25.4解直角三角形的應(yīng)用其他問題（第4課時(shí)）（作業(yè)）

25.4解直角三角形的應(yīng)用—其他問題（第4課時(shí)）（作業(yè)）一、填空題1．（2021·上海寶山·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA與x軸正半軸的夾角為α，如果OA＝，tanα＝2，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是____．【答案】（1，2）【分析】過A作AB⊥x軸，在Rt△OAB中，用勾股定理求解OA，AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求A坐標(biāo)．【詳解】解：過A作AB⊥x軸，在Rt△OAB中，OA＝，tanα＝＝2，∴AB＝2OB，∵OA2＝OB2+AB2，∴5＝OB2+4OB2，∴OB＝1，AB＝2，∴A（1，2）．故答案為：（1，2）．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形勾股定理，正切值的定義，平面中點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)．能夠結(jié)合圖形，根據(jù)邊的關(guān)系求出OB，AB的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．二、解答題2．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）某超市大門口的臺(tái)階通道側(cè)面如圖所示，共有4級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高度都是0.25米.根據(jù)部分顧客的需要，超市計(jì)劃做一個(gè)扶手AD，AB、DC是兩根與地平線MN都垂直的支撐桿（支撐桿底端分別為點(diǎn)B、C）．(1)求點(diǎn)B與點(diǎn)C離地面的高度差BH的長(zhǎng)度；(2)如果支撐桿AB、DC的長(zhǎng)度相等，且．求扶手AD的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)點(diǎn)B與點(diǎn)C離地面的高度差BH的長(zhǎng)度為0.75米(2)扶手AD的長(zhǎng)度為米【分析】(1）通過圖觀察可知BH高度包含3層臺(tái)階，因而DH=每級(jí)小臺(tái)階高度×小臺(tái)階層數(shù)；(2）首先連接BC，可得四邊形ABCD是平行四邊形，在Rt△BCH中，利用cos∠CBH，，即可求出AD=BC的長(zhǎng)．（1）∵通過圖觀察可知BH高度包含3層臺(tái)階，∴BH=0.25×3=0.75（米）；（2）連接BC，由題意得AB//DC，AB=DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD//BC，∴∠CBH=∠A=66°，∵∠AHC=90°，∴Rt△BCH中，cos∠CBH=，∴（米），∴，∴扶手AD的長(zhǎng)度為米．【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的基本概念，主要是利用余弦概念及運(yùn)算，從而把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以解決．3．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）為解決群眾“健身去哪兒”問題，某區(qū)2021年新建、改建90個(gè)市民益智健身苑點(diǎn)，如圖1是某益智健身苑點(diǎn)中的“側(cè)擺器”．鍛煉方法：面對(duì)器械，雙手緊握扶手，雙腳站立于踏板上，腰部發(fā)力帶動(dòng)下肢做左右擺式運(yùn)動(dòng)．(1)如圖2是側(cè)擺器的抽象圖，已知擺臂OA的長(zhǎng)度為80厘米，在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過程中的最低點(diǎn)位置，點(diǎn)B為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動(dòng)過程中的最高點(diǎn)位置，，求踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差．（精確到0.1厘米）（）(2)小杰在側(cè)擺器上進(jìn)行鍛煉，原計(jì)劃消耗400大卡的能量，由于小杰加快了運(yùn)動(dòng)頻率，每小時(shí)能量消耗比原計(jì)劃增加了100大卡，結(jié)果比原計(jì)劃提早12分鐘完成任務(wù)，求小杰原計(jì)劃完成鍛煉需多少小時(shí)?【答案】(1)踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差是7.5厘米(2)小杰原計(jì)劃鍛煉1小時(shí)完成【分析】（1）過點(diǎn)B作垂足為D，通過三角函數(shù)計(jì)算即可；（2）設(shè)小杰原計(jì)劃x小時(shí)完成鍛煉，根據(jù)“原計(jì)劃消耗400大卡的能量，由于小杰加快了運(yùn)動(dòng)頻率，每小時(shí)能量消耗比原計(jì)劃增加了100大卡，結(jié)果比原計(jì)劃提早12分鐘完成任務(wù)”列分式方程，解方程即可．（1）過點(diǎn)B作垂足為D，在中，答：踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差是7.5厘米．（2）設(shè)小杰原計(jì)劃x小時(shí)完成鍛煉．由題意得：；解方程的：，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根，但不合題意舍去．答：小杰原計(jì)劃鍛煉1小時(shí)完成．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、分式方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上?！じ裰轮袑W(xué)二模）如圖所示為一個(gè)圓柱形大型儲(chǔ)油罐固定在型槽上的橫截面圖.已知圖中四邊形為等腰梯形，，支點(diǎn)與相距8m，罐底最低點(diǎn)到地面距離為1m.設(shè)油罐橫截面圓心為，半徑為5m，，求：型槽的底部的長(zhǎng).