山東省濟(jì)南市2023-2024學(xué)年高一年級上冊1月期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

濟(jì)南市2024年高一學(xué)情檢測

數(shù)學(xué)試題

本試卷共6頁，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫在答

題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.據(jù)教育部統(tǒng)計(jì)，2024屆全國普通高校畢業(yè)生規(guī)模達(dá)1179萬人，將數(shù)字11790000用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.1.179xl07B.1.179xl08

C.11.79xl06D.0.1179xl08

【答案】A

【解析】

【分析】由科學(xué)記數(shù)法要求可得.

【詳解】11790000=1.179x107,

故選：A

2.下列運(yùn)算正確的是（）

A.3a2-a-2aB.(a+Z?)~=a~+

C.a3b2=aD.(a2b)2=a4b2

【答案】D

【解析】

【分析】舉例說明判斷ABC；利用幕的運(yùn)算法則判斷D.

【詳解】對于A,3a*=a（3-a）,A錯誤；

對于B,（o+b^'=tz2+lab+b1,B錯誤；

對于C,a3b24-a2=ab2-C錯誤；

對于D,（"人了=僅2）2/=。％2,口正確.

故選：D

3.小剛同學(xué)一周的跳繩訓(xùn)練成績（單位：次/分鐘）如下：156,158,158,160,162,165,169.這組數(shù)據(jù)

的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.160,162B.158,162

C.160,160D.158,160

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義易得.

【詳解】因在156,158,158,160,162,165,169這組數(shù)據(jù)中，158出現(xiàn)了2次，次數(shù)最多，故眾數(shù)是

158；

根據(jù)中位數(shù)的定義知，按照從小到大排列的七個(gè)數(shù)據(jù)中，第四個(gè)數(shù)160為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

故選：D.

4.某幾何體是由四個(gè)大小相同的小立方塊搭成，其俯視圖如圖所示，圖中數(shù)字表示該位置上的小立方塊個(gè)

數(shù)，則這個(gè)幾何體的主視圖是（）

【答案】A

【解析】

【分析】利用三視圖的相關(guān)概念分析即可.

【詳解】由題意可知從前方看第一排有3個(gè)正方體，且從左到右依次有2個(gè)、1個(gè)，第二排有1個(gè)正方體在

左側(cè)，故A正確.

故選：A

5.已知點(diǎn)4（—3,%）,8（—2,3）,C（-l,j2）,。（2,%）都在反比例函數(shù)^=幺（左00）的圖象上，則必，

x

y2，y3的大小關(guān)系為（）

A,必<%<%B.%<%<為

c.y2<y3<JiD,必<%<必

【答案】B

【解析】

【分析】首先代入點(diǎn)2的坐標(biāo)，得到函數(shù)的解析式，再代入其他點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷.

【詳解】將點(diǎn)5（—2,3）代入反比例函數(shù)3=5,得上=—6，

即反比例函數(shù)的解析式是y=—,

x

將點(diǎn)4C,￡?的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得乂=2,%=6,%=-3,

即8<%<為?

故選：B

6.如圖，在矩形48cZ）中，AB=6,4D=8,P是4D上不與A和。重合的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別作ZC

和的垂線，垂足為E,F,則PE+尸尸的值為（）

.Pc

一

,122428

A.—B.—C.5D.——

555

【答案】B

【解析】

【分析】連接OP,利用勾股定理列式求出AD,再根據(jù)矩形的對角線相等且相互平分求出OA,OD,

然后根據(jù)S&AOD=S&AOP+工。。？列式求解即可.

BC

如圖，連接OP,

???四邊形48CD為矩形，AB=6,40=8,

BD=4AB2+AD2=A/62+82=10，

：.OA=OD=-x\Q=5,

2

??q—v.Lv

,2"OD~4"OP丁"ADOP，

:.-xADx-AB=-xAO-PE+-xOD-PF,

2222

.-.-x-x6x8=-x5-P￡+-x5-PF,

2222

24

解得PE+PF=—,

5

故選：B.

7.如圖，在口/BCD中，AB=2,4D=3,N48C=60°，在48和4D上分別截取/￡（/￡<48）,AF,

使4E",分別以E,尸為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在ND48內(nèi)交于點(diǎn)G,作射線ZG

2

交BC于點(diǎn)、H,連接。笈，分別以。，〃為圓心，以大于工?！ǖ拈L為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N,

2

作直線MN交CD于點(diǎn)K,則CK的長為（）

【答案】C

【解析】

【分析】利用角平分線、垂直平分線的作法與性質(zhì)確定相應(yīng)線段長度，利用全等三角形、相似三角形的判

定與性質(zhì)計(jì)算即可.

