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文檔簡介
2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)檢測
數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng):
i.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈
后,再選涂其他答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一.選擇題(共8小題,每小題5分,共40分,每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)
1.記S,為等差數(shù)列{%}的前,項(xiàng)和,若生+佝=14,%%=63,則S?=()
A.21B.19C.12D.42
2.命題,、九X2+2+Q4X)—m7(,x一+2)--1在x/e(-I2,2]上為減函數(shù),命題4:/g(、x)=ax』+4在/。,+、向?yàn)樵龊?/p>
數(shù),則命題P是命題4的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
3.如圖所示,六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個氟原子處于頂點(diǎn)位置,而硫原子處于中心位置的正八面體,也可將其六個
頂點(diǎn)看作正方體各個面的中心點(diǎn).若正八面體的表面積為12道,則正八面體外接球的體積為()
C.12兀D.36兀
4.將95,96,97,98,99這5個數(shù)據(jù)作為總體,從這5個數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取2個數(shù)據(jù)作為一個樣本,則該樣本的平均數(shù)與
總體平均數(shù)之差的絕對值不超過1的概率為()
5.已知關(guān)于X的不等式以2+-+。>03仇C£R)的解集為(―4,1),則二^的取值范圍為()
a+b
A.[-6,+oo)B.(-oo,6)C.(-6,+oo)D.(-00,-6]
22
6.已知4,8是雙曲線二-與=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn),以F?為圓心,”為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于
ab
AB兩點(diǎn),若31ABl>|耳耳I,則雙曲線的離心率的取值范圍是()
7.已知正實(shí)數(shù)無,>滿足x+y=l,貝ij()
A.Y+y的最小值為3:B.1一+4一的最小值為8
4xy
C.6+4的最小值為亞D.log^+logc沒有最大值
8.已知定義在R上的函數(shù)〃尤)在區(qū)間[0』上單調(diào)遞減,且滿足〃2+》)+〃同=2〃-1),函數(shù)y=〃x-l)的對
稱中心為(2,0),則()(注:ln3Q1.099,In2no.693)
A./(2024)=0B./(0.5)+/(1.6)>0
C./(1.5)>/(log248)D./(2sinl)>/^ln^
多選題(共3小題,每題6分,共18分。在每題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得6分,部
分選對得3分,有選錯的得0分。)
22
9.已知小尸2分別是橢圓C:會+方=1(。>"0)的左、右焦點(diǎn),尸是橢圓C上一點(diǎn),貝|()
A.當(dāng)“=回時,滿足//尸乙=90。的點(diǎn)P有2個
B.P耳心的周長一定小于4a
2
C.的面積可以大于幺
一2
D.若|尸耳歸助恒成立,則C的離心率的取值范圍是(。,|
10.己知a,b,ceR,則下列結(jié)論正確的是()
bh+c
A.若a>b>0,貝—<----B.若ac2>be2,貝
aa+c
...a+b2a2+3
C-右a〉?!怠?D-E的取小值為20
x+1?
-----,x<0
11.函數(shù)〃尤)=x,關(guān)于尤的方程/⑺-時〃x)|=0(meR),則下列正確的是()
—,x20
A.函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽
B.函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(9,0),[1,田)
C.當(dāng)根=1時,則方程有4個不相等的實(shí)數(shù)根
D.若方程有3個不相等的實(shí)數(shù)根,則根的取值范圍是1j,+sj
三.填空題(共3小題,每題5分,共15分。)
b,a<人
'-,設(shè)函/(x)=-%+6,g(x)=logx,則函數(shù)/7(x)=max{/(x),g(x)}
{a,a〉。2
的最小值是.
13.甲、乙玩一個游戲,游戲規(guī)則如下:一個盒子中裝有標(biāo)號為L2,3,4,5,6的6個大小質(zhì)地完全相同的小球,甲先
從盒子中不放回地隨機(jī)取一個球,乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個球,比較小球上的數(shù)字,數(shù)字更大者得1
分,數(shù)字更小者得0分,以此規(guī)律,直至小球全部取完,總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為.