（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】12m【分析】連接AO、BO，過點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作ON⊥DC于點(diǎn)N，ON交于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F，則OF⊥AB，先根據(jù)垂徑定理求出AF的值，由勾股定理求出OF的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，F(xiàn)N⊥AB，可得，然后在中，利用，即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接AO、BO，過點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作ON⊥DC于點(diǎn)N，ON交于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F，則OF⊥AB，∵，，是的半徑，，∴，∵，由題意得：，∴，∵四邊形為等腰梯形，AE⊥DC，F(xiàn)N⊥AB，∴，，在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理進(jìn)行求解是解答此題的關(guān)鍵．5．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級(jí)期中）交大二附中地下車庫(kù)出口處“兩段式欄桿”如圖1所示，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)．點(diǎn)E是欄桿兩段的連接點(diǎn)．當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí)，欄桿AEF升起后的位置如圖2所示，其示意圖如圖3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米，（1）求當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí)，欄桿EF段距離地面的高度（即直線EF上任意一點(diǎn)到直線BC的距離）．（2）為了增加安全性，在保持車輛經(jīng)過時(shí)欄桿EF段距離地面的高度不變的前提下．在圖2中把連接點(diǎn)向右移動(dòng)．若移動(dòng)后∠EAB減小16°，則改進(jìn)后欄桿平行地面時(shí)，圖1中E向右移動(dòng)的距離是多少？（結(jié)果精確到0.1米，欄桿寬度忽略不計(jì)參考數(shù)據(jù)：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）【答案】（1）2.2米；（2）0.6米【分析】（1）過點(diǎn)A作BC的平行線AG，過點(diǎn)E作EH⊥AG于H，則∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠EAH=53°，則∠EAH=53°，然后在△EAH中，利用余弦函數(shù)的定義得出EH=AE?cos∠AEH≈0.96米，則欄桿EF段距離地面的高度為：AB+EH，代入數(shù)值計(jì)算即可;（2）把連接點(diǎn)E向右移動(dòng)到，連接A,過點(diǎn)作,得，通過解直角三角形和求出AH和AK，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作BC的平行線AG，過點(diǎn)E作EH⊥AG于H，則∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE?cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴欄桿EF段距離地面的高度為：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故欄桿EF段距離地面的高度約為2.2米．（2）把連接點(diǎn)E向右移動(dòng)到，連接A,過點(diǎn)作,垂足為K，∴∴四邊形是矩形，∴，米∵∠EAH==53°，．∴∴∴米由（1）知∴米∴米∴E向右移動(dòng)的距離是0.6米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，難度適中．關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算．6．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋可以繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，箱蓋落在的位置（如圖2所示）已知厘米，厘米，厘米．（1）求點(diǎn)到的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求、兩點(diǎn)的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）厘米；（2）厘米【分析】（1）過點(diǎn)D′作D′H⊥BC，垂足為點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性質(zhì)可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通過解直角三角形可求出D′F的長(zhǎng)，結(jié)合FH＝DC＝DE＋CE及D′H＝D′F＋FH可求出點(diǎn)D′到BC的距離；（2）連接AE，AE′，EE′，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，進(jìn)而可得出△AEE′是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)度，結(jié)合EE′＝AE可得出E、E′兩點(diǎn)的距離．【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示．由題意，得：厘米，．四邊形是矩形，，．在中，厘米，又厘米，厘米，厘米，厘米．（2）連接，，，如圖4所示，由題意，得：，，是等邊三角形，．四邊形是矩形，．在中，厘米，厘米，厘米，厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解直角三角形求出D′F的長(zhǎng)度；（2）利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)度．