如圖所示，設(shè)直線"N分別交直線于P,Q,S,作HR_L4D,垂足為心

根據(jù)題意易知分別為/氏4。的角平分線，線段。笈的垂直平分線,

所以ZBAH=/ABC=60°＞所以&ABH為正三角形,

典\4H=BH=2,AR=CH=1,DR=2,HR=也，所以DH=@=2SD，

而tan/Z￡>H=E=經(jīng)，則QS=@,DQ=Z，

2SD44

73

易證AHSPVADSQ,故DQ=L=HP,CP=HP-CH=±,

■44

CPCK3CK

易知ACKP~^DKQ,故---=----n-

QDKD12-CK

3

解之得CK=±.

5

故選：C

8.如圖，拋物線歹=-f+4x,頂點(diǎn)為/,拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為瓦連接/￡C為線段上一

點(diǎn)(不與。，8重合)，過點(diǎn)。作CD//45交y軸于點(diǎn)。，連接交拋物線于點(diǎn)￡,連接。￡交CO于點(diǎn)

S3

F,若*^=工，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為()

,△DEF"

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)4臺坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)。(%,0)并表示點(diǎn)。,E,尸的坐標(biāo)，再利用三角形面積關(guān)系

列式計(jì)算即得.

【詳解】拋物線了=一(無一2)2+4的頂點(diǎn)2(2,4),由＞=0,x〉0,得x=4,即點(diǎn)8(4,0),

\4=2k+b

設(shè)直線"方程為1丘十八’由［o=4左+6'解得人=一2,八8,則直線出片3+8,

設(shè)點(diǎn)。(項(xiàng)),0),0</<4,由CD//48,設(shè)直線CD方程為y=—2x+c,

由x=Xo，得0=2%,由X=O,得y=c=2xo，即點(diǎn)2)(0,2%),直線CD:y=-2》+2%，

2x—〃

設(shè)直線4D的方程為V=%+〃，貝乂“；，解得加=2—〃=2%,

4=2m+n

y=(2-xn)x+2xn[x=x(}o

即直線ZD:y=(2—x0)x+2xo,由/2°：°,解得2“，即點(diǎn)￡(%,—x；+4x0)，

y--x+4x[y=-x0+4x0

SSDF

顯然.DOE=S",由^0=I'得=；'則?’因此點(diǎn)E(|"Xo,■|x()),

?ADEF4，DOE/?ADOC/'!

8

_3\OF\_3%4

由已叱因此7°解得

得匕一二,3,x,

S&DOE7\OE4\73

-XQ+4x07

4

所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為一.

3

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.小明周六從家出發(fā)沿一條路勻速步行去圖書館查閱資料，資料查閱完畢后沿原路勻速返回，速度與來時(shí)

相同，途中遇到同學(xué)小亮，交談一段時(shí)間后以相同速度繼續(xù)行進(jìn)，直至返回家中，如圖是小明離家距離y

(km)與時(shí)間x(h)的關(guān)系，則()

A.小明家與圖書館的距離為2km

B.小明的勻速步行速度是3km/h

C.小明在圖書館查閱資料的時(shí)間為1.5h

D,小明與小亮交談的時(shí)間為0.4h

【答案】AD

【解析】

【分析】由圖象可判斷A選項(xiàng)；結(jié)合圖象可求小明的勻速步行速度，可判斷B選項(xiàng)；通過計(jì)算點(diǎn)C到D所

需的時(shí)間，可判斷C選項(xiàng)；通過計(jì)算點(diǎn)E到尸所需的時(shí)間，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A：由圖象可知小明家與圖書館的距離為2km,故A正確;

對于B：因?yàn)樾∶餮匾粭l路勻速步行去圖書館查閱資料,

所以小明的勻速步行速度是京=4(km/h),故B錯誤;

對于C：小明返回的路上走2-0.8=1.2(km)后遇到小亮,

1?

則走1.2km所需的時(shí)間為彳=0.3(h),

所以小明在圖書館查閱資料的時(shí)間為2.6-0.5-0.3=1.8(h),故C錯誤;

對于D：走0.8km所需的時(shí)間為半=0.2(h),

所以小明與小亮交談的時(shí)間為3.2-2.6-0.2=0.4(h),故D正確.

故選：AD.

