專題21全等三角形倍長中線法-初中數(shù)學(xué)模型與解題方法專題訓(xùn)練

21全等三角形倍長中線法一、單選題1．如圖，在等腰直角三角形中，，F(xiàn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上運(yùn)動(dòng)，且保持，連接．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，下列結(jié)論：①是等腰直角三角形；②四邊形的面積保持不變；③．其中正確的是（

）

A．①②③ B．① C．② D．①②【答案】A【詳解】解：如圖，連接．∵，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，∴．又∵，∴．∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．①正確．∵，∴，∴四邊形的面積為．∵，∴四邊形的面積為16，為定值．②正確．延長到G使，連接．∵，，，∴，∴．∵，∴，∴．在中，∵，∴．③正確．①②③均正確，故選A．

2．在中，，中線，則邊的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，延長AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，145=9，∴9＜CE＜19，即9＜AB＜19．故選：C．3．如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，CF的延長線交AB于點(diǎn)G，若△CEF的面積為12cm2，則S△DGF的值為（

）A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．9cm2【答案】A【詳解】解：如圖，取CG的中點(diǎn)H，連接EH，∵E是AC的中點(diǎn)，∴EH是△ACG的中位線，∴EH//AD，∴∠GDF=∠HEF，∵F是DE的中點(diǎn)，∴DF=EF，在△DFG和△EFH中，，∴△DFG≌△EFH（ASA），∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△CEF=3S△EFH，∴S△CEF=3S△DGF，∴S△DGF=×12=4（cm2）．故選：A．4．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC邊上的中線AD＝4，則△ABC的面積為()A．30 B．24 C．20 D．48【答案】B【詳解】解：延長AD到E，使DE=AD，連接CE，如圖所示：∵D為BC的中點(diǎn)，∴DC=BD，在△ADB與△EDC中，，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE=AB=6．又∵AE=2AD=8，AB=CE=6，AC=10，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°，則S△ABC=S△ACE=CE?AE=×6×8=24；故選：B．5．如圖，在平行四邊形中，，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】四邊形是平行四邊形由于條件不足，所以無法證明,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選項(xiàng)錯(cuò)誤；同時(shí)延長和交于點(diǎn)在和中：由于條件不足，并不能證明，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；為的中點(diǎn)故選項(xiàng)正確；故選：D.6．如圖，在中，，是中線，是角平分線，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)（不與，重合），連接、．給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中一定正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【詳解】解：①過作于，于，過作于，是角平分線，，，，，，，故①正確；②，平分，，是中線，無法得出，故②錯(cuò)誤；③延長到使，連接，是中線，，在和中，在中，，，，故③正確；④在上截取，連接，是角平分線，，在和中，，，在中，，，即，故④正確；綜上①③④正確．故選B．7．如圖，在中，為的中點(diǎn)，若．則的長不可能是（

）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】A【詳解】解：延長AD到E，使AD=DE=4，連接BE，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD又∠BDE=∠CDA∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC=3由三角形三邊關(guān)系得，即：故選：A8．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故選：B．9．如圖，中，，是中線，有下面四個(gè)結(jié)論：①與的面積相等；②；③若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，，則的面積比的面積大；④點(diǎn)，是，所在直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），若，連接，，則．所有正確結(jié)論的序號是（）A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④【答案】B【詳解】解：∵是中線，∴∴與的面積相等故①正確，延長至，使，如圖∵，，∴（SAS），∴則在中，∴故②正確，點(diǎn)是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，，如圖，∵∴又∵與的面積相等∴的面積和的面積相等故③不正確，點(diǎn)，是，所在直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），若，連接，，如圖，由，，，∴，∴∴故④正確，故選：B．10．在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接CE，并延長CE，交BA的延長線于點(diǎn)N，∵四邊形ABCF是平行四邊形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，∵點(diǎn)E是的AF中點(diǎn)，∴AE＝FE，在△NAE和△CFE中，，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF，∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝NC＝NE，∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故選：D．二、填空題11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，則BC的長為．【答案】【詳解】解：延長AD到E，使DE=AD，連接BE．在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，∴BD=，∴BC=．故答案為：．12．如圖，在中，為邊的中線，E為上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F，若，，，則的長為．【答案】2.4【詳解】如解圖，延長到點(diǎn)，使，∵為邊的中線，∴∵，∴∴，∵∴∴∵，∴∴．故答案為：2.4．13．如圖，在平行四邊形，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，平分，交于中點(diǎn)，連接，若，則．

【答案】【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵平行四邊形中，，∴，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴中，，故答案為：．

14．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝．（用α含的式子表示）【答案】180°﹣α．【詳解】解：延長AE至M，使EM＝AE，連接AF，F(xiàn)M，DM，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△AEC與△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∴FB＝FD，在△MDF與△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案為：180°﹣α．15．如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝．【答案】100°【詳解】解：如圖，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°，∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案為：100°．16．如圖，中，，，，為邊的中點(diǎn)，則．【答案】【詳解】解：延長到使，連接，如圖所示：在和中，，≌，，，，在中，，為直角三角形，，故答案為：．17．如圖，，，，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，，．【答案】6【詳解】證明：延長AM至N，使，連接，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案為：6．18．如圖，中，點(diǎn)D在上，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，則．【答案】【詳解】解：如圖，延長至F，使得，交于點(diǎn)G，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，