22
14.過雙曲線與-==1(。>0,6>0)的上焦點(diǎn)與,作其中一條漸近線的垂線,垂足為a,直線與雙曲線的上、
ab
下兩支分別交于若NH=3HM,則雙曲線的離心率e=.
四.解答題(共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)
(14分)15.已知數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“,”eN*,%=5,an+i-an=2.
⑴求數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列也}滿足bn=,求數(shù)列也}的前〃項(xiàng)和7;.
an'an+l
(14分)16.如圖,在四棱柱ABC。-A瓦G2中,A4,_L平面ABCZ),底面ABCD為梯形,AD//BC,BC=4,
AB=AD=DC=AAl=2,Q為的中點(diǎn).
(1)在AR上是否存在點(diǎn)尸,使直線C?!ㄆ矫鍭CT,若存在,請確定點(diǎn)P的位置并給出證明,若不存在,請說明
理由;
(2)若(1)中點(diǎn)P存在,求平面AC/與平面ABqa所成的銳二面角的余弦值.
(15分)17.函數(shù)“X)的定義域?yàn)椤?卜,#0},且滿足對于任意可,無26,有〃牛馬)=〃為)+/優(yōu)),當(dāng)
x>1時,f(x)>0.
⑴證明:/(元)在(0,+8)上是增函數(shù);
(2)證明:f(x)是偶函數(shù);
⑶如果7(4)=1,解不等式〃尤-1)<3.
(16分)18.2021屆高考體檢工作即將開展,為了了解高三學(xué)生的視力情況,某校醫(yī)務(wù)室提前對本校的高三學(xué)生
視力情況進(jìn)行調(diào)查,在高三年級1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢數(shù)據(jù),并得到如下圖的頻率分布直方
圖.
年級名次
1-100101?1000
是否近視
近視4030
不近視1020
(1)若直方圖中前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列,試估計全年級高三學(xué)生視力的中位數(shù)(精確到0.01);
(2)該校醫(yī)務(wù)室發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生,近視的比較多,為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系,對抽
取的100名學(xué)生名次在1~100名和101~1000名的學(xué)生的體檢數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計,得到表中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),
能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系?
(3)在(2)中調(diào)查的不近視的學(xué)生中按照分層抽樣抽取了6人,進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣,求在這6人中
任取2人,至少有1人的年級名次在1~100名的概率.
P(K2>k]0.100.050.0250.0100.005
k2.7063.8415.0246.6357.879
-2n[ad-be)-,
Kr=--------------------------------,其中〃=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(18分)19.在平面內(nèi),若直線/將多邊形分為兩部分,多邊形在/兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線/的距離之和相等,則稱,為
22
多邊形的一條“等線”,已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線E:十方=1(八0,"0)的左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥,E的離心率
為2,點(diǎn)尸為E右支上一動點(diǎn),直線機(jī)與曲線E相切于點(diǎn)尸,且與E的漸近線交于A8兩點(diǎn),當(dāng)尸軸時,直線
y=i為「片工的等線.
⑴求E的方程;
⑵若y=缶是四邊形A月8月的等線,求四邊形AFtBF2的面積;
(3)設(shè)OG=g。尸,點(diǎn)G的軌跡為曲線「,證明:「在點(diǎn)G處的切線"為耳耳的等線
數(shù)學(xué)答案
1.A【詳解】{凡}是等差數(shù)列,,/+%=2%=14,即%=7,所以%=3=9,
a6
6x7
故公差d=ay-a6=2,/.ax=a6-5d=-3fS7=7x(-3)H———x2=21,
2.A【詳解】〃力要在1?-2,2]上單調(diào)遞減,
則j〃+4<0,解得一5Ka<-4,
-a-l>l-2a-7
g:g(x)="+4=1)+4+"=〃+^^£在(],+8)為增函數(shù),則4+QV。,
x—\x—1x—\
解得a<—4,
因?yàn)?5Wa<T是a<T的真子集,故命題P是命題4的充分不必要條件.