10.如圖，點(diǎn)8在線段ND上，分別以線段Z8和線段8。為邊在線段/￡＞的同側(cè)作等邊三角形48c和等邊

三角形BDE,連接NE與3c相交于點(diǎn)G,連接CD,CD與4E,3E分別相交于點(diǎn)凡H,連接3尸，

A.GH/IADB.FB平分ZGFH

C.GE=BDD./\ABE=Z\CBD

【答案】ABD

【解析】

【分析】結(jié)合圖形和題設(shè)條件，易得AABE=^CBD,可推得D項(xiàng)；由此得到NABE=ZCBD,可證

^GBE=^BD,可得GB=HB,從而得到正三角形BG”,由=60°=NHaD易得A正確；再

由全等三角形的對應(yīng)邊上的高相等，易得點(diǎn)8到NN尸。的兩邊距離相等，故得B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，可采

用反向推理，假設(shè)結(jié)論正確，經(jīng)過推理產(chǎn)生矛盾，即得原命題不成立，排除C項(xiàng).

【詳解】因VABC和4BFD都是正三角形，故48=BC,BE=BD,ZABC=ZEBD=60°,

則ZABC+ZCBE=ZFBD+NCS￡,即ZABE=ZCBD,

AB=BC

由<NABE=ZCBD可得&ABE=^CBD,故D正確;

BE=BD

由△/BEvaCaD可得，ZAEB=ZCDB,^ZCBE=180°-2x600=60°>

ZGBE=ZHBD

由（BE=BD可得，4BEVAHBD,則有GB=HB,

NGEB=ZHDB

故VBG//為正三角形，則NGHB=60。=NHBD,故GH//AD,即A正確;

如圖，分別作BM±AE,BN±CD，垂足分別是M,N,

由上知，AABE=ACBD,板BM=BN,由角平分線的性質(zhì)定理，可得FB平分NGFH,

故B正確;

對于C項(xiàng)，假設(shè)G￡=B。，則G￡=,故NEG8=NE8G=60°，

而在AZCG中，ZACG=60°,ZCAG<ZCAB=60°,i^ZCGA=ZEGB>60°

產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)不成立，即C錯誤.

故選：ABD.

11.如圖1,在RtZk/BC中，ZABC=90°,BC=4,動點(diǎn)D從點(diǎn)/開始沿N2邊以每秒0.5個(gè)單位長度

的速度運(yùn)動，同時(shí)，動點(diǎn)￡從點(diǎn)3開始沿BC邊以相同速度運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一點(diǎn)同時(shí)停

止運(yùn)動，連接。E,F為DE中點(diǎn)"連接NF,CF,設(shè)時(shí)間為l(s),DE?為y，了關(guān)于f的函數(shù)圖象如圖2

所示，則()

圖1圖2

A.當(dāng)/=1時(shí)，DE=2.5B.AB=2

C.DE有最小值，最小值為2D.4F+C戶有最小值，最小值為J記

【答案】BD

【解析】

【分析】設(shè)列出y關(guān)于f的函數(shù)式，結(jié)合圖2,列方程求出。的值，判斷B項(xiàng)，繼而代值檢驗(yàn)A

項(xiàng)；利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，即可得到￡>￡的最小值，判斷C項(xiàng)；最后通過建系，將4F+CE轉(zhuǎn)化為

9"+4)2+1+4)2+(—16)2],利用距離的幾何意義，借助于點(diǎn)的對稱即可求得其最小值.

【詳解】設(shè)AB=a,則40=0.5t,BD=a-0.5t,BE=0.5/,貝

y=DE~=(a—0.5^)+(0.5^)2=0.5廠—a,+a"(*),

由圖2知，函數(shù)y=0.5/一a/+/經(jīng)過點(diǎn)(1,2.5),整理得，a2—?—2=0>解得a=2或a=—1(舍去)，

故B正確；

由B項(xiàng)知，y=0.5r-2^+4,當(dāng)/=1時(shí)，y=0.5-2+4=2.5,即DE?=2,5,故A錯誤；

對于C,由題意易得，0</W4,由y=0.5/—2/+4=0.5?！?)2+2可得，當(dāng)，=2時(shí)，Jm，n=2,

即QE有最小值，最小值為J5,故C錯誤；

對于D,如圖，以點(diǎn)8為原點(diǎn)，O4OC所在直線分別為MV軸建立直角坐標(biāo)系.

