專題07等邊三角形的判定(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題07等邊三角形的判定考試時間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·哈爾濱月考）下列說法中：①與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；③如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；④有一個角是60°的三角形是等邊三角形．正確的說法有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2分）（2021八上·榮縣月考）下列命題：①等腰三角形的角平分線、底邊中線、高線三線合一；②有一個外角等于120°的等腰三角形是等邊三角形；③等腰三角形的一邊長為3，另一邊為7，則它的周長為13或17；④軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2分）（2021八上·鎮(zhèn)海期中）如圖，已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對稱，P2與P關(guān)于OA對稱，則P1，O，P2三點所構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形4．（2分）（2021八上·拱墅期中）下列說法正確的是（）A．頂角相等的兩個等腰三角形全等B．有一個角是60°的三角形是等邊三角形C．等腰三角形兩底角相等D．等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合5．（2分）（2020八上·城廂期中）如圖所示，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下四個結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②AD=BE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等邊三角形．其中正確的是（）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③6．（2分）（2020八上·蕭山期中）下列命題中，真命題有（）①有一個角為60°的三角形是等邊三角形；②底邊相等的兩個等腰三角形全等；③有一個角是40°，腰相等的兩個等腰三角形全等；④一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2分）（2018八上·阿城期末）如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．無數(shù)個8．（2分）（2020八上·蕭山期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，有如下五個結(jié)論：①AO⊥BC；②OD=OE；③△OEF是等邊三角形；④△OEF≌△CEF;⑤∠OEF=54°則上列說法中正確的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．59．（2分）（2019八上·泰州月考）正三角形ABC所在的平面內(nèi)有一點P，使得△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形，則這樣的P點有（）A．1個 B．4個 C．7個 D．10個10．（2分）（2018八上·江北期末）如圖，點D是正△ABC內(nèi)的一點，DB=3，DC=4，DA=5，則∠BDC的度數(shù)是（）A．120° B．135° C．140° D．150°評卷人得分二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）11．（2分）（2021八上·鎮(zhèn)原期末）已知在中，，如要判定是等邊三角形，還需添加一個條件．現(xiàn)有下面三種說法：①如果添加條件“”，那么是等邊三角形；②如果添加條件“”，那么是等邊三角形；③如果添加條件“邊、上的高相等”那么是等邊三角形．上述說法中，正確的有．（填序號）12．（2分）如圖，在等邊△ABC中，AC＝9，點O在AC上，且AO＝3，點P是AB上一動點，連接OP，以O(shè)為圓心，OP長為半徑畫弧交BC于點D，連接PD，如果PO＝PD，那么AP的長是.13．（2分）（2020八上·鎮(zhèn)海期中）有長度分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10（cm）的木棒各一根，利用它們（允許連接加長，但不許折斷）能圍成周長不同的等邊三角形共有種.14．（2分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分別是BC、AB邊上的高且相交于點P，∠ABC的平分線BE分別交AD、CF于M、N.以下四個結(jié)論：①△PMN等邊三角形；②除了△PMN外，還有4個等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④當(dāng)DM＝2時，則DC＝6.其中正確的結(jié)論是：（填序號）.15．（2分）（2020八上·泰興月考）已知：如圖，在四邊形中，，點E是的中點.當(dāng)時，是等邊三角形.16．（2分）（2020八上·孝南月考）如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B=30°，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點且OP=OC，下面的結(jié)論：①AB=AC，②△AOP≌△AOC，③∠APO+∠DCO=30°，④△OPC是等邊三角形.其中正確的為.（填序號）17．（2分）如圖，∠AOB=30°，點P是它內(nèi)部一點，OP=2，如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是．18．（2分）（2017八上·確山期中）△ABC中，如果只給出條件么A=60，還不能判定△ABC是等邊三角形，給出下面四種說法：①如果再加上條件“∠B=∠C"，那么△ABC是等邊三角形；②如果再加上條件“AB=AC"，那么△ABC是等邊三角形；⑧如果再加上條件“D是BC的中點，且AD上BC”，那么△ABC是等邊三角形；④如果再加上條件“AB、AC的高相等”，那么△ABC是等邊三角形．其中正確的說法是.（把你認(rèn)為正確的序號全部填上）評卷人得分三．解答題（共9小題，滿分64分）19．