河北省秦皇島某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年河北省秦皇島市新世紀(jì)高級(jí)中學(xué)高二（上）開學(xué)

數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.（5分）已知aCR,（1+flz）i=3+i（/為虛數(shù)單位），貝！Ia=（）

A.-1B.1C.-3D.3

2.（5分）在△48C中，內(nèi)角N,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,b=4弧,8=60°（）

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

3.（5分）若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5,方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)

據(jù)5,此時(shí)樣本容量為9工方差為則（）

A.x=5，S2>2B.X=5，S2<2C.x>5,s2<2D.X>5,S2>2

4.（5分）如圖在梯形/BCD中，BC=2AD,DE=EC,設(shè)BA=a，BC=b，則BE=(

D-喬亭

則tan(3TT-2a)=()

132

A.7B..12c.7D.12

3535

__a_*—.—?—?.-?—?

6.(5分)已知AB=a+5b，BC=~2a+8b>CD=3(a-b)>貝！1()

A.A、B、。三點(diǎn)共線B.A.B、C三點(diǎn)共線

C.B、C、。三點(diǎn)共線D.A,C、。三點(diǎn)共線

7.（5分）海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)a,b,c直接求三角形面積S的公式，

表達(dá)式為：<S'=Vp（p-a）（p-b）（p-c5世工；它的特點(diǎn)是形式漂亮，便于記憶.中

2

國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完全等價(jià),

因此海倫公式又譯作海倫-秦九韶公式.現(xiàn)在有周長(zhǎng)為10+24有，則用以上給出的

公式求得△NBC的面積為（）

A.877B.477C.673D.12

8.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（o）x+（p）（o）>0,|（p￡----）,x=------（x）的零點(diǎn)，x=

24

—（X）圖象的對(duì)稱軸，且/（X）在（JL,衛(wèi)），則3的最大值為（）

41836

A.11B.9C.7D.5

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（5分）復(fù)數(shù)z衛(wèi)二『是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

1-i

A.|zI=V5

B.z的共軌復(fù)數(shù)為卷亭

C.z的實(shí)部與虛部之和為2

D.z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限

（多選）10.（5分）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是n的函數(shù)是（）

A.y=sin2xB.y=sin慟

y=cos（2x—）D?y=sin（2X-H^）

（多選）11.（5分）已知函數(shù)

f（x）=Asin（0）x+（t>）（A>0,3>0,|0|<；）的部分圖象如圖所示，下列

A.函數(shù)>=/（x）的最小正周期為如

B.函數(shù)y=/（x）在［=L,單調(diào)遞減

C.函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于直線x=§L對(duì)稱

X12

D.該圖象向右平移工個(gè)單位可得y=2sin2x的圖象

6

（多選）12.（5分）三角形4BC的三邊a,b,c所對(duì)的角為

A,B,C,1-（siiL4-sin5）2=siiL4sin5+cos2C,則下列說法正確的是（）

AA.r=——兀

3

B.若△/3C面積為如巧，則△NBC周長(zhǎng)的最小值為12

C.當(dāng)b=5,c=7時(shí)，a=9

D.若b=4,B^，則△4BC面積為6+W^

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.ovD

13.（5分）某校共有師生2400人，其中教師200人，男學(xué)生1200人，已知從女學(xué)生中抽

取的人數(shù)為80,那么"=.

14.（5分）sin21°cos9°+sin69°sin9°=.

15.（5分）在邊長(zhǎng)為6的正△ZBC中，若點(diǎn)。滿足麗=2前，則15?前=.

16.（5分）在△48C中，匚，AC=2,M為邊上的中點(diǎn)巾，則48=

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）設(shè)向量a,N茜足a，b=3,|aI=3>=（V3,1）-

（1）求向量a，b的夾角及|a-b|；

⑵若（7+2b）1（ka-b）?則實(shí)數(shù)人的值.