則/(2,0),。(0,4),。(2—0.57,0),￡(0,0.5。，因尸為DE中點(diǎn)，故E(l—

44

于是+CF=J(1+；汀+(；7)2+'(1_；汀+(4—；02

=41"+4)2+產(chǎn)+J(Z-4)2+(-16)2]

結(jié)合此式特點(diǎn)，設(shè)PX/),"(—4,0),N(4,16)，則AF+CF=-(PM+PN),作出圖形如下.

作出點(diǎn)M(-4,0)關(guān)于直線了=x的對稱點(diǎn)(0,-4),連接M[N，交直線V=x于點(diǎn)P,

則點(diǎn)P即為使PM+PN取得最小值的點(diǎn).

(理由：可在直線V=x上任取點(diǎn)P。'1),利用對稱性特點(diǎn)，即可證明尸〃+尸雙〉尸加+年,即得)，

此時(shí)(PM+PN)而“=M、N，即AF+CF的最小值為

="+(16+4)2=4A/26726.

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在平面直角坐標(biāo)系中有五個(gè)點(diǎn)，分別是4(1,3),5(—3,4),C(-2,-3),￡>(4,3),￡(3,-5),從中

任選一個(gè)點(diǎn)，選到的這個(gè)點(diǎn)恰好在第一象限的概率是.

2

【答案】一##04

5,

【解析】

【分析】利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】五個(gè)點(diǎn)中在第一象限的點(diǎn)有/和。兩個(gè)，

從中任選一個(gè)點(diǎn)共有5種等可能的結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)恰好在第L象限有2種結(jié)果,

所以從中任選一個(gè)點(diǎn)恰好在第一象限的概率是g.

以生心且2

故答案為：—.

13.在Rt448C中，ZACB=90°,45=6,V45c的周長為14,則N2邊上的高為.

71

【答案】一##2—

33

【解析】

【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面積可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可設(shè)BC=a,ZC=b,所以8C+ZC+/3=6+a+b=14,

可得。+6=8,

又乙4CB=90。，利用勾股定理可得+4。2=/+62=62；可得/+/=36；

所以=(a+?2—2。6=82-2。6=36,即仍=14；

設(shè)A8邊上的高為力，由三角形面積可得ab=45?/z=6/z,

147

解得/，=—=—.

63

一,7

故答案為：一

3

14.如圖，在矩形紙片45CD中，45=4,AD=6,E為40中點(diǎn)，尸為邊CQ上一點(diǎn)，連接所，將

AD￡/沿ER翻折，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為。輯G為邊上一點(diǎn)，連接/G,將A4BG沿/G翻折，點(diǎn)8的對

應(yīng)點(diǎn)恰好也為則BG=.

【答案】6-2亞

【解析】

【分析】過攜作SU_L/。，交2。于S,交BC于U,過E作利用等積法可求。5=迪，

3

再根據(jù)RtAD'GU可求BG的長度.

由題設(shè)AE=D'E=3,AD'=AB=4,

過拼作SUL4D,交4。于S,交5。于U,過￡作瓦7_L4D',

則AH-HD'=2,則EH-,9—4二出,故一ADrxV5=—AExD'S,

22

所以D5=孚，故NS=jl6—?=|，故8U=|,

設(shè)BG=x,則OG=x,故值―x[+[—延]=/,

故x=6-2-V5，

故答案為：6—2^5

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.先化簡再求值：

(1)求」——三工+的值,其中x=3；

x+1x—2x—4x+4

(2)求—二?Y

y的值，其中一二2

x-yx+yx-yy

【答案】（1）-

2

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）先因式分解進(jìn)行化簡，進(jìn)而代入x=3即可求解;

(2)先同分母進(jìn)行化簡并轉(zhuǎn)化一的表達(dá)式，進(jìn)而代入一二2即可求解.

yy

【小問1詳解】

xx-1x*23-1_xx-1(x-2)

x+1x-2x2-4x+4x+1x-2+

xx-2

x+1x+1

x—(x—2)

x+1

2

x+1

即x=3代入可得?—='.

3+12

【小問2詳解】

x______V=x(x+y)_”x_y)_/

x-vx+yx2-y2(x-y)(x+y)x2-y2

222

x+k一孫+夕—y

%2-y2

X

Vy)

\y）

即一=2代入可得^—=2.

J22-13

16.某超市銷售45兩種品牌的牛奶，購買3箱A種品牌的牛奶和2箱B種品牌的牛奶共需285兀；購買

2箱A種品牌的牛奶和5箱B種品牌的牛奶共需410元.

