專題27幾何壓軸題-2023年北京中考真題模擬題分類匯編

專題27幾何壓軸題一．解答題（共37小題）1．（2022?北京）在中，，為內(nèi)一點，連接，，延長到點，使得．（1）如圖1，延長到點，使得，連接，．若，求證：；（2）連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2．若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】（1）證明：在和中，，，，，，；（2）解：由題意補全圖形如下：．證明：延長到，使，連接，，，，，由（1）可知，，，，，，，，又，．2．（2021?北京）如圖，在中，，，為的中點，點在上，以點為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）比較與的大小；用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過點作的垂線，交于點，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1），，即，在和中，，，，為的中點，，；（2）如圖，作交于，交于，由（1）得：，，，在和中，，，，由（1）知：，，，，．3．（2020?北京）在中，，，是的中點．為直線上一動點，連接．過點作，交直線于點，連接．（1）如圖1，當是線段的中點時，設，，求的長（用含，的式子表示）；（2）當點在線段的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1）是的中點，是線段的中點，，，，，，，四邊形是矩形，，，，；（2）．證明：過點作，與的延長線交于點，連接，則，，點是的中點，，在和中，，，，，，，，．4．（2019?北京）已知，為射線上一定點，，為射線上一點，為線段上一動點，連接，滿足為鈍角，以點為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．（1）依題意補全圖1；（2）求證：；（3）點關(guān)于點的對稱點為，連接．寫出一個的值，使得對于任意的點總有，并證明．【詳解】解：（1）如圖1所示為所求．（2）設，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，（3）時，總有，證明如下：過點作于點，過點作于點，如圖2，即在與中，設，則，點關(guān)于點的對稱點為在與中5．（2018?北京）如圖，在正方形中，是邊上的一動點（不與點、重合），連接，點關(guān)于直線的對稱點為，連接并延長交于點，連接，過點作交的延長線于點，連接．（1）求證：；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】證明：（1）如圖1，連接，四邊形是正方形，，，點關(guān)于直線的對稱點為，，，，，在和中，，，；（2），理由是：證法一：如圖2，在線段上截取，使，，，由（1）知：，，，，，，即，，，是等腰直角三角形，，，，在和中，，，，中，，，，；證法二：如圖3，過點作于，，由方法一可知：，，在和中，，，，，，，，是等腰直角三角形，．6．（2022?海淀區(qū)一模）在中，，，為邊上一動點，點在邊上，．點關(guān)于點的對稱點為點，連接，為的中點，連接，，．（1）如圖1，當點與點重合時，寫出線段與之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當點與點，不重合時，判斷（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請舉出反例．【詳解】解：（1），．理由如下：由題意知，，，三點重合，，，，，，，，，點為線段的中點，點是的中點，是的中位線，，，，，．（2），的關(guān)系仍成立．證明：如圖，連接，作于，軸，過作交于，交于，由題意可知，是的中位線，，是等邊三角形，四邊形是矩形，設，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，，，，．7．（2022?朝陽區(qū)一模）在中，是的中點，且，將線段沿所在直線翻折，得到線段，作交直線于點．（1）如圖，若，①依題意補全圖形；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）若，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，簡述理由；若不成立，直接用等式表示線段，，之間新的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【詳解】解：（1）①補全圖形如圖所示：②，理由如下：如圖，連接，并延長交于點，過點作于，于，，，是的中點，，又，，，，將線段沿所在直線翻折，，又，，，，，又，，，，；（3）當是銳角時，如圖，，理由如下：連接，并延長交于點，過點作于，于，，，是的中點，，又，，，，將線段沿所在直線翻折，，又，，，，，又，，，，．當是鈍角時，同理可得．8．（2022?順義區(qū)一模）如圖，在中，，是斜邊上的中線，垂直平分，分別交，于點，，連接，．（1）求的度數(shù)；（2）用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1）垂直平分，，，，，，，；（2），證明：如圖，延長至，使，連接，，是斜邊上的中線，，在和中，，，，，，，，，，，是的垂直平分線，，．9．（2022?通州區(qū)一模）如圖，在中，，．點是延長線上一點，連接．將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段．過點作，交于點．