18.（12分）△48C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

V2cosB（acosC+ccosA）=b-

（I）求8；

（II）若C=60°,6=2,求a

19.（12分）2023年6月4日，神舟十五號(hào)載人飛船返回艙在預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員

費(fèi)俊龍，張陸順利出艙，神舟十五號(hào)載人飛行任務(wù)圓滿完成.為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)所取

得的成就，某市隨機(jī)抽取1000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽并記錄得分（滿分：100分），

將學(xué)生的成績(jī)整理后分成五組，60）,[60,[70,80）,90）,[90,并繪制成如圖所示的

頻率分布直方圖.

（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（2）估計(jì)這1000名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、平均數(shù)和計(jì)算80%分位數(shù)（求平均值時(shí)同一組數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，80%分位數(shù)小數(shù)點(diǎn)后面保留兩位有效數(shù)字）.

w頻率

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O5060708090100成績(jī)/分

20.（12分）為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射

型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測(cè)，B,C,。三地位于同一水平面

上，這種儀器在8地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，。兩地相距100加，NBCD=60°2秒，在C地測(cè)

得該儀器至最高點(diǎn)/處的仰角為30。.（已知聲音的傳播速度為340加/s）

求：⑴B,C兩地間的距離；

（2）這種儀器的垂直彈射高度

21.（12分）已知向量a=（cosx,situ）,b=（3,-^3）,x￡[0,it].

（1）若a“b，求x的值；

（2）記/（x）=a-b＞求/（x）的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

22.（12分）在銳角△NBC中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosB+EsinB=2,

cosB卜cosc_2sinA

bcV3sine

（1）求角B的大小和邊長(zhǎng)b的值；

（2）求△NBC面積的取值范圍.

2023-2024學(xué)年河北省秦皇島市新世紀(jì)高級(jí)中學(xué)高二（上）開學(xué)

數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.（5分）已知a€R,（1+az）i=3+i（i為虛數(shù)單位），貝!]a=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【分析】利用復(fù)數(shù)相等的定義求解即可.

【解答】解：因?yàn)椋?+az）i=3+i,即_a+i=5+ij

由復(fù)數(shù)相等的定義可得，-a=3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)相等定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）在△/8C中，內(nèi)角B,C所對(duì)的邊為a,b,c,b=4，R,2=60°（）

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

【分析】由正弦定理可得siiL4=L,再結(jié)合大邊對(duì)大角即可求得.

2

【解答】解：因?yàn)椤?4,6=4丫%，

所以由正弦定理有：=_L_,

sinAsinB

4X^-

所以sinA=R。一

b4V32

因?yàn)?>a,所以60°=B>4>0；

所以4=30°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5,方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)

據(jù)5,此時(shí)樣本容量為9^,方差為s2,則（）

A.彳=5，52>2B.彳=5，S2<2C.x>5,s2<2D.x>5,?>2

【分析】利用平均數(shù)、方差的定義直接求解.

【解答】解：???某8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,方差為7,

此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為彳，方差為S2,

.--7X5+5_c25X2+(5-2)2_16

??x--------＞S，S=---------------

292

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均數(shù)、方差的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸

與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

4.(5分)如圖在梯形/BCD中，BC=2AD,DE=EC,設(shè)BA=a，BC=b，則BE=(

C-於亭D-蕓亭

【分析】取8C中點(diǎn)/，由BC=2/D可知/。=尸。從而可得四邊形NFCD為平行四邊

形，結(jié)合向量的基本運(yùn)算即可求解

【解答】解：取8c中點(diǎn)R由8c=2/?？芍?C,

四邊形/FCD為平行四邊形，

則標(biāo)=前+而=玩+而=前,(BA^|BC)=|■前-tyBA=ya等?

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)基礎(chǔ)試題.

二迷,ae(2L,

5.(5分)若sina=IT),則tan(3n-2a)=()

132

A.-工B.-12C.工D.12

3535

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tana的值，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，二

倍角的正切函數(shù)公式即可計(jì)算得解.