（5分）（2021八上·南昌期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．20．（5分）（2020八上·寧城期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是邊AC的中點，EC⊥BC與點C，連接BD、DE、AE且CE=BD，求證：△ADE為等邊三角形21．（5分）（2020八上·沭陽月考）如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一點（不與A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中點，請判斷△PAE的形狀，并說明理由.22．（6分）（2019八上·澗西月考）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，BO、OC的垂直平分線分別交BC于E、F兩點，求證：△OEF是等邊三角形.23．（7分）（2021八上·松桃期末）如圖，在中，，AB邊的垂直平分線分別交AB于點E，交AC于點F，點D在EF上，且，G是AC的中點，連接DG.（1）（3分）求證：；（2）（4分）判斷是否是等邊三角形，并說明理由.24．（7分）（2021八上·廣州期中）已知等邊三角形，（1）（3分）尺規(guī)作圖：過頂點、、依次作、、的垂線，三條垂線交于點、、（保留一條垂線的作圖痕跡，另兩條垂線的作圖痕跡可以不保留，不需要寫作法）（2）（4分）求證：是等邊三角形．25．（8分）（2021八上·靖江期末）如圖，△ABC是邊長為12cm的等邊三角形，動點M、N同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動.（1）（4分）若點M的運動速度是2cm/s，點N的運動速度是4cm/s，當(dāng)N到達(dá)點C時，M、N兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)t=2時，判斷△BMN的形狀，并說明理由；（2）（4分）當(dāng)它們的速度都是2cm/s，當(dāng)點M到達(dá)點B時，M、N兩點停止運動，設(shè)點M的運動時間為t（s），則當(dāng)t為何值時，△MBN是直角三角形？26．（10分）（2020八上·鄒城期中）如圖1，D為等邊△ABC外一點，∠ADB=120°，連接DB，并延長DB至點E,使BE=AD，連接CD,CE．（1）（3分）求證：∠CAD=∠CBE；（2）（3分）求證：△CDE為等邊三角形；（3）（4分）在圖1的基礎(chǔ)上作D點關(guān)于AC，BC的對稱點M，N，連接CM，CN，MN，過C點作CF⊥MN于點F，如圖2．求證：CD=2CF．27．（11分）（2020八上·樂清月考）如圖所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度是1厘米/秒的速度，點N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點N第一次到達(dá)B點時，M、N同時停止運動.設(shè)運動時間為t秒.（1）（3分）M、N同時運動秒后，M、N兩點重合？（2）（4分）當(dāng)0＜t＜5時，M、N同時運動幾秒后，可得等邊三角形△AMN？（3）（4分）M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰△AMN，如果存在，請求出此時M、N運動的時間，如果不存在請說明理由.2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編專題07等邊三角形的判定考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)1．（2分）（2021八上·哈爾濱月考）下列說法中：①與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；③如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；④有一個角是60°的三角形是等邊三角形．正確的說法有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【完整解答】解：①與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，故原說法符合題意；②等腰三角形的底邊高、中線、頂角的角平分線互相重合，故原說法不符合題意；③如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，已知：如圖，在△ABC中，AD為BC邊的中線，且，求證：△ABC為直角三角形，證明：∵AD為BC邊的中線，∴BD=CD，∵，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠1+∠2=∠BAC，∴∠BAC=90°，∴△ABC為直角三角形，故原說法符合題意；④有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故原說法不符合題意；所以正確的說法有：①③，共2個．故答案為：C【思路引導(dǎo)】根據(jù)線段垂直平分線的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形的判定，等邊三角形的判定，進(jìn)行分別判斷即可.2．（2分）（2021八上·榮縣月考）下列命題：①等腰三角形的角平分線、底邊中線、高線三線合一；②有一個外角等于120°的等腰三角形是等邊三角形；③等腰三角形的一邊長為3，另一邊為7，則它的周長為13或17；④軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【完整解答】解：①等腰三角形的頂角平分線、底邊中線、底邊高線三線合一，故①不正確；②有一個外角等于120°的等腰三角形是等邊三角形；當(dāng)頂角外角∠EAC=120°時，根據(jù)平角定義，可得∠BAC=60°，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC為等邊三角形，當(dāng)?shù)捉堑耐饨恰螧CD=120°，可得∠ACB=180°-120°=60°，∵AB=AC，∠ACB=60°，∴△ABC為等邊三角形，故②正確；③等腰三角形的一邊長為3，另一邊為7，當(dāng)3為底時，腰長為7，7.∴7+7+3=17，當(dāng)3為腰時，3+3＜7，不能構(gòu)成三角形，∴三角形的周長為17，故③不正確；④根據(jù)在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，故任何一對對應(yīng)點沿對稱軸折疊互相重合，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線正確.