專題02求最值中的幾何模型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（原卷版）

專題02求最值中的幾何模型題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練模型01將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，該題型綜合考查學(xué)生的理解和數(shù)形結(jié)合能力具有一定的難度，也是學(xué)生感覺有難度的題型.在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①將軍飲馬作對稱點；②兩點之間，線段最短；=3\*GB3③垂線段最短，涉及的基本知識點還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等；希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識.模型02建橋選址模型建橋選址模型，即沿一個方向平移的定長線段兩端到兩個定點距離和最小，解題時需要理清楚是否含有定長平移線段，且利用平移求出最短路徑位置．求解長度時若有特殊角，通常采用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解的方法.該題型主要考查了在最短路徑問題中的應(yīng)用，涉及到的主要知識點有矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于如何利用軸對稱找到最短路徑.模型03胡不歸模型胡不歸PA+k·PB”型的最值問題：當k等于1時，即為“PA+PB”之和最短問題，可用我們常見的“將軍飲馬”問題模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對稱問題來處理.當k不等于1時，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進行，因此必須轉(zhuǎn)換思路.此類問題的處理通常以動點P所在圖象的不同來分類，一般分為兩類研究.即點P在直線上運動和點P在圓上運動.其中點P在直線上運動的類型通常為“胡不歸”問題.模型01將軍飲馬模型考｜向｜預(yù)｜測將軍飲馬模型問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，綜合性大題中的其中一問，難度系數(shù)較大，在各類考試中都以中高檔題為主.本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.答｜題｜技｜巧第一步：觀察所求為橫向還是縱向的線段長度（定長），將線段按照長度方向平移第二步：同側(cè)做對稱點變異側(cè)，異側(cè)直接連線第三步：結(jié)合兩點之間，線段最短；垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊等?？贾R點第四步：利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型（1）點A、B在直線m兩側(cè)兩點連線，線段最短例1．（2023·四川）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點，E是中點，則的最小值為．（2）點A、B在直線同側(cè)例2.（2022·安徽）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．3模型02建橋選址模型考｜向｜預(yù)｜測建橋選址模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查軸對稱－－－最短路徑問題、勾股定理、三角形及平行四邊形的判定與性質(zhì)，要利用“兩點之間線段最短”等，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進行轉(zhuǎn)化．答｜題｜技｜巧第一步：觀察點或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律求出已知關(guān)鍵點的坐標；第二步：分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點變的循環(huán)規(guī)律或點運動的循環(huán)規(guī)律，點的橫、縱坐標的變化規(guī)律等）第三步：周期性的求最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)最后的變化次數(shù)或者運動時間登，確定要求的點與哪個點重合或在同一象限，或與哪個關(guān)鍵點的橫縱坐標相等；第四步：利用有理數(shù)的運算解題（1）兩個點都在直線外側(cè)：輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.例1．（2022·湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．求PD+PQ+QE的最小值為．（2）一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：輔助線：過點B作關(guān)于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.例2．（2023·山東）如圖，在中，，，，直線是中邊的垂直平分線，是直線上的一動點，則的周長的最小值為_________．（3）如圖3，兩個點都在內(nèi)側(cè)：輔助線：過點A、B作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.模型03胡不歸模型考｜向｜預(yù)｜測胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握.本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握.在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短.答｜題｜技｜巧第一步：構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型；第二步：借助三角函數(shù)，構(gòu)造銳角α，將另一個系數(shù)也化為1；第三步：利用“垂線段最短”原理構(gòu)造最短距離；第四步：數(shù)形結(jié)合解題例1．（2023·江蘇）如圖，中，，，，P為邊上一動點，則的最小值等于．1．（2023·江蘇揚州）如圖所示，軍官從軍營C出發(fā)先到河邊（河流用表示）飲馬，再去同側(cè)的D地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？你能解決這個著名的“將軍飲馬”問題嗎?下列給出了四個圖形，你認為符合要求的圖形是（

