簡(jiǎn)，再分類討論利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最后結(jié)合范圍求解.

[詳解]因?yàn)?(/(x))_x=2ea<W-/(x)-x=2eo/(I)-2e,

ax

所以/(/(x))<xoe"3<eSo"[)<a無，gpae<ax.

若"0,不等式化為e">x,此不等式對(duì)任意xWO恒成立，不符合條件.

Inv

若。>0,不等式化為e"<x,即更>。恰有一個(gè)整數(shù)解.

答案第4頁，共11頁

記g(x)=—,則g<x)=l苫產(chǎn)，當(dāng)xe(o,e),g'(x)>0；當(dāng)xe(e,+oo),g'(x)<0；

可得g(x)=?在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+⑹上單調(diào)遞減，

乂r小ln3小In2/八Ine1

并且g⑶=W，g(2)=^-=g(4),g(ze)x=一=一，

32ee

因此噸>。恰有一個(gè)整數(shù)解時(shí)坐V。〈學(xué)，實(shí)數(shù)。的取值不可能是B,C,D.

x23

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：先化簡(jiǎn)構(gòu)造再分類討論利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最后結(jié)合范圍求解.

12.36

【分析】根據(jù)題意，先將4個(gè)不同編號(hào)的球分成3組，再將分好的3組放到3個(gè)不同的盒子

中，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【詳解】由題意，將4個(gè)不同編號(hào)的球放到3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，

先將4個(gè)不同編號(hào)的球分成3組，共有C：=6種不同的分法；

再將分好的3組放到3個(gè)不同的盒子中，共有耳=6種不同的方法，

由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有6x6=36種不同的分配方法.

故答案為：36.

4

13.——

3

【分析】確定圓心和圓的半徑，再根據(jù)一的幾何意義數(shù)形結(jié)合即可得到一的最小值的情況

yy

進(jìn)而求解即可.

【詳解】由*+/—2x+4y+4=0得(x—1)2+(>+2)2=1,

YQ

故圓的圓心為。,-2),半徑為1,當(dāng)尸(0,-2)時(shí)，-=-^=0,

x_x-0_1_1

當(dāng)尸(xM(xwO)時(shí)，了一齊P正0-豆，

x-0

如圖可知勺尸<0,故此時(shí)土的最小值是直線O尸斜率先的最大值的倒數(shù),

答案第5頁，共11頁

W+2

令丫=履,即h-y=0,則圓心到該直線的距離滿足d=+^=l,

vr+i

兩邊平方整理得4左+3=0,解得斤=-：3，故此時(shí)一x的最小值是-4三,

4y3

又-：4<0,故一X的最小值為-4

3y3

4

故答案為：

【分析】求出函數(shù)尸(x)=/(x)cosx在0,]J的單調(diào)性，且是偶函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為

尸(X)<尸]]]即可依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解.

【詳解】因?yàn)閤/o,小時(shí)，/-(x)>/(x)tanr=Z^)sinr,

IZ)cosx

所以/'(x)cosx2/(x)sinx,即/r(x)cosx+/(x)(cosx)f>0,

因此[“xWos刈bO,從而尸(x)=〃x)COST在上單調(diào)遞增，

又/(x)是上的偶函數(shù)，且了=。。5》是偶函數(shù)，

所以尸(-尤)=/(T)COS(-X)=/(x)COS(X)=尸(X),

即尸⑺是W上的偶函數(shù)，故尸(X)在:去0)上單調(diào)遞減，

由于/，1=2,因此/][=1,又/(x)<￡^p/(x)cosx<l,即尸(x)<l,

所以尸故由尸(X)的單調(diào)性和偶函數(shù)特點(diǎn)可知

因此X的取值范圍為(-苦)

故答案為：1-抬;

15.(1)0

⑵班.

10

【分析】(1)根據(jù)題意，可得平面ZPC,所以8EL/C,可得力的值;

(2)利用空間向量法求直線BE與平面/PC所成角的正弦值.

答案第6頁，共11頁

【詳解】(1)由P/_L平面48CD,BEu平面/BCD,

BEVPA.

■：BELPC,且尸4PCu平面4PC,PAr\PC=P

所以8￡_L平面/尸C.

而/Cu平面"C,BELAC.

