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專題01中線模型基本模型:例題精講例1.如圖,AD是△ABC中BC邊上的中線,若AB=6,AC=8,則AD的取值范圍是________________.例2.?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí),老師提出了這樣一個(gè)問題:如圖1,在中,,,D是BC的中點(diǎn),求BC邊上的中線AD的取值范圍.【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:(1)如圖1,延長AD到E點(diǎn),使,連接BE.根據(jù)______可以判定______,得出______.這樣就能把線段AB、AC、集中在中.利用三角形三邊的關(guān)系,即可得出中線AD的取值范圍是.【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí),可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍,構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中,這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法.【問題解決】(2)如圖2,在中,,D是BC邊的中點(diǎn),,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證:.【問題拓展】(3)如圖3,中,,,AD是的中線,,,且.直接寫出AE的長=______.例3.如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AC上的一點(diǎn),BE交AD于點(diǎn)F,已知AE=EF.求證:AC=BF.課后訓(xùn)練1.如圖,已知是的平分線,,若的面積為,則的面積(
)A. B. C. D.2.在△ABC中,AD是BC邊上的中線,AD⊥AB,如果AC=5,AD=2,那么AB的長是________.3.如圖,為中邊上的中線.(1)求證:;(2)若,,求的取值范圍.4.如圖,已知在中,,是邊上的中線,延長到點(diǎn)D,使.求證:.5.如圖,已知△ABC中,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC的延長線上,且BD=CE,連接DE交BC于點(diǎn)G,若DG=GE,說明:△ABC為等腰三角形.6.如圖,在ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC,延長CB到點(diǎn)E,使BE=BD,連接AE.(1)依題意補(bǔ)全圖形;(2)試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系,并進(jìn)行證明.7.已知,在中,,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),分別交,于點(diǎn),.(1)如圖1,①若,請直接寫出______;②連接,若,求證:;(2)如圖2,連接,若,試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.專題01中線模型基本模型:例題精講例1.如圖,AD是△ABC中BC邊上的中線,若AB=6,AC=8,則AD的取值范圍是________________.【答案】1<AD<7【詳解】解:如圖,延長AD到E,使DE=AD,∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD,在△ABD和△ECD中,,∴△ABD≌△ECD(SAS),∴CE=AB,∵AB=6,AC=8,∴8-6<AE<8+6,即2<2AD<14,∴1<AD<7,故答案為:1<AD<7.例2.?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí),老師提出了這樣一個(gè)問題:如圖1,在中,,,D是BC的中點(diǎn),求BC邊上的中線AD的取值范圍.【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:(1)如圖1,延長AD到E點(diǎn),使,連接BE.根據(jù)______可以判定______,得出______.這樣就能把線段AB、AC、集中在中.利用三角形三邊的關(guān)系,即可得出中線AD的取值范圍是.【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí),可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍,構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中,這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法.【問題解決】(2)如圖2,在中,,D是BC邊的中點(diǎn),,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證:.【問題拓展】(3)如圖3,中,,,AD是的中線,,,且.直接寫出AE的長=______.【答案】(1);;;;(2)見解析;(3)7.【詳解】解:(1)在和中,,∴,∴.∵,∴,即,∴,∴,解得:;故答案為:;;;;(2)如圖所示,延長ED使DG=ED,連接FG,GC,∵,∴,在和中,,∴,∴,,∴,∴,∴在中,,∴;(3)如圖所示,延長AD交EC的延長線于點(diǎn)F,∵,,在和中,,,∴,,∵,∴,∵,∴.例3.如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AC上的一點(diǎn),BE交AD于點(diǎn)F,已知AE=EF.求證:AC=BF.【答案】見解析【詳解】證明:延長AD到G,使得DG=AD,連接BG,在△ADC和△GDB中,∴△ADC≌△GDB(SAS),∴AC=BG且∠CAD=∠G∵AE=EF,∴∠EFA=∠EAF,∴∠G=∠EFA∵∠EFA=∠BFG,∴∠G=∠BFG,∴BG=BF∵AC=BG,∴BF=AC課后訓(xùn)練1.如圖,已知是的平分線,,若的面積為,則的面積(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】解:延長AP交BC于點(diǎn)C,如圖所示,,∵,∴,∵BP是的角平分線,∴,在和中,,∴,∴,∴,∵和同底等高,∴,∴,∴,故選C.2.在△ABC中,AD是BC邊上的中線,AD⊥AB,如果AC=5,AD=2,那么AB的長是________.【答案】3【詳解】解:過點(diǎn)C作CE∥AB交AD延長線于E,∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD,∵AD⊥AB,CE∥AB,∴AD⊥CE,∠ABD=∠ECD,∴∠E=90°,在△ABD和△ECD中,∴△ABD≌△ECD(AAS),∴AB=EC,AD=ED=2,∴AE=2AD=4,在Rt△AEC中,,∴AB=CE=3.故答案為:3.3.如圖,為中邊上的中線.(1)求證:;(2)若,,求的取值范圍.【答案】(1),(2)【詳解】(1)證明:如圖延長至,使,連接,∵為中邊上的中線,∴,在和中:,∴,∴(全等三角形的對應(yīng)邊相等),在中,由三角形的三邊關(guān)系可得,即;(2)解:∵,,由(1)可得,∴,∴.4.如圖,已知在中,,是邊上的中線,延長到點(diǎn)D,使.求證:.【答案】見解析【詳解】解:如圖,延長到點(diǎn)F,使,連接,則.因?yàn)闉橹芯€,所以.又因?yàn)?,所以,所以,,所以.又因?yàn)?,所以,所以,?.如圖,已知△ABC中,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC的延長線上,且BD=CE,連接DE交BC于點(diǎn)G,若DG=GE,說明:△ABC為等腰三角形.【答案】見解析.【詳解】解:如圖,過D作DF∥AC交BC于F,∵DF∥AC,∴∠DFC=∠FCE,∵∠DGF=∠CGE,DG=GE,∴△DFG≌△ECG(AAS),∴DF=CE,∵BD=CE,∴BD=DF,∴∠B=∠DFB,∵DF∥AC,∴∠DFB=∠ACB,∴∠B=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC為等腰三角形.6.如圖,在ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC,延長CB到點(diǎn)E,使BE=BD,連接AE.(1)依題意補(bǔ)全圖形;(2)試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系,并進(jìn)行證明.【答案】(1)見解析;(2),見解析【詳解】(1)如圖所示:(2)如圖,判斷:,證明如下:延長至點(diǎn),使得,連接在和中,∵,∴,∴∵,∴∵∴∵AD平分∠BAC,∴在和中,∵,∴,∴又∵,∴7.已知,在中,,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),分別交,于點(diǎn),.(1)如圖1,①若,請直接寫出______;②連接,若,求證:;(2)如圖2,連接,
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