故④正確；正確的個數(shù)有2個.故答案為：B.【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)、等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)逐一判斷即可.3．（2分）（2021八上·鎮(zhèn)海期中）如圖，已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對稱，P2與P關(guān)于OA對稱，則P1，O，P2三點所構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【完整解答】解：∵P1與P關(guān)于OB對稱，∴OP＝OP1，∠P1OB＝BOP，∵P2與P關(guān)于OA對稱，∴OP＝OP2，∠P2OA＝AOP，∴OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠BOA，∵∠AOB＝30°，∴∠P1OP2＝60°，∴△P1OP2為等邊三角形.故答案為：D.【思路引導(dǎo)】由軸對稱的性質(zhì)可得OP＝OP1，∠P1OB＝BOP，OP＝OP2，∠P2OA＝AOP，則OP1＝OP2，∠P1OP2＝2∠BOA=60°，據(jù)此判斷.4．（2分）（2021八上·拱墅期中）下列說法正確的是（）A．頂角相等的兩個等腰三角形全等B．有一個角是60°的三角形是等邊三角形C．等腰三角形兩底角相等D．等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合【答案】C【完整解答】解：A、錯誤，缺少邊相等，本選項不符合題意；B、錯誤，應(yīng)該是有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，本選項不符合題意；C、正確，本選項符合題意.D、錯誤，應(yīng)該是等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的角平分線互相重合，本選項不符合題意.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】根據(jù)全等三角形的判定定理可判斷A；根據(jù)等邊三角形的判定可判斷B；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷C、D.5．（2分）（2020八上·城廂期中）如圖所示，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下四個結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②AD=BE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等邊三角形．其中正確的是（）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【答案】A【完整解答】∵△ABC和△CDE是正三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），故①符合題意，∴AD=BE，故②符合題意；∵△ADC≌△BEC，∴∠ADC=∠BEC，∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故③符合題意；∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴△CPQ是等邊三角形，故④符合題意；故答案為：A．【思路引導(dǎo)】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而求得∠ACD=∠BCE，利用SAS可證△ADC≌△BEC，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，據(jù)此判斷①②③；根據(jù)ASA可證△CDP≌△CEQ，可得CP=CQ，繼而得出∠CPQ=∠CQP=60°，從而可證△CPQ是等邊三角形，據(jù)此判斷④即可.6．（2分）（2020八上·蕭山期中）下列命題中，真命題有（）①有一個角為60°的三角形是等邊三角形；②底邊相等的兩個等腰三角形全等；③有一個角是40°，腰相等的兩個等腰三角形全等；④一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【完整解答】解：在三角形中，三個角是60°，50°，70°，故①錯誤；一個等腰三角形的三邊長為2，3，3，另一個等腰三角形的三邊長為2，4，4，故②錯誤；如果兩個等腰三角形的腰相等，一個等腰三角形的底角是40°，一個等腰三角形的頂角是40°，則這兩個三角形不是全等的，故③錯誤；一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形，故④正確；故答案為：A.【思路引導(dǎo)】根據(jù)等邊三角形的判定定理可判斷①；根據(jù)全等三角形的判定定理可判斷②③；根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可判斷④.7．（2分）（2018八上·阿城期末）如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．無數(shù)個【答案】D【完整解答】如圖，在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等邊三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，∠PEM=∠PON，PE=PO，∠EPM=∠OPN，∴△PEM≌△PON，∴PM=PN，∴△PMN是等邊三角形，∴滿足條件的△PMN有無數(shù)個，故答案為：D.【思路引導(dǎo)】利用反證法，在直線OA和OB上截取線段OE=OF=OP，即可證明△OPE≌△OPF，從而得出△OEP和△OFP為等邊三角形；分別在線段OE和OF上選取點M和點N，可證明△PEM≌△PON，即可得出△PMN為等邊三角形，所以滿足條件的三角形有無數(shù)個。8．（2分）（2020八上·蕭山期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，有如下五個結(jié)論：①AO⊥BC；②OD=OE；③△OEF是等邊三角形；④△OEF≌△CEF;⑤∠OEF=54°則上列說法中正確的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【完整解答】解：如圖，連接OB、OC，

