第一次月考重難點(diǎn)特訓(xùn)(二)之冪的運(yùn)算壓軸題(原卷版+解析)

第一次月考重難點(diǎn)特訓(xùn)（二）冪的運(yùn)算壓軸題【重難點(diǎn)題型】1．（2022秋·全國·八年級(jí)期末）已知，，，，則a、b、c、d的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）設(shè)m，n是正整數(shù)，且，若與的末兩位數(shù)字相同，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．124．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）定義：如果，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作．例如：因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以．則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③若，則；④．A．4 B．3 C．2 D．15．（2019秋·四川綿陽·七年級(jí)東辰國際學(xué)校?？计谥校┫铝姓f法：①如果，則；②；③若，，則；④若，則；⑤若關(guān)于x的方程只有一個(gè)解，則m的值為3．其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2022秋·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說法：①符號(hào)相反的數(shù)互為相反數(shù)；②有理數(shù)a、b、c滿足，且，則化簡(jiǎn)的值為5；③若是關(guān)于x的一元一次方程，則這個(gè)方程的解是；④若是關(guān)于x的一元一次方程，則；其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．（2022春·江蘇無錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．8．（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）觀察等式：；；；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是()A． B． C． D．9．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（）A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或010．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：________．11．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，，則__________．12．（2022春·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，，現(xiàn)給出3個(gè)數(shù)a，b，c之間的四個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④．其中，正確的關(guān)系式是____（填序號(hào)）．13．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）比較大?。篲__________；若正數(shù)滿足，則___________．14．（2021秋·北京·七年級(jí)北京八十中?？计谥校┮阎涣袛?shù)：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，將這列數(shù)按如右圖所示的規(guī)律排成一個(gè)數(shù)陣，其中，4在第一個(gè)拐彎處，-8在第二個(gè)拐彎處，-32在第三個(gè)拐彎處，-128在第四個(gè)拐彎處，……，則第六個(gè)拐彎處的數(shù)是________，第一百個(gè)拐彎處的數(shù)是___________．15．（2021春·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則_______．16．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，則________．17．（2022秋·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察等式：；；按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，若，則用含a的代數(shù)式表示下列這組數(shù)的和_________．18．（2023秋·湖南衡陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察等式：；；已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：、、、、、．若，用含的式子表示這組數(shù)的和是____．19．（2021春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，則a＝_____．20．（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知整數(shù)滿足且，則的值為_____．21．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）閱讀下列材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記為．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為（即．如，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為（即）．(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)寫出（1）、、之間滿足的關(guān)系式______．(3)由（2）的結(jié)果，請(qǐng)你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論：_____（且，，）．(4)設(shè)，，請(qǐng)根據(jù)冪的運(yùn)算法則以及對(duì)數(shù)的定義說明上述結(jié)論的正確性．22．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀材料：的末尾數(shù)字是3，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，......，觀察規(guī)律，，∵的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是3，同理可知，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7．