,??四邊形/BCD是正方形，.〔AE■與8。重合，

A=0.

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則/(O,O,O),C(1,1,O),P(O,O,l),￡fl,I,0}B(),1,0),

BE=l,-1,0j,^C=(l,l,0),AP=(0,0,l).

設(shè)元=(x,y,z)為平面APC的法向量,

n-AC^Ox+y=0

則__,即

n-AP=Qz=0

可取元=(1,一1,0).

設(shè)0為直線BE與平面/PC所成的角,

3

貝I」sing=|COSM,BE^=-----=

——xV2

2

即直線BE與平面“PC所成角的正弦值為嚓.

16.(l)16cm,136cm

(2)0.94

(3)180cm.

答案第7頁，共11頁

【分析】（1）利用平均值公式求解即可;

（2）利用相關(guān)系數(shù)公式求解即可；

（3）先利用自變量和因變量的均值均在回歸曲線上，求解出6,進(jìn)而估計(jì)這只揚(yáng)子鱷的體長.

【詳解】(1)平均頭長為了=15+：(0+0.3+0.3+L6+1.8+2)=16(cm),

平均體長為歹=130+：(-5-2+0+8+12+23)=136(cm).

za-可（％-刃444444

(2)由題可知，=「60.94

A/4X550-47

Vj=lj=l

（3）由題意知歹=反一40.所以b="6+40=ii,

16

所以＞=15一40,令x=20,得＞=180,

因此估計(jì)這只揚(yáng)子鱷的體長為180cm.

17.(1)%=/

（2）證明見解析

【分析】（1）應(yīng)用累加法求通項(xiàng)公式;

(2)分〃=1,2,3和〃“兩種情況結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式證明不等式.

【詳解】(1)當(dāng)"N2時(shí)，

an=(%一??-1)+(??-1-。“一2)+…+(%一°2)+(°2一%)+%

—2Tl—1+2〃-3+,,,+5+3+1—".

2

又q=1=f,因此｛a九｝的通項(xiàng)公式為an=n.

2

(2)由(1)知%=小,因此線=土.

3〃3"

,11477110

因?yàn)榈?1邑=3+3=563=3+]=§,所以當(dāng)〃=1,2,3時(shí)，S〃＜2.

因?yàn)楫?dāng)〃24時(shí)，n2<T,所以

2

1-

此時(shí)*,310161016__46

---F—

927927-27

答案第8頁，共11頁

綜上，S"<2.

18.⑴/⑴在(0,今上單調(diào)遞減;

(2)(-^--,0).

471

【分析】(1)求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)/'(%),利用導(dǎo)數(shù)再探討函數(shù)/'(%)的單調(diào)性即可得解.

(2)求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)g(x),結(jié)合(1)的信息按左>0,左<0分類討論g(x)的單調(diào)性

即可求得答案.

【詳解】(1)函數(shù)/(X)=(/+Q)COSX,求導(dǎo)得/'(x)=2xcosx-，+q)sinx,

設(shè)(p(x)=f(x),則(p\x)=(2-a)cosx-Axsinx-x2cosx.

jrjr

而。22,則當(dāng)x￡(0q)時(shí)，(x)<0,函數(shù)°(x)=/'(%)在(0,萬)上單調(diào)遞減，

于是f(x)<f(0)=0,所以函數(shù)/(X)在(0,；)上單調(diào)遞減.

(2)函數(shù)g(x)=/(%)-履2,求導(dǎo)得/(X)=f\x)-2kx=2xcosx-(x2+2)sinx-2kx,

jrjr

若左20,由⑴知g'(x)<o在(0,萬)上恒成立，從而g(x)在(0,萬)內(nèi)無極值點(diǎn)，不符合題

思；

若左<0,設(shè)〃(%)=g'(x),則u\x)=-4xsinx-x2cosx-2k,且〃'(0)=-2k>0,

設(shè)v(x)=u\x),貝(jM(x)=—6xcosx+，一4)sinjr<0在(0,萬)上恒成立，因此v(x)在(0；)上單

調(diào)遞減，

若丫($20,即心r,則v(x)>0在(0,，上恒成立，因此w(x)在(0$上單調(diào)遞增，

JT

則〃")>〃(0)=0