3.B【詳解】如圖正八面體,連接AC和8。交于點(diǎn)。,
因?yàn)镋4=EC,ED=EB,
所以EOLAC,EOLBD,又AC和3D為平面ABC。內(nèi)相交直線,
所以EOL平面AB8,所以。為正八面體的中心,
設(shè)正八面體的外接球的半徑為R,因?yàn)檎嗣骟w的表面積為8x獨(dú)力爐=12次,所以正八面體的棱長為",
4
所以EB=EC=BC=V6,OB=0C=V3,EO=y/EB2-OB2=V3)
則R=W=%R3=最3日4俗1.
4.D【詳解】依題意可知,總體平均數(shù)為97,
從這5個數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取2個數(shù)據(jù)作為一個樣本,情況如下:
選到95,96,則樣本平均數(shù)為95.5,所以|95.5-97|=1.5,
選到95,97,則樣本平均數(shù)為96,所以|96-97|=1,
選到95,98,則樣本平均數(shù)為96.5,所以|96.5-97|=0.5,
選到95,99,則樣本平均數(shù)為97,所以|97-97|=0,
選到96,97,則樣本平均數(shù)為96.5,所以196.5-97|=0.5,
選到96,98,則樣本平均數(shù)為97,所以|97-97|=0,
選到96,99,則樣本平均數(shù)為97.5,所以|97.5-97|=0.5,
選到97,98,則樣本平均數(shù)為97.5,所以197.5-97|=0.5,
選到97,99,則樣本平均數(shù)為98,所以|98-97|=1,
選到98,99,則樣本平均數(shù)為98.5,所以|98.5-97|=1.5,
所以該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過1的概率為]8=:4
5.D【詳解】由不等式以2+樂+。>0(〃,"CER)的解集為(-4」),
可知1和T是方程/+法+。=0的兩個實(shí)數(shù)根,且a<0,
-4+1=--
由韋達(dá)定理可得“,即可得〃=3〃,c=T〃,
-4xl=-
,a
g、i'+9(-4域+916/+9/9(A9L。匚一(9},
所以-----=--------=-------=4a-\---=--4a+----<-2-4ax-----=-6.
a+ba+3a4。4。1-4。J\\-4。)
當(dāng)且僅當(dāng)-4〃二一9一時,即。=一3一時等號成立;
-4a4
即可得'匯£(-8,-6].
a+b
6.B【詳解】設(shè)以鳥(G。)為圓心,。為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線云-歿=。交于A3兩點(diǎn),則F?到漸近線
bx-ay=0的距離d=,=b,所以卜回=2\ja2-b2,
因?yàn)?1ABi>|耳青,所以3*2”^>20,可得9a2-泌2>,="+凡
BP4a2>5b2=5c2-5a2,可得5c2<94,
所以《<2,所以e<35,
a255
又e>l,所以雙曲線的離心率的取值范圍是,手]
7.A【詳解】對于A中,由正實(shí)數(shù)為y滿足x+y=l,可得0<x<l,0<y<l,且y=l-尤,
1313
則f+y=Y-x+l=(x-R2+當(dāng)x=5時,f+y取得最小值為?,所以A正確;
對于B中,由』+3=.+?。ü?±)=5+/+”上5+211,把=9,
xyxyxyxy
y4Y1O114.
當(dāng)且僅當(dāng)上=一時,即%=:,y=:時,等號成立,所以一+一的最小值為9,所以B不正確;
xy33xy
對于C中,由(?+/)=x+y+2y[xy<2(x+y)=2,
當(dāng)且僅當(dāng)元=y=g時,等號成立,所以&+6的最大值為0,所以C錯誤;
2
對于D中,log2x+log4y=log4x+log4y=log4,
因?yàn)閤2y=x2(l-x)=-x3+x2,設(shè)m(x)=-x3+x2,0<x<l,
可得加(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),
97
當(dāng)xe(O,§)時,〃/(x)>0,在(0,?上單調(diào)遞增;
當(dāng)工£(§,1)時,mr(x)<0,用(%)在(§/)上單調(diào)遞減,
74
所以,當(dāng)X=:時,函數(shù)相(X)取得最大值,最大值為最,
4
則log?x+log4y的最大值為log,藥,所以D不正確.