∵∠BAC=54°，AO為∠BAC的平分線，

∴∠BAO=∠BAC=27°，

又∵AB=AC，

∴∠ABC=（180°-∠BAC）=（180°-54°）=63°，

∵DO是AB的垂直平分線，

∴OA=OB，

∠ABO=∠BAO=27°，

∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，

∵AO為∠BAC的平分線，AB=AC，

∴OB=OC，

∴點O在BC的垂直平分線上，

∴點O是△ABC的外心，

∴∠OCB=∠OBC=36°，AO⊥BC，故①正確；

∵將∠C沿EF折疊，由折疊性質(zhì)可知△OEF≌△CEF，故④正確；

∵∠EOF=∠ACB=∠ABC=63°，

∴△EOF不是等邊三角形，故③錯誤；

∵OE=OC，

∴∠COC=∠OCE=36°，

∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-36°-36°=108°，

∴∠OEF=∠CEF=54°，故⑤正確；

題中條件無法得到OD=OE，故④錯誤；

綜上，正確的有3項.

故答案為：B.

【思路引導(dǎo)】連接OB、OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC的大小，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出點O是△ABC的外心，從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可以求得有關(guān)角的大小，再由折疊的性質(zhì)可以判斷△OEF不是等邊三角形，還可求出∠OEF的大小.9．（2分）（2019八上·泰州月考）正三角形ABC所在的平面內(nèi)有一點P，使得△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形，則這樣的P點有（）A．1個 B．4個 C．7個 D．10個【答案】D【完整解答】解：（1）點P在三角形內(nèi)部時，點P是邊AB、BC、CA的垂直平分線的交點，是三角形的外心；（2）分別以三角形各頂點為圓心，邊長為半徑，交垂直平分線的交點就是滿足要求的.每條垂直平分線上得3個交點，再加三角形的垂心，一共10個.故答案為：D.【思路引導(dǎo)】（1）點P在三角形的內(nèi)部時，點P到△ABC的三個頂點的距離相等，所以點P是三角形的外心；