）A．B． C． D．2．（2023.浙江）如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當EF＋CF取得最小值時，則∠ECF=.3．（2022·安徽）如圖，在平面直角坐標系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一點M，在OA上找一點N，使△PMN周長最小，則此時△PMN的周長為．4．（2023·廣東）如圖，在中，，，，，是的平分線，若點、分別是和上的動點，則的最小值是______．5．（2023·江蘇）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為．

6．（2023·浙江）已知點P是△ABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當∠APB=∠APC=∠BPC=120°時，P就是△ABC的費馬點．若點P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF=（

）A． B． C．6 D．7．（2023·浙江）如圖，平行四邊形中，，，，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于（

）

A． B． C． D．8．（2023·四川）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．129．（2023·湖南）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個定點A、B，在直線上存在點，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作A點關(guān)于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：(1)幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為；(2)幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．10．（2023·陜西）在學(xué)習(xí)對稱的知識點時，我們認識了如下圖所示的“將軍飲馬”模型求最短距離．問題提出：(1)如圖1所示，已知A，B是直線l同旁的兩個定點．在直線l上確定一點P，并連接與，使的值最?。?/p>

問題探究：(2)如圖2所示，正方形的邊長為2，E為的中點，P是上一動點．連接和，則的最小值是___________；

問題解決：(3)某地有一如圖3所示的三角形空地，已知，P是內(nèi)一點，連接后測得米，現(xiàn)當?shù)卣谌切慰盏刂行抟粋€三角形花壇，點分別是邊上的任意一點（不與各邊頂點重合），求周長的最小值．

1．（2023·山東）如圖，已知點，，，，為直線上一動點，則的對角線的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．2．（2023·上虞市）如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．603．（2023·山東）如圖，矩形的邊，E為上一點，且，F(xiàn)為邊上的一個動點，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．4．（2023·四川）如圖，點M是菱形ABCD的邊BC的中點，P為對角線BD上的動點，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（

）A．2 B． C． D．15．（2023·湖北）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點C恰好落在AB邊上的點M處，D在BC上，點P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為．6．（2023·北京）如圖，是內(nèi)一定點，點，分別在邊，上運動，若，，則的周長的最小值為.

7．（2023·廣東）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠B＝120°．點P是對角線AC上一點（不與端點A重合），則AP+PD的最小值為_____．8．（2023·廣東）如圖，在中，，，.，分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．9．（2023·內(nèi)蒙古）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．10．（2023·浙江）如圖，河的兩岸有，兩個水文觀測點，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上修一座木橋（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現(xiàn)測得，兩點到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且，兩點之間的水平距離為12米，則的最小值是米．

11．（2023·廣東）如圖所示，已知O為坐標原點，矩形（點A與坐標原點重合）的頂點D、B分別在x軸、y軸上，且點C的坐標為，連接，將沿直線翻折至，交于點E．

(1)求點坐標．(2)試在x軸上找點P，使的長度最短，請求出這個最短距離．12．（2023·吉林）數(shù)學(xué)興趣活動課上，小致將等腰的底邊與直線重合．（1）如圖(1)，在中，，點在邊所在的直線上移動，根據(jù)“直線外一點到直線上所有點的連線中垂線段最短”，小致發(fā)現(xiàn)的最小值是____________．（2）為進一步運用該結(jié)論，在（1）的條件下，小致發(fā)現(xiàn)，當最短時，如圖(2)，在中，作平分交于點點分別是邊上的動點，連結(jié)小致嘗試探索的最小值，小致在上截取使得連結(jié)易證，從而將轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化到（1）的情況，則的最小值為；（3）解決問題：如圖(3)，在中，，點是邊上的動點，連結(jié)將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段連結(jié)，求線段的最小值．13．（2023·河南）唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬問題：如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？作法如下：如圖1，從出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長線上，取關(guān)于河岸的對稱點，連接，與河岸線相交于，則點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到，飲馬之后