解答下列問題：(1)的末尾數(shù)字是，的末尾數(shù)字是；(2)求的末尾數(shù)字；(3)求證：能被5整除．23．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果10b=n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b=d（n）．由定義可知：10b=n與b=d（n）表示b、n兩個(gè)量之間的同一關(guān)系．(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10）=____，d（10-2）=______；(2)“勞格數(shù)”有如下運(yùn)算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：=________．（a為正數(shù)）(3)若d（2）=0.3010，分別計(jì)算d（4）；d（5）．24．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：（5，25）＝

，（2，1）＝

，（3，）＝

．(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的證明：設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．試解決下列問題：①計(jì)算（8，1000）﹣（32，100000）；②請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．25．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng)，記為，依此類推，排在第位的數(shù)稱為第項(xiàng)，記為．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示．如：數(shù)列1，3，9，27，為等比數(shù)列，其中，公比為．然后解決下列問題．(1)等比數(shù)列3，6，12，的公比為，第4項(xiàng)是．(2)如果已知一個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)（設(shè)為和公比（設(shè)為，則根據(jù)定義我們可依次寫出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)：，，，，．由此可得第項(xiàng)（用和的代數(shù)式表示）．(3)若一等比數(shù)列的公比，第2項(xiàng)是10，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)．(4)已知一等比數(shù)列的第3項(xiàng)為12，第6項(xiàng)為96，求這個(gè)等比數(shù)列的第10項(xiàng)．26．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算的值，采用以下方法：設(shè)①則②②①得，．請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：（1）______；（2）求______；（3）求的和；（請(qǐng)寫出計(jì)算過程）（4）求的和（其中且）．（請(qǐng)寫出計(jì)算過程）27．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察下面三行單項(xiàng)式：x，，，，，，；①，，，，，，；②，，，，，，；③根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解答下列問題：（1）第①行的第8個(gè)單項(xiàng)式為_______；（2）第②行的第9個(gè)單項(xiàng)式為_______；第③行的第10個(gè)單項(xiàng)式為_______；（3）取每行的第9個(gè)單項(xiàng)式，令這三個(gè)單項(xiàng)式的和為當(dāng)時(shí)，求的值．28．（2021秋·上?！て吣昙?jí)期中）（1）已知：則的值是_____（2）如果記那么_____（3）若則x=_____（4）若則_____29．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下列材料,并解決下面的問題:我們知道,加減運(yùn)算是互逆運(yùn)算,乘除運(yùn)算也是互逆運(yùn)算,其實(shí)乘方運(yùn)算也有逆運(yùn)算,如我們規(guī)定式子可以變形為也可以變形為.在式子中,3叫做以2為底8的對(duì)數(shù),記為一般地,若則叫做以為底的對(duì)數(shù),記為且具有性質(zhì):其中且根據(jù)上面的規(guī)定,請(qǐng)解決下面問題:(1)計(jì)算:_______(請(qǐng)直接寫出結(jié)果)；(2)已知請(qǐng)你用含的代數(shù)式來表示其中(請(qǐng)寫出必要的過程).30．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀材料：求l+2+22+23+24+…+22019的值．解：設(shè)S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①則2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②②-①，得2S﹣S=22020-l即S=22020-l∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l仿照此法計(jì)算：(1)計(jì)算：1+3+32+33+34+…+3100.(2)計(jì)算：1++++…++=________(直接寫答案)31．（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面的文字,回答后面的問題：求的值.解：令將等式兩邊同時(shí)乘以5得到:②-①得:∴即問題:(1)求的值；(2)求的值.32．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）(1)你發(fā)現(xiàn)了嗎？，，由上述計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)；(2)請(qǐng)你通過計(jì)算，判斷與之間的關(guān)系；(3)我們可以發(fā)現(xiàn)：____(4)利用以上的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：.第一次月考重難點(diǎn)特訓(xùn)（二）冪的運(yùn)算壓軸題【重難點(diǎn)題型】1．（2022秋·全國·八年級(jí)期末）已知，，，，則a、b、c、d的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先變形化簡(jiǎn)，，，，比較11次冪的底數(shù)大小即可．【詳解】因?yàn)?