8.C【詳解】/(2+%)+/(%)=2/(-1),故〃4+x)+〃2+x)=2〃-l),
所以/(x)=/(x+4),
函數(shù)y=〃xT)的對稱中心為(2,0),
函數(shù)y=〃xT)往左平移I個單位得到函數(shù)y=〃x),
故函數(shù)y=/(x)的對稱中心為(1,。),
/(2+x)+/(x)=2/(-1),令,=-1得,/(1)+/(-1)=2/(-1),
故〃T)=/⑴=。,BP/(2+x)+/(x)=0,
且〃力的對稱中心為(1,0),故/(2+x)+/(-尤)=0,
故〃-尤)=/(%),即f(x)的對稱軸為x=0.
對于A,〃x)在區(qū)間[0』上單調(diào)遞減,故/(。)>〃1)=0,
且/(x)=/(x+4),
所以〃2024)=〃0)>0,故A錯誤;
對于B,“X)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,對稱中心為(1,0),
故f(0.5)+/(1.5)=0,且〃尤)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,
則”1.5)>”1.6),
.?./(0.5)+/(1.6)<0,故B錯誤;
對于c,5<log248<6,1<log248-4=log23<2,
且log,3=:=wM>L5,結(jié)合〃x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,
In20.693
故f(log248)=/(log248-4)=/(log23)</(1.5),故C正確;
對于D,ln|=-ln3?-1.099,故/卜,=/(一1113卜/(-1.099)=/(1.099),
且2sin:<2sinl<2sin^,/.V2<2sinl〈6,即1<1.099<2sinl<2,
結(jié)合在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,故"2sinl)<dlnj,故D錯誤.
9.ABD【詳解】對于選項(xiàng)A:當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0/)或(0,-6)時,居最大,此時,若。
貝i]b=c,所以/百尸瑪=90。,A正確;
對于選項(xiàng)B:P耳工的周長為2a+2c<4〃,故B正確;
1A2_i_2〃2
對于選項(xiàng)C:刊怩的面積為J耳國IMCcV與土r=5,故C錯誤;
故于選項(xiàng)D:因?yàn)閍—c?|P4|?a+c,所以a+cW2Z?,可得5c?+2ac-3〃<0,
得5e2+2e-3W0,得又ee(0,l),所以ee/],故D正確.
hh+c
10.BC【詳解】對于A,當(dāng)。=0時?=故A錯誤;
aa+c
對于B,若ac1>be1,則/wo,即。2>0,所以故B正確;
對于C,因?yàn)椤?gt;b>0,所以〃+2b22缶當(dāng)且僅當(dāng)Q=2b時取等號,
所以2。+2Z?2Q+2y]2ab,顯然a+2y)2ab>0,
a+b1
所以-當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時取等號,故C正確;
對于D,因?yàn)楸坷?變?nèi)齘=2^/^11+^^,
+1J/+1'(J2+T
令f=^/7W,則此1,令/⑺=2r+;(此1),
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)〃f)=2f+:=2f+彳在[1,+8)上單調(diào)遞增,
所以/。).=/(1)=3,
所以2內(nèi)+^^3,
當(dāng)且僅當(dāng)。=0時取等號,故D錯誤.
y_|_1I
11.BD【詳解】①當(dāng)x<0時,/(%)=-=1+-,
XX
則/(X)在(-8,0)單調(diào)遞減,且漸近線為y軸和y=i,恒有/(尤)<1.