【解答】解：因?yàn)轲?=型亙，ae(2L,

132

所以cosa=-&-sin2a=-型型巨皿_=-―,

sinu13cosa2

5-tan2a5

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的正切函數(shù)公式

在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

6.(5分)已知至=之+5總BC=-2a+8b-CD=3(a-b)>則()

A.A、B、。三點(diǎn)共線B.A,B、C三點(diǎn)共線

C.B、C、。三點(diǎn)共線D.A、C、。三點(diǎn)共線

【分析】利用三角形法則可求得BD，由向量共線條件可得鄴與8型線，從而可得結(jié)

論.

..―???

【解答】解：BD=BC+CD=(-2a+8ba-b)=ab)

又至=Z+8總所以至=前，則至與而，

又標(biāo)與而有公共點(diǎn)B,

所以/、B、。三點(diǎn)共線.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量共線的條件，屬基礎(chǔ)題，熟記向量共線的充要條件是解決問題的

關(guān)鍵.

7.(5分)海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)a,b,c直接求三角形面積S的公式，

表達(dá)式為：S=Jp(p-a)(p-b)它的特點(diǎn)是形式漂亮，便于記憶.中

2

國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨(dú)立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完全等價(jià),

因此海倫公式又譯作海倫-秦九韶公式.現(xiàn)在有周長(zhǎng)為10+2小小，則用以上給出的

公式求得△NBC的面積為()

A.8WB.4巾C.673D.12

【分析】由正弦定理得三角形三邊之比，由周長(zhǎng)求出三邊，代入公式即可.

【解答】I？：Vsiih4：siiiS：sinC=2：3：\]~Z,??a：b：c—2：3：M,

,.?△48C周長(zhǎng)為10+2巾，即a+b+c=10+3/7，

；.a=4,b=65；.p=4+5+2W行

3

...AABC的面積(5+V7)(1W7)(V4-1)(5-V6)=6禽.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)文化，考查了正弦定理、三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,

考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

8.(5分)已知函數(shù)/'(x)=sin(3x+cp)(3>0,|(p|W2-),x=--2L(x)的零點(diǎn)，x=

24

—(X)圖象的對(duì)稱軸，且/(X)在(JL,衛(wèi))，則3的最大值為()

41836

A.11B.9C.7D.5

【分析】根據(jù)已知可得3為正奇數(shù)，且3W12,結(jié)合■為/（X）的零點(diǎn)，x=

2L為y=f3圖象的對(duì)稱軸，求出滿足條件的解析式，并結(jié)合/G）在

4

且L）上單調(diào)，可得3的最大值.

1836

【解答】解：-2L為/（X）的零點(diǎn)二為v=/（x）圖象的對(duì)稱軸，

44

A5n+1即@L.2n（〃CN）

487CO2

即3=3"+l（neN）即3為正奇數(shù)，

,：f（%）在（2L,2L）上單調(diào)，則空—n=—兀<一—T

即r=22L2JL,解得：3W12,

38

當(dāng)3=11時(shí),-11冗+隼=加,

4

兀

??加忌衛(wèi)，.”--,

22

此時(shí)/（X）在（轟,衛(wèi)）不單調(diào);

36

當(dāng)3=9時(shí)，一且L

4

?.?|q)|^2L,：.(pn

22

此時(shí)/（x）在（表,旦L）單調(diào);

36

故3的最大值為9,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題轉(zhuǎn)化困難，難度較大.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（5分）復(fù)數(shù)z衛(wèi)二7?是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

1-i

A.|z|=V5

B.z的共筑復(fù)數(shù)為.di

C.z的實(shí)部與虛部之和為2

D.z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限

【分析】根據(jù)已知條件，先對(duì)Z化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，共朝復(fù)數(shù)的定義，實(shí)部和虛

部的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解:2+i=(4+i)(1+i)=17.

TT(1+i)(6-i)萬巧i

|水彳君?=挈，故/錯(cuò)誤，

對(duì)于/,

對(duì)于8,z的共軌復(fù)數(shù)為33

26

對(duì)于C,Z的實(shí)部與虛部之和為/得=2，

對(duì)于。，z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（2,1,故。正確.