，，，，因?yàn)椋?，所以，故即；同理可證所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握冪的乘方及其逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把a(bǔ)、b、c三個(gè)數(shù)變成指數(shù)相同的冪，通過底數(shù)可得出a、b、c的大小關(guān)系．【詳解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，又∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，解答本題關(guān)鍵是掌握冪的乘方法則，把各數(shù)的指數(shù)變成相同．3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）設(shè)m，n是正整數(shù)，且，若與的末兩位數(shù)字相同，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】由題意可知是100的倍數(shù)，從而分析得到的末尾數(shù)字是01，設(shè)（t為正整數(shù)），由，分析判斷即可得到正確答案．【詳解】解：由題意知，是100的倍數(shù)∵與100互質(zhì)∴是100的倍數(shù)∴的末尾數(shù)字是01∴的數(shù)值一定是偶數(shù)，且m，n是正整數(shù)，設(shè)：（t為正整數(shù)）則：∵的末尾兩位數(shù)字為61，的末尾兩位數(shù)字為41，的末尾兩位數(shù)字為21，末尾兩位數(shù)字為01∴t的最小值為5，∴的最小值為10故答案為：B【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方，牢記相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）定義：如果，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作．例如：因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以．則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③若，則；④．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義和乘方意義解題即可．【詳解】解：①∵，∴，故說法①正確，符合題意；②設(shè)，，則，，∴，即，∴，∴，即，故②正確，符合題意；③設(shè)，則，，∴，∴，∴，解得，故③說法正確，符合題意；④設(shè)，，則，，∴,∴故說法④正確，符合題意；∴正確的說法有個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題以新定義題型為背景，主要考查了學(xué)生的數(shù)的乘方的計(jì)算能力，在解答新定義題型的時(shí)候，首先一定要把定義理解透徹，然后靈活應(yīng)用定義變化，一一判斷給出的說法是否正確．5．（2019秋·四川綿陽·七年級(jí)東辰國際學(xué)校?？计谥校┫铝姓f法：①如果，則；②；③若，，則；④若，則；⑤若關(guān)于x的方程只有一個(gè)解，則m的值為3．其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則判斷①是否正確，根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義判斷②是否正確，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)判斷③和④是否正確，根據(jù)解絕對(duì)值方程判斷⑤是否正確．【詳解】解：∵，∴，故①錯(cuò)誤；，故②正確；∵，∴是非正數(shù)，∵，∴是非負(fù)數(shù)，∴，則，∴，故③正確；∵，∴a和b異號(hào)，∴，故④正確；若，則，解得，若，則，解得，若，則，解得，若，解得，那么方程的解是或，不成立，若，解得，那么方程的解是，成立，故⑤正確，正確的命題有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)的定義，絕對(duì)值的性質(zhì)，冪的運(yùn)算法則，解絕對(duì)值方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)．6．（2022秋·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說法：①符號(hào)相反的數(shù)互為相反數(shù)；②有理數(shù)a、b、c滿足，且，則化簡(jiǎn)的值為5；③若是關(guān)于x的一元一次方程，則這個(gè)方程的解是；④若是關(guān)于x的一元一次方程，則；其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】由相反數(shù)的定義判斷①；由，且，可得與互為相反數(shù)，可得：從而可判斷②；由是關(guān)于x的一元一次方程，分三種情況討論，或（）或，從而可判斷③；由是關(guān)于x的一元一次方程，可得：從而可判斷④．【詳解】解：僅僅只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，故①錯(cuò)誤；由，且，所以：＜＜＜故②錯(cuò)誤；是關(guān)于x的一元一次方程，或（）或，或或或當(dāng)時(shí)，原方程為：當(dāng)時(shí)，原方程化為：，不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，原方程化為：綜上：方程的解為：或故③錯(cuò)誤；是關(guān)于x的一元一次方程，，故④正確；故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是相反數(shù)的定義，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，一元一次方程的定義，零次冪的含義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·江蘇無錫·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將化為使兩個(gè)冪的指數(shù)相同，再利用積的乘方逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查冪的乘方逆運(yùn)算，積的乘方逆運(yùn)算，熟記公式是解題的關(guān)鍵.8．（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）觀察等式：；；；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得出，再利用整體代入思想即可得出答案．