專(zhuān)題02二次根式的運(yùn)算(考點(diǎn)剖析)-2018-2019學(xué)年浙江省八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末必考點(diǎn)復(fù)習(xí)(浙教版)(原卷版+解析)2

專(zhuān)題02二次根式的運(yùn)算【考點(diǎn)剖析】1、最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．注意：（1）在二次根式的被開(kāi)方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡(jiǎn)二次根式；（2）在二次根式的被開(kāi)方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡(jiǎn)二次根式．2、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．例如：①；②．（2）兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），這里的a可以是任意有理數(shù)．3、二次根式的運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類(lèi)的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式”．（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．4、二次根式的化簡(jiǎn)求值二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．最簡(jiǎn)二次根式【典例】例1．在、、、、中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【鞏固練習(xí)】1．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列根式，，，，，中，最簡(jiǎn)二次根式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．下列式子中：，，，，2，其中屬于最簡(jiǎn)二次根式的有幾個(gè)（）A．1 B．2 C．3 D．4二次根式的混合運(yùn)算【典例】例1．計(jì)算：?（）（a＞0）例2．計(jì)算：（1）2；（2）（15）（x＞0）.例3．計(jì)算：（）.【鞏固練習(xí)】1．計(jì)算：2．計(jì)算：?3．計(jì)算：．4．計(jì)算：3．5．計(jì)算：23（）．6．計(jì)算：．7．計(jì)算：．8．計(jì)算：（5）．9．化簡(jiǎn)求值：，其中x＝4，y．分母有理化【典例】例1．閱讀理解材料：把分母中的根號(hào)去掉叫做分母有理化，例如：①；②等運(yùn)算都是分母有理化．根據(jù)上述材料，（1）化簡(jiǎn)：（2）計(jì)算：（3）．例2．觀察下列一組等式，然后解答后面的問(wèn)題：（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1…（1）觀察上面的規(guī)律，計(jì)算下列式子的值：（）（）．（2）利用上面的規(guī)律，試比較與的大?。眷柟叹毩?xí)】1．已知a，b，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．2．在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí)，如遇到這樣的式子，還需做進(jìn)一步的化簡(jiǎn)：1．還可以用以下方法化簡(jiǎn)：1．這種化去分母中根號(hào)的運(yùn)算叫分母有理化．分別用上述兩種方法化簡(jiǎn)：．3．觀察下面的變形規(guī)律：，，，，…解答下面的問(wèn)題：（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想__________；（2）計(jì)算：（）×（）4．觀察下列等式：①；②；③…回答下列問(wèn)題：（1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡(jiǎn)：（2）計(jì)算：．專(zhuān)題02二次根式的運(yùn)算【考點(diǎn)剖析】1、最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．注意：（1）在二次根式的被開(kāi)方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡(jiǎn)二次根式；（2）在二次根式的被開(kāi)方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡(jiǎn)二次根式．2、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．例如：①；②．（2）兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），這里的a可以是任意有理數(shù)．3、二次根式的運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類(lèi)的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式”．（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．4、二次根式的化簡(jiǎn)求值二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．最簡(jiǎn)二次根式【典例】例1．在、、、、中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式有，這2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義對(duì)二次根式分析判斷即可得．本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．【鞏固練習(xí)】1．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，A不是最簡(jiǎn)二次根式；B，是最簡(jiǎn)二次根式；3，C不是最簡(jiǎn)二次根式；a，D不是最簡(jiǎn)二次根式；故選：B．2．下列根式，，，，，中，最簡(jiǎn)二次根式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式有，這2個(gè)，故選：B．3．下列式子中：，，，，2，其中屬于最簡(jiǎn)二次根式的有幾個(gè)（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：最簡(jiǎn)二次根式有，2，共2個(gè)，故選：B．二次根式的混合運(yùn)算【典例】例1．計(jì)算：?（）（a＞0）【答案】見(jiàn)解析【解析】解：?（）（a＞0）?a2b＝﹣9a2．【點(diǎn)睛】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)進(jìn)而得出答案．此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．例2．計(jì)算：（1）2（2）（15）（x＞0）【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）原式＝264＝4；（2）原式（152x）＝332x＝2x．【點(diǎn)睛】（1）先將二次根式化簡(jiǎn)，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并即可；（2）先將二次根式化簡(jiǎn)，再利用去括號(hào)法則去括號(hào)，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并即可．本題主要考查二次根式的加減，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要先將二次根式化簡(jiǎn)，此外還要注意，只有被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式才能合并，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)不相同時(shí)是不能合并的．例3．計(jì)算：（）【答案】見(jiàn)解析【解析】解：原式1＝21﹣2＝3﹣2．【點(diǎn)睛】先根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)后合并即可．本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【鞏固練習(xí)】1．計(jì)算：【答案】見(jiàn)解析【解析】解：．2．計(jì)算：?【答案】見(jiàn)解析【解析】解：原式????．3．計(jì)算：．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：原式＝23（）＝24．4．計(jì)算：3．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：原式＝234＝22＝3．5．計(jì)算：23（）．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：原式＝333＝53．6．計(jì)算：．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：原式2＝2﹣32＝2．7．計(jì)算：．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：原式4﹣51＝﹣1．8．計(jì)算：（5）．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：原式＝（53）636．9．化簡(jiǎn)求值：，其中x＝4，y．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：原式23，當(dāng)x＝4，y時(shí)，原式31+1＝2．分母有理化【典例】例1．閱讀理解材料：把分母中的根號(hào)去掉叫做分母有理化，例如：①；②等運(yùn)算都是分母有理化．根據(jù)上述材料，（1）化簡(jiǎn)：（2）計(jì)算：（3）．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）；（2）11；（3）11．【點(diǎn)睛】（1）直接找出有理化因式，進(jìn)而分母有理化得出答案；（2）利用已知分別化簡(jiǎn)各二次根式，進(jìn)而求出答案；（3）利用已知分別化簡(jiǎn)各二次根式，進(jìn)而求出答案．此題主要考查了分母有理化，正確找出有理化因式是解題關(guān)鍵．例2．觀察下列一組等式，然后解答后面的問(wèn)題：（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1，（）（）＝1…（1）觀察上面的規(guī)律，計(jì)算下列式子的值：（）（）．（2）利用上面的規(guī)律，試比較與的大?。敬鸢浮恳?jiàn)解析【解析】解：（1）由題意可得，原式＝（1）?（1）＝（1）?（1）＝2013﹣1＝2012；（2），，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)題中給出的式子找出規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律即可得出結(jié)論；（2）把題中的式子取倒數(shù)，再比較大小即可．本題考查的是分母有理數(shù)，根據(jù)題中給出的例子找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．【鞏固練習(xí)】1．已知a，b，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵a，b，∴ab＝（）×（）＝1，a+b2；（2）＝（）2+（）2＝5﹣25+2＝10．2．在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí)，如遇到這樣的式子，還需做進(jìn)一步的化簡(jiǎn)：1．還可以用以下方法化簡(jiǎn)：1．這種化去分母中根號(hào)的運(yùn)算叫分母有理化．分別用上述兩種方法化簡(jiǎn)：．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：；或：．3．觀察下面的