xx
②當(dāng)xZO時,/(x)=|f./'(x)3e-3xe_3(l-x)
e
當(dāng)0<x<1,/(x)>0,/(x)在(0,1)單調(diào)遞增;當(dāng)無>1,/(x)<0,/(x)在(1,+8)單調(diào)遞減,
33
故了(元)4〃1)=—,且恒有/。)>0,綜上①②可知,/(x)=-,
、/e、,maaxxe
綜上,作出函數(shù)/(X)大致圖象,如下圖:
對于A,由上可知函數(shù)“X)的值域?yàn)?,?yīng):,故A錯誤;
對于B,函數(shù)“X)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),(1,+8),故B正確;
對于C,當(dāng)機(jī)=g時,則方程產(chǎn)⑺一J〃x)|=O(meR),解得|〃刈=0或|/(刈=;,
由|〃到=0,得x=0或尸-1,有兩個實(shí)數(shù)根;
由圖象可知,由,(x)|=g得此時有4不相等的實(shí)數(shù)根,且均不為0,也不為-1,
所以當(dāng)加=g時,則方程有6個不相等的實(shí)數(shù)根,故C錯誤;
對于D,若關(guān)于x的方程r=0(meR)有3個不相等的實(shí)數(shù)根,
即方程|/(無)|=0與方程/(可|=加共有3個不相等的實(shí)數(shù)根,
又因?yàn)閨/(無)|=0已有兩個不等的實(shí)數(shù)根0,-1,
則方程|/(x)卜力有且僅有1個根,且不為。,-1.
所以y=I"無)|與廣機(jī)有且僅有1個公共點(diǎn),
由圖象可知相>:,滿足題意,即加的取值范圍是故D正確.
12.2
【詳解】由題意得xe(0,+oo),
因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=-x+6在x6(0,+8)上單調(diào)遞減,
函數(shù)g(x)=log2X在x€(0,+8)上單調(diào)遞增,
X/(4)=^+6=2,g(4)=log24=2,
所以點(diǎn)(4,2)是兩個函數(shù)的交點(diǎn),
所以當(dāng)x“時,/(%)<g(x),可得/?(x)=g(x),
當(dāng)0<x<4時,/(%)>§(%),可得=
可得八。)的大致圖象,如下圖,
8
【詳解】將問題轉(zhuǎn)化為:在三個盒子中各放入2個編號不同的小球,甲從每個盒子中各取一個小球,求甲取到每個
盒子中編號較大小球的概率.
甲從三個盒子中各取一球,共有23=8種取法,三個都是編號較大小球只有一種取法,
所以,甲獲得3分的概率為上
O
14.45
【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為尸2,由題片(O,c),雙曲線的一條漸近線方程為y=即依+勿=0,
b
\bc\..
過該漸近線作垂線,則由題|可耳==忑=人,I。耳|=c,
^\HM\=t,則由題|NH|=3t,帆閭|耳N=H3r,
所以內(nèi)=/?+3%-2々,\F2M\=b-t+2a,
\FMI2+忸&\2-\FMI2(b—?)2+(2c)2—(b—t+2a^
在乙中,cosZOEM=1{----J一n——JO——
2忸叫任四2(&-f)(2c)
忻N『『一|《N『伍+3/)2+(2c)2-0+3f-2a)2
在△£可"中,cosZOfJM=
2|耳N|M同2(Z7+3r)(2c)
22
(b-t)+(2c)-(b-t+2afb化簡解得r=4,
由①②得
-2(b-)(2c)a+b
bab
由①③得化簡解得"E,
2(Z>+3/)(2c)c
abab
所以=>/?=2a,
a+b3(。-
故雙曲線的離心率e=£=/丁=『+中)2=不
\n
(〃wN*)(2)北=6〃+9
【詳解】(1)由。向-?!?2可知數(shù)列{即}是以公差1=2的等差數(shù)歹U,
又〃5=5得%=4+(5—l)xd,
解得q=-3,
故q=-3+2(幾-1),
即q=2〃-5(〃wN*).
(2)因?yàn)閍=------
_(2n_-5)1-(2n-3)2⑵-_5_2〃q-3)
______i二幾
2132n-3J64〃-6-6n+9
16.(1)存在,尸是AR中點(diǎn),證明見解析;(2)晅.