25

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，共軌復(fù)數(shù)的定義，實(shí)部和虛部的定義，復(fù)數(shù)的幾何

意義，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）10.（5分）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是TT的函數(shù)是（）

A.y=sin2xB.y=sin|x|

J「y=cos/（c23x兀、）D.y=sin⑵

【分析】直接利用函數(shù)的奇偶性和周期性判斷結(jié)果.

【解答】解：對(duì)于/,函數(shù)y=sin2x既是奇函數(shù)，故/正確；

對(duì)于8：函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù)，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C：y=cos（2x-^~）=-sin2x既是奇函數(shù)，故C正確;

對(duì)于。：函數(shù)y=sin（7x"*^）=cos2x為偶函數(shù)?

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和周期性，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)

算能力，屬于中檔題.

（多選）11.（5分）已知函數(shù)

f（x）=Asin（COx+0）（A>0,W>0,|?|<:）的部分圖象如圖所示，下列

說法正確的是（）

A.函數(shù)y=/（x）的最小正周期為2ir

B.函數(shù)y=/（x）在單調(diào)遞減

36

C.函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于直線x=WL對(duì)稱

x12

D.該圖象向右平移」匚個(gè)單位可得＞=2sin2x的圖象

6

【分析】先根據(jù)圖象求出y=/（x）的解析式，再分別驗(yàn)證/、B、C、。是否正確，根

據(jù)圖象得到的周期進(jìn)行判定4求得2x吟的取值范圍，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性

結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則判定&計(jì)算f（冉L）,看乂=冉匕是否經(jīng)過頂點(diǎn)從而判定

是否為對(duì)稱軸從而判定C;利用“左加右減”求得平移后的函數(shù)解析式即可判斷D.

【解答】解：由圖象可知：A=2,周期丁=4（三二＞）=兀,

312

.2兀

??3吟「二2；

T

f舄")=8sin(2xG+?)=2

12k12,解得：小工,

由，

|0|＜看3

故函數(shù)f（x）=2sin（5x立■限）?

對(duì)于/：T=u,故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8：當(dāng)謂Zx《-9時(shí)-兀〈2x吟《0,因?yàn)椋垡欢?，不單調(diào)

［等，十］上不單調(diào)；

對(duì)于C：當(dāng)*=節(jié)時(shí)f（爺）=2sin（窄乂24）=_2,即直線x=爺，故

C正確;

對(duì)于。：y=f（X）的圖像向右平移著個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin［7（X*）弓］=8sin2x，

故。正確.

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由y=/sin（3x+（p）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的

性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題.

（多選）12.（5分）三角形4BC的三邊a,b,c所對(duì)的角為

A,B,C,1-（siivl-sin8）2=siiL4sin8+cos2C,則下列說法正確的是（）

AA.r--打-

3

B.若△A8C面積為4?，則△A8C周長(zhǎng)的最小值為12

C.當(dāng)b=5,c=7時(shí)，。=9

D.若6=4,B=2L,則△N8C面積為6+W§

4

【分析】由正弦定理可得房+°2一°2=湖，再由余弦定理可得COSC,可求C可判斷N;

由面積可得。6,進(jìn)而由余弦定理可得c="（a+b）2-48,進(jìn)而可得周長(zhǎng)的最小值可判

斷2；由余弦定理可得/-5a-24=0,可求a判斷C：由正弦定理可求c,進(jìn)而可求面

積判斷D

【解答】解：對(duì)于/：*.*1-（siib4-sin5）

2=sirUsiaS+cos3C,1-sin2^+5sirL4sin5-sin2^=siiL4sinB+1-sin7C,

sin2^4+sin25-sin6C=siiL4sin5,由正弦定理可得b2+a2-曰=ab,

,2^241

由余弦定理得cosC=b+a~c=1,

2ab6

jr

V0<C<n,.\C=—；

3

對(duì)于8：當(dāng)加inC=近?,**?ab='16,

24

由余弦定理可得c2=a6+b2-2abcosC=as+b2-ab,+b7-ab=

V（a+b）2-48,

a+b+c=a+b+d（及+匕）26Vab+^（2Vab）-48V64-48—12,等號(hào)成立,

故周長(zhǎng)的最小值為12,故5正確.