【詳解】解：由題意得：這組數(shù)據(jù)的和為：∵，∴原式=,故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型問題：數(shù)字變化，列代數(shù)式，整體代入思想，同底數(shù)冪的乘法的逆用，解題的關(guān)鍵是正確找到本題的規(guī)律：，學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．9．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（）A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0【答案】D【分析】存在3種情況：一種是指數(shù)為0，底數(shù)不為0；第二種是底數(shù)為1，指數(shù)為任意值；第三種是底數(shù)為－1，指數(shù)為偶數(shù)，分別求解可得．【詳解】情況一：指數(shù)為0，底數(shù)不為0即：a+2=0，2a－1≠0解得：a=－2情況二：底數(shù)為1，指數(shù)為任意值即：2a－1=1解得：a=1情況三：底數(shù)為－1，指數(shù)為偶數(shù)即：2a－1=－1，解得a=0代入a+2=2，為偶數(shù)，成立故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考查0指數(shù)和底數(shù)為±1的指數(shù)的特點(diǎn)，本題底數(shù)為－1的情況容易遺漏，需要關(guān)注．10．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：________．【答案】【分析】根據(jù)，逆用積的乘方運(yùn)算法則以及逆用同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則，熟練掌握并逆用積的乘方運(yùn)算法則以及逆用同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.11．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，，則__________．【答案】1【分析】本題的思路是將等式兩邊化成同底數(shù)冪，推出指數(shù)相等．由于，因此對(duì)等式兩邊同時(shí)取y次方，可以得到，再把160換成得到，接著把換成（都等于160）得到，從而推出，最后對(duì)中的指數(shù)去括號(hào)，整體代入可得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴∵，,∴，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方，將等式兩邊化成同底數(shù)冪，推出指數(shù)相等是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，，現(xiàn)給出3個(gè)數(shù)a，b，c之間的四個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④．其中，正確的關(guān)系式是____（填序號(hào)）．【答案】①②③【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求出a、b、c的關(guān)系，代入各式驗(yàn)證即可．【詳解】解：∵，，．∴，，，∴a+2＝b+1＝c，即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，所以a+c＝2b，因此①正確；②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，所以a+b＝2c﹣3，因此②正確；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正確；④b＝a+1，因此④不正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③三個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則，得出a、b、c的關(guān)系．13．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）比較大?。篲__________；若正數(shù)滿足，則___________．【答案】

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＜【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪把原數(shù)變形為再比較大小，利用冪的運(yùn)算結(jié)合從而可得第二空的答案.【詳解】解：而，為正數(shù)，故答案為：＞，＜【點(diǎn)睛】本題考查的是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，冪的運(yùn)算，代數(shù)式的值的比較，熟練的運(yùn)用冪的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.14．（2021秋·北京·七年級(jí)北京八十中校考期中）已知一列數(shù)：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，將這列數(shù)按如右圖所示的規(guī)律排成一個(gè)數(shù)陣，其中，4在第一個(gè)拐彎處，-8在第二個(gè)拐彎處，-32在第三個(gè)拐彎處，-128在第四個(gè)拐彎處，……，則第六個(gè)拐彎處的數(shù)是________，第一百個(gè)拐彎處的數(shù)是___________．【答案】

【分析】設(shè)第n個(gè)拐彎處的數(shù)為，由已知數(shù)據(jù)可以分析得到當(dāng)時(shí)，n為奇數(shù)，，當(dāng)n為偶數(shù)，，由此進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)第n個(gè)拐彎處的數(shù)為由題意知：，，，，觀察可得：，，，∴當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,∴，即第六個(gè)拐彎處的數(shù)是．故答案為：∴第一百個(gè)拐彎處的數(shù)是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的規(guī)律探索以及同底數(shù)冪相乘的計(jì)算法則，能夠由已知數(shù)據(jù)得到通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵．15．（2021春·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則_______．【答案】1．【分析】利用冪的乘方與同底數(shù)冪相乘，得到2a+1＝2a×2＝6，3b+1＝3b×3＝6，進(jìn)而得到，求出答案即可．