2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.3.2正弦定理素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)十二正弦定理(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.在△ABC中,若sinA=sinB,則A與B的大小關(guān)系為 ()A.A=B B.A>BC.A<B D.A,B大小不確定【解題指南】先由正弦定理說明a=b,然后再依據(jù)△ABC中等邊對(duì)等角的原理去推斷.【解析】選A.由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB.因?yàn)閟inA=sinB,所以a=b,所以A=B.2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知c=1,b=QUOTE,∠B=60°,則∠C= ()A.30° B.45°C.150° D.30°或150°【解題指南】利用正弦定理解三角形,依據(jù)大邊對(duì)大角,即可得解.【解析】選A.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知c=1,b=QUOTE,∠B=60°,則由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閏<b,所以C=30°.3.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,則得此三角形 ()A.無解 B.有兩解C.有一解 D.解的個(gè)數(shù)不確定【解析】選B.如圖,因?yàn)閎sinA<a<b,所以B有兩解.4.在△ABC中,若c=QUOTE,C=60°,則QUOTE= ()A.6 B.2QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選C.利用正弦定理的推論,得QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.5.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,則△ABC的形態(tài)是 ()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】選D.將a=2RsinA,b=2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)代入已知條件,得sin2AtanB=sin2BtanA,則QUOTE=QUOTE.因?yàn)閟inAsinB≠0,所以QUOTE=QUOTE,所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,所以A=B或A+B=QUOTE,故△ABC為等腰三角形或直角三角形.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,若sinA=QUOTE,a=10,則邊長c的取值范圍是 ()A.(0,10) B.(10,+∞)C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,得c=QUOTE=QUOTEsinC,又sinC∈(0,1],所以c∈(0,QUOTE].6.(多選題)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿意sinBQUOTE=2sinAcosC+cosAsinC,則下列結(jié)論可能正確的是 ()A.a=2b B.b=2cC.B=QUOTE D.C=QUOTE【解析】選AD.由題意,得sinB+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,得C=QUOTE或2b=a.二、填空題(每小題5分,共10分)7.在△ABC中,若a=3,cosA=-QUOTE,則△ABC的外接圓的半徑為__________.

【解析】由cosA=-QUOTE,得sinA=QUOTE=QUOTE,設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R,由正弦定理,有2R=QUOTE=2QUOTE,即△ABC的外接圓的半徑為QUOTE.答案:QUOTE8.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=3,B=2A,cosA=QUOTE,則b=________.

【解析】因?yàn)閏osA=QUOTE,所以sinA=QUOTE,因?yàn)锽=2A,所以sinB=sin2A=2sinAcosA=QUOTE,又QUOTE=QUOTE,所以b=2QUOTE.答案:2QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知△ABC中,a=QUOTE,b=QUOTE,B=45°,求A,C和邊c.【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE.因?yàn)閍>b,所以A=60°或A=120°.當(dāng)A=60°時(shí),C=180°-45°-60°=75°,c=QUOTE=QUOTE,當(dāng)A=120°時(shí),C=180°-45°-120°=15°,c=QUOTE=QUOTE.10.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sinQUOTE的值.【解析】(1)因?yàn)锳=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正弦定理、余弦定理得a=2b·QUOTE.因?yàn)閎=3,c=1,所以a2=12,a=2QUOTE.(2)由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.由于0<A<π,所以sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.故sinQUOTE=sinAcosQUOTE+cosAsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知在△ABC中,a=1,b=QUOTE,B=45°,則A等于 ()A.150° B.90° C.60° D.30°【解析】選D.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE.又a<b,所以A<B=45°,所以A=30°.2.在△ABC中,已知B=60°,最大邊與最小邊的比為QUOTE,則三角形的最大角為 ()A.60° B.75° C.90° D.115°【解析】選B.不妨設(shè)a為最大邊,c為最小邊,由題意有QUOTE=QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,整理,得(3-QUOTE)sinA=(3+QUOTE)cosA.所以tanA=2+QUOTE,所以A=75°.3.(多選題)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos2A+cos2B=2cos2C,則下列結(jié)論正確的是 ()A.C≤60° B.C>60°C.a2+b2=c2 D.a2+b2=2c2【解題指南】利用二倍角公式化簡條件等式,利用正弦定理建立三角形的邊長的關(guān)系式,利用余弦定理的變形公式確定角的取值范圍.【解析】選AD.由cos2A+cos2B=2cos2C,得1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2即sin2A+sin2B=2sin2由正弦定理可得a2+b2=2c2.由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2,所以cosC=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,所以cosC的最小值為QUOTE,由于函數(shù)y=cosx,x∈(0,π)為減函數(shù),所以0<C≤QUOTE,即C≤60°.4.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知2acosB=c,且滿意sinAsinB(2-cosC)=sin2QUOTE+QUOTE,則△ABC為 ()A.銳角非等邊三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形【解析】選C.依據(jù)等式2acosB=c,利用正弦定理化簡得2sinAcosB=sinC,因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0,因?yàn)锳與B都為△ABC的內(nèi)角,所以A-B=0,即A=B.方法一:由sinAsinB(2-cosC)=sin2QUOTE+QUOTE變形得sin2A[2-cos(π-2A)]=QUOTE(1-cosC)+QUOTE=1-QUOTEcosC=1-QUOTEcos(π-2A),即sin2A(2+cos2A)=1+QUOTEcos2A,sin2A(1+2cos2A)=QUOTE+cos2A,(1-cos2A)(1+2cos2A)=QUOTE+cos2A,得cos4A=QUOTE,cos2A=QUOTE,得cosA=±QUOTE,由于0°<A<90°,所以A=B=45°,C=90°,則△ABC為等腰直角三角形.方法二:由sinAsinB(2-cosC)=sin2QUOTE+QUOTE變形得sinAsinB(2-cosC)=QUOTE(1-cosC)+QUOTE=1-QUOTEcosC,-QUOTE[cos(A+B)-cos(A-B)](2-cosC)=1-QUOTEcosC,所以-QUOTE(-cosC-1)(2-cosC)=1-QUOTEcosC,即(cosC+1)(2-cosC)=2-cosC,因?yàn)?-cosC≠0,所以cosC+1=1.所以cosC=0,所以C=90°,則△ABC為等腰直角三角形.二、填空題(每小題5分,共20分)5.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bcosC+QUOTEbsinC-a-c=0,則角B=________.