對(duì)于C：由余弦定理可得c4=a2+b2-6abcosC,

.'.49=tz2+25-5a,a6-5a-24=0,解得。=6或。=-3（舍去）；

.4義學(xué)

對(duì)于。：由正弦定理得二bc=bsinC=—/=^-V6，八4BC面積S=

sinCsinBsinBV2

2

-1JLX3X2V6

5212

=4>/6X&=5+2加；

4

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查三角形的面積，考查運(yùn)算求解

能力，屬中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.ovD

13.（5分）某校共有師生2400人，其中教師200人，男學(xué)生1200人，已知從女學(xué)生中抽

取的人數(shù)為80,那么〃=192.

【分析】先求三層的比例，然后求得女學(xué)生中抽取總?cè)藬?shù)的比例，從而求出抽取樣本容

量.

【解答】解：由題意，因?yàn)?00：1200：1000=1：6：4,

所以女學(xué)生中抽取總?cè)藬?shù)的包，

12

故N=80一至=192.

12

故答案為：192.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

14.（5分）sin21°cos9°+sin69°sin9°=_A_.

一2一

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及正弦的兩角和公式，即可求

解.

【解答】解：sin21°cos9°+sin69°sin9°=sin21°cos2°+cos21sin9°=

sin（21°+9°）=sin300

故答案為：1.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦的兩角和公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.（5分）在邊長(zhǎng)為6的正△N8C中，若點(diǎn)。滿足而=2前，則說?記=6.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的數(shù)量積公式，即可

求解.

【解答】解：BD=2DC，

則而?皮=（疝4^1?麗）?麗=-盛?記卷證8=_ig+1.x32=6-

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)

題.

16.（5分）在△48C中，/cT，/。=2,M為邊上的中點(diǎn)J7，則力3=_2匕.

3

【分析】根據(jù)cosN/MC=-cosNBMC,結(jié)合余弦定理，列方程組可求得力S.

22

【解答】解：在△力中，cosNAMC二AM<M-AC

2AM-CM

在△8CM中，cosNBMC宜@主；

cos乙BMU2BM-CM

??NAMC+/BMC=n,：.cosZAMC=-cos/BMC,

?AM，AP-AC?_A-+CN-BC2

"6AM-CM-2AM-CM'

整理，可得NC2+BC5=2（CAf2+AM3）,即4+302=4（7+/?），

7AM2^-AB2=BC2-10>■-6BC2-2O=AB2,

在△A8C中，AB2=AC2+BC2-7AC-BCcosC=4+BC2-5BC=AB2,

...4+2C5-28c=2205-20,解得2C=-6（舍）或2C=4,

AB=V4BC2-20=278-

故答案為：KjQ.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬中

檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）設(shè)向量a,喃足a，b=3,|aI=3>E=（?,1）,

（1）求向量W，E的夾角及|a-b|；

（2）若（7+2b）1（kZ-E），則實(shí)數(shù)人的值.

【分析】（1）由夾角公式及模長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可；

(2)由向量垂直的性質(zhì)，利用數(shù)量積為0建立方程，求得左值.

【解答】解：(1)由b=(V3,1)b1=2,又a，b,|a|=3,

則cos<Zh>=_a_曰_=A,

a，b|a||b|4X23

又K,1>E[0，所以V；,E"""，

o

Ia-b|=*b+b2=V4-6+4=V7;

(2)由(a+2b)J_(ka-b)，可得(a+2ba_b)=2,

即2+(2左-5)a*b12=0,

由(1)可得：3上+6上-3-2=0,解得左=_1X.