【詳解】解：∵2a+1＝2a×2＝3×2＝6，3b+1＝3b×3＝2×3＝6，∴，，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方與同底數(shù)冪相乘，掌握冪的乘方與同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．16．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，則________．【答案】-3．【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)指數(shù)相同列方程即可．【詳解】解：由得，，∴，故答案為：-3．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)等式，再整體代入．17．（2022秋·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察等式：；；按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，若，則用含a的代數(shù)式表示下列這組數(shù)的和_________．【答案】【分析】觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用規(guī)律完成問題．【詳解】觀察、發(fā)現(xiàn)∴===（把代入）==．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查乘方運(yùn)算，其關(guān)鍵是要?dú)w納出規(guī)律并運(yùn)用之．18．（2023秋·湖南衡陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察等式：；；已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：、、、、、．若，用含的式子表示這組數(shù)的和是____．【答案】【分析】由等式：；；，得出規(guī)律：，那么，將規(guī)律代入計(jì)算即可．【詳解】解：；；；，，，，原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．19．（2021春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，則a＝_____．【答案】3或1或﹣1【分析】根據(jù)a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，據(jù)此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，從而得出答案．【詳解】∵a+1＞a﹣2，∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1＝1，則a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，解得，a＝3或a＝1或a＝﹣1，故答案為：3或1或﹣1．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義題型，考查了冪的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握1的任何次冪都等于1、-1的偶數(shù)次冪等于1、非零數(shù)的零指數(shù)冪等于1是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知整數(shù)滿足且，則的值為_____．【答案】2【分析】根據(jù)3不是10000的公約數(shù)，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解．【詳解】∵，3不是10000的公約數(shù)，∴則b=0∴∵整數(shù)滿足∴符合題意∴a=-2，b=0，c=3，d=4∴=-8+0+6+4=2故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題主要考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知冪的運(yùn)算法則及特點(diǎn)．21．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）閱讀下列材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記為．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為（即．如，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為（即）．(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)寫出（1）、、之間滿足的關(guān)系式______．(3)由（2）的結(jié)果，請(qǐng)你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論：_____（且，，）．(4)設(shè)，，請(qǐng)根據(jù)冪的運(yùn)算法則以及對(duì)數(shù)的定義說明上述結(jié)論的正確性．【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)證明見解析【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解；（2）認(rèn)真觀察，即可找到規(guī)律：，；（3）由特殊到一般，得出結(jié)論：．（4）設(shè)，，根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則：和給出的材料證明結(jié)論．【詳解】（1）∵，，∴，故答案為：2，4，6；（2）∵，，，，∴，故答案為：；（3）由（2）的結(jié)果可得，故答案為：．（4）設(shè)，，則，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是開放性的題目，難度較大．借考查同底數(shù)冪的乘法，對(duì)數(shù)，實(shí)際考查學(xué)生對(duì)指數(shù)的理解、掌握的程度；解題的關(guān)鍵是要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運(yùn)算法則，還要會(huì)類比、歸納，推測(cè)出對(duì)數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)．22．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀材料：的末尾數(shù)字是3，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，......，觀察規(guī)律，，∵的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是3，同理可知，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7．