（1）求A種品牌的牛奶，3種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是多少元？

（2）若某公司購買43兩種品牌的牛奶共20箱，且A種品牌牛奶的數(shù)量至少比8種品牌牛奶的數(shù)量多6

箱，又不超過B種品牌牛奶的3倍，購買48兩種品牌的牛奶各多少箱才能使總費(fèi)用最少？最少總費(fèi)用為

多少元？

【答案】（1）A種品牌的牛奶，3種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是55元、60元.

（2）最小費(fèi)用為1200-5x15=1125（元），此時(shí)購買43兩種品牌的牛奶分別為15箱、5箱.

【解析】

【分析】（1）設(shè)A種品牌的牛奶，8種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是MV元，根據(jù)題設(shè)列方程組后可求各自

的單價(jià)；

（2）購買A品牌的牛奶。箱，則購買總費(fèi)用0=1200-5。，由題設(shè)條件可得?？蔀?3,14,15中的某個(gè)數(shù),

故可求最小費(fèi)用及相應(yīng)的箱數(shù).

【小問1詳解】

設(shè)A種品牌的牛奶，B種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是x，V元,

3x+2y=285x=55

則《八一八，故v

2x+5y=410y=60

故A種品牌的牛奶，2種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是55元、607C.

【小問2詳解】

設(shè)購買A品牌的牛奶。箱，則購買3品牌的牛奶20-。箱,

此時(shí)總費(fèi)用C=55。+60（20-。）=1200-5。,

<7>20-47+6

而《、，故13<a<15,而。為整數(shù)，故?？蔀?3,14,15中的某個(gè)數(shù)，

a<3(20-(7)

故C的最小費(fèi)用為1200-5x15=1125(元)，

此時(shí)購買43兩種品牌的牛奶分別為15箱、5箱.

17.如圖，在。。中，48是直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，AC=9,5C=3,點(diǎn)E在48上，AE=2BE,

連接CE并延長交。。于點(diǎn)￡),連接AF1CD,垂足為尸.

(1)求證：AADF~AABC；

(2)求。R的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)—yJ13

13

【解析】

【分析】(1)利用直徑所對的圓周角為直角可判斷NNED=NZC8=90°，再利用同弧所對的圓周角相等,

可得NADF=ZABC,從而證明"DF?AABC；

(2)在RtAylSC中，求出tanAABC=3,AB=3A/10，利用tanNABC=tanZADF=3,設(shè)DF=x，

把RtA4D廠的三邊表示出來，再利用ACBE?求出￡>E=Wx,最后在中求出x的值，

3

也即是DE的長.

【小問1詳解】

?.?48是。。的直徑，；.5。_148,

ZAFD=ZACB=90°，

又?：NADF=ZABC,

:A4DF~八ABC.

【小問2詳解】

/C9__________

在中，tanZABC=--=-=3,AB+BC?=3如，

nC5

又AE=2BE,則ZE=2而，BE=A，

又ZABC=ZADF,.-.tanZABC=tanZADF=3,

在^i^ADF中，設(shè)DF=x,則/尸=3x,故AD=\lAF2+DF2=VlOx

又ZCEB=ZAED,:.ACBE?"DE,

BCBERn3VlO小八,10

-------，即一,——=-----,解傘于DE——x,

DADEVlOxDE3

107

:.EF=DE-DF=—x-x=-x,

33

在RLAEF中，AF~+EF2=AE-，

即(3X)2+[X]=(2Vio)\解得x

即”=9巫.

13

18.

閱讀材料：直線y=Ax+b(左。0)上任意兩點(diǎn)N(%2，y2)，芭。、2，線段

?V的中點(diǎn)？(馬,%)，尸點(diǎn)坐標(biāo)及人可用公式：迎=土土，為="5；左="5及

22玉一X?

計(jì)算.例如：直線y=2x+l上兩點(diǎn)M(l,3),N(3,7),則退=(=2,%=，=5,

即線段ACV的中點(diǎn)尸(2,5),k=~=2.

1-3

已知拋物線y=加/-2加x—3(加＞0),根據(jù)以上材料解答下列問題：

~Ox~Ox

圖1圖2

(1)若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)幺(3,0),求加的值；

(2)在(1)的條件下，B,C為該拋物線上兩點(diǎn)，線段8c的中點(diǎn)為。，若點(diǎn)。(2,1),求直線8C的表達(dá)

式；以下是解決問題的一種思路，僅供大家參考：設(shè)直線3c的表達(dá)式為：y=kx+b,B(xB,yB),C(xc,yc),

則有為=一2蛆8-3①，&=儂3-2mXc-3②.①-②得：

yB-yc="?(芯-x^-2m[xB-xc)=m[xB+xc]^xB-xc)-2m(xB-xc),兩邊同除以(乙-xc),得

力一九

=k=m+xc)-2m

(3)該拋物線上兩點(diǎn)E,F,直線斯的表達(dá)式為：j=(5V2-2)mx+n(〃20).