（1）①直接寫出的度數(shù)是；②求證：；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】（1）①解：，，，，，，故答案為：；②證明：將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖，延長交于，，，，又，，，，，，．10．（2022?豐臺區(qū)一模）如圖，在中，，，點在邊上（不與點，重合），連接，以點為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）180；（2）取中點，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可知，；故答案為：180；（2）如圖，連接并延長，使，連接，；，；四邊形為平行四邊形；，即，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，線段與的數(shù)量關(guān)系為：．11．（2022?房山區(qū)一模）已知：等邊，過點作的平行線．點為射線上一個動點（不與點，重合），將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)交直線于點．（1）如圖1，點在線段上時，依題意補全圖形；①求證：；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）點在線段的延長線上，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）①如圖：是等邊三角形，，，，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)交直線于點．，，，，；②解：，理由如下：如圖1，過點作，交于，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過點作，交于點，直線，，，，，是等邊三角形，，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)交直線于點．，，，，，，．12．（2022?平谷區(qū)一模）如圖，在中，，，點為邊上一點（不與點，重合），作射線，過點作于，在線段上截取，連接交于．（1）依題意補全圖形；（2）求證：；（3）判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：，，，，，；（3）解：結(jié)論：．理由：過點作于點．在和中，，，，，，在和中，，，．13．（2022?北京一模）如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點．（1）依題意補全圖形，寫出60．（2）求和的度數(shù)；（3）用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1）依題意補全圖形，，故答案為：60；（2），是邊的高線，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，在中，，，，是邊的高線，，；（3），理由如下：如圖，在上取點，使，連接，．．是等邊三角形，，．14．（2022?門頭溝區(qū)一模）如圖，在等邊中，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，作的平分線，交于．（1）①根據(jù)題意，補全圖形；②請用等式寫出與的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）分別延長和交于點，用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1）①補全圖形，如圖所示：②，理由如下：是等邊三角形，，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，，，，；（2），理由如下：如圖，過點作于，平分，，，，，，，，，．15．（2022?海淀區(qū)二模）已知，，直線是過點的一條動直線（不與直線，重合），分別過點，作直線的垂線，垂足為，．（1）如圖1，當時，①求證：；②連接，過點作于，過點作交的延長線于點．依題意補全圖形，用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）在直線運動的過程中，若的最大值為3，直接寫出的長．【詳解】（1）證明：①，，，，，，在和中，，，，，，；②補全圖形如圖2所示，，，，，，，，，，，由①知：，在和中，，，，在中，，；（2）設，的最大值為3，，，當最大時，最小，的值最小，，，有最小值，當?shù)淖畲笾禐?時，的值為．16．（2022?西城區(qū)二模）在中，，過點作射線，使（點與點在直線的異側(cè)）點是射線上一動點（不與點重合），點在線段上，且．（1）如圖1，當點與點重合時，與的位置關(guān)系是互相垂直，若，則的長為；（用含的式子表示）（2）如圖2，當點與點不重合時，連接．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1）當點與點重合時，，，，，，即與的位置關(guān)系是互相垂直，若，過點作于點，如圖：則，，，在與中，，，，即的長為，故答案為：互相垂直；；（2）①當點與點不重合時，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系是：，證明如下：過點作于點、點，如圖：則，，，即，，，，，在與中，，，，；②用等式表示線段、、之間的量關(guān)系是：十，證明如下：在上截取，連接，如圖：，，，，在和中，，，，，，由①知：，即，，，，在和中，，，，．17．（2022?昌平區(qū)二模）如圖，已知，是的平分線，點是射線上一點，點關(guān)于對稱點在射線上，連接交于點，過點作的垂線，分別交，于點，，作的平分線，射線與，分別交于點，．