解答下列問題：(1)的末尾數(shù)字是，的末尾數(shù)字是；(2)求的末尾數(shù)字；(3)求證：能被5整除．【答案】(1)3，6；(2)4；(3)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的結(jié)論可知的末尾數(shù)字；根據(jù)閱讀材料中提供的方法，可得的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，于是得解；（2）先將化成，再利用的末尾數(shù)字是6，從而得出結(jié)論；（3）分別證明的末尾數(shù)字為6和的末尾數(shù)字9，則命題即可得證．【詳解】（1）解：，的末尾數(shù)字為3；的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是4，…的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是6；故答案為：3，6；（2）解：，∵的末尾數(shù)字是6，∴的末尾數(shù)字是4；（3）證明：∵的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是2，…的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字為6；同理可得：的末尾數(shù)字7，的末尾數(shù)字9，的末尾數(shù)字3，的末尾數(shù)字1；的末尾數(shù)字9，∴的末尾數(shù)字是5，∴能被5整除．【點(diǎn)睛】此題是一道閱讀理解題，主要考查了冪的運(yùn)算、數(shù)的整除，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方法則是解答此題的關(guān)鍵．23．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果10b=n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b=d（n）．由定義可知：10b=n與b=d（n）表示b、n兩個(gè)量之間的同一關(guān)系．(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10）=____，d（10-2）=______；(2)“勞格數(shù)”有如下運(yùn)算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：=________．（a為正數(shù)）(3)若d（2）=0.3010，分別計(jì)算d（4）；d（5）．【答案】(1)1，﹣2(2)3(3)0.6020，0.699．【分析】（1）由“勞格數(shù)”的定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪解答即可；（2）根據(jù)冪的乘方公式轉(zhuǎn)化求解即可；（3）根據(jù)積的乘方公式、冪的乘方轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】（1）解：∵10b＝10，∴b＝1，∴d（10）＝1；10b＝10﹣2，∴b＝﹣2，∴d（10﹣2）＝﹣2；故答案為1，﹣2；（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）∴故答案為3；（3）解：∵d（2）＝0.3010，∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，有理數(shù)的運(yùn)算；理解題意，將新定義轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方與積的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.24．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：（5，25）＝

，（2，1）＝

，（3，）＝

．(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的證明：設(shè)（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．試解決下列問題：①計(jì)算（8，1000）﹣（32，100000）；②請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．【答案】(1)2，0，-2(2)①0；②見解析【分析】（1）根據(jù)題中規(guī)定及冪的乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題中規(guī)定及冪的乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵52=25，∴（5，25）=2；∵20=1，∴（2，1）=0；∵∴故答案為：2，0，-2；（2）①（8，1000）-（32，100000）=（23，103）-（25，105）=（2，10）-（2，10）=0；②設(shè)3x=2，3y=5，則3x·3y=3x+y=2×5=10，所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y，所以（3，2）+（3，5）=（3，10）．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方，熟練掌握冪的乘方是解題的關(guān)鍵．25．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng)，記為，依此類推，排在第位的數(shù)稱為第項(xiàng)，記為．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示．如：數(shù)列1，3，9，27，為等比數(shù)列，其中，公比為．然后解決下列問題．(1)等比數(shù)列3，6，12，的公比為，第4項(xiàng)是．(2)如果已知一個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)（設(shè)為和公比（設(shè)為，則根據(jù)定義我們可依次寫出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)：，，，，．由此可得第項(xiàng)（用和的代數(shù)式表示）．(3)若一等比數(shù)列的公比，第2項(xiàng)是10，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)．(4)已知一等比數(shù)列的第3項(xiàng)為12，第6項(xiàng)為96，求這個(gè)等比數(shù)列的第10項(xiàng)．