2024秋新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測(cè)二十八直線與直線垂直新人教A版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE5直線與直線垂直層級(jí)(一)“四基”落實(shí)練1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱全部的棱中，和AC垂直且異面的直線有 ()A．1條 B．2條C．3條 D．4條解析：選B和AC垂直且異面的直線有A1B1和BB1，故選B.2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°解析：選B取A1B1中點(diǎn)I，連接IG，IH，則EF∥IG.易知IG，IH，HG相等，則△HGI為等邊三角形，所以IG與GH所成的角為60°，即EF與GH所成的角為60°.故選B.3．(多選)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是 ()A．EF與BB1垂直B．EF與BD垂直C．EF與CD異面D．EF與A1C1異面解析：選ABC如圖所示，連接A1B，易知點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得EF∥A1C1，則EF，A1C1確定一個(gè)平面；明顯EF與CD異面；由幾何關(guān)系可得A1C1⊥BB1，A1C1⊥BD，則EF⊥BB1，EF⊥BD.故選A、B、C.4.(多選)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是 ()A．直線CC1與直線B1E相交B．CC1與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1垂直解析：選ACD因?yàn)镃E∥B1C1且CE＝eq\f(1,2)B1C1，所以四邊形CEB1C1為梯形．CC1與B1E必相交，A正確．由幾何圖形可知B錯(cuò)誤，C正確．AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，又E為BC的中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，即AE與B1C1所成的角為90°，D正確．故選A、C、D.5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是()A．60° B．75°C．90° D．105°解析：選C設(shè)BB1＝1，如圖，延長(zhǎng)CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補(bǔ)角)．連接AC2，因?yàn)锳B1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(2,2)＝ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,2)，則∠AB1C2＝90°.6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四邊形，則PA與CD所成的角是________．解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD.∴∠PAB是PA與CD所成的角．又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.答案：90°7.如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN等于________．解析：如圖，取AD的中點(diǎn)P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即異面直線AC與BD所成的角．∴∠MPN＝90°.又∵PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.答案：58.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AA′＝2.求：(1)BC和A′C′所成的角；(2)AA′和BC′所成的角．解：(1)因?yàn)锽C∥B′C′，所以∠B′C′A′是異面直線A′C′與BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq\r(3)，B′C′＝2eq\r(3)，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因?yàn)锳A′∥BB′，所以∠B′BC′是異面直線AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq\r(3)，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，異面直線AA′與BC′所成的角為60°.層級(jí)(二)實(shí)力提升練1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，CD的中點(diǎn)為M，AA1的中點(diǎn)為N，則異面直線C1M與BN所成的角為 ()A．30° B．60°C．90° D．120°解析：選C如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，CD的中點(diǎn)為M，AA1的中點(diǎn)為N，取AB的中點(diǎn)P，連接B1P，則B1P∥C1M，易得B1P⊥BN，所以異面直線C1M與BN所成的角為90°.故選C.2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng)，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是 ()A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°解析：選D如圖，連接CD1，AC.因?yàn)镃D1∥BA1，所以CP與BA1所成的角就是CP與CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.當(dāng)點(diǎn)P從D1向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠D1CP從0°增大到60°，但當(dāng)點(diǎn)P與D1重合時(shí)，CP∥BA1，與CP與BA1為異面直線沖突，所以異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是0°<θ≤60°.3.如圖，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則異面直線BD1與AA1所成角的正弦值為________，異面直線BD1與AD所成角的正弦值是________．解析：∵AA1∥DD1，∴∠DD1B即為異面直線BD1與AA1所成的角．連接BD，在Rt△D1DB中，sin∠DD1B＝eq\f(DB,BD1)＝eq\f(2\r(2),2\r(6))＝eq\f(\r(3),3).∵AD∥BC，∴∠D1BC即為異面直線BD1與AD所成的角(或其補(bǔ)角)．連接D1C，在△D1BC中，∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，∴D1B＝2eq\r(6)，BC＝2，D1C＝2eq\r(5)，D1B2＝BC2＋D1C2.∴∠D1CB＝90°.∴sin∠D1BC＝eq\f(D1C,D1B)＝eq\f(2\r(5),2\r(6))＝eq\f(\r(30),6)，故異面直線BD1與AD所成角的正弦值是eq\f(\r(30),6).答案：eq\f(\r(3),3)eq\f(\r(30),6)4.如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，求異面直線DE與AB所成的角．解：因?yàn)镈，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，所以BC∥DE，因此∠ABC是異面直線DE與AB所成的角．又因?yàn)锳B是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故異面直線DE與AB所成的角為45°.5.如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．解：取AC的中點(diǎn)F，連接EF和BF.在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點(diǎn)，所以EF∥CD，∠FEB(或其補(bǔ)角)即為異面直線BE與CD所成的角．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1.在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，所以異面直線BE與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).層級(jí)(三)素養(yǎng)培優(yōu)練如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若異面直線A1B與AD1所成的角為90°，試求AA1.解：如圖，連接CD1，AC.由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形．所以A1B∥CD1.所以∠AD1C(或其補(bǔ)角)為A1B和AD1所成的角．因?yàn)楫惷嬷本€A1B和AD1所成的角為90°，所以∠AD1C＝90°.易知△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝eq\f(\r(2),2)AC.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝1