陜西省咸陽(yáng)市武功縣2025屆高三數(shù)學(xué)模擬考試試題理含解析

PAGE17-陜西省咸陽(yáng)市武功縣2025屆高三數(shù)學(xué)模擬考試試題理（含解析）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，，則.故答案為C.2.已知復(fù)數(shù)滿意,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知等式變形再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】由，得．故選．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．3.函數(shù)的定義域是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，以及真數(shù)大于零，即可求得結(jié)果.【詳解】要使得函數(shù)有意義，則，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)定義域的求解，屬基礎(chǔ)題.4.已知，那么“”是“共線”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.非充分非必要條件 D.充要條件【答案】A【解析】【分析】先求出共線時(shí)的值，再由充分必要條件的定義推斷，即可得出結(jié)論.【詳解】，當(dāng)共線時(shí)得，所以“”是“共線”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的推斷，利用共線向量的坐標(biāo)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子擅長(zhǎng)織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”依據(jù)上述已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于50尺，則至少須要A.7天 B.8天 C.9天 D.10天【答案】C【解析】【分析】設(shè)所需天數(shù)為n天，第一天3為尺，先由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，在利用前n項(xiàng)和，便可求出天數(shù)n的最小值．【詳解】設(shè)該女子所需天數(shù)至少為n天，第一天織布尺，由題意得：，解得，，解得，，所以要織布總尺數(shù)不少于50尺，該女子所需天數(shù)至少為9天，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，干脆兩次利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式便可得到答案．6.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可得，長(zhǎng)方體的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即可求解.【詳解】長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則其對(duì)角線長(zhǎng)為，又長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，所求的球半徑，所以表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查多面體與球的“接”“切”問(wèn)題，對(duì)于常見(jiàn)幾何體與球的關(guān)系要嫻熟駕馭，屬于基礎(chǔ)題.7.某班全體學(xué)生參與歷史測(cè)試，成果的頻率分布直方圖如圖，則該班的平均分估計(jì)是（）A.70 B.75 C.66 D.68【答案】D【解析】【分析】依據(jù)頻率分布直方圖求出各組的頻率，依據(jù)平均數(shù)公式即可求解.【詳解】依題意該班歷史平均數(shù)估計(jì)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由頻率分布直方圖求樣本的平均數(shù)，熟記公式即可，考查計(jì)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得，結(jié)合條件可得所求結(jié)果．【詳解】由題意得，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是合理利用“1”的代換，將所求值轉(zhuǎn)化為齊次式的形式，然后再依據(jù)條件求解9.若，則二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是()A.210 B. C.240 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)微積分基本定理求得，再利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?又的通項(xiàng)公式為，令，故可得含有項(xiàng)的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查微積分基本定理，以及二項(xiàng)式定義，屬綜合基礎(chǔ)題.10.設(shè)是直線，，是兩個(gè)不同的平面()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】依據(jù)空間中線面、面面間的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一推斷即可.【詳解】由是直線，，是兩個(gè)不同的平面，可知：A選項(xiàng)中，若，，則，可能平行也可能相交，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，若，，由線面平行、線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定可知，正確；C選項(xiàng)中，若，，由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)可知或，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，若，，則，可能平行也可能相交，錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了線面、面面間的位置關(guān)系的推斷，考查了空間思維實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】試題分析：由，得，則為奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解除C；當(dāng)時(shí)，，，故，故解除A、D，故選B.考點(diǎn)：函數(shù)的圖象.12.斜率為2的直線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，且與雙曲線的左、右支分別相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)幾何關(guān)系，求得的關(guān)系，即可求得離心率范圍.【詳解】要滿意題意，只需，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率范圍的求解，列出不等式關(guān)系是解題重點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】先求的值，再求的值.【詳解】由題得，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和分段函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.14.在等差數(shù)列中，，則該數(shù)列前20項(xiàng)的和為_(kāi)____.【答案】300【解析】【分析】依據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，求出，即可求解.【詳解】在等差數(shù)列中，，，.故答案為：300.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，利用等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15.計(jì)算_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪和對(duì)數(shù)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，則______.【答案】.