【答案】(1)2，24(2)(3)第1項(xiàng)是5，第4項(xiàng)是40(4)1536【分析】（1）根據(jù)第一項(xiàng)是3，第二項(xiàng)是6求出公比為2，再根據(jù)第三項(xiàng)是12求出第四項(xiàng)為24；（2）發(fā)現(xiàn)的q的冪指數(shù)為項(xiàng)數(shù)減1，第n項(xiàng)；（3）用第二項(xiàng)的10除以公比2得第一項(xiàng)是5，第四項(xiàng)為；（4）設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)為，公比為q，根據(jù)第三項(xiàng)為12，第六項(xiàng)為96列方程組求出第一項(xiàng)為3，公共比為2，再求第十項(xiàng)是1536．【詳解】（1）根據(jù)題意知公比，第4項(xiàng)是，故答案為：2，24；（2）根據(jù)定義我們可依次寫出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)：，，，．由此可得第項(xiàng)，故答案為：；（3）根據(jù)題意知，第1項(xiàng)為，第4項(xiàng)為；（4）設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)為，公比為q，根據(jù)題意知，，即，則，這個(gè)等比數(shù)列的第10項(xiàng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的概念，理解等比數(shù)列的概念，熟練運(yùn)用等比數(shù)列的概念和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．26．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算的值，采用以下方法：設(shè)①則②②①得，．請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：（1）______；（2）求______；（3）求的和；（請(qǐng)寫出計(jì)算過程）（4）求的和（其中且）．（請(qǐng)寫出計(jì)算過程）【答案】（1）221?2；（2）2-；（3）；（4）+【分析】（1）根據(jù)閱讀材料可得：設(shè)s＝①，則2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①即可得結(jié)果；（2）設(shè)s＝①，s＝②，②?①即可得結(jié)果；（3）設(shè)s＝①，-2s＝②，②?①即可得結(jié)果；（4）設(shè)s＝①，as＝②，②?①得as-s=-a-，同理：求得-，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：根據(jù)閱讀材料可知：（1）設(shè)s＝①，2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①得，2s?s＝s＝221?2；故答案為：221?2；（2）設(shè)s＝①，s＝②，②?①得，s?s＝-s＝-1，∴s＝2-，故答案為：2-；（3）設(shè)s＝①-2s＝②②?①得，-2s?s＝-3s＝+2∴s＝；（4）設(shè)s＝①，as＝②，②-①得：as-s=-a-，設(shè)m=-a-③，am=-④，④-③得：am-m=a-，∴m=，∴as-s=+，∴s=+．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型?實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料進(jìn)行計(jì)算．27．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察下面三行單項(xiàng)式：x，，，，，，；①，，，，，，；②，，，，，，；③根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解答下列問題：（1）第①行的第8個(gè)單項(xiàng)式為_______；（2）第②行的第9個(gè)單項(xiàng)式為_______；第③行的第10個(gè)單項(xiàng)式為_______；（3）取每行的第9個(gè)單項(xiàng)式，令這三個(gè)單項(xiàng)式的和為當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）觀察第①行的前四個(gè)單項(xiàng)式，歸納類推出一般規(guī)律即可得；（2）分別觀察第②行和第③行的前四個(gè)單項(xiàng)式，歸納類推出一般規(guī)律即可得；（3）先計(jì)算整式的加減進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將x的值代入即可得．【詳解】（1）第①行的第1個(gè)單項(xiàng)式為，第①行的第2個(gè)單項(xiàng)式為，第①行的第3個(gè)單項(xiàng)式為，第①行的第4個(gè)單項(xiàng)式為，歸納類推得：第①行的第n個(gè)單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，則第①行的第8個(gè)單項(xiàng)式為，故答案為：；（2）第②行的第1個(gè)單項(xiàng)式為，第②行的第2個(gè)單項(xiàng)式為，第②行的第3個(gè)單項(xiàng)式為，第②行的第4個(gè)單項(xiàng)式為，歸納類推得：第②行的第n個(gè)單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，則第②行的第9個(gè)單項(xiàng)式為，第③行的第1個(gè)單項(xiàng)式為，第③行的第2個(gè)單項(xiàng)式為，第③行的第3個(gè)單項(xiàng)式為，第③行的第4個(gè)單項(xiàng)式為，歸納類推得：第③行的第n個(gè)單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，則第③行的第10個(gè)單項(xiàng)式為，故答案為：，；（3）由題意得：，當(dāng)時(shí)，，，，則，，．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律型問題、整式的化簡(jiǎn)求值，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．28．（2021秋·上海·七年級(jí)期中）（1）已知：則的值是_____（2）如果記那么_____（3）若則x=_____（4）若則_____【答案】（1）2001（2）（3）（4）﹣120【分析】（1）根據(jù)題意，得到；再將原式進(jìn)行變形即可得出答案（2）先設(shè)原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后將a代入即可（3）根據(jù)冪的乘方運(yùn)算公式對(duì)原式進(jìn)行變形，然后進(jìn)而的出答案（4）采用賦值法進(jìn)行計(jì)算【詳解】（1）由題意得：；∴======2001（2）設(shè)，則；∴，即∴原式=（3）=?==192∴∴∴（4）當(dāng)x=1時(shí)，1=