設(shè)，∵，∴，解得，即．故答案為：三、解答題19．如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在AD上，且BE＝AC，求證：∠BED＝∠CAD．【答案】見解析【詳解】證明：延長AD到E，使FD＝AD，連接BF在△ADC和△FDB中，∴（SAS）∴BF＝AC，∠F＝∠CAD．∵BE＝AC，∴BF＝BE∴∠BED＝∠F，∴∠BED＝∠CAD．20．如圖，在中，，，邊上的中線，求的長．【答案】【詳解】解：如圖，延長到，使，連接，是邊上的中線，，在和中，，∴，，，，，，，是直角三角形，，，．21．如圖，是的中線，交于E，交于F，且，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：如圖，延長到G，使，連接，∵是的中線，∴，又，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．22．如圖，AD是的中線，點(diǎn)E在BC的延長線上，，試說明：．【答案】見解析【詳解】證明：如圖，延長至，使得，∵是的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴（SAS），∴，∵，∴，，，,在與中，，∴（SAS），，∵，∴．23．已知：如圖，在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一點(diǎn)．若∠EDF＝90°，且BE2＋FC2＝EF2，求證：∠BAC＝90°．【答案】見解析【詳解】證明：如圖，延長FD到G使DG＝DF，連接BG，EG，∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝FC，∠GBD＝∠C，∴，DG＝DF，∵ED⊥DF，∴EG＝EF，∵，∴，∴，∵，∴，∴．24．如圖，在中，，是的中線，點(diǎn)D在的延長線上，連接，平分．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見詳解；(2)見詳解【詳解】（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）證明：延長到點(diǎn)F，使得，連接，如圖所示：∵是的中線，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，∴，∵，，∴（AAS），∴，∴．25．如圖，在中，是上一點(diǎn)，連接，已知，，是的中線．求證：．（提示：延長至，使，連接）【答案】見解析【詳解】證明：如圖，延長至，使，連接．∵是的中線，∴．在與中，，∴．∴，．∵，∴．∵，，，∴．在與中，，∴．∴．∵，∴．26．如圖，為的中線，在上，交于，且．求證：．【答案】見解析【詳解】證明：延長至P，使，連接，在與中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．27．如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．【答案】（1），（2）【詳解】（1）證明：如圖延長至，使，連接，∵為中邊上的中線，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等），在中，由三角形的三邊關(guān)系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．28．（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）綜合應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）1＜AD＜6；（2）見解析；（3）結(jié)論：EF＝BE﹣FD，證明見解析．【詳解】（1）解：如圖1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故答案為1＜AD＜6．（2）證明：如圖2中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，F(xiàn)H＝EF，∴BE+CF＞EF．（4）結(jié)論：EF＝BE﹣FD證明：如圖3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．29．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，證明見解析；（3）AF+CF＝AB，證明見解析．【詳解】解：（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；證明：延長FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．30．（1）閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE．利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE，在△BAE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線AD的取值范圍．在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是_________，中線AD的取值范圍是_________；（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，若DM⊥DN．求證：BM＋CN＞MN；（3）問題拓展：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為直角邊向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，連接MN，探索AD與MN的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）SAS，＜AD＜；（2）見解析；（3）2AD=MN，AD⊥MN，理由見解析【詳解】解：（1）閱讀理解：如圖1中，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：BEAB＜AE＜BE+AB，∴85＜AE＜8+5，即3＜AE＜13，∴＜AD＜，故答案為：SAS，＜AD＜；（2）問題解決：證明：如圖2中，延長ND至點(diǎn)F，使FD=ND，連接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），∴BF=CN，∵DM⊥DN，F(xiàn)D=ND，∴MF=MN，在△BFM中，由三角形的三邊關(guān)系得：BM+BF＞MF，∴BM+CN＞MN．（3）問題拓展：解：結(jié)論：2AD=MN，AD⊥MN．理由：如圖3中，延長AD至E，使DE=AD，連接CE，延長DA交MN于G．由（1）得：△BAD≌△CED，∴∠BAD=∠E，AB=CE，∵∠BAM=∠NAC=90°，∴∠BAC+∠MAN=180°，即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°，∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°，∴∠ACE=∠MAN，∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，∴AB=MA，AC=AN，∴CE=MA，∴△ACE≌△NAM（SAS），∴AE=MN，∠EAC=∠MNA，∴2AD=MN．∵∠NAC=90°，∴∠EAC+∠NAG=90°，∴∠MNA+∠NAG=90°，∴∠AGN=90°，∴AD⊥MN．31．（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_______；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，DF交于點(diǎn)F，連接，