第3章《整式及其加減》（原卷版）

20222023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)章節(jié)考點(diǎn)精講精練第3章《整式及其加減》知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)點(diǎn)01:代數(shù)式諸如：16n，2a+3b，34，，等式子，它們都是用運(yùn)算符號(hào)(＋、－、×、÷、乘方、開(kāi)方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的，像這樣的式子叫做代數(shù)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式．細(xì)節(jié)剖析：代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)規(guī)范：（1）字母與數(shù)字或字母與字母相乘時(shí)，通常把乘號(hào)寫(xiě)成“·”或省略不寫(xiě)；（2）除法運(yùn)算一般以分?jǐn)?shù)的形式表示；（3）字母與數(shù)字相乘時(shí)，通常把數(shù)字寫(xiě)在字母的前面；（4）字母前面的數(shù)字是分?jǐn)?shù)的，如果既能寫(xiě)成帶分?jǐn)?shù)又能寫(xiě)成假分?jǐn)?shù)，一般寫(xiě)成假分?jǐn)?shù)的形式；（5）如果字母前面的數(shù)字是1，通常省略不寫(xiě)．知識(shí)點(diǎn)02:整式的相關(guān)概念1．單項(xiàng)式：由數(shù)字或字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式．細(xì)節(jié)剖析：（1）單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)．（2）單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和．2．多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)．細(xì)節(jié)剖析：（1）在多項(xiàng)式中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．（2）多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．（3）多項(xiàng)式的次數(shù)是n次，有m個(gè)單項(xiàng)式，我們就把這個(gè)多項(xiàng)式稱(chēng)為n次m項(xiàng)式．3.多項(xiàng)式的降冪與升冪排列：

把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列．另外，把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列．細(xì)節(jié)剖析：（1）利用加法交換律重新排列時(shí)，各項(xiàng)應(yīng)帶著它的符號(hào)一起移動(dòng)位置；

（2）含有多個(gè)字母時(shí)，只按給定的字母進(jìn)行降冪或升冪排列．4．整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式．知識(shí)點(diǎn)03:整式的加減1．同類(lèi)項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)．所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng)．細(xì)節(jié)剖析：辨別同類(lèi)項(xiàng)要把準(zhǔn)“兩相同，兩無(wú)關(guān)”：（1）“兩相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指數(shù)相同；（2）“兩無(wú)關(guān)”是指：①與系數(shù)無(wú)關(guān)；②與字母的排列順序無(wú)關(guān)．2．合并同類(lèi)項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng)．細(xì)節(jié)剖析：合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，只是系數(shù)相加減，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)保持不變．3．去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”，把括號(hào)和它前面的“+”去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都不改變；括號(hào)前面是“”，把括號(hào)和它前面的“”號(hào)去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要改變．4．添括號(hào)法則：添括號(hào)后，括號(hào)前面是“+”，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)都不改變；添括號(hào)后，括號(hào)前面是“”，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)都要改變．5．整式的加減運(yùn)算法則：幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加、減號(hào)連接，然后去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)．知識(shí)點(diǎn)04:探索與表達(dá)規(guī)律尋找規(guī)律并用字母表示這一規(guī)律體現(xiàn)了從特殊到一般和歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.解題中應(yīng)注意先從特殊的結(jié)果尋找規(guī)律，再用字母表示，最后加以驗(yàn)證.考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)01：代數(shù)式求值1．（2022?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）下列說(shuō)法正確的是（）A．2m表示m和m相乘 B．2m的值一定比m的值大 C．2m的值一定比2大 D．2m的值隨m的增大而增大2．（2021秋?肥西縣月考）已知，當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式ax2﹣bx+4的值是6；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，代數(shù)式ax2﹣bx+4的值是3，代數(shù)式a﹣2b的值是（）A．﹣2 B． C．2 D．3．（2022?六盤(pán)水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，則a1+a2+a3+a4+a5的值是（）A．4 B．8 C．16 D．324．（2022春?