（2）點P在三角形的外部時，每條邊的垂直平分線上的點只要能夠使頂點這條邊的兩端點連接而成的三角形是等腰三角形即可．10．（2分）（2018八上·江北期末）如圖，點D是正△ABC內(nèi)的一點，DB=3，DC=4，DA=5，則∠BDC的度數(shù)是（）A．120° B．135° C．140° D．150°【答案】D【完整解答】在三角形ABC外部作∠ABE=∠CBD,使BE=BD,連接AE.又BA=BC,則⊿ABE≌ΔCBD(SAS),得:AE=CD=3;∠BDC=∠BEA.∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=60°,則⊿DBE為等邊三角形,得∠BED=60°,且DE=DB=4.AE2+DE2=9+16=25=AD2,則∠AED=90°.所以,∠BDC=∠BEA=150°.故答案為：D.【思路引導(dǎo)】先通過輔助線將三角形BDC旋轉(zhuǎn)到三角形BEA的位置，從而利用勾股定理逆定理即可知三角形AED為直角三角形且∠AED=90°，而三角形BED為等腰三角形，即可求得∠BDC的度數(shù).二、填空題(共8題；每題2分，共16分)11．（2分）（2021八上·鎮(zhèn)原期末）已知在中，，如要判定是等邊三角形，還需添加一個條件．現(xiàn)有下面三種說法：①如果添加條件“”，那么是等邊三角形；②如果添加條件“”，那么是等邊三角形；③如果添加條件“邊、上的高相等”那么是等邊三角形．上述說法中，正確的有．（填序號）【答案】①②③【完整解答】解：①如果添加條件為“”，由，利用有一個角為的等腰三角形是等邊三角形可得出是等邊三角形；故①正確；②如果添加條件為“”，由，三角形內(nèi)角和為，可知，又因為，所以，所以，則可得出是等邊三角形；故②正確；③如果添加條件為“邊、上的高相等”，由的面積底高，邊、上的高相等，可知，又因為，利用有一個角為的等腰三角形是等邊三角形可得出是等邊三角形；故③正確．故答案為：①②③．【思路引導(dǎo)】利用有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，可對①作出判斷；利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求出此三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)，利用有三個角相等的三角形是等邊三角形，可對②作出判斷；利用同一個三角形的面積相等，可證得AB=BC，因此利用有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，可對③作出判斷；綜上所述可得正確結(jié)論的序號。12．（2分）如圖，在等邊△ABC中，AC＝9，點O在AC上，且AO＝3，點P是AB上一動點，連接OP，以O(shè)為圓心，OP長為半徑畫弧交BC于點D，連接PD，如果PO＝PD，那么AP的長是.【答案】6【完整解答】解：如圖，連接OD，∵PO＝PD，∴OP＝DP＝OD，∴△PDO為等邊三角形，即∠DPO＝60°，∵等邊△ABC，∴∠A＝∠B＝60°，AC＝AB＝9，∴∠OPA＝180°?60°?∠DPA=120°?∠DPA∠PDB＝180°?∠DPA?60°=120°?∠DPA∴∠OPA=∠PDB，∴在△OPA和△PDB中，∴△OPA≌△PDB（AAS），∵AO＝3，∴AO＝PB＝3，∴AP＝6.故答案是：6.【思路引導(dǎo)】連接OD,由題知OP＝DP＝OD，即△PDO為等邊三角形，∠OPA＝∠PDB＝∠DPA=60°，推出△OPA≌△PDB，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等知OA＝BP＝3，則AP＝AB?BP＝6.13．（2分）（2020八上·鎮(zhèn)海期中）有長度分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10（cm）的木棒各一根，利用它們（允許連接加長，但不許折斷）能圍成周長不同的等邊三角形共有種.【答案】14【完整解答】解：邊長是5的等邊三角形：5，4+1，3+2；

邊長是6的等邊三角形：6，4+2，1+5；

邊長是7的等邊三角形：7，4+3，5+2；

邊長是8的等邊三角形：8，7+1，6+2；

邊長是9的等邊三角形：9，8+1，7+2；

邊長是10的等邊三角形：10，4+6，3+7；

邊長是11的等邊三角形：9+2，8+3，7+4；

邊長是12的等邊三角形：9+3，8+4，7+5；

邊長是13的等邊三角形：9+4，8+5，7+6；

邊長是14的等邊三角形：9+5，10+4，8+6

邊長是15的等邊三角形：9+6，8+7，10+5；

邊長是16的等邊三角形：9+7，8+1+5+2，10+6；

邊長是17的等邊三角形：10+7，8+9，6+5+1+3+2；

邊長是18的等邊三角形：10+6+2，8+7+3，9+4+5；

一共有14種.

故答案為：14.