7．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖是某品牌自行車的最新車型實(shí)物圖和簡(jiǎn)化圖，它在輕量化設(shè)計(jì)、剎車、車籃和座位上都做了升級(jí)．為后胎中心，經(jīng)測(cè)量車輪半徑為，中軸軸心到地面的距離為，座位高度最低刻度為，此時(shí)車架中立管長(zhǎng)為，且．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求車座到地面的高度（結(jié)果精確到）；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)車座到地面的距離為時(shí)，身高的人騎車比較舒適，此時(shí)車架中立管拉長(zhǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)是多少？（結(jié)果精確到）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)上題證得的結(jié)論分別求得的長(zhǎng)，利用正弦函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，則有，得到△，利用相似三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)即可．【詳解】解：（1）設(shè)與交于，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，長(zhǎng)為，且，，；答：車座到地面的高度是；（2）如圖所示，，設(shè)與交于點(diǎn)，則有，△，得．即，．故．車架中立管拉長(zhǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)是．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用、切線的性質(zhì)解解直角三角形的應(yīng)用，解題的難點(diǎn)在于從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，難度較大．8．（2021·上海市延安初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）我國(guó)紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)．如圖2是傘完全收攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈D已滑動(dòng)到點(diǎn)的位置，且A，B，三點(diǎn)共線，，B為中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，傘完全張開．（1）求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）20cm；（2）26.4cm【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)即可求得；（2）過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出．利用角平分線的性質(zhì)求出∠BAE的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求出AE，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵B為中點(diǎn)，∴，∵，∴．（2）如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．∵，∴．∵平分，∴．在中，，∴，∴．∵，∴，∴傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為．【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確構(gòu)建直角三角形解決問題是解題的關(guān)鍵．9．（2021·上海市松江九峰實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）圖1是疫情期間測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)小紅測(cè)溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄與手臂始終在同一直線上，槍身與額頭保持垂直量得胳膊，，肘關(guān)節(jié)與槍身端點(diǎn)之間的水平寬度為（即的長(zhǎng)度），槍身．圖1（1）求的度數(shù)；（2）測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)與額頭距離范圍為．在圖2中，若測(cè)得，小紅與測(cè)溫員之間距離為問此時(shí)槍身端點(diǎn)與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）∠ABC的度數(shù)為113.6；（2）槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離在規(guī)定范圍內(nèi)．理由見解析【分析】（1）過B作BK⊥MP于點(diǎn)K，在Rt△BMK中，利用三角形函數(shù)的定義求得∠BMK，即可求解；（2）延長(zhǎng)PM交FG于點(diǎn)H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函數(shù)的定義即可求得的長(zhǎng)，比較即可判斷．【詳解】解：（1）過B作BK⊥MP于點(diǎn)K，由題意可知四邊形ABKP為矩形，∴MK=MPAB=25.38.5=16.8(cm)，在Rt△BMK中，，∴∠BMK，∴∠MBK=90=23.6，∴∠ABC=23.6+90=113.6，答：∠ABC的度數(shù)為113.6；（2）延長(zhǎng)PM交FG于點(diǎn)H，由題意得：∠NHM=90，∴∠BMN，∠BMK，∴∠NMH，在Rt△NMH中，，∴(cm)，∴槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離為(cm)，∵，∴槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離在規(guī)定范圍內(nèi)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．