市南區(qū)期末）如圖，有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內(nèi)部，測(cè)得陰影部分面積為2，圖2將正方形A、B并列放置后構(gòu)造新正方形，測(cè)得陰影部分面積為20，若將3個(gè)正方形A和2個(gè)正方形B并列放置后構(gòu)造如圖3的新正方形，（圖2，圖3中正方形A、B紙片均無(wú)重疊部分）則圖3中陰影部分的面積．5．（2022?余姚市一模）已知x2﹣2x＝3，則3x2﹣6x﹣4的值為．6．（2021秋?鎮(zhèn)平縣校級(jí)期末）下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序，當(dāng)首先輸入a＝﹣2時(shí)，計(jì)算出正數(shù)為止，那么輸出的結(jié)果是．考點(diǎn)02：整式7．（2021秋?任城區(qū)校級(jí)期末）下列式子：x+3，+5，，0，，﹣5x，x+0，c＝ab中，整式的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．5 C．.4 D．.38．（2021?錦江區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）下列代數(shù)式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，其中整式有個(gè)．9．（2015秋?昌江縣校級(jí)月考）整式：和統(tǒng)稱(chēng)為整式．10．（2021秋?新晃縣期中）下列代數(shù)式：①﹣mn，②m，③，④，⑤2m+1，⑥，⑦，⑧x2+2x+中，整式共有個(gè)．11．（2019秋?三臺(tái)縣期末）把幾個(gè)數(shù)或整式用大括號(hào)括起來(lái)，中間用逗號(hào)分開(kāi)，如{﹣3，6，12}，{x，xy2，﹣2x+1}，我們稱(chēng)之為集合，其中大括號(hào)內(nèi)的數(shù)或整式稱(chēng)為集合的元素．定義如果一個(gè)集合滿足：只要其中有一個(gè)元素x使得﹣2x+1也是這個(gè)集合的元素，這樣的集合稱(chēng)為關(guān)聯(lián)集合，元素﹣2x+1稱(chēng)為條件元素．例如：集合{﹣1，1，0}中元素1使得﹣2×1+1＝﹣1，﹣1也恰好是這個(gè)集合的元素，所以集合{﹣1，1，0}是關(guān)聯(lián)集合，元素﹣1稱(chēng)為條件元素．又如集合滿足﹣2×是關(guān)聯(lián)集合，元素稱(chēng)為條件元素．（1）試說(shuō)明：集合是關(guān)聯(lián)集合．（2）若集合{xy﹣y2，A}是關(guān)聯(lián)集合，其中A是條件元素，試求A．12．（2021春?海陵區(qū)校級(jí)月考）已知分式，請(qǐng)?jiān)谙铝蟹质街羞x擇一個(gè)，并選擇一種運(yùn)算，使它們的運(yùn)算結(jié)果為整式．①；②．（1）我選擇（填序號(hào)）；（2）列式并計(jì)算．13．（2021秋?句容市期末）如果單項(xiàng)式xa+by3與5x2yb的和仍是單項(xiàng)式，則a﹣b的值為．考點(diǎn)03：整式的加減14．（2021秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）已知代數(shù)式M＝2x2+7x﹣3，N＝x2+7x﹣4，則無(wú)論x取何值，它們的大小關(guān)系是（）A．M＝N B．M＞N C．M＜N D．M，N的大小關(guān)系與x的取值有關(guān)15．（2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中）若A是一個(gè)四次多項(xiàng)式，B是一個(gè)三次多項(xiàng)式，則A﹣B是（）A．七次多項(xiàng)式 B．七次整式 C．四次多項(xiàng)式 D．四次整式16．（2022?張店區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，則圖中右上角陰影部分的周長(zhǎng)與左下角陰影部分的周長(zhǎng)的差為（）A．5 B．6 C．7 D．817．（2022春?高郵市期末）現(xiàn)有兩個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形ABCD、EFGH和一個(gè)邊長(zhǎng)為a的大正方形，如圖1，小明將兩個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形ABCD、EFGH有部分重疊的放在邊長(zhǎng)為a的大正方形內(nèi)；如圖2，小彤將一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形放在邊長(zhǎng)為a的大正方形外．若圖1中長(zhǎng)方形AFGD的面積為80，重疊部分的長(zhǎng)方形BCHE的面積為48，則圖2中陰影部分的面積為．18．（2022春?南岸區(qū)期末）（1）如圖，整個(gè)圖形是邊長(zhǎng)為a+b的正方形，其中陰影部分是邊長(zhǎng)為a﹣b的正方形，請(qǐng)根據(jù)圖形，猜想（a+b）2與（a﹣b）2存在的等量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）根據(jù)（1）中得出的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：甲、乙兩位司機(jī)在同一加油站兩次加油，兩次油價(jià)有變化，兩位司機(jī)采用不同的加油方式．其中，甲每次都加40l油，乙每次加油費(fèi)都為300元．設(shè)兩次加油時(shí)，油價(jià)分別為m元/l，n元/l（m＞0，n＞0，且m≠n）．①求甲、乙兩次所購(gòu)的油的平均單價(jià)各是多少？②通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，甲、乙哪一個(gè)兩次加油的平均油價(jià)比較低？19．（2022?路北區(qū)二模）在化簡(jiǎn)3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）◆2mn題目中：◆表示+，﹣，×，÷四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的某一個(gè)．（1）若◆表示“﹣”，請(qǐng)化簡(jiǎn)3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）﹣2mn；（2）當(dāng)m＝﹣2，n＝1時(shí)，3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）◆2mn的值為12，請(qǐng)推算出◆所表示的符號(hào)．20．（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）一個(gè)四位數(shù)m＝1000a+100b+10c+d（其中1≤a，b，c，d≤9，且均為整數(shù)），若a+b＝k（c﹣d），且k為整數(shù)，稱(chēng)m為“k型數(shù)”．例如，4675：4+6＝5×（7﹣5），則4675為“5型數(shù)”；3526：3+5＝﹣2×（2﹣6），則3526為“﹣2型數(shù)”．