【思路引導(dǎo)】利用等邊三角形的性質(zhì)：三邊都相等，抓住已知條件：允許連接加長，但不許折斷能圍成周長不同的等邊三角形，據(jù)此可得到所有的情況。14．（2分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分別是BC、AB邊上的高且相交于點P，∠ABC的平分線BE分別交AD、CF于M、N.以下四個結(jié)論：①△PMN等邊三角形；②除了△PMN外，還有4個等腰三角形；③△ABD≌△CPD；④當(dāng)DM＝2時，則DC＝6.其中正確的結(jié)論是：（填序號）.【答案】①②③④【完整解答】解：∵∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD，CF分別是BC，AB邊上的高，∴∠ACB＝45°，∠ADC=90°，∴△ADC為等腰直角三角形，∠BAD=30°，∵∠ABC的平分線BE分別交AD，CF于M，N∴∠ABM＝30°，又∵∠BAM＝30°∴△AMB為等腰三角形.由題意可知∵∠NBC＝∠NCB＝30°∴△BNC為等腰三角形.∠PMN＝∠MNP＝60°∴△MNP為等邊三角形，故①正確；∵∠ABE＝30°，∠BAC＝75°，∴∠BEA＝75°，∴△ABE為等腰三角形；∴除了△PMN外，還有4個等腰三角形，故②正確；∵AD，CF分別是BC，AB邊上的高，∴∠ADB＝∠BFC＝90°，∴∠BAD＝∠ABD＝∠ABD+∠BCF＝90°，∴∠BAD＝∠DCP，∵∠ADB＝∠PDC＝90°，AD＝CD，∴△ABD≌△CPD（ASA），故③正確；在直角三角形BDM中，∵M(jìn)D＝2，∠MBD＝30°，∴BM＝4，在等腰三角形AMB中，BM＝AM，∴AD＝AM+MD＝6，在等腰直角三角形ADC中，AD＝DC，∴DC＝6，故④正確；故答案為：①②③④.【思路引導(dǎo)】由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°、角的平分線的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋，注意做到由易到難.15．（2分）（2020八上·泰興月考）已知：如圖，在四邊形中，，點E是的中點.當(dāng)時，是等邊三角形.【答案】150【完整解答】解：∵，點是的中點，∴，∴ED=EB，∠DAE=∠ADE，∠EAB=∠EBA，∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE，∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠BAE，若△BDE是等邊三角形，則∠BED=60°，即∠DEC+∠BEC=60°，∴2∠DAE+2∠BAE=60°，∴∠DAE+∠BAE=30°，即∠BAD=30°，又∵，∴∠BCD=360°－∠BAD－∠ABC－∠ADC=150°.故答案為：150.【思路引導(dǎo)】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得ED=EB，∠DAE=∠ADE，∠EAB=∠EBA，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得∠DAE+∠BAE=30°，即∠BAD=30°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求得答案.16．（2分）（2020八上·孝南月考）如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B=30°，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點且OP=OC，下面的結(jié)論：①AB=AC，②△AOP≌△AOC，③∠APO+∠DCO=30°，④△OPC是等邊三角形.其中正確的為.（填序號）【答案】①③④【完整解答】解：①△ABC中高AD恰好平分邊BC，AD為線段BC的垂直平分線，AB=AC，故①正確；②由圖易知OP與OC的對角，△AOP≌△AOC不正確，故②不正確；③如圖，連接OB，△ABC的高AD恰好平分邊BC，BD=CD，由SAS易證，AB=AC，OB=OC=OP，，∠APO+∠DCO=30°，故③正確；④在△OBP中，在△BOC中，，，，△OPC是等邊三角形，故④正確.故答案為：①③④.【思路引導(dǎo)】①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AB=AC，即可判斷①正確；②根據(jù)題意得∠AOP≠∠AOC，得△AOP與△AOC不全等，可判②不正確；②利用等邊對等角得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，即可判斷③正確；④證出∠POC=60°，OP=OC，得出△OPC是等邊三角形，即可判斷④正確.