【解析】【分析】對(duì)函數(shù)的解析式求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，列出關(guān)于的方程，進(jìn)而得到的值，確定出函數(shù)的解析式，把代入解析式，即可求出的值【詳解】解：求導(dǎo)得：，令，得，解得：∴，，故答案為-2．【點(diǎn)睛】此題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及函數(shù)的值．運(yùn)用求導(dǎo)法則得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出常數(shù)的值，從而確定出函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟）（一）必考題（共60分）17.已知中，、、是三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，關(guān)于的不等式的解集是空集．（Ⅰ）求角的最大值；（Ⅱ）若，的面積，求當(dāng)角取最大值時(shí)的值．【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）若解集為空，則，解得.則C的最大值為.（2）＝，得，由余弦定理得：，從而得則.考點(diǎn)：解三角形及不等式點(diǎn)評(píng)：解三角形的題目常用到正弦定理，余弦定理，，三角形面積公式18.為了讓貧困地區(qū)的孩子們過(guò)一個(gè)暖和的冬天，某校陽(yáng)光志愿者社團(tuán)組織“這個(gè)冬天不再冷”冬衣捐獻(xiàn)活動(dòng)，共有50名志愿者參與．志愿者的工作內(nèi)容有兩項(xiàng)：①到各班做宣揚(yáng)，倡議同學(xué)們主動(dòng)捐獻(xiàn)冬衣；②整理、打包捐獻(xiàn)上來(lái)的衣物．每位志愿者依據(jù)自身實(shí)際狀況，只參與其中的某一項(xiàng)工作．相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：到班級(jí)宣揚(yáng)整理、打包衣物總計(jì)20人30人50人（Ⅰ）假如用分層抽樣的方法從參與兩項(xiàng)工作的志愿者中抽取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么“至少有1人是參與班級(jí)宣揚(yáng)的志愿者”的概率是多少？（Ⅱ）若參與班級(jí)宣揚(yáng)的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿者，用X表示所選志愿者中的女生人數(shù)，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）由分層抽樣方法得參與到班級(jí)宣揚(yáng)志愿者被抽中的有2人，參與整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是參與班級(jí)宣揚(yáng)的志愿者的概率．（Ⅱ）女生志愿者人數(shù)X=0，1，2，分別求出其概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解答】（Ⅰ）解：用分層抽樣方法，每個(gè)人抽中的概率是，∴參與到班級(jí)宣揚(yáng)的志愿者被抽中的有20×=2人，參與整理、打包衣物者被抽中的有30×=3人，故“至少有1人是參與班級(jí)宣揚(yáng)的志愿者”的概率為：P=1﹣=．（Ⅱ）解：女生志愿者人數(shù)X=0，1，2，則，，，∴X的分布列為：∴X的數(shù)學(xué)期望EX==．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式．19.如圖，在三棱柱中，平面，是的中點(diǎn)，，，.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明：連接，，發(fā)覺(jué)，求出和，并證得，又平面，所以，所以平面，證得；（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，然后計(jì)算夾角即可.【詳解】解：（1）證明：連接，，因?yàn)樵谥?，，，．所以．所以，因?yàn)椋?，又平面，且平面，所以，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，?。?，即二面角的平面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的證明，空間向量求解二面角的平面角，屬于中檔題.20.已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率，它與直線交于P、Q兩點(diǎn)，若，求橢圓方程．為原點(diǎn)．【答案】【解析】【分析】先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)離心率的范圍求得a和c的關(guān)系,進(jìn)而表示出b和a的關(guān)系,代入橢圓方程,依據(jù)推斷出,直線與橢圓方程聯(lián)立消去y,進(jìn)而依據(jù)表示出和,依據(jù)求得b的值．進(jìn)而可得橢圓的方程．【詳解】解：設(shè)橢圓方程為,由得橢圓方程為,即設(shè),,則由由,橢圓方程為【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)潔性質(zhì)．直線與圓錐曲線的關(guān)系,以及平面對(duì)量的幾何意義．考查了基本學(xué)問(wèn)的識(shí)記和基本的運(yùn)算實(shí)力．21.函數(shù)的圖象在處的切線方程為：.（1）求和的值；（2）若滿意：當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）依據(jù)切線斜率，以及導(dǎo)數(shù)值，即可求得參數(shù)；（2）分別參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)值域，即可簡(jiǎn)潔求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋士傻?，又因?yàn)樵谔幍那芯€方程為：，故可得，解得；又在函數(shù)的圖像上，故可得；綜上所述：（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，等價(jià)于在區(qū)間上恒成立.令，則只需即可.故可得，令，簡(jiǎn)潔知其在為單調(diào)增函數(shù)，且，故存在，使得.且，即，則在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故，故要滿意題意，只需，即.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問(wèn)題，屬綜合中檔題.（二）選考題（共10分，請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分）選修4-4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)22.在極坐標(biāo)系中,過(guò)曲線外的一點(diǎn)(其中，為銳角)作平行于的直線與曲線分別交于．(Ⅰ)寫(xiě)出曲線和直線的一般方程(以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建系)；（Ⅱ）若成等比數(shù)列,求的值．【答案】(Ⅰ)曲線L和直線的一般方程分別為，（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)依據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系下的一般方程的互化公式可求曲線方程及直線方程.（Ⅱ）寫(xiě)出直線的參數(shù)方程,代入曲線L的一般方程得,利用韋達(dá)定理以及題設(shè)條件化簡(jiǎn)得到的值．【詳解】(Ⅰ)由兩邊同乘以得到所以曲線L的一般方程為由，為銳角，得所以的直角坐標(biāo)為，即因?yàn)橹本€平行于直線，所以直線的斜率為1即直線的方程為所以曲線L和直線的一般方程分別為，（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入得到,則有因?yàn)?所以即解得【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化以及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．選修4-5：不等式選講23.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)?，試求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1