【解析】由正弦定理知,sinBcosC+QUOTEsinBsinC-sinA-sinC=0.(*)因?yàn)閟inA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,代入(*)式得QUOTEsinBsinC-cosBsinC-sinC=0.因?yàn)閟inC>0,所以QUOTEsinB-cosB-1=0,所以2sinQUOTE=1,即sinQUOTE=QUOTE.因?yàn)锽∈(0,π),所以B=QUOTE.答案:QUOTE6.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,則QUOTE=________.

【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,QUOTE=2.方法二:如圖,作AD⊥BC于點(diǎn)D,則a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即QUOTE=2.答案:27.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊a,b,c滿意2b=a+c,且A-C=90°,則cosB=________.

【解析】因?yàn)?b=a+c.所以由正弦定理,得2sinB=sinA+sinC.因?yàn)锳-C=90°,所以2sinB=sin(90°+C)+sinC,所以2sinB=cosC+sinC.所以2sinB=QUOTEsin(C+45°).①因?yàn)锳+B+C=180°且A-C=90°,所以C=45°-QUOTE,代入①式中,2sinB=QUOTEsinQUOTE.所以2sinB=QUOTEcosQUOTE.所以4sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEcosQUOTE.所以sinQUOTE=QUOTE.所以cosB=1-2sin2QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.在銳角△ABC中,BC=1,B=2A,則QUOTE的值等于________,AC的取值范圍為________.

【解題指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函數(shù)的值域求取值范圍.【解析】設(shè)A=θ,則B=2θ.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=1?QUOTE=2.由銳角△ABC得0°<θ<45°,又0°<180°-3θ<90°?30°<θ<60°,故30°<θ<45°?QUOTE<cosθ<QUOTE,所以AC=2cosθ∈(QUOTE,QUOTE).答案:2(QUOTE,QUOTE)三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),cos∠BAD=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE,(1)求∠BAC的值;(2)求QUOTE的值.【解析】(1)因?yàn)閏os∠BAD=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD為銳角,所以sin∠BAD=QUOTE,sin∠CAD=QUOTE,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE,因?yàn)?<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE.(2)在△ABC中,QUOTE=QUOTE,在△ABD中,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,又因?yàn)锽C=2BD,所以QUOTE=QUOTE.10.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且b=6,a=2QUOTE,A=30°,試求ac的值.【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE得sinB=QUOTE=QUOTE.由條件b=6,a=2QUOTE,b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)當(dāng)B=60°時(shí),C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=2QUOTE,b=6,c=4QUOTE,所以ac=2QUOTE×4QUOTE=24.(2)當(dāng)B=120°時(shí),C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,所以A=C,則有a=c=2QUOTE.所以ac=2QUOTE×2QUOTE=12.11.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為acsin2B.(1)求sinB的值;(2)若c=5,3sin2C=5sin2B·sin2【解析