17．（2分）如圖，∠AOB=30°，點P是它內(nèi)部一點，OP=2，如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是．【答案】2【完整解答】作點P關(guān)于OA，OB的對稱點P′，P″，連接P′P″，由軸對稱確定最短路線問題，P′P″分別與OA，OB的交點即為Q，R，△PQR周長的最小值=P′P″，由軸對稱的性質(zhì)，∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，OP′=OP″=OP=2，所以，∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°，所以，△OP′P″是等邊三角形，所以，PP′=OP′=2．故答案為：2.【思路引導(dǎo)】由軸對稱確定最短路線，得到PQ+QR+RP的最小值是P′P″的值，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到△OP′P″是等邊三角形，得到PP′=OP′的值.18．（2分）（2017八上·確山期中）△ABC中，如果只給出條件么A=60，還不能判定△ABC是等邊三角形，給出下面四種說法：①如果再加上條件“∠B=∠C"，那么△ABC是等邊三角形；②如果再加上條件“AB=AC"，那么△ABC是等邊三角形；⑧如果再加上條件“D是BC的中點，且AD上BC”，那么△ABC是等邊三角形；④如果再加上條件“AB、AC的高相等”，那么△ABC是等邊三角形．其中正確的說法是.（把你認(rèn)為正確的序號全部填上）【答案】①②③④【完整解答】解：①若添加條件為∠B=∠C，又∵∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，則△ABC為等邊三角形；②若添加的條件為AB=AC，由∠A=60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△ABC為等邊三角形；③如果再加上條件“D是BC的中點，且AD⊥BC”，則△ABC是等腰三角形，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△ABC為等邊三角形；④若添加的條件為邊AB、BC上的高相等，如圖所示：已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，求證：△ABC為等邊三角形．證明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEC=90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，∵AC=CA，DC=EA，∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∴AB=AC=BC，即△ABC為等邊三角形．綜上，正確的說法有①②③④．【思路引導(dǎo)】①如果再加上條件“∠B=∠C"，又∠A=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可以推出∠A=∠B=∠C，根據(jù)三個角相等的三角形是等邊三角形得出△ABC為等邊三角形；②若添加的條件為AB=AC，由∠A=60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△ABC為等邊三角形；③如果再加上條件“D是BC的中點，且AD⊥BC”可以得出AD是BC的中垂線，根據(jù)中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等得出AC=BC,又∠A=60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△ABC為等邊三角形；④若添加的條件為邊AB、BC上的高相等，可以利用HL判斷出Rt△ADC≌Rt△CEA，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得出∠ACE=∠BAC=60°，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAC=∠B=∠ACB=60°，從而利用三個角相等的三角形是等邊三角形得出△ABC為等邊三角形，綜上所述即可得出結(jié)論。三、解答題(共9題；共64分)19．（5分）（2021八上·南昌期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．【答案】證明：為的中點，．，，．在和中，，，，，，是等邊三角形．【思路引導(dǎo)】先利用“HL”證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得，再利用等角對等邊的性質(zhì)可得CA=CB，再結(jié)合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可證明△ABC是等邊三角形。20．（5分）（2020八上·寧城期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是邊AC的中點，EC⊥BC與點C，連接BD、DE、AE且CE=BD，求證：△ADE為等邊三角形【答案】證明：∵△ABC是等邊三角形，D是邊AC的中點，∴AD=DC，BC=CA，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，即∠DBC+∠DCB=90°，∵EC⊥BC，∴∠BCE=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠DBC，在△CBD和△ACE中，∴△CBD△ACE（SAS）∴CD=AE，∴∠AEC=∠CDB=90°∵D為AC的中點∴AD=DE，AD=DC，∴AD=AE=DE，即△ADE為等邊三角形．【思路引導(dǎo)】利用△ABC是等邊三角形，D為邊AC的中點，求得∠ADB=90°，再用SAS證明△CBD≌△ACE，推出AE=CD=AD，∠AEC=∠BDC=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DE=AD，即可證明．21．（5分）（2020八上·沭陽月考）如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一點（不與A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中點，請判斷△PAE的形狀，并說明理由.【答案】解：△PAE是等邊三角形，理由如下：∵Rt△CAD中，∠CAB＝90°，P是CD的中點，，，.同理，在Rt△CAD中，，，.即△PAE是等腰三角形，，∴△PAE是等邊三角形.【思路引導(dǎo)】首先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得出，，，然后根據(jù)角的和即可得出，從而證明△PAE是等邊三角形.22．（6分）（2019八上·澗西月考）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，BO、OC的垂直平分線分別交BC于E、F兩點，求證：△OEF是等邊三角形.【答案】∵E為BO垂直平分線上的點，且∠OBC＝30°，∴BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，∴∠OEF＝∠EBO+∠EOB＝60°，同理，∠OFE＝∠FCO+∠FOC＝60°，∴△OEF為等邊三角形，【思路引導(dǎo)】根據(jù)等邊三角形角分線的性質(zhì)，可得∠OBC＝∠OCB＝30°，由BC的垂直平分線，可知BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，∠OEF＝60°，再證∠OFE＝60°，得出△OEF為等邊三角形.23．（7分）（2021八上·松桃期末）如圖，在中，，AB邊的垂直平分線分別交AB于點E，交AC于點F，點D在EF上，且，G是AC的中點，連接DG.（1）（3分）求證：；（2）（4分）判斷是否是等邊三角形，并說明理由.【答案】（1）證明：連接AD，∵EF是AB的垂直平分線，點D在EF上，∴.又∵，∴，∴是等腰三角形.∵G是AC的中點，∴.（2）解：是等邊三角形，理由如下：∵，∴，，∵，∴，∴，∴是等邊三角形.【思路引導(dǎo)】（1）連接AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可求解；