10．（2021·上海嘉定·二模）某小區(qū)外面的一段長(zhǎng)120米的街道上要開辟停車位，計(jì)劃每個(gè)停車位都是同樣的長(zhǎng)方形且每個(gè)長(zhǎng)方形的寬均為2.2米，如果長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)的邊與路段的邊平行，如圖1所示，那么恰好能夠停放24輛車．（備注：，，）（1）如果長(zhǎng)方形的邊與街道的邊緣成45°角，那么按圖1，圖2中的方法停放，一個(gè)停車位占用街道的長(zhǎng)度各是多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）如果按照?qǐng)D2中的方法停放車輛，這段路上最多可以停放多少車輛？【答案】（1）按圖1停放，一個(gè)停車位占街道長(zhǎng)5米，按圖2停放，一個(gè)停車位占街道長(zhǎng)3.1米；（2）最多可停放38輛車【分析】（1）利用解直角三角形，直接求解，即可；（2）先算出第一輛車所占的停車位長(zhǎng)，以及后面每輛車所占的停車位長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）由題意得：如圖1，120÷24=5（米），∵如圖2，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1（米），答：按圖1停放，一個(gè)停車位占街道長(zhǎng)5米，按圖2停放，一個(gè)停車位占街道長(zhǎng)3.1米；（2）∵如圖2，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54（米），GH=5×sin45°=5×≈3.5（米），∴BE=BC+GH≈5.04（米），∴（1205.04）÷3.1+1≈38（個(gè)），答：最多可停放38輛車．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的的定義，是解題的關(guān)鍵．11．（2021·上海普陀·二模）如圖1，一扇窗戶打開后可以用窗鉤AB將其固定，窗鉤的一個(gè)端點(diǎn)A固定在窗戶底邊OE上，且與轉(zhuǎn)軸底端O之間的距離為20cm，窗鉤的另一個(gè)端點(diǎn)B可在窗框邊上的滑槽OF上移動(dòng)，滑槽OF的長(zhǎng)度為17cm，AB、BO、AO構(gòu)成一個(gè)三角形．當(dāng)窗鉤端點(diǎn)B與點(diǎn)O之間的距離是7cm的位置時(shí)（如圖2），窗戶打開的角∠AOB的度數(shù)為37°．（1）求鉤AB的長(zhǎng)度（精確到1cm）；（2）現(xiàn)需要將窗戶打開的角∠AOB的度數(shù)調(diào)整到45°時(shí)，求此時(shí)窗鉤端點(diǎn)B與點(diǎn)O之間的距離（精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4）【答案】（1）AB=15（cm）；（2）窗鉤端點(diǎn)B與點(diǎn)O之間的距離為9cm【分析】（1）由銳角三角函數(shù)可求AH＝12cm，由勾股定理可求解；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可求AH的長(zhǎng)，由勾股定理可求BH的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：（1）如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥OF于H，∵sin∠AOH＝＝0.6，∴AH＝20×0.6＝12（cm），∴OH＝＝16（cm），∴BH＝16﹣7＝9（cm），∴AB＝＝15（cm）；（2）∵∠AOB＝45°，AH⊥OF，∴AH＝OH＝10（cm），∴BH＝＝5（cm），∴OB＝OH﹣BH＝14﹣5＝9（cm），答：窗鉤端點(diǎn)B與點(diǎn)O之間的距離為9cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，結(jié)合勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．（2021·上海·九年級(jí)期末）某條過路上通行車輛限速為千米，在離道路米的點(diǎn)處建一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，道路的段為監(jiān)測(cè)區(qū)（如圖）在中，已知，．一輛車通過段的時(shí)間為秒，請(qǐng)判斷該車是否超速，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】不超速，理由見解析【分析】過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，解直角三角形分別求出AD、BD，進(jìn)一步求出AB，然后可求出實(shí)際車速便可判斷出結(jié)果.【詳解】解：不超速，理由如下：過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，則PD=50（m），在Rt△APD中，，在Rt△BPD中，，故答案為：不超速.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，屬于實(shí)際應(yīng)用類題目，從復(fù)雜的實(shí)際問題中整理出直角三角形是解決此類問題的關(guān)鍵.13．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期末）圖1是一款家用落地式取暖器，如圖2是其放置在地面上時(shí)的側(cè)面示意圖，其中矩形是取暖器的主體，等腰梯形是底座，，烘干架連桿可繞邊上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，以調(diào)節(jié)角度，已知，，，，，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到地面的距離．（精確到0.1cm）【參考數(shù)據(jù)：，，，】【答案】點(diǎn)到地面的距離為50.5cm．【分析】過H作HR⊥AB，在Rt△HGR中，利用三角函數(shù)求出GR的長(zhǎng)，再根據(jù)RB=CH=DCD