（1）①依題意補全圖形；②求度數(shù)；（用含的式子表示）（2）寫出一個的值，使得對于射線上任意的點總有（點不與點重合），并證明．【詳解】解：（1）①如圖所示：②點關(guān)于的對稱點為點，，，，于點，．；（2）取時，可使得對于射線上任意的點總有（點不與點重合）．理由：連接．，，，，平分，．，，，，，平分，，，點的對稱點為點，，是等腰直角三角形，．．18．（2022?朝陽區(qū)二模）在正方形中，為上一點，點在上，點在上，且，垂足為點．（1）如圖1，當點與點重合時，求證：；（2）將圖1中的向上平移，使得為的中點，此時與相交于點，①依題意補全圖2；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】（1）證明：四邊形是長方形，，，，，，，；（2）①過的中點作，分別與、、交于點、、，如圖即為補全的圖形；②，理由如下：如圖，在上截取，連接交于點，作交于點，，四邊形是平行四邊形，，，，由（1）知：，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，在和中，，，，，．19．（2022?豐臺區(qū)二模）如圖，在中，，，是中點，連接．點在線段上（不與點，重合），連接，點在的延長線上且，連接．（1）比較與的大小，并證明；（2）用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1），理由如下：連接，，是的中點，垂直平分線段，，即，，，，，，，；（2）．證明：在線段上取一點，使得，連接，，是的中點，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，，，．20．（2022?東城區(qū)一模）如圖，在正方形中，為對角線上一點，連接，．（1）求證：；（2）過點作交于點，延長至點，使得，連接．①依題意補全圖形；②用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，在和中，，，；（2）解：①補全的圖形如右圖；②，理由：，，，，，又，，，，由（1），，，，，，，，，．21．（2022?東城區(qū)二模）如圖，在中，，，在的外側(cè)作直線，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，，交直線于點．（1）依題意補全圖形；（2）連接，求證：；（3）過點作于點，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）證明：如圖1，連接，，關(guān)于對稱，，，，，，，，，；（3）解：，理由如下：如圖2，過點作于，，，，，，，，，，，，，，，，，．22．（2022?順義區(qū)二模）如圖，在中，，，，為射線上兩點（點在點的左側(cè)），且，連接．以為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)得線段．（1）如圖1，當四邊形是平行四邊形時，畫出圖形，并直接寫出的值；（2）當時，為線段的中點，連接．①在圖2中依題意補全圖形；②用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1）當四邊形是平行四邊形時，如圖：，，，四邊形是平行四邊形，，即；（2）①當時，為線段的中點，補全圖形如下：②，證明如下：延長到，使，連接、、，設交于，如圖：為的中點，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，在和中，，，，，，是的垂直平分線，，而，．23．（2022?門頭溝區(qū)二模）如圖，在中，，是的中點，過點作，交于點，交于點，作點關(guān)于直線的對稱點，連接和，過點作交的延長線于點．（1）①根據(jù)題意，補全圖形；②比較與的大小，并證明．（2）過點作交的延長線于點，用等式表示線段，與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1）①如圖1，②，理由如下：，，，，，，點和點關(guān)于對稱，，，，，，，，；（3）如圖1，，理由如下：由②知：，，，，，，，，，，，，由②知：，，，，，．24．（2022?石景山區(qū)二模）在中，，，是的中點，為邊上一動點（不與點，重合），連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作于點，交射線于點．（1）如圖1，當時，比較與的大小；用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，當時，依題意補全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1），，證明如下：在上截取，，，，在四邊形中，，，，，，，，，，在和中，，，，；（2）補全圖形如圖所示，延長至，使，，，由（1）知：，，，，，在中，由勾股定理得，，．25．（2022?平谷區(qū)二模）如圖，在中，，點為邊中點，過點作交于，連接并延長使，連接，為上一點，過作于點，作于點．（1）依題意補全圖形；（2）求證：；（3）判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】（1）解：補全圖形如圖，（2）證明：點為邊中點，，，，，，；（3）．證明：過點作，交的延長線于點，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，．26．（2022?房山區(qū)二模）如圖1，在四邊形中，，過點作交邊于點，過點作交邊于點，連接，過點作交于點，連接．（1）求證：；（2）如圖2，若的延長線經(jīng)過的中點，求的值．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，；（2）如圖，延長，交于點，，，，，，設，，點為中點，，，，，由（1）可知四邊形為平行四邊形，，，，，即，解得，，，即．