（1）判斷1731與3213是否為“k型數(shù)”，若是，求出k；（2）若四位數(shù)m是“3型數(shù)”，m﹣3是“﹣3型數(shù)”，將m的百位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置，得到一個(gè)新的四位數(shù)m′，m′也是“3型數(shù)”，求滿足條件的所有四位數(shù)m．21．（2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中）一位同學(xué)做一道題：“已知兩個(gè)多項(xiàng)式A、B，計(jì)算“A+B”．他誤將“A+B”看成“A﹣B”，求得的結(jié)果為9x2﹣2x+7．已知B＝x2+3x﹣2，求正確答案．22．（2022?豐順縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）有一道數(shù)學(xué)題：“求代數(shù)式（x2+2y2）+3（x2+y2）﹣4x2的值，其中，y＝2．”粗心的小李在做此題時(shí)，把“”錯(cuò)抄成了“x＝3”，但他的計(jì)算結(jié)果卻是正確的，原因?yàn)椋?3．（2022春?龍鳳區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（x2﹣y2﹣2xy）﹣（﹣3x2+4xy）+（x2+5xy），其中x＝﹣1，y＝2．考點(diǎn)04：規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)24．（2022春?兩江新區(qū)期末）對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)x1可以按規(guī)則生成無(wú)窮數(shù)串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n為正整數(shù)），規(guī)則為：xn+1＝．下列說(shuō)法：①若x1＝4，則生成的這數(shù)串中必有xi＝xi+3（i為正整數(shù)）；②若x1＝6，生成的前2022個(gè)數(shù)之和為55；③若生成的數(shù)中有一個(gè)xi+1＝16，則它的前一個(gè)數(shù)xi應(yīng)為32；④若x4＝7，則x1的值只能是9．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．425．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）我們稱(chēng)M為“梅嶺數(shù)”．記M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）…．M（n）＝（其中n為正整數(shù)）．（1）計(jì)算：M（3）+M（4）＝．（2）求M（99）+M（100）的值．（3）探究2×M（2021）與M（2022）的關(guān)系，并說(shuō)明理由．26．（2022?來(lái)安縣二模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；……按上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式：；（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．27．（2022春?肥東縣校級(jí)期中）有一系列等式：1×2×3×4+1＝（12+3×1+1）2；2×3×4×5+1＝（22+3×2+1）2；3×4×5×6+1＝（32+3×3+1）2；4×5×6×7+1＝（42+3×4+1）2；……（1）根據(jù)你的觀察，歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到：9×10×11×12+1＝；（2）試猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝；（3）試說(shuō)明（2）中猜想的正確性．考點(diǎn)05：規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)28．（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖是同樣大小一些瓢蟲(chóng)按照一定規(guī)律爬行，第1個(gè)圖有3只瓢蟲(chóng)，第2個(gè)圖有8只瓢蟲(chóng)，第3個(gè)圖形有15只瓢蟲(chóng)，……，第8個(gè)圖形的瓢蟲(chóng)個(gè)數(shù)為（）A．80 B．79 C．70 D．6329．（2022?重慶）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為（）A．15 B．13 C．11 D．930．（2022春?邵陽(yáng)縣期末）如圖，圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）會(huì)徽，其圖形可看作圖2中若干個(gè)相鄰的直角三角形構(gòu)成，A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝…＝A2021A2022，∠A1OA2＝45°，OA1＝1，∠OA1A2＝∠OA2A3＝∠OA3A4＝∠OA4A5＝…＝∠OA2021A2022＝90°，則邊OA2022的長(zhǎng)為．#ZKQ31．（2022春?遼陽(yáng)期末）如圖（1），△AB1C1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形；如圖（2），取AB1的中點(diǎn)C2、畫(huà)等邊三角形AB2C2，連接B1B2；如圖（3），取AB2的中點(diǎn)C3，畫(huà)等邊三角形AB3C3，連接B2B3；…，按上述規(guī)律做下去，則B2021B2022的長(zhǎng)為．32．（2022春?西寧期末）如圖，三個(gè)形狀，大小都相同的小長(zhǎng)方形沿“橫﹣豎﹣橫”排列在一個(gè)大長(zhǎng)方形中，若這個(gè)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2016cm，則一個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為cm．33．（2022春?桂林期末）如圖，順次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第1個(gè)菱形，順次連接這個(gè)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，再順次連接第二個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第2個(gè)菱形，按照此方法繼續(xù)下去．已知第一個(gè)矩形的面積為6，則第n個(gè)菱形的面積為．34．（2022春?寧德期末）如圖，用若干個(gè)點(diǎn)擺成一組等邊三角形點(diǎn)列，其中第n（n≥2）個(gè)三角形的每一邊上都有n個(gè)點(diǎn)，該圖形中點(diǎn)的總數(shù)記為Sn，我們把S稱(chēng)為“三角形數(shù)”，并規(guī)定當(dāng)n＝1時(shí)，“三角形數(shù)”S1＝1．（1）“三角形數(shù)”S5＝，Sn＝．（2）①某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)“三角形數(shù)”的和有一定的規(guī)律：如S1+S2＝4，S2+S3＝9，S3+S4＝16．請(qǐng)猜想：Sn+Sn