31
【詳解】(1)存在,證明如下:
在四棱柱ABCD-AlBlClDi中,因?yàn)槠矫鍭BCD//平面AiBlClDl,
所以可在平面AqGA內(nèi)作q尸〃c。,
由平面幾何知識可證△GRP咨△CDQ,所以。/=。。,可知P是A2中點(diǎn),
因?yàn)镃/U平面AC7,所以CQ〃平面AGP.
即存在線段AR的中點(diǎn),滿足題設(shè)條件.
滿足條件的點(diǎn)只有一個,證明如下:
當(dāng)CQ〃平面AC|尸時,因?yàn)镃Q〃平面4BCQ,
所以過。作平行于CQ的直線既在平面ACT內(nèi),也在平面A4C2內(nèi),
而在平面A4G,內(nèi)過G只能作一條直線6P〃CQ,
故滿足條件的點(diǎn)尸只有唯一一個.
所以,有且只有AA的中點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)尸,使直線CQ〃平面&GP.
(2)過點(diǎn)。作。尸±BC,垂足為舊又因?yàn)?。AJ■平面ABC。,
B
所以D4,DF,。9兩兩互相垂直,
以。為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以D4,DF,所在直線為了軸,y軸,z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系。-舊,
則2(2,0,0),P(l,0,2),C,(-1,^,2),A(2。2),網(wǎng)3,g,0),
PA=(1,0,-2),PC)=(-2,A/3,0),AB=(1,A/3,0),例=(0,0,2)
設(shè)平面尸AG的法向量為元=(%y,z),
nePA=0,[x—2z=0,
則有即c/7.
幾PC1=0,[-2x+y/3y=0.
令X=2K,得y=4,z=6,所以"=QG,4,有).
設(shè)平面ABB^的法向量為枕=(x,y,z).
ABm=0,x+y/3y=0,
則有《即
AAjm=0,2z=0.
令x=6,得y=—i,z=o,所以根=(指i,。).
n-,mm6-4+0^31
所以cos=-j-;_j-=---.—=----
\n\\m\2531
故平面AQP與平面ABB^所成的銳二面角的余弦值為鼻.
17.(1)證明見解析(2)證明見解析(3)(-63,1)U(1,65)
【詳解】(1)設(shè)0<玉<3,則/(玉)-/。2)=/(占)-/(再、三)=/(占)-"(占)+/(上)]=-/(三),
玉xlx1
由于0<占<尤2,所以三>1,所以/(上)>0,
石xl
所以/。)一/(尤2)<°,所以/(為)</(々),
所以了(元)在(0,+力)上是增函數(shù);
(2)因?qū)Χx域內(nèi)的任意尤jX2ED,有/(%?9)=/(%)+/(馬),
令%=x,%=-1,則有f(-x)=f(x)+f(-l),
又令無i=%=T,得2/(-1)=f(l),
再令玉=々=1,得〃1)=0,從而"-1)=0,
于是有/(-尤)=/(尤),所以Ax)是偶函數(shù).
(3)由于"4)=1,所以3=l+l+l=/(4)+y(4)+/(4)=/(4x4x4)=/(64),
于是不等式/(x-1)<3可化為f(x-1)</(64),
由(2)可知函數(shù)"X)是偶函數(shù),則不等式可化為加工-是</(64),
[x—1<64
又由(1)可知了⑺在(0,+")上是增函數(shù),所以可得_1n,
|-63<x<65二
解得E,所以不等式〃1)<3的解集為(3D(1,65).
3
18.(1)4.74;(2)能;(3)
【詳解】(1)由圖可知,第三組和第六組的頻數(shù)為100x0.8x0.2=16人
第五組的頻數(shù)為100x1.2x0.2=24人
所以前四組的頻數(shù)和為100-(24+16)=60人
而前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列
故第一組的頻數(shù)為4人,第二組的頻數(shù)為8人,第四組的頻數(shù)為32人
所以中位數(shù)落在第四組,設(shè)為X,
因止匕有二50—(;8+16)(或1.6(尤_4.6)=0.22)
解得X=4.7375
所以中位數(shù)是4.74
100x(40x20-30x10)2
(2)因?yàn)槠?
50x50x70x30
所以片=——?4.762
21
所
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