(i).請說明線段斯的中點(diǎn)在一條定直線4上;

(ii).將i中的定直線4繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線當(dāng)1<X<3時(shí)，該拋物線與4只有一個(gè)交點(diǎn)，

求/的取值范圍.

【答案】(1)m=l

(2)y=2x-3

(3)i.線段M的中點(diǎn)在定直線4：x=±WZ上；ii.掰21或刃=工或0〈加wL

1223

【解析】

【分析】(1)將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，計(jì)算即得加的值；

(2)按照題中的思路先求出左+x0-2,再由線段的中點(diǎn)為。(2,1)求得左的值，利用直線8C經(jīng)

過點(diǎn)D(2,l)即可求得直線BC的表達(dá)式；

(3)(i)由［、=(5￡一2)""+"消去y,利用韋達(dá)定理即可得到線段環(huán)的中點(diǎn)在定直線/：x="l上;

y-mx-2mx-32

(ii)根據(jù)題意，作出圖形，利用平面幾何知識即可求得，2：y=x-5；根據(jù)函數(shù)^=鵬2-2加X-3與

—TYI—3<—4

，2：歹=X-5在1<X<3時(shí)的圖象特點(diǎn)，依題意可得L。C，解之即得.

31Tl—3>—2

【小問1詳解】

因y=加工2一2M-3經(jīng)過點(diǎn)幺(3,0),則9掰—6加一3=0,解得，m=1；

【小問2詳解】

22

冽=1時(shí)，j?=x-2x-3=(x-l)-4,設(shè)直線8C的表達(dá)式為：y=kx+b,B(xB,yB),C(xc,yc),

則為=mx；-2mxB-3①，yc=mx^-2mxc-3@.

由①-②：yB-yc=xl-xl-2(XB-xc)=(xB-xc)(xB+xc-2),

兩邊同除以(乙一％)，則及產(chǎn)=后=%+Xc—2,

XB-XC

因線段8c的中點(diǎn)為。（2,1）,則出+%=2,即左=2x2—2=2,

2

則y=2x+6,將點(diǎn)。（2,1）代入解得，b=—3,故直線3c的表達(dá)式為：y=2x-3；

【小問3詳解】

⑴由？一（5￡一；）加二"消去夕，整理得，mx2-5V2mx-?-3=0>

y=mx-2mx-3

依題意，設(shè)￡&,%）*（如,?）,EF的中點(diǎn)為

巫,即線段斯的中點(diǎn)在定直線4：X=逑上;

212

x=苧繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線4，則點(diǎn)/（乎,0）轉(zhuǎn)到了點(diǎn)4,

如圖，將定直線4：

則OA=OA,=巫，設(shè)點(diǎn)4(占，%)，3(%,0)則x=^lCos45°=-,K=--sin45°=--,

12122122

x,=yflOA、=5,

5m+n=0

即嗚力m=1_

8(5,0),設(shè)，2：y=加X+"，則得，＜55.解得，＜,即得，2：y=%—5；

—m+n=——n=-5

122

因拋物線y=mx2-2mx-3=m(x-I)2-zn-3的對稱軸為x=l,

故該函數(shù)在l<x<3時(shí)，了隨著x的增大而增大，且x=l時(shí)，y=-m-3,x=3時(shí)，y=3m-3,

要使拋物線與l2：y=x-5只有一個(gè)交點(diǎn)，可分以下種情況討論:

一m—3<一4

①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在直線下方時(shí)，如上圖可得，4c.c，解得加>1；

3加一3〉一2

y=—2x—3

②拋物線頂點(diǎn)在直線上，如上圖，即加=1時(shí)，由<，解得x=l或x=2,因l<x<3,故

、J=x-5

符合題意;

…y=mx~-2mx-3

③拋物線與直線相切，且切點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足l<x<3,如上圖，由,

.y=x-5

消去了,nJmx2-(2m+l)x+2=0,由A=(2加+1)?-8加=0解得，m=—,

代入方程可得/一4》+4=0,解得X=2,符合題意;

—fn—3〉一4

④如上圖