27．（2022?北京二模）在中，，是邊的中線，于，連結(jié)，點在射線上（與，不重合）．（1）如果，①如圖1，與之間的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，點在線段上，連結(jié)，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連結(jié)，補全圖2猜想、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖3，若點在線段的延長線上，且，連結(jié)，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)，請直接寫出、、三者的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【詳解】解：（1）①在中，，，，，，，故答案為：；②補全圖形如圖2，結(jié)論：，理由如下：，是的中點，，，，，，，，，，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，在和中，，，；（2）結(jié)論：，理由如下：如圖3，，是的中點，，，，，，，，，，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，在和中，，，，而，，在中，，，，，即．28．（2022?石景山區(qū)一模）如圖，中，，，為邊上一點（不與點重合），，點在的延長線上，且，連接，過點作的垂線，交邊于點．（1）依題意補全圖形；（2）求證：；（3）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）證明：過點作于，如圖所示：，在和中，，，，，，，，，，，在和中，，，；（3），證明：，，，，．29．（2022?密云區(qū)二模）如圖，在等邊中點在的延長線上，點是邊上的一個動點（點不與點重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接和．（1）依據(jù)題意補全圖形；（2）比較與的大小，并證明；（3）用等式表示線段、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【詳解】解：（1）如圖所示：（2），理由如下：將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，是等邊三角形，，，，，，；（3），理由如下：如圖，在上截取，連接，由（2）可知：，在和中，，，，，，，，是等邊三角形，，，．30．（2022?大興區(qū)一模）已知：如圖，，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．連接，，，過點作于點．（1）依題意補全圖形；（2）求的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖，（2）過點作于點，如圖，，，，，，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，而，，，，，四邊形為矩形，，，即垂直平分，，，．31．（2022?大興區(qū)二模）已知：如圖，，，線段與相交于點，以點為中心，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)交線段于點．（1）若，求證：；（2）請你直接用等式表示出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）．【詳解】（1）證明：，，，，，，，在與中，，與，，，，是等邊三角形，，，；（2）解：，理由：過點作于，由（1）得與，，，，，，，，．32．（2022?房山區(qū)模擬）如圖，點是正方形內(nèi)一動點，滿足且，過點作交的延長線于點．（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）連接，若，請直接寫出線段長度的最小值．【詳解】解：（1）依題意補全圖形，如圖，（2）線段，，的數(shù)量關(guān)系為：，證明：如圖，過點作交的延長線于點，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．又，，，，矩形是正方形，，，；（3）如圖，取中點，連接，，，，，點在以為圓心，為半徑的圓上，當點在上時，有最小值，的最小值為．33．（2022?西城區(qū)校級一模）如圖，在正方形中，，動點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度，沿線段方向勻速運動，到達點停止．連接交于點，以為直徑作交于點，連接、．（1）求證：為等腰直角三角形；（2）若點的運動時間秒．①當為何值時，點恰好為的一個三等分點；②將沿翻折，得到，當點恰好落在上時，求的值．【詳解】證明：（1）四邊形是正方形，是對角線，，在中，所對的圓周角是和，，，又是的直徑，，，是等腰直角三角形；（2）①當時，，，，，，，解得，；當時，，，，，，，解得，，點從點到，的最大值是，當時不合題意，舍去；由上可得，當為1時，點恰好為的一個三等分點；②如右圖所示，，，，，，，，點落在上，，，，，，，，，設，則，，，，即，解得，，，，解得，（舍去），，即的值是．34．（2022?海淀區(qū)校級一模）如圖，在中，，．將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，是邊上的一動點，連接交于點，連接．（1）求證：；（2）點在邊上，且，連接交于點．①判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②連接．若，請直接寫出線段長度的最小值．【詳解】（1）證明：如