專題05定角定高（專項(xiàng)訓(xùn)練）

專題05定角定高（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2020?雁塔區(qū)校級二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩個(gè)動點(diǎn)，且∠EAF＝60°，則△AEF的面積的最小值是．【答案】4【解答】解：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△ABM，由旋轉(zhuǎn)得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共線，∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，過A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB?sin60°＝2，作△AEF的外接圓⊙O，連接OA、OE、OF，過O作ON⊥EF于N，∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，設(shè)EF＝2x，則NF＝x，Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2，∴S△AEF＝EF?AK＝＝2x≥4，∴△AEF面積的最小值是4．2．（2020春?和平區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分別為邊BC及射線CD上的動點(diǎn)，∠EAF＝45°，△AEF面積的最小值．【答案】【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)E作EH⊥AF于H，AN⊥CD，交CD的延長線于N，∵∠B＝60°，AM⊥BC，∴∠BAM＝30°，∴BM＝3，AM＝3，∵∠ADC＝120°，∴∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝AD＝，AN＝，∵∠BAD＝135°，∠EAF＝45°，∠BAM＝30°，∴∠MAE+∠DAF＝60°，又∵∠ADN＝∠DAF+∠DFA＝60°，∴∠MAE＝∠AFD，又∵∠AME＝∠N＝90°，∴△AFN∽△EAM，∴，設(shè)ME＝x，則AE＝＝，∴AF＝＝，∵∠EAF＝45°，HE⊥AF，∴HE＝AE＝×，∴△AEF面積＝×AF×HE＝×（）＝×（），∵當(dāng)a，b為正數(shù)時(shí)，（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，∴△AEF面積＝×（）≥×2×，∴△AEF面積的最小值為，故答案為．3．【問題提出】（1）如圖①，已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B，C均在直線l上，AD⊥l于點(diǎn)D且AD＝4，∠BAC＝45°．求BC的最小值；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，且CE⊥CF，求四邊形AECF面積的最大值；【問題解決】（3）如圖③，某園林對一塊矩形花圃ABCD進(jìn)行區(qū)域劃分，點(diǎn)K為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為AB，DC上的點(diǎn)，且∠MKN＝120°，MK，KN將花圃分為三個(gè)區(qū)域．已知AB＝7m，BC＝12m，現(xiàn)計(jì)劃在△BMK和△CNK中種植甲花，在其余區(qū)域種植乙花，試求種植乙花面積的最大值．【解答】解：（1）如圖①中，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，則∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°設(shè)OA＝OB＝OC＝r，則OE＝r，BC＝2BE＝r，∵AO+OE≥AD，AD＝4，∴r+r≥4，解得：r≥8+4，∴BC＝r≥8+8，∴BC最小值為8+8∵S△ABC＝BC?AD，∴△ABC面積的最小值為：×（8+8）×4＝16+16；（3）分別延長AB、DC交于點(diǎn)M，如圖②所示：則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，∵CB＝CD＝2，∴BM＝2，CM＝2，AD＝DM＝2+2，∴S四邊形ABCD＝S△ADM﹣S△CBM＝DM2﹣BC2＝×（2+2）2﹣×22＝4+4，∵∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠CDA﹣∠CBA＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∴將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到△CDE′，則A、D、E′三點(diǎn)共線，∴S四邊形AECF＝S四邊形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四邊形ABCD﹣S△CE′F，∵S四邊形ABCD為定值，∴當(dāng)S△CE′F取得最小值時(shí)，S四邊形AECF取得最大值，∵∠E′CF＝135°﹣90°＝45°，∴以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F，則△CE′F的外接圓是以點(diǎn)O為圓心，OF長為半徑的圓，過點(diǎn)O作OJ⊥DF于點(diǎn)J．設(shè)△CE′F的外接圓半徑為rm，則E′F＝r，又∵OJ+OC≥CD，∴r+r≥2，∴r≥4﹣2，當(dāng)點(diǎn)O在CD上時(shí)，E′F最短，此時(shí)E′F＝r＝4﹣4，∴S△CE′F最?。健粒?﹣4）×2＝4﹣4，∴S四邊形AECF最大＝S四邊形ABCD﹣S△CE′F最小＝4+4﹣（4﹣4）＝8．（3）如圖③中，將△BKM繞點(diǎn)K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△KCM′，此時(shí)N，C，M′共線，作△KNM′的外接圓⊙O，連接OK，ON，OM′，過點(diǎn)O作OH⊥NM′于點(diǎn)H．設(shè)OK＝ON＝OM′＝r，則NM′＝r，OH＝r，∵OK+OH≥KC，∴r+r≥6，∴r≥4，∴NM′≥r＝4，∴△KNM′的面積的最小值為×4×6＝12（m2），∴△BMK的面積+△KCN的面積的最小值為12，∴五邊形AMKND的面積的最大值＝7×12﹣12＝（84﹣12）（m2），∴種植乙花面積的最大值為（84﹣12）（m2）．4．（2020?渭濱區(qū)二模）問題提出（1）如圖①，已知線段AB，請以AB為斜邊，在圖中畫出一個(gè)直角三角形；（2）如圖②，已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B、C均在直線l上，AD⊥l且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC面積的最小值；問題解決（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6m，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）以AB為直徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）C，連接AC、BC，如圖①所示：則∠ACB＝90°，∴Rt△ACB即為所求；（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，如圖②所示：則∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，設(shè)OA＝OB＝OC＝r，則OE＝r，BC＝2BE＝r，∵AO+OE≥AD，AD＝3，∴r+r≥3，解得：r≥2，∴BC＝r≥2，∴BC最小值為2，∵S△ABC＝BC?AD，∴△ABC面積的最小值為：×2×3＝3；（3）四邊形AECF的面積存在最大值，理由如下：分別延長AB、DC交于點(diǎn)M，如圖③所示：則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，∵CB＝CD＝6m，∴BM＝6m，CM＝6m，AD＝DM＝（6+6）m，∴S四邊形ABCD＝S△ADM﹣S△CBM＝DM2﹣BC2＝×（6+6）2﹣×62＝（36+36）m2，∵∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠CDA﹣∠CBA＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∴將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到△CDE′，則A、D、E′三點(diǎn)共線，∴S四邊形AECF＝S四邊形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四邊形ABCD﹣S△CE′F，∵S四邊形ABCD為定值，∴當(dāng)S△CE′F取得最小值時(shí)，S四邊形AECF取得最大值，∵∠E′CF＝135°﹣90°＝45°，∴以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F，則△CE′F的外接圓是以點(diǎn)O為圓心，OF長為半徑的