15

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，考查向量垂直的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

18.(12分)△/8C的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

V2cosB(acosC+ccosA)=b-

(I)求2；

(II)若C=60°,b=2,求a

【分析】(I)由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)己知等式可得cos3=亞，進(jìn)而可

2

求5的值；

(II)由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求N的值，進(jìn)而利用正弦定理即可求解a,c的

值.

【解答】解：(I)因?yàn)閊/^cosB(acosC+ccosA)=b>

由正弦定理可得(siiL4cosC+sinCcos^)=sin5,

所以J^cosBsin(A+C)

因?yàn)?為三角形內(nèi)角，siuBWO,

所以COSB=YZ_,

2

所以8=45°；

(II)因?yàn)?=45°,C=60°,

所以/=180°-B-C=15

由正弦定理一--=--—二一--，可得---a.=----0。=---20

sinAsinBsinCsin75sin60sin45U2

所以。=2&sin750=7&&（近xYl_+亞X-l）=百，

2622

c=7-\/2sin60o=2^

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的

綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.（12分）2023年6月4日，神舟十五號(hào)載人飛船返回艙在預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員

費(fèi)俊龍，張陸順利出艙，神舟十五號(hào)載人飛行任務(wù)圓滿完成.為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)所取

得的成就，某市隨機(jī)抽取1000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽并記錄得分（滿分：100分）,

將學(xué)生的成績(jī)整理后分成五組，60）,[60,[70,80）,90）,[90,并繪制成如圖所示的

頻率分布直方圖.

（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（2）估計(jì)這1000名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、平均數(shù)和計(jì)算80%分位數(shù)（求平均值時(shí)同一組數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，80%分位數(shù)小數(shù)點(diǎn)后面保留兩位有效數(shù)字）.

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

【分析】（1）由頻率和為1,求出成績(jī)落在[60,70）的頻率;

（2）由頻率分布直方圖計(jì)算樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和百分位數(shù).

【解答】解：(1)成績(jī)落在［60,70)的頻率為1-(0.030+5.015+0.010+0.005)

X10=2.40,

補(bǔ)全的頻率分布直方圖，如圖所示：

（2）估計(jì)這1000名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)是工X（60+70）=65,

2

平均數(shù)是彳=55X3,30+65X0.40+75X0.15+85X5.10+95X0.05=67（分）,

設(shè)80%分位數(shù)為x,貝!J0.03X10+8.04X10+（%-70）X0.015=0.3,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查百分位數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

20.（12分）為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射

型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測(cè)，B,C,。三地位于同一水平面

上，這種儀器在2地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，。兩地相距100m,/BCD=60°當(dāng)心在C地測(cè)

17

得該儀器至最高點(diǎn)A處的仰角為30°.（已知聲音的傳播速度為340加/s）

求：（1）2,C兩地間的距離；

（2）這種儀器的垂直彈射高度/反

【分析】（1）設(shè)8C=x,利用在C地聽到彈射聲音的時(shí)間比。地晚上劃，表示出

17

BD,再由余弦定理，即可得解；

（2）在△NBC中，由正切函數(shù)的定義，即可得解.

【解答】解：（1）設(shè)8C=x,

?.?在C地聽到彈射聲音的時(shí)間比D地晚上多，

17

：.BD=x-2X340=X-40,

17

在△BCD中，由余弦定理S^BC2+CD2-4BC-CD'cosZBCD,

：.(x-40)2=x2+10000-lOOx,解得x=420,

故2,C兩地間的距離為420米.

(2)在△4BC中,3c=420,

/.AB=5C-tanC5=420X近=140?米.

3

故該儀器的垂直彈射高度為140?米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推

理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.(12分)已知向量2=(cosx,sinx),b=(3,-xG[0,IT].

(1)若aIIb,求x的值；

(2)記/(x)=a'b＞求/Xx)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

【分析】(1)根據(jù)向量的平行即可得到tanx=-1,問題得以解決，