（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，，∠DBC=∠DCB，從而得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠DBC+∠DCB=

120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根據(jù)等邊三角形的判定方法即證.24．（7分）（2021八上·廣州期中）已知等邊三角形，（1）（3分）尺規(guī)作圖：過頂點、、依次作、、的垂線，三條垂線交于點、、（保留一條垂線的作圖痕跡，另兩條垂線的作圖痕跡可以不保留，不需要寫作法）（2）（4分）求證：是等邊三角形．【答案】（1）解：如圖所示：（2）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°．∵BC⊥MN，BA⊥MG，∴∠CBM＝∠BAM＝90°．∴∠ABM＝90°?∠ABC＝30°．∴∠M＝90°?∠ABM＝60°．同理：∠N＝∠G＝60°．∴△MNG為等邊三角形．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作即可；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得MN、NG、GM是△ABC的中位線，進(jìn)而證明△MNG為等邊三角形。25．（8分）（2021八上·靖江期末）如圖，△ABC是邊長為12cm的等邊三角形，動點M、N同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動.（1）（4分）若點M的運動速度是2cm/s，點N的運動速度是4cm/s，當(dāng)N到達(dá)點C時，M、N兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)t=2時，判斷△BMN的形狀，并說明理由；（2）（4分）當(dāng)它們的速度都是2cm/s，當(dāng)點M到達(dá)點B時，M、N兩點停止運動，設(shè)點M的運動時間為t（s），則當(dāng)t為何值時，△MBN是直角三角形？【答案】（1）解：△BMN是等邊三角形當(dāng)t=2時，AM=4，BN=8，∵△ABC是等邊三角形且邊長是12∴BM=12-4=8，∠B=60°∴BM=BN∴△BMN是等邊三角形；（2）解：△BMN中，BM=12-2t，BN=2t①當(dāng)∠BNM=90°時，∠B=60°∴∠BMN=30°∴∴∴t=2②當(dāng)∠BMN=90°時，∠B=60°∴∠BNM=30°∴∴∴t=4綜上：當(dāng)t=2或t=4時，△BMN是直角三角形.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)路程、速度和時間的關(guān)系，當(dāng)t=2時，AM=4，BN=8，繼而證明BM=BN，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定解題即可；（2）若△MBN是直角三角形，則∠